Primer parcial

Física / Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Dto. Física Aplicada. Facultad de Químicas
Primer examen parcial. Enero de 2003
CUESTIONES DE TEORÍA
1. Explicar la transformación de velocidades y transformación de posiciones en el movimiento relativo
de translación uniforme.
2. Explicar la fuerza de rozamiento entre cuerpos sólidos
3. Enunciar y demostrar la segunda ley de Kepler o ley de las Áreas
PROBLEMAS
1. Un cuerpo de masa m0 está girando unido a una cuerda de longitud L. Al pasar por el punto más
bajo de la trayectoria, la cuerda (que soporta
una tensión máxima Tmax) se rompe
lanzando el cuerpo horizontalmente con una
velocidad v0 contra la superficie de un plano
L
inclinado 45º, inicialmente en reposo.
(a) Dibujar y analizar el esquema de fuerzas
que actúan sobre el cuerpo en el momento
h
m0
v0
de la rotura del hilo y determinar la tensión
M
45º
máxima soportada por la cuerda.
μ
Al impactar contra el plano, el proyectil rebota elásticamente en el plano ascendiendo verticalmente
hasta cierta altura. El plano, de masa M, se pone en movimiento por efecto de este impacto, deslizando sobre
una superficie con coeficiente de rozamiento dinámico μ.
(b) ¿Cuál es la velocidad del plano justo después del choque? ¿Qué distancia recorrerá hasta pararse?
(c) ¿Cuánto vale la altura máxima a que asciende el proyectil tras el choque?
Solución:
(a) Para desarrollar un movimiento circular, el proyectil requiere una fuerza dirigida hacia el centro de
rotación de la trayectoria circular de valor man=m v2/R. En la honda que plantea el problema hay
esencialmente dos fuerzas actuando sobre el cuerpo: la tensión del hilo y el peso. En cada punto de la
trayectoria la resultante de estas dos fuerzas en la dirección radial actúa como fuerza centrípeta, valiendo por
tanto mv2/R. En el punto más bajo de la trayectoria, la tensión tiene la dirección vertical dirigida hacia arriba
y el peso hacia abajo, así que la tensión en ese punto vale más que en ningún otro de la trayectoria, pues debe
compensar el peso y además comunicar la correspondiente aceleración radial. T−P=mv2/L. Este punto es por
tanto el más propenso a la rotura. Si en él la tensión toma el valor máximo permitido por la cuerda (puesto
que se rompe), tenemos
Tmax = m0g + m0v02/L
(b) El cuerpo impacta elásticamente con el plano, por lo que deben conservarse en este choque el momento
lineal y la energía cinética. En particular, nos indican que sigue una trayectoria rectilínea ya que v0 debe ser
muy alta como para que el efecto de la acción de la gravedad sobre el proyectil sea apreciable en un trayecto
tan corto, así que el proyectil llega al plano con la misma v0. De la conservación de la componente del
momento paralela a la dirección de impacto:
m0v0=Mv//
ya que el proyectil no tiene velocidad en esta dirección después del choque, así pues v// = m0v0/M.
En su movimiento de deslizamiento por la superficie rugosa, el rozamiento es la única fuerza que actúa sobre
él, por lo que −μN=−μ Mg=Ma y usando la fórmula v2=v02+2ae obtenemos el espacio recorrido hasta que la
velocidad es 0
0=v//2−2μ·g·d de donde d =
v// 2
m 2v 2
= 0 02
2 μ g 2 μ gM
Se podría obtener el mismo resultado igualando la energía cinética correspondiente a la componente X de la
velocidad al trabajo de la fuerza de rozamiento.
(c) La conservación de energía y momento en el choque es independiente de que tras él actúen fuerzas que
modifiquen el movimiento (como el rozamiento detiene el movimiento inicial en X del plano). En el caso del
eje Y, el plano también adquiere una componente de momento en esta dirección , ya que si no, no se verifica
la conservación del momento en este eje. La presencia del plano de apoyo, sin embargo, absorbe todo este
momento evitando que se mueva en esta dirección.
Mv¦=m0v'
v' puede extraerse a partir de la ecuación de conservación de la energía
cinética:
v'
v//
1
1
1
1
1 ⎛ m 2v 2 m 2 v '2 ⎞
m0v0 2 = m0 v '2 + M ( v// 2 + v⊥ 2 ) = m0v '2 + M ⎜ 0 20 + 0 2 ⎟
2
2
2
2
2 ⎝ M
M ⎠
simplificando...
m
M − m0
v0 = v ' + 0 ( v '2 + v0 2 ) → v ' = v0
M
M + m0
2
2
v€
Con la velocidad inicial de subida del proyectil podemos fácilmente determinar la altura máxima que
alcanza:
0 = v ' 2 - 2 gh → h =
v0 2 ( M − m0 )
2 g ( M + m0 )
2. Un perfumador consiste en un conducto de sección S0 por donde se hace circular aire de densidad
(ρa) con velocidad v0 a la presión atmosférica (ver dibujo). En el conducto se produce un estrechamiento
(sección S0/2), adonde llega un pequeño tubito sumergido en
el perfume.
(a) Determinar la presión del aire en el estrechamiento.
(b) Determinar la distancia máxima a que se puede encontrar
patm
S0
ρa
S0
2
v0
el nivel de líquido del estrechamiento (L) para que el
perfume, de densidad ρL pueda ascender y mezclarse con el
L
patm
aire saliente.
perfume
ρL
Solución:
Este dispositivo es una aplicación directa del principio de Venturi. Cuando el aire llega a un
estrechamiento, gana velocidad y pierde presión. La depresión formada 'aspira' el líquido a través
del tubito, permitiendo al líquido llegar al flujo de aire un mezclarse con él.
(a) Para determinar la depresión en el estrechamiento aplicamos las dos fórmulas estudiadas para la
dinámica de fluidos:
Ecuación de continuidad: S0V0=S0V'/2. Luego V'=2V0
Conociendo las velocidades vamos a la fórmula de Bernoulli: P+ρgz+ρv2/2=cte
En este caso lo aplicamos a un punto en la zona ancha y otro en el estrechamiento, que es de donde
tenemos información sobre las velocidades. Como la energía potencial del fluido no varía, ρgz toma
el mismo valor a ambos lados del tubo, y obtenemos el valor de la presión en el estrechamiento: P'
Patm+ρaV02/2 = P' + ρa V'2/2
P'=Patm+ρaV02 (1−S2/S'2)/2=Patm−3ρa V02/2
(b) La depresión formada succiona el perfume. La altura máxima del tubito será aquella que haga
que la presión de la columna de líquido sea igual a la diferencia entre la presión atmosférica y la del
estrechamiento. La presión de la columna de líquido es ρL g L= Patm−P' =3ρa V02/2 luego
L=
3 ρ a v0 2
2g ρL