Funciones implicitas - Agrupación 15 de Junio – MNR

Introducción al Calculo Infinitesimal.
I.T.I. de SISTEMAS.
Funciones reales de varias variables reales.-
4.4.-
Derivadas de funciones implícitamente definidas.-
Consideramos una función f( x, y ) definida en una cierta región R de su dominio.
FUNCIONES IMPLÍCITAS.
Diremos que la función z = f(x,y) está definida de forma implícita por F(x,y,z) = 0 si F(x,
y, f(x,y)) = 0.
Derivadas de funciones implícitamente definidas.
La diferencial de F( x, y, z ) = 0 se define por : Fx dx + Fy dy + Fz dz= 0. Si Fz ≠ 0.
Despejando dz queda:
dz = −
Fx
Fz
dx −
Fy
Fz
dy
Y puesto que z = f( x, y ) podemos escribir: Zx =fx = −
CONSECUENCIAS:
Page 1
Fx
Fz
y
Zy = fy = −
Fy
Fz
.
Plano tangente:
Si el plano tangente a z = f( x, y ) por P (a,b,c) era Z-c = fx (P) (X − a) + fy(P) (Y − b)
como:
Fx
fx = −
Fz
Fy
fy = −
Fz
implícitamente podemos escribirlo de la forma: Fx(P) ( X-a) + Fy (P)(Y-b) + Fz (P)(Z-c) = 0
Vector normal:
Vn = [ Fx(P) , Fy (P) , Fz (P) ].
Vector gradiente:
Grad( F) = [ Fx , Fy , Fz ]
EJEMPLO.
Hallar la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie de ecuación :
2 x2 + 2 y2 − z2 + 12=0, en el punto P = (-1,1,4).
Tomamos la función F(x,y,z) = 2 x2 + 2 y2 − z2 + 12, y calculamos su gradiente:
Fx = 4x ; Fy= 4y ; Fz = -2z
que en P queda,
grad(F) = (-4 , 4 , -8) .
El plano tangente será: −4 ( x + 1 ) + 4 ( y − 1 ) − 8 ( z − 4 ) = 0 que simplificado queda: x - y
+ 2 z = 6.
Y la recta normal:
x+1
−1
=
y−1
1
=
z−4
−2
.
Otro ejemplo con Maple.
Page 2
> restart:with(linalg):with(plots):with(plottools):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
Introducimos y representamos la función que estudiaremos.
> F:=(x,y,z)-> -x^3*y^2+y^2*z-x;
S:=implicitplot3d(F(x,y,z),x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2):
display(S,axes=framed,labels=[x,y,z]);
F := ( x, y, z ) → −x3 y2 + y2 z − x
Sus derivadas parciales primeras.
> Fx:=unapply(diff(F(x,y,z),x),x,y,z);
Fy:=unapply(diff(F(x,y,z),y),x,y,z);
Fz:=unapply(diff(F(x,y,z),z),x,y,z);
Fx := ( x, y, z ) → −3 x2 y2 − 1
Fy := ( x, y, z ) → −2 x3 y + 2 y z
Fz := ( ( x, y, z ) → y )2
Otras derivadas parciales que queramos hacer.
> Fyz:=unapply(diff(F(x,y,z),y,z),x,y,z);
Fyzy:=unapply(diff(F(x,y,z),y,z,y),x,y,z);
Page 3
Fyz := ( x, y, z ) → 2 y
Fyzy := 2
Vector gradiente en un punto P.
> P:=(1,1,2);
P := 1, 1, 2
> Gradiente_F_enP:=([Fx(P),Fy(P),Fz(P)]);
Gradiente_F_enP := [ -4, 2, 1 ]
Plano tangente a F por P.
> Plano_tg:=unapply(Fx(P)*(x-P[1])+Fy(P)*(y-P[2])+Fz(P)*(z-P[3
]),x,y,z);
Plano_tg(x,y,z)=0;
Plano_tg := ( x, y, z ) → −4 x + 2 y + z
−4 x + 2 y + z = 0
> Sup:=implicitplot3d(F(x,y,z),x=0..2,y=0..2,z=-2..3,axes=fram
ed,color=pink):
P_tang:=implicitplot3d(Plano_tg(x,y,z),x=0..2,y=0..2,z=-1..3
,axes=framed,style=patchnogrid,color=green):
display(Sup,P_tang,labels=[x,y,z]);
Page 4
> v:=plottools[arrow]([1,1,2],[-4,2,1],.2,.2,.1,color=red):
> display3d({v,Sup,P_tang},axes=framed,labels=[x,y,z],style=pa
tchnogrid);
> display3d({v,Sup,P_tang},axes=framed,labels=[x,y,z],scaling=
constrained,style=patchnogrid);
Page 5
FIN
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