Inecuaciones

Apéndice F
Inecuaciones
Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener
los signos de orden (<, >, o ) en vez del muy conocido signo de igualdad
(=). Siendo la inecuación una expresión algebraica nos da como resultado un
conjunto en el cual la variable independiente puede tomar cualquier valor de
ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce como
intervalo.
En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden
relativo de dos objetos.
F.1.
Tipos de inecuaciones
Definición F.1 Inecuación estricta. La notación a < b significa que a es
menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b.
Definición F.2 Inecuación no estricta. Las notaciones a ≤ b (a es menor
o igual que b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b) son llamadas inecuaciones no
estrictas.
Definición F.3 Inecuación incondicional. Si el signo comparativo de la
inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables implicadas,
entonces se hablará de una inecuación «absoluta» o «incondicional».
Definición F.4 Inecuación condicional. Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o
cambia para otros valores, será una inecuación «condicional».
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APÉNDICE F. INECUACIONES
Definición F.5 Mucho mayor. La notación a � b quiere decir que a es
mucho mayor que b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia indefinida entre ambos miembros de la inecuación. Se usa en ecuaciones
en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación
arroje a luz un cierto resultado.
F.2.
Propiedades
Las propiedades generales son:
Tricotomía
Simetría
Transitividad
Multiplicación y división
Aditividad
Aplicación de una función a ambos miembros
Valor absoluto o módulo
Definición F.6 Propiedad de tricotomía. La propiedad de tricotomía dicta
que, para dos números reales cualesquiera a y b sólo se cumplirá una de las
siguientes relaciones.
a
a
a
<
=
>
b
b
b
(F.1)
Definición F.7 Propiedad de simetría. Las relaciones en inecuacines pueden ser invertidas, queriendo decir esto que para dos números reales se cumple:
Si a > b entonces b < a.
Si a < b entonces b > a.
Definición F.8 Propiedad de transitividad. Dados un número real a mayor que un segundo número real b y siendo b mayor que un tercer número real
c, se cumple entonces que:
(a > b) ∧ (b > c) ⇒ (a > c)
(F.2)
F.2. PROPIEDADES
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Definición F.9 Propiedad de aditividad por constante. El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta
el mismo número real.
Dados c�R y a > b se sumple que a + c > b + c
Dados c�R y a > b se sumple que a − c > b − c
Definición F.10 Propiedad de multiplicación por una constante. l signo
comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les multiplica por el mismo número real positivo. El signo compartivo de una inecuación
cambia si a ambos miembros se les multiplica por el mismo número real negativo.
Dados (c�R) ∧ (c > 0) y a > b se sumple que a × c > b × c
Dados (c�R) ∧ (c < 0) y a > b se sumple que a × c < b × c
Definición F.11 Propiedad de división por una constante. El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les divide por
el mismo número real positivo. El signo compartivo de una inecuación cambia
si a ambos miembros se les divide por el mismo número real negativo.
Dados (c�R) ∧ (c > 0) y a > b se sumple que a/c > b/c
Dados (c�R) ∧ (c < 0) y a > b se sumple que a/c < b/c
Definición F.12 Función monótona creciente. Si para dos números reales
a y b se cumple a > b, una función f (x) será monótona creciente si sólo si
f (a) > f (b).
Definición F.13 Función monótona decreciente. Si para dos números reales
a y b se cumple a < b, una función f (x) será monótona decreciente si sólo si
f (a) < f (b).
Definición F.14 Valor absoluto o módulo.
|x| ≤ b ⇔ −b ≤ x ≤ b
|x| ≥ b ⇔ (x ≥ b) ∧ (x ≤ −b)
Definición F.15 El recíproco.
Dado a > b se cumple que 1/a < 1/b
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F.3.
APÉNDICE F. INECUACIONES
Notación encadenada
La notación a < b < c establece que a < b (a menor que b) y que b <
c (b menor que c) y aplicando la propiedad transitiva anteriormente citada,
puede deducirse que a < c (a menor que c). Obviamente, aplicando las leyes
anteriores, puede sumarse o restarse el mismo número real a los tres términos,
así como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismo número (distinto de cero)
invirtiendo las inecuaciones según su signo. Debe tenerse cuidado de utilizar en
todos los casos el mismo número. Así, a < b + e < c es equivalente a a - e < b
< c - e.
Esta notación se puede extender a cualquier número de términos: por ejemplo, a1 a2 ... an establece que ai ai+1 para i = 1, 2, ..., n1. Según la propiedad
transitiva, esta condición es equivalente a ai aj para cualesquiera 1 i j n.
Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones. En ese caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre los términos adyacentes. Por ejemplo, a < b > c d significa que a
< b, b > c, y c d. Aparte del uso poco frecuente en matemáticas, esta notación
existe en unos pocos lenguajes de programación tales como Python.