Problema 12

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Ingeniero Industrial
Fundamentos Físicos de la Ingeniería (2008/2009)
EXAMEN PRIMER CUATRIMESTRE: MECÁNICA. 1/Septiembre/2009
APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJERCICIO 3
Duración: 50 minutos.
Valor: 3 puntos.
E ST ÁTICA Y DIN ÁMICA DEL PUNTO MATERIAL .
En el plano vertical OXY (gravedad: g = −g j ), se halla una partı́cula P , de masa m, vinculada sin rozamiento a una
circunferencia fija, de radio R y centro en el punto C(R, 0). Dicha partı́cula está conectada, mediante un resorte elástico
ideal de constante recuperadora k = 2mg/R y longitud natural l0 = R, a un deslizador puntual Q de masa despreciable
y que puede moverse sin rozamiento sobre el eje vertical OY . La movilidad del deslizador Q a lo largo del eje OY hace
que el resorte P Q se mantenga horizontal en todo instante.
Utilizando la coordenada acimutal θ (definida en la figura) para describir la posición de la partı́cula, y la base polar {uρ , uθ }
para expresar las magnitudes vectoriales, se pide:
a) Desvincular la partı́cula (diagrama y expresión analı́tica de las fuerzas que actúan sobre ella).
b) Determinar las posiciones de equilibrio mecánico de la partı́cula.
c) Deducir una integral primera del movimiento de la partı́cula (en función de θ y θ̇ ), y determinar su valor constante
sabiendo que en el instante inicial la partı́cula se hallaba en reposo (θ̇(0) = 0) en la posición dada por θ(0) = 0.
d) Para las mismas condiciones iniciales del apartado anterior, plantear la 2a ley de Newton en la base polar, y deter
minar la fuerza de reacción vincular que actúa sobre la partı́cula en función de su posición (Φ(θ)).
SOLUCIÓN (sólo se corregirá, como máximo, una hoja adicional a la suministrada con este enunciado):
Y
O
O
uq
k 2mg R
lo R
Fr
q
F
m
a) Desvincular la partı́cula
(Valor máximo : 1.1 puntos)
Las fuerzas activas que actúan sobre la partı́cula son el peso
mg y la fuerza debida al resorte Fr . Por otro lado la partı́cula
está vinculada sin rozamiento a la circunferencia, aplicando
el principio de liberación se tiene otra fuerza que actúa so cuya dirección es
bre ella, la fuerza de reacción vincular Φ
perpendicular a la tangente a la circunferencia, es decir sólo
tiene componente radial. El diagrama de fuerzas se muestra
en figura.
ur
P
mg
C
X
R
g
Las expresiones analı́ticas de las tres fuerzas anteriores proyectadas en la base polar son:
Fr = −k(QP − l0 )i = −k(R + R cosθ − R)i =
−2 m g cosθi = 2 m gcosθ(−cosθuρ + senθ uφ )
Fr = 2mgcosθ(−cosθuρ + senθuφ )
g = −mgj = −mg(senθuρ + cosθuθ )
= Φuρ
Φ
b) Posiciones de equilibrio mecánico
(Valor máximo : 0.4 puntos)
Se impone la condición de equilibrio mecánico: la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre la partı́cula es nula,
= 0. Utilizando la base polar, se tienen las dos ecuaciones escalares:
mg + Fr + Φ
componente radial:
componente acimutal:
Φ − 2mgcos2 θ − mgsenθ = 0
(ec. 1)
2mgcosθsenθ − mgcosθ = 0
(ec. 2)
Simplificando la expresión de la componente acimutal (ec. 2) se obtiene: cosθ(2senθ − 1) = 0 y a partir de esta expresión se
determinan las posiciones de equilibrio mecánico de la partı́cula:
cosθ = 0
=⇒ θ =
π 3π
2, 2
=⇒ θ =
π 5π
6, 6
y
senθ =
1
2
(Valor máximo : 1 punto)
c) Integral primera
Las dos fuerzas activas que actúan sobre la partı́cula son conservativas y la fuerza de reacción vincular no realiza trabajo por lo
que se conserva la energı́a mecánica, T + Ug + Ur = E, siendo T la energı́a cinética de la partı́cula, Ug la energı́a potencial del
peso y Ur la energı́a potencial del resorte.
T =
1
2
mv 2 =
1
2
m R2 θ̇2
Ug = m g R senθ
Ur =
1
2
donde se ha tomado el origen del potencial en el eje OX
K(QP − l0 )2 = m g R cos2 θ
Sustituyendo
1
mR2 θ̇2 + mgRsenθ + mgRcos2 θ = E
2
Se determina el valor de la energı́a mecánica a partir de las condiciones iniciales: θ̇(0) = 0 , θ(0) = 0
E = mgR
La expresión de la integral primera es:
1
2
2 Rθ̇
+ gsenθ + gcos2 θ = g
d) Fuerza de reacción vincular Φ(θ)
(Valor máximo : 0.5 puntos)
= ma, y teniendo en cuenta que la partı́cula se mueve sobre la circunferencia, la
Segunda ley de Newton: mg + Fr + Φ
coordenada radial siempre vale ρ = R y por tanto ρ̇ = 0 = ρ̈.
Las dos ecuaciones escalares que se obtienen son
Φ − 2mgcos2 θ − mgsenθ = −mRθ̇2
(1)
2mgcosθsenθ − mgcosθ = mRθ̈
(2)
Se despeja la fuerza de reacción vincular: Φ = mg(2cos2 θ + senθ) − mRθ̇2 .
De la expresión de la integral primera se despeja R θ̇2 :
R θ̇2 = 2g(1 − senθ − cos2 θ)
y sustituyendo se tiene la expresión de la fuerza de reacción vincular:
Φ = mg(4cos2 θ + 3senθ − 2)