Taller de matemáticas

SIGMA
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TALLER DE MATEMÁTICAS: UNA INVITACIÓN
A LOS ALUMNOS DE BACHILLERATO
Josu Sangroniz Gómez (*)
1. PRESENTACIÓN
En este artículo queremos presentar un proyecto que un grupo de profesores del Departamento
de Matemáticas de la Universidad del País Vasco venimos realizando con alumnos de bachillerato de nuestra comunidad. Esperamos que el mejor conocimiento de lo que es esta experiencia nos ayude a contar con el apoyo necesario para asegurar su consolidación.
Afirmar que las matemáticas no suelen gozar de la simpatía del gran público no es descubrir ningún secreto. Es cierto que se reconoce su valor como herramienta imprescindible en
muchos campos de la ciencia, sin embargo arrastra una fama injusta de materia árida y sólo
asequible a las mentes especialmente dotadas. Seguramente la razón de este juicio está en el
desconocimiento, pero no me refiero a la ignorancia de lo que son en realidad las matemáticas superiores, ignorancia que poco o nada tiene de reprochable, sino a no saber reconocer
el carácter matemático de muchos problemas que nos rodean en nuestra vida cotidiana. Sin
tener que entrar en cuestiones de mayor calado, muchos problemas de ingenio que enganchan
de forma casi compulsiva a sus aficionados, como los sudokus o el cubo de Rubik y otros
pasatiempos similares, esconden importantes principios matemáticos que para la mayoría
pasarán desapercibidos. Por cierto que, en el caso de los sudokus, el carácter matemático del
pasatiempo nada tiene que ver con el hecho de que se manipulen números (esto es irrelevante
para el juego, podrían ser letras o símbolos sin ningún sentido) sino en la lógica rigurosa que
se debe seguir y en algunos principios muy básicos que los matemáticos usamos aunque, en
ocasiones, estén oscurecidos por una jerga abstracta impenetrable para el profano. En cualquier caso no hay motivo de alarma, los incondicionales del cubo de Rubik pueden seguir
disfrutando de él sin haber oído hablar en su vida de la Teoría de Grupos.
Lo que nos parecía interesante, y sobra decir que esta idea no es un descubrimiento nuestro, es
que se podía utilizar esta vertiente más lúdica de las matemáticas para estimular a ese, quizá
relativamente pequeño, sector de nuestros alumnos que se sienten atraídos por las matemáticas
y que disfrutan resolviendo un tipo de problemas a los que no se les puede prestar demasiada
atención en los cursos de la enseñanza reglada.
Por otro lado, los problemas de ingenio en los que lo importante es la forma original de
pensar y no las destrezas de cálculo rutinario, son la base de las competiciones matemáticas
que, aunque no tan desarrolladas como en otros países, tienen ya una cierta tradición entre
nosotros. Entre ellas la de mayor antigüedad es la Olimpiada Matemática que se celebra en
España desde 1964 y que, después de una fase local y otra nacional, culmina en la Olimpiada
Matemática Internacional. En las páginas web [1] y [2] se puede encontrar información detallada sobre estos eventos.
(*) Profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad del País Vasco.
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Josu Sangroniz Gómez
De esta forma, quisimos plantear nuestro proyecto como un entrenamiento para la olimpiada,
lo que proporcionaba una motivación suplementaria para los participantes, pero sin perder de
vista el objetivo principal: estimular el pensamiento original al abordar problemas de carácter
matemático y hacerlo disfrutando de la elegancia y la belleza que una idea inspirada e inesperada puede aportar para resolver una cuestión aparentemente intratable.
2. DESARROLLO DE LA EXPERIENCIA
El taller se puso en marcha el curso 2004/05, organizado por los profesores Pedro Alegría Ezquerra,
Gustavo Fernández Alcober, Jesús Gómez Ayala y el autor de este artículo. Lo hemos venido
impartiendo desde entonces en Bilbao, en locales cedidos por la Universidad del País Vasco.
El único requisito formal que se exige para participar es el de estar matriculado en primer o
segundo curso de bachillerato en algún centro público o privado del País Vasco. Naturalmente,
el hecho de que el taller se realice en Bilbao supone en la práctica una limitación en cuanto al
área geográfica de procedencia de los participantes. Esperamos poder extender la experiencia
a otros territorios en un futuro conforme aumenten los recursos con los que contemos.
La información se envía a los centros y es a través de ellos como llega a los alumnos potencialmente interesados; intentamos de esta forma asegurar que quienes se inscriban tengan el
perfil adecuado, básicamente que muestren una actitud favorable hacia las matemáticas y
que hayan demostrado un buen rendimiento académico en esta materia. La participación es
totalmente gratuita, los alumnos no tienen ningún compromiso más allá del de asistir regularmente y participar activamente dedicando parte de su tiempo a pensar los problemas que se
proponen. Tampoco están obligados a tomar parte en la Olimpiada Matemática si bien, siendo
ésta la excusa para el taller, se anima a que lo hagan.
El siguiente cuadro recoge los datos de participantes inscritos y de los centros en los dos cursos
que ya hemos completado.
Curso
Núm. inscritos
Núm. centros públicos
Núm. centros privados
2004/05
56
14
9
2005/06
37
5
10
Valoramos positivamente el número de inscritos, dentro de lo razonable teniendo en cuenta
nuestro ámbito de actuación. De todos modos nos gustaría insistir en la importancia de la participación del mayor número posible de centros y por esta razón, aunque intentamos hacer llegar
la información directamente a todos ellos, queremos aprovechar la oportunidad de este artículo
para que el proyecto se conozca. La labor en este sentido de los profesores de secundaria es fundamental, puesto que ellos son el eslabón entre los destinatarios de esta actividad y nosotros.
Aún siendo corta la historia del taller los resultados positivos no han tardado en llegar, como
lo demuestra que dos de los tres ganadores de la fase local de la Olimpiada en 2006, Diego
González-Pinto González y M. Belén Ansoleaga Ávila, fueran participantes del taller. El primero de ellos obtuvo además una medalla de plata en la fase nacional.
Seguramente lo que más puede interesar al lector es conocer los contenidos que se tratan en
el taller. Se trabaja con una metodología que prima la participación, por eso las exposiciones
teóricas se limitan a lo imprescindible, reduciéndolas a recordar algunos (pocos) principios
básicos que usados con ingenio pueden resolver infinidad de problemas en apariencia muy
distintos. Al final de este artículo se incluyen varios de los problemas que se discutieron el
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curso pasado indicando previamente algunas ideas generales que son claves para su resolución. Los principios en sí son sencillos de entender, algunos casi obviedades. La dificultad está
la mayoría de las veces en reconocer cómo utilizar esos principios para resolver el problema
planteado. Para esto no hay ningún método que se pueda aplicar universalmente, lo único
que cabe es probar diferentes caminos, desechar los que uno intuye que no llevan a ninguna
parte y centrarse en los aparentemente más prometedores. En este punto es donde se pide a
los alumnos que participen de forma activa proponiendo nuevas ideas o descartando otras.
El papel del profesor es dar las suficientes pistas, pero no más de las necesarias, para que el
alumno pueda descubrir por sí mismo las respuestas que busca.
En cuanto a los contenidos propiamente dichos, éstos son los temas principales de los que
nos ocupamos:
• Métodos generales de demostración: inducción, recurrencia, principio del palomar.
• Geometría: problemas sobre triángulos y circunferencias.
• Ecuaciones y funciones: polinomios, ecuaciones funcionales.
• Desigualdades.
• Aritmética: divisibilidad, factorización de números, congruencias.
• Combinatoria: métodos de conteo, probabilidad elemental.
• Otros problemas de olimpiada difíciles de encuadrar en un área temática (problemas de
estrategia, de lógica…).
La literatura sobre resolución de problemas es amplísima. Destacamos sólo los dos títulos
[5] y [6], este último escrito por Terence Tao, uno de los matemáticos premiados con la
medalla Fields en el reciente Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Madrid
y un prodigio de precocidad que ganó una medalla de oro en la Olimpiada Internacional
de Matemáticas con tan sólo 13 años. Por cierto que otro de los premiados en Madrid con
el mismo galardón, el polémico Grigori Perelman, también fue ganador con 16 años de la
Olimpiada Internacional en la que obtuvo la máxima puntuación posible.
3. LA WEB DEL TALLER
Además de las sesiones de trabajo semanales otro elemento importante del taller es la página
web. La mejor forma de hacerse una idea de sus contenidos es, claro está, consultarla en la
dirección
http://www.ehu.es/olimpiadamat
Esta web permite mantenerse puntualmente informado de todo lo relacionado con el taller,
como fechas, forma de inscripción, qué profesor imparte cada sesión y los problemas de ésta,
etc. Hay un archivo histórico con el material de los cursos pasados que puede ser de utilidad
para los alumnos y profesores interesados en la resolución de problemas y la preparación de
las distintas competiciones matemáticas.
Muchos otros sitios en la web recopilan información de este tipo. Una página especialmente
completa es [3]. Finalmente, [4] es una buena fuente en castellano sobre temas divulgativos
de matemáticas y, en particular, sobre resolución de problemas.
El lector atento e iniciado en estos asuntos advertirá seguramente una relación no casual entre
dos elementos que componen el logo. Una buena pista la da uno de los problemas de la
siguiente sección; si se prefiere hay una explicación completa en la web del taller. Se invita al
lector a que descubra por sí mismo este pequeño huevo de Pascua o a que lo lea en la web.
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El logo que identifica nuestro taller en la web es éste:
4. UN EJEMPLO PRÁCTICO
Para concluir este artículo vamos a plantear y discutir algunos problemas de los tratados en el
taller siguiendo su misma metodología.
En primer lugar recordaremos algunos resultados y estrategias que empleados juiciosamente
permitirán resolver de forma elegante los problemas. En realidad el simple hecho de destacar
estos resultados y no otros es en sí mismo una ayuda puesto que señala lo que se debe buscar.
Cuando uno se enfrenta por primera vez a un problema no tiene ninguna pista sobre qué principios van a ser claves a la postre; sin embargo, es indudable que cuantas más herramientas
se conozcan y más veces se haya visto cómo aplicarlas, más sencillo será intuir el camino
adecuado o, por lo menos, se podrá intentar una u otra vía hasta dar con alguna que lleve a
algún sitio.
Los cuatro problemas que consideraremos son de Geometría, hecho que no es casual por
tratarse ésta de un área donde abundan los problemas que pueden enunciarse de forma muy
sencilla pero cuya resolución exige muchas veces de verdadero ingenio.
Un poco de teoría
En la Geometría Clásica se razona fundamentalmente con ángulos y segmentos. Es importante
saber cómo deducir información sobre medidas de segmentos a partir de información sobre
ángulos y viceversa. Por ejemplo, si tenemos un triángulo del que sabemos que cada ángulo
mide 60 grados, entonces podemos deducir que los tres lados son iguales (y también recíprocamente). ¿Qué estrategias tenemos para hacer este tipo de deducciones? Destacamos dos de
ellas, elementales pero más potentes de lo que parecen:
• Buscar triángulos isósceles: Supongamos por un momento que tenemos un triángulo del
cual sabemos, por las razones que sean, que dos ángulos son iguales. ¿Qué podremos
concluir? Obviamente que dicho triángulo es isósceles y que, por lo tanto, dos de sus
lados son iguales. El argumento es reversible: si sabemos que dos lados son iguales podemos concluir que dos ángulos son iguales.
• Buscar triángulos semejantes: Supongamos que tenemos dos triángulos de los que sabemos que sus ángulos son iguales (para lo cual es suficiente saber que son iguales dos de
ellos). Entonces los triángulos son semejantes y, por lo tanto, la razón de los lados homólogos es la misma para los tres pares de lados.
Ya hemos visto la relevancia de saber cuándo dos ángulos son iguales. La siguiente cuestión
es entonces, ¿qué herramientas permiten asegurar la igualdad entre ángulos? Una fundamental
es el llamado teorema del ángulo inscrito: Si A, B y C son tres puntos sobre una circunferencia,
el ángulo inscrito ABC mide la mitad que el arco que subtiende, por ejemplo, si la cuerda
AC es un diámetro, el ángulo ABC es recto (puesto que el arco subtendido es la mitad de la
circunferencia). Esto quiere decir que si B’ es otro punto de la circunferencia, los ángulos ABC
y AB’C son iguales, dado que el arco subtendido es el mismo.
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Un caso límite del teorema del ángulo inscrito es el teorema del ángulo semi-inscrito: Si A
y B son puntos en una circunferencia y C es un punto exterior de forma que la recta que
contiene a BC es tangente a la circunferencia, entonces el ángulo ABC es la mitad del arco
interceptado.
El calentamiento
Estas dos preguntas pueden servir de calentamiento:
• En un polígono regular de n lados, AC es un lado y B es un vértice distinto de A y C.
¿Cuánto vale el ángulo ABC? ¿Cuánto miden los ángulos internos del polígono?
• ABC es un triángulo equilátero. Se dibuja una circunferencia de radio unidad tangente en
A a la recta que prolonga el lado AB. Si D es el otro punto de corte de la circunferencia
con el lado AC (o con su prolongación), ¿cuánto mide el arco AD?
Los problemas
Se sugiere al lector que intente resolver los problemas por sí mismo y que recurra a las ayudas
o soluciones sólo en caso necesario.
1. En un pentágono regular de lado unidad, ¿cuánto mide cualquiera de sus diagonales?
2. Una cuerda de longitud constante se desliza sobre una semicircunferencia. El punto
medio de la cuerda y las proyecciones de sus extremos sobre el diámetro de la semicircunferencia forman los vértices de un triángulo. Demostrar que el triángulo es isósceles
y que nunca cambia de forma.
3. Sea M un punto interior del segmento AB. Se construyen cuadrados AMCD y BEHM en
el mismo lado de AB. Si N es el segundo punto de intersección de las circunferencias
circunscritas a dichos cuadrados, probar que:
• Los puntos B, N y C están alineados.
• El punto H es el ortocentro del triángulo ABC.
(Fase local de la Olimpiada Matemática, 2005)
4. Diremos que un triángulo es multiplicativo si el producto de las longitudes de dos de
sus lados es igual a la longitud del tercero. Sea A1A2...An un polígono regular de n lados
con todos sus lados de longitud 1. Las n–3 diagonales que salen del vértice A1 (es decir,
los segmentos A1A3, A1A4,..., A1An-1) dividen al triángulo A1A2An en n–2 triángulos más
pequeños. Probar que cada uno de estos triángulos es multiplicativo. (Fase nacional de
la Olimpiada Matemática, 2005).
Soluciones y ayudas
Sólo daremos la solución completa de los dos primeros problemas. Para los otros dos nos
limitaremos a indicar algunas ideas.
1. Denotemos por A, B y C tres vértices consecutivos del pentágono. Nos piden hallar la
longitud del segmento AC sabiendo que AB mide una unidad. Ciertamente el triángulo
ABC es isósceles, por tanto uno podría intentar comenzar a razonar a partir de este punto.
Sin embargo es poco probable que esto nos lleve muy lejos puesto que de entrada ya es
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obvio que dos lados del triángulo son iguales y también que lo son dos de los ángulos,
A y C (por el teorema del ángulo inscrito). Para que haya un avance real hace falta que
sólo sea obvio uno de los dos hechos, por ejemplo la igualdad entre ángulos, para poder
concluir algo no evidente al principio (la igualdad de lados).
Necesitamos introducir algún elemento nuevo
que nos permita abrir camino. En problemas de
Geometría de este estilo es muy frecuente que
sea necesario dibujar nuevas líneas o prolongar
otras existentes. En este caso, una buena idea
es dibujar una segunda diagonal, esto originará
nuevos triángulos con los que poder razonar.
Así pues, sea D el siguiente vértice del pentágono y tracemos la diagonal BD. Llamemos X
al punto de intersección de las dos diagonales
AC y BD. Ahora tenemos nuevos triángulos
sobre los que aplicar nuestras estrategias. ¿Hay
alguno que sea isósceles? Si hemos hecho un
buen dibujo advertiremos que el triángulo
ABX parece isósceles.
Fig. 1
Si fuera así, el lado AX sería el mismo que el lado AB, que mide 1, y ésta sí es información
nueva. Para demostrar que el triángulo ABX es isósceles calculamos sus ángulos en A y B
aplicando el teorema del ángulo inscrito: el arco BC es la quinta parte de una circunferencia completa, por tanto el ángulo central correspondiente es de 2π/5 y el ángulo CAB (o
XAB) vale la mitad, π/5. El ángulo XBA (o DBA) es el doble puesto que el arco DA es justo
el doble del arco BC, por tanto dicho ángulo vale 2π/5 y el tercer ángulo AXB tendrá que
valer π – π/5 – 2π/5 = 2π/5. Esto significa que los ángulos en X y en B del triángulo AXB
son efectivamente iguales y por tanto que dicho triángulo es isósceles. Ahora ya podemos
concluir que AX mide una unidad.
Investiguemos a continuación el triángulo CXB. Por el teorema del ángulo inscrito es
claro que los ángulos en C y B del mismo valen π/5, por tanto este pequeño triángulo es
isósceles y semejante al triángulo ABC. En ambos triángulos la relación lado mayor : lado
menor es la misma lo cual proporciona la ecuación AC / 1 = 1 / (AC – 1), es decir AC2
– AC – 1 = 0, que da la solución final AC = (1 + √5) / 2. (Este conocidísimo número se
llama razón áurea).
Dejamos para el lector dar una segunda
demostración empleando similares ideas
pero esta vez prolongando el lado AB y
trazando la tangente por el punto C a la
circunferencia circunscrita al pentágono.
Llamar X al punto de corte de estas rectas
y razonar con los triángulos ACX y BCX.
2. Llamemos A y B a los extremos de la
cuerda y A’ y B’ a sus proyecciones sobre
el diámetro de la semicircunferencia.
Denotaremos por P el punto medio de
AB. Que el triángulo A’PB’ es isósceles
es una consecuencia sencilla del teorema
de Thales: la proyección P’ de P sobre
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Fig. 2
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la base A’B’ del triángulo divide a ésta
en dos partes iguales por el teorema de
Thales (dado que los segmentos AA’, PP’ y
BB’ son paralelos y dividen a AB en partes
iguales), por tanto los lados PA’ y PB’ son
simétricos respecto de PP’ y en particular
miden lo mismo.
Veamos ahora que los ángulos de A’PB’
siempre valen lo mismo independientemente de dónde esté situada la cuerda.
Puesto que la longitud de la cuerda AB
no cambia, cualquier ángulo ACB inscrito
en la circunferencia completa medirá
siempre lo mismo.
Fig. 3
Habremos terminado si somos capaces de probar que los ángulos del triángulo A’PB’ mantienen con él una relación fija. Podríamos tomar cualquier punto C sobre la circunferencia
y dibujar el ángulo inscrito con cuerda AB, sin embargo si C se elige al azar no hay ninguna razón para pensar que podamos relacionar el ángulo ACB con el triángulo A’PB’.
¿Qué punto elegir entonces desde el que dibujar el ángulo inscrito? Un punto distinguido,
como el ‘polo sur’ de la circunferencia, puede parecer una buena opción, sin embargo,
por muy destacado que parezca este punto, tampoco guarda ninguna relación de especial
privilegio respecto de A y B. Si se piensa un poco, los puntos naturales en este contexto
sólo pueden ser dos: los simétricos de A o B sobre la semicircunferencia inferior. Este paso
de la demostración es quizás el más difícil de motivar: ¿Por qué uno de estos puntos y no
otro? Aquí sólo cabe apelar a la intuición y la experiencia. Lo más probable es que si con
estos dos candidatos no llegamos a nada, tampoco llegaremos a nada con ningún otro y
deberíamos plantearnos otro camino.
En resumen, procedemos tomando sobre la semicircunferencia inferior el punto C simétrico de A respecto del diámetro horizontal. Ahora sí es natural dibujar el segmento CB
para completar el triángulo ABC. El dibujo sugiere que A’P y CB son paralelos y esto es
así nuevamente por el teorema de Thales dado que A’ es el punto medio de AC y P lo es
de AB. Tenemos entonces que los ángulos ACB y AA’P son iguales y no cambian aunque
la cuerda AB se desplace (puesto que la longitud de la cuerda se mantiene fija, el ángulo
ACB también).
Finalmente esto significa que el ángulo PA’B’ (ó PB’A’, que es igual) tampoco cambia, por
tanto queda igualmente fijo el tercer ángulo en P y el triángulo A’PB’ conserva su forma,
que es lo que se pedía demostrar.
3. Sólo daremos un par de indicaciones para este problema. Si queremos probar que tres
puntos A, B y C están alineados basta fijar un punto cualquiera del plano X y comprobar
que los ángulos XAB y XAC son iguales. Ya conocemos estrategias para ver cuándo dos
ángulos coinciden.
Para la segunda parte recordar únicamente que el ortocentro de un triángulo es el punto
en el que se cortan las tres alturas y, por tanto, para probar que un cierto punto es el
ortocentro basta ver que por él pasan dos de las alturas.
4. Notar en primer lugar que el ángulo en A1 de todos los pequeños triángulos es el mismo
y que éste también es el ángulo A1A2An (en el dibujo n=9). Hay varias formas de razonar.
Indicaremos un par de posibilidades.
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Llamemos P y Q a los otros dos vértices
de uno de los triángulos que queremos
ver que es multiplicativo y fijémonos también en el triángulo A1A2Q. El hecho de
que los ángulos A1A2Q y PA1Q sean el
mismo y que A1A2=1 es suficiente para
probar que A1PQ es multiplicativo. Se
puede hacer aplicando el teorema de los
senos o, si se quiere evitar este resultado,
calculando la razón de las áreas de los
triángulos A1A2P y A1PQ de dos formas
distintas (por un lado, cada área se puede
escribir en función del ángulo A1A2P y,
por otro, en función de las bases A2P y
PQ, respectivamente).
Una segunda demostración parte del
hecho de que el primero de los triángulos
Fig. 4
es isósceles (¿por qué?) y por tanto trivialmente multiplicativo al tenerse A1A2=1.
Ahora basta ver que si un pequeño triángulo es multiplicativo, el siguiente también (es
decir, se hace un razonamiento inductivo). Supongamos que P, Q y R son los vértices en
el segmento A2An de dos de estos triángulos contiguos. El lado A1Q es la bisectriz del
ángulo PA1R. La forma más rápida de terminar es aplicar directamente el teorema de la
bisectriz; si no, razonar nuevamente comparando áreas.
5. MÁS INFORMACIÓN
Para cualquier información adicional que se precise sobre el taller o para realizar cuantas
sugerencias o comentarios se estimen oportunos, se puede contactar con cualquiera de los
profesores que organizamos el taller en las siguientes direcciones de correo electrónico:
Pedro Alegría Ezquerra:
Jesús Gómez Ayala:
Josu Sangroniz Gómez:
pedro.alegria@ehu.es
eugeniojesus.gomez@ehu.es
josu.sangroniz@ehu.es
BIBLIOGRAFÍA
1. http://platea.pntic.mec.es/~csanchez/olimmain.htm (Página sobre la Olimpiada
Matemática Española)
2. http://imo.math.ca/ (Página de la Olimpiada Matemática Internacional)
3. http://www.kalva.demon.co.uk/
4. http://www.divulgamat.net
5. L. C. Larson, 1983: Problem-solving through problems. Springer, New York.
6. T. Tao, 2006: Solving mathematical problems. Oxford University Press, Oxford.
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