Álgebra Lineal - ideaglobal.cl

ÁLGEBRA LINEAL
D E P A R T A M E N T O
D E
C I E N C I A S
B Á S I C A S
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Contenidos.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
_____________________________________________________________________________
Unidad 1.
MATRICES, DETERMINANTES Y
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Matrices. Operaciones con matrices. Matrices elementales.
Matrices equivalentes. Operaciones elementales.
Determinantes. Propiedades de los determinantes. Aplicaciones de los determinantes. Matriz inversa. Sistemas de
ecuaciones lineales. Rango de una matriz. Soluciones de un
sistema de ecuaciones lineales. Interpretación geométrica.
Unidad 2.
VECTORES, RECTAS Y PLANOS
Vectores en el espacio. Distancia entre dos puntos. Norma.
Producto escalar. Producto vectorial. Rectas en el espacio.
Planos en el espacio. Planos paralelos. Planos perpendiculares.
Ángulos entre planos.
64
Unidad 3.
ESPACIOS VECTORIALES
Definición. Propiedades de los espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Combinaciones lineales. Conjunto generador.
Conjuntos linealmente dependientes. Conjuntos linealmente
independientes. Base de un espacio vectorial. Dimensión.
Caracterización de un subespacio vectorial. Operaciones con
subespacios vectoriales.
100
Unidad 4.
TRANSFORMACIONES LINEALES
Definición. Propiedades. Kernel. Imagen de una transformación.
Nulidad. Rango. Teorema fundamental del álgebra lineal. Algebra de las transformaciones lineales. Matriz asociada a una
transformación lineal.
122
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
144
1
2
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UNIDAD 1
Matrices, Determinantes
y
Sistemas de Ecuaciones Lineales.
2
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Matrices.
________________________________________________________________________
Las matrices fueron creación del eminente matemático inglés Arthur Cayley
(1821-1895). Como muchas invensiones matemáticas, la teoria y el álgebra de matrices
surgieron como prolongación de sus investigaciones e intereses matemáticos primarios.
Cayley estudió en el Trinity College, Universidad de Cambridge. A comienzos de su
carrera, mientras se dedicaba al estudio y a la práctica del derecho, realizó alguno de
sus descubrimientos matemáticos más brillantes, entre los que destacan: el desarrollo
del álgebra de matrices, la teoría de la invarianza algebraica y su desarrollo de la
geometría no dimensional.
Sus trabajos en geometría cuatridimensional,
proporcionaron a los físicos del siglo XX, especialmente a Albert Einstein, la estructura
para desarrollar la teoría de la relatividad.
El objetivo de esta primera unidad es revisar algunas ideas fundamentales sobre
matrices y determinantes, y aplicarlas en la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
3
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Matrices.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Definición: A una ordenación o arreglo rectangular de elementos (en este curso nos interesa que los
elementos sean números) les llamaremos MATRIZ.
Ejemplos:
"
E œ ŒÈ
$
#
"
#
#ß !"
 #1 
FœŒ
Î
Ð
G œÐ
#
"
 !ß "
Ï "
!
"
!Ñ
$
# Ó
Ó
$
!Ò
#
%
#
%
"
#
Si hay 7 filas y 8 columnas, decimos que el orden de la matriz es 7 ‚ 8, y nos referimos a ella
como "matriz 7 ‚ 8" o simplemente, como matriz rectangular.
Î +""
Ð +#"
Ð
E œ Ð +$"
Ð
ÞÞÞ
Ï+
7"
+"#
+##
+$#
ÞÞÞ
+7#
+"$
+#$
+$$
ÞÞÞ
+7$
ÞÞÞ Þ+"8 Ñ
ÞÞÞ +#8 Ó
Ó
ÞÞÞ +$8 Ó
Ó
ÞÞÞ ÞÞÞ
ÞÞÞ +78 Ò
Una matriz 8 ‚ 8 se llama matriz cuadrada y se dice que tiene orden 8.
Î +""
Ð +
F œ Ð #"
ÞÞÞ
Ï+
8"
+"#
+##
ÞÞÞ
+8#
ÞÞÞ +"8 Ñ
ÞÞÞ +#8 Ó
Ó
ÞÞÞ ÞÞÞ
Ò
ÞÞÞ +88
El elemento en la 3-ésima fila y en la 4-ésima columna de una matriz E de orden 7 ‚ 8 se denota
como +34 . Así, el elemento que ocupa la tercera fila y la cuarta columna es +$% .
 a11 a12

 a 21 a 22
a
a32
 31
a
a
42
 41
a13
a 23
a33
a 43
a14 

a 24 
a34 

a 44 
3era fila
4ta columna
Ejemplos:
1)
Î "
$
En la siguiente matriz E œ
Ï !
1 y columna 2 , es decir , el 4.
4Ñ
% . El elemento +"# representa a aquél que está en la fila
&Ò
4
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2)
Si una matriz es de orden $ ‚ #, entonces ésta tiene tres filas y dos columnas.
3)
El orden de la siguiente matriz es $ ‚ $.
E œ
Î "
!
Ï "
#
$
"
$Ñ
#
#Ò
Ejercicios:
IÑ Determine el orden de las siguientes matrices.
Î$
Ð $
+Ñ E œ Ð
"
Ï#
#Ñ
#Ó
Ó
!
%Ò
-Ñ G œ
Î %
$
Ï $
II)
De la matriz dada E œ
,Ñ F œ
#Ñ
%
"Ò
Î&Ñ
!
Ï*Ò
.Ñ H œ Œ "
Î "
$
Ï !
%
!
'
"

$
4Ñ
%
determine el número correspondiente al elemento pedido.
&Ò
i) + $" œ
ii) + ## œ
iv) + "" œ
v) +$$ œ
iii) +
$#
œ
Respuestas:
I)
II)
a) E es de orden % ‚ #
b) F es de orden $ ‚ "
c) G es de orden $ ‚ #
d) D es de orden 1 ‚ 5
i) !
ii) %
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iii) &
iv)  " v) No existe
Notación Matricial.
Para ahorrar tiempo y espacio, al escribir una matriz, es conveniente usar una notación especial.
Se suele escribir E œ Ð+34 Ñ y cuando se quiere señalar expresamente que la matriz es de orden 7 ‚ 8, se
denota E7‚8 .
Ejemplo:
Determine la matriz E œ Ð+34 Ñ, si +34 œ 3  4; para 3 œ "ß # ß $
5
y 4 œ "ß #.
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Respuesta: E œ
Î#
$
Ï%
$Ñ
%
&Ò
Observación:
` 7 ‚ 8 Њ Ñß
Š es un conjunto numérico cualquiera.
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Una matriz se dice racional, real o compleja según sea el conjunto en el que se encuentren los
números del arreglo o elementos de la matriz (coeficientes de la matriz).
Ejemplo:
` 7 ‚ 8 Б Ñ es el conjunto de matrices reales.
Ejercicios:
IÑ Indique cuántas filas y columnas tiene cada una de las siguientes matrices
a ) ` 1 ‚6
II)
b) T 4‚2
c) U&‚%
¿Qué puede decir de `7‚8 Ђ ) ?
Respuestas:
I)
a) Q es una matriz con 1 fila y 6 columnas
b) E es una matriz de 4 filas y 2 columnas
c) F es una matriz de & filas y 4 columnas
II)
`7 B 8 Ђ ) es el conjunto de matrices complejas, con 7 filas y 8 columnas.
La Diagonal Principal de una Matriz Cuadrada.
Se dice que los elementos +"" , +## , +$$ ß ..... en una matriz cuadrada están sobre su diagonal
principal. Por ejemplo, las diagonales principales de las siguientes matrices se resaltan en negrita.
Eœ
Î #
&
Ï #
% 'Ñ
' ! ;
( *Ò
FœŒ
"!
#
%
 (
Definición: Diremos que dos matrices E y F son iguales, cuando son del mismo orden y todos los
elementos que se ubican en la misma posición, son iguales. Esto es, E y F son dos matrices
iguales sí y solo si:
i)
ii)
Eß F − `7‚8 a‘b
ˆ+34 ‰ œ ˆ,34 ‰; donde " Ÿ 3 Ÿ 7 y
"Ÿ4Ÿ8
6
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Ejemplo: De la definición, tenemos:

Pero
"
Œ%
son iguales.
!
1
"
"
Á
" Œ"
Ejemplo:
Solución:
"
#
$
"
Á
" Œ"
#
!
"
También, Œ
"
"
#
!
"
"
#
È#
"!!
œ
%"
!
"!!
$
È%
È#
!ß &
Ð  "Ñ1
$
&

$
; puesto que los correspondientes elementos en la segunda fila no
%
"
puesto que las matrices no tienen el mismo orden.
"
Halle los valores de B e C si:
" #
#C  "
Œ B$ !  œ Œ )
#
!
De la definición, igualamos los elementos correspondientes
 " œ #C  "
#C œ  #
C œ "
y
y
y
B$ œ )
$
BœÈ
)
Bœ#
b)
&
Œ!
!
 &
d)
"
Œ"
!
#
Ejercicios:
1.-
a)
Indique el orden de las siguientes matrices:
Î
Ð
Ð
#
&
#
*
"
!
Ï  #1
"Ñ
È$ Ó
Ó
(Ò
c)
a%
$b
e)
E$‚&
2.-
Dada la matriz E
"
Î "
Ð !
Ð
E œ ÐÐ È&
Ð "
Ï !ß $
#
a)
c)
e)
#
&
!
#
"ß #
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"
$ 
% Ñ
%Ó
Ó
" Ó
; determine el valor del elemento que se indica:
Ó
!ß & Ó
$
È
$Ò
b)
d)
f)
+"$ œ
+%# œ
+&" œ
7
+#" œ
+## œ
+$% œ
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3.-
4.-
Determine la matriz E%‚& que satisfaga la condición dada:
a)
+34 œ 4  3
b)
+34 œ #3  4
c)
+34 œ $3  #4
d)
+34 œ 3#  #4
Halle los valores de las incógnitas de manera que se verifique la igualdad:
a)
B
Œ "
$
$
œ
#C  Œ  "
b)
Œ
c)
BC
Π$A
A"
&  #B

%  Œ )
d)
BC
ŒCD
A"
CB

#C  Œ #D
$
'
œ
!  Œ%
BC
%
$
)
$
BC
C
&
œ
 " ŒA  "
BA
'
œ
'  Œ "
!
D
%
D 
Respuestas:
1.-
a)
d)
$‚$
#‚$
b)
e)
#‚#
$‚&
c)
"‚$
2.-
a)
d)
+"$ œ %
+## œ &
b)
e)
+#" œ !
+&" œ !ß $
c)
f)
+%# œ  #
+$% œ No existe
a)
Î !
Ð "
Ð
#
Ï $
%Ñ
$Ó
Ó b)
#
"Ò
Î"
Ð $
Ð
&
Ï(
c)
Î &
Ð )
Ð
""
Ï "%
3.-
4.-
a)
b)
c)
d)
"
!
"
#
(
"!
"$
"'
*
"#
"&
")
#
"
!
"
""
"%
"(
#!
$
#
"
!
"$ Ñ
"' Ó
Ó
"*
## Ò
d)
Î $
Ð '
Ð
""
Ï ")
!
#
%
'
"
"
$
&
&
)
"$
#!
(
"!
"&
##
Bœ$ à
Cœ%
BœCœ$
*
*
(
Bœ  ;
Cœ  à
D œ & à
Aœ
#
#
#
Bœ$ à C œ & à
D œ % à
Aœ "
8
#
!
#
%
*
"#
"(
#%
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$Ñ
"Ó
Ó
"
$ Ò
"" Ñ
"% Ó
Ó
"*
#' Ò
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Operaciones con Matrices.
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En álgebraß damos por hecho que cualquier par de números reales pueden sumarse, restarse y
multiplicarse; sin embargo, con matrices no siempre es posible realizar dichas operaciones. Estudiaremos a
continuación las operaciones con matrices, sus propiedades y restricciones.
Adición De Matrices.
Solamente las matrices que tienen el mismo orden pueden sumarse. Sean E7 ‚ 8 y F 7 ‚ 8
dos matrices de orden 7 ‚ 8 , entonces la suma de E y F es la matriz de orden 7 ‚ 8ß definida por:
E  F œ c+
Ejemplo:
%
Si E œ Œ
!
"
"
#
$
entonces E  F œ Œ
%&
!!
34
 , 34 d
F œŒ
y
#"
$#
&
!
"
#
$
$ 
" $
"
œ
"  $  Œ!
$
"
#
% 
¡¡IMPORTANTE!!
Para poder sumar matrices, éstas deben ser del
mismo orden y los elementos de la matriz suma
corresponden a la suma de las componentes
correspondientes.
Ejercicios:
1)
Sea E œ
Î %
&
Ï #
#
"
$
"! Ñ
Î$
$
y Fœ !
Ï$
& Ò
#
"
)
#Ñ
&
*Ò
Determine E  F
2)
Sean las matrices
A =Œ
#
$
&
ß
"
)
F œ Œ
#
%
,
'
Determine E  F  G
9
G œ
Î !
Ï #
$Ñ
"
#Ò
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Respuesta:
1)
EFœ
Î "
&
Ï &
!
!
""
"# Ñ
)
% Ò
EFG œŒ
2)
"!
$
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 "#
"&Î# 
Propiedades de la Adición:
De las propiedades de los números reales se puede deducir que la operación de adición en el
conjunto de las matrices 7 ‚ 8 satisface las siguientes propiedades:
Sean E ß F y G tres matrices de orden 7 ‚ 8Þ Entonces se cumple:
1)
Ley Asociativa para la suma de matrices
ÐE  F Ñ  G œ E  Ð F  G Ñ
2)
Ley Conmutativa para la suma de matrices
EF œ F E
3)
La matriz cero o la matriz nula 7 ‚ 8 denotada por ), es la matriz 7 ‚ 8 con cada elemento igual a cero.
Puesto que E  ) œ E œ )  E para cada matriz E7‚8 , la matriz cero es el elemento neutro
para cada conjunto de las matrices 7 ‚ 8. Por ejemplo:
"
Œ&
4)
&
#
"
!

$ Œ!
Matriz simétrica
E  Ð  EÑ œ )ß
!
!
!
"
œ
! Œ&
&
#
"
!
œ
$ Œ!
!
!
!
"

! Œ&
donde ) es la matriz nula de orden 7 ‚ 8
Multiplicación Por Escalar.
&
#
"
$
El producto de un número 5 y una matriz E, denotado por 5E, es una matriz con elementos
formados por el producto de cada elemento de E por 5 .
Ejemplo 1:
#†
Î"
$
Ï"
#Ñ Î #
%
œ '
# Ò Ï#
Î%
&
Ï!
"
'
#
 %Ñ
)
%Ò
# Ñ Î  #!
( œ
 #&
$Ò Ï !
Ejemplo 2:
&
Ejercicios:
Resuelva los siguientes ejercicios:
1)
#†
Î #
"
Ï %
!
!
&
#Ñ
$
'Ò
 $†
Î "
#
Ï "
&
 $!
"!
#
$
#
10
 "! Ñ
 $&
 "& Ò
"Ñ
!
%Ò
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2)
Ð  &Ñ Œ
3)
Hallar B ß C ß D y A si
$Œ
B
D
"
$
" %
#
 Œ
"
# )
C
B
œ
A Œ  "
'
1
 Ð  #Ñ Œ
 "! 
!
'
%

#A  Œ D  A
!
1
B C
$ 
Respuesta:
1)
Î (
%
Ï &
3)
B œ #ß C œ % ß D œ " ß A œ $
'
*
%
( Ñ
'
#% Ò
&
Œ  ""
2)
 "$
 "# 
Diferencia De Matrices.
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Sean A 7 ‚ 8 y F 7 ‚ 8 dos matrices de orden 7 ‚ 8 , la diferencia entre E y F es la
matriz de orden 7 ‚ 8ß definida por:
E  F œ c+
34
 , 34 d
Ejemplo:
&
Si E œ Œ
*
&
EF œŒ
*
"
"
#
$
#
$
œŒ
&'
*!
œŒ
 ""
*
y
"
'

" Œ!
#"
$#
"
&
F œŒ
"
#
'
!
"
#
$
, entonces
$ 
$
$ 
" $
"$ 
%
#
Ejercicios:
1)
Determine el valor de Bß C ß A y D para que se cumpla la siguiente igualdad
BC
ŒC  "
A"
Œ
#C 
C B
 #A
BA
'
œ
'  Œ "
11
%
D
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2)
Sean las matrices A œ
Î"
$
Ï&
Hallar la matriz H œ
Î:
<
Ï>
EF H œ )
3)
Sean las matrices E =Œ
#Ñ
% ,
'Ò
Fœ
Î $
"
Ï %
#Ñ
&
$Ò
;Ñ
=
de manera que se cumpla la igualdad
?Ò
en la cual ) es la matriz nula de orden $ B #.
"
$
#
#
%
&
, F œ Œ
"
$
#
.
 %
7 8 =
de manera que se cumpla la igualdad E  F  H œ
: ; <
), donde ) es la matriz nula de orden # ‚ $.
Determina la matriz
4)
HœŒ
"
$
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Hallar # E  $ F
#
E œ Œ
)
%
"!
'
$
ß F œŒ
 "# 
(
!
"
#
)
Respuesta:
1)
B œ $;
2)
: œ  #; ; œ % ; < œ % ; = œ  " ; > œ * ; ? œ *
3)
7 œ '; 8 œ  $ ; = œ ' ; : œ ! ; ; œ " ; < œ  &
4)
C œ !; D œ ' ; A œ  "
&
Π$(
)
"(
'
 %) 
Multiplicación De Matrices.
Sea E una matriz de orden 7 ‚ 8 y sea F una matriz de orden 8 ‚ :. El producto E † F es la
matriz G de orde 7 ‚ :, cuyos elementos - 3 4 son:
- 3 4 œ ! +35 † , 54
8
5 œ"
12
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1)
Las matrices E œ Œ
"
#
%
#
condiciones anteriormente descritas
Î#Ñ
&
y F œ $ se pueden multiplicar ya que se cumplen las

$
Ï%Ò
La matriz G resultante es de orden # ‚ "
2)
4 7 6 
 1 2

  2 3 4 

 =  1 3 − 1
 − 1 3  ⋅ 
 1 4   1 2 1   6 11 8 




Observe que el elemento -"# se obtiene de la siguiente manera:
-"# = +"" † ,#"  +"# † ,##
(œ"†$#†#
¡¡IMPORTANTE!!
Para multiplicar dos matrices el número de columnas de
la primera matriz debe ser igual al número de filas de la
segunda matriz.
La matriz resultante tiene orden " el número de filas
de primera matriz por el número de columnas de la segunda
matriz "
3)
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplos:
Î%  #Ñ
Î# "  $Ñ
$
"
&
y F œ # %
no se pueden multiplicar ya que el
Ï$
Ï' "
% Ò
# Ò
número de columnas de E es 2 y el número de filas de F es 3.
Las matrices E œ
4)
Ejemplo de Aplicación: Suponga que un fabricante produce cuatro artículos. Su demanda está
dada por el vector de demanda . œ a $! #! %! "! b
Ð una matriz " ‚ % Ñ. El precio
por unidad que recibe el fabricante por los artículos está dado por el vector de precios
Î #! Ñ
Ð "& Ó
: œ Ð
( una matriz % ‚ "Ñ
Ó
")
Ï %! Ò
¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?
13
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Respuesta:
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La demanda del primer artículo es 30 y el fabricante recibe $ #! por cada artículo vendido.
Entonces recibe $! † #! œ $ '!! de las ventas del primer artículo. Si se sigue este razonamiento, se ve
que la cantidad total de dinero que recibe es:
a $!
#!
%!
Î #! Ñ
Ð "& Ó
"! b Þ Ð
œ # !#!
Ó
")
Ï %! Ò
Recibe $ # !#!
Ejercicios:
1)
Dadas las siguientes matrices
Ô "
A= #
Õ "
" ×
"
! ,Fœ ”
$
# Ø
"
%
, G œ ”
, H œ c#
#•
 &•
 $d
a)
¿Cuál es el orden de cada una de ellas?
b)
¿Es posible resolver los siguientes Productos? Si es posible, determínelos.
i) E † F
iv) G † E
ii) E † G
v) G † H
iii) F † G
vi) H † G
c)
Resuelva las multiplicaciones que se pueden resolver del ejercicio ( b)
2)
Calcule Bß Cß Dß Aß :ß ; si:
a) # Œ
b) $
3)
B
D
Î B
DÎ$
Ï #:
Î%
$
Þ #

!
Ï%
C  $Ñ Î %
# Ñ
%
A
 " #A ÞŒ
œ
!
& Ò Ï '
$ Ò
C
"
œ Œ
A
$
C
#
" Ñ
%
$
Œ
#
"Ò
!
 %A  #C  "* 
Î #B
$
% A
#

&
Ï &:
(Ñ
D
';Ò
Suponga que un fabricante produce cinco artículos. Su demanda está dada por el vector de
demanda . œ a "& #! "! #! #& b Ð una matriz " ‚ & Ñ. El precio por unidad que recibe el
fabricante por los artículos está dado por el vector de precios
Î $!! Ñ
Ð #!! Ó
Ð
Ó
: œ Ð "!! Ó
( una matriz & ‚ "Ñ
Ð
Ó
"&!
Ï %&! Ò
¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?
14
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4.-
Determine el valor de B ß Cß Dß Aß : y ; en:
$
5)
Î B
#Î$
Ï #:
C $Ñ Î %
A
"
œ
& Ò Ï '
# Ñ
%
#A † Œ
!
$ Ò
Î #B
$
%A
#

&
Ï &:
( Ñ
D
'; Ò
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Para que dos matrices se puedan multiplicar y sumar ambas deben ser cuadradas y de igual orden.
Dé un ejemplo.
Respuestas:
1)
a)
E es de orden $ ‚ #ß F es de orden # ‚ #ß G es de orden # ‚ "ß H es de orden " ‚ #
b)
i) E † F œ
Î #
#
Ï (
$Ñ
#
$ Ò
ii) E † G œ
Î * Ñ
)
Ï  'Ò
iv) No se pueden multiplicar las dos matrices
2)
3)
4)
5)
*
iii) F † G œ Œ 
#
)
v) Œ
 "!
 "#
"& 
%
a) B œ  'à C œ  %à D œ  $à A œ 
$
#&
(
$
b) B œ %à C œ  à D œ #'à A œ  *à : œ à ; œ 
$
#
#
$ #$ (&!
#&
(
$
B œ %ß A œ  *ß C œ  ß D œ  $!ß : œ ß ; œ 
$
#
#
Revíselo con su profesor.
Propiedades De La Multiplicación De Matrices.
Sean Eß F y G matrices cualesquiera (*), se verifican las propiedades:
1)
Ley asociativa para la multiplicaciónde matrices
A † Ð F † G Ñ œ ÐE † FÑ † G
2)
Ley Distributiva para la multiplicación de matrices
i) Ð E  F Ñ † G œ E † G  F † G
ii) H † Ð I  J Ñ œ H † I  H † J
15
vi) H † G œ Ð#$Ñ
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M8 matriz Idéntidad de orden 8. Llamaremos matriz unitaria o identidad de orden 8 a la matriz
cuadrada de orden 8 definida por:
Î"
Ð !
Ð
M œ M 8 œ  $ 34‘ œ Ð !
Ð
!
Ï!
!
"
!
!
!
!
!
"
Þ
!
Þ
Þ
!
"
Þ
!Ñ
ÞÓ
1 si 3 œ 4
Ó
!Ó
donde $ 3 4 = œ
! si 3 Á 4
Ó
!
"Ò
E †M8 œ E
4)
La ley Conmutativa No Se Cumple para el producto matricial, en general:
E†F ÁF†E
(*) Se ex ige, obviam ente, que tengan
sentido todos los productos que aquí
intervienen.
Observación:
1)
Sean E ß F − Q2 y E † F œ ) ¿significa que E œ ) o F œ ) ?
Compruébalo tu mismo:
Si
!
E œ Œ
!
$
" 
y
"
Fœ Œ
!
"!
!
ambas matrices distintas a ) œ Œ
! 
!
ahora multiplica.... ¿Qué pasa? Concluye.
Matrices Elementales.
1)
VIRGINIO GOMEZ
3)
!
!
Sea E œ ˆ+ 3 4 ‰ una matriz cuadrada de orden 8. E es una Matriz Diagonal si se verifica que +
para todos los 3 Á 4Þ
Es decir:
Î +""
Ð !
Ð
EœÐ !
Ð
Þ
Ï Þ
!
+##
!
!
Þ
16
!
!
+ $$
!
Þ
!
Þ
Þ
Þ
Þ
!
Þ
Þ
Þ
Ñ
Ó
Ó
Ó
Ó
+ 88 Ò
34
œ !ß
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3)
4)
Una matriz cuadrada E œ ˆ+34 ‰ es Triangular Inferior si todos los elementos sobre la diagonal
principal es cero. Esto es, + œ !, si 3  4.
34
Es decir:
! !Ñ
Î #
" ) !
E=
Ï !
$ #Ò
Una matriz E œ ˆ+34 ‰ es simétrica, si los elementos simétricos (imagenes especulares respecto a la
diagonal son iguales), es decir, si cada +34 œ +43 .
Esto es:
Eœ
5)
6)
VIRGINIO GOMEZ
2) Una matriz cuadrada E œ ˆ+34 ‰ es Triangular Superior si todos los elementos bajo la diagonal principal
son igual a cero. Esto es, + 3 4 œ ! ß si 3  4 .
Es decir:
Î# " #Ñ
E= ! # $
Ï! ! $Ò
Î"
#
Ï%
#
"
$
% Ñ
$
#Ò
La matriz transpuesta de una matriz E de orden 7 ‚ 8 es la matriz E> de orden 8 ‚ 7, que se
obtiene permutando las filas por las columnas.
Es decir:
$Ñ
Î #
>
# % #
 % " ß entonces E œ Œ
Si E œ
$
"
$
Ï #
Ò
$
Se dice que una matriz real E es Ortogonal si E † E > œ E > † E œ M
Es decir:
Î"
Ð *
Ð %
Si E œ ÐÐ
Ð *
)
Ï
*
Î"
Ð *
Ð
>
E † E œ ÐÐ %
Ð *
)
Ï
*
)
*

"
*
)
*

"
*
%
*
%Ñ Î "
Ð *
*Ó
Ó
Ð )
(
Ó
† ÐÐ
 *Ó
Ó
Ð *
%
%
Ò Ï
*
*

%
*
%Ñ
*Ó
(Ó
, entonces:
 Ó
*Ó
Ó
%
Ò
*

17
%
*
%
*
(

*

)Ñ
*Ó "
Î
"Ó
Ó
œ !
Ó
* ÓÏ !
%
Ò
*
!
"
!
!Ñ
!
"Ò
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7)
VIRGINIO GOMEZ
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Sea una matriz E 7 ‚ 8 y sea Q34 la submatriz (8  "Ñ cuadrada de E que se obtiene
suprimiendo la 3 - ésima fila y su 4 - ésima columna,
Ejemplo:
% Ñ
&
, entonces la submatriz Q"$ es la matriz que resulta de eliminar la
%Ò
# $
fila " y la columna $. Esto es:
Q "$ œ Œ
.
& $
Si E œ
Î"
#
Ï&
"
$
$
En forma análoga, tenemos que:
Q ## œ Œ
"
&
%
.
 %
Matrices Equivalentes.
Se dice que dos matrices E C F son equivalentes, lo cual se escribe E µ F, si F puede
obtenerse a partir de E mediante una sucesión finita de algunas operaciones, las cuales llamaremos
Operaciones Elementales.
Operaciones Elementales.
Dada una matriz E de orden 7 ‚ 8, llamaremos Operaciones Elementales (OE) sobre E a cada
una de las siguientes operaciones (sobre las filas o columnas de una matriz):
1)
Intercambiar filas (o columnas), lo cual denotaremos por 0 3 Ç 0 4 Ð- 3 Ç -4 Ñ
Ejemplo:
Î1
#
Ï1
2)
0# Ç 0$
#
1
1
$Ñ
Î"
! 0# Ç0$ "
Ï#
$Ò
#
"
"
$Ñ
$
!Ò
Reemplazar una fila 3 (o columna) por < veces la fila 3 (o columna) 03 œ < † 0 3 a-3 œ < † - 3 b
Ejemplo:
Î"
#
Ï"
01 œ #01
#
"
"
$Ñ
Î#
!
01 œ #01 #
Ï"
$Ò
%
"
"
'Ñ
!
$Ò
18
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3)
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Reemplazar la fila (o columna) 3 por la suma de la misma fila (o columna) 3 más < veces la fila 4
(o columna ) 0 3 œ 0 3  < 0 4
0 # œ 0 #  $ 0 " (a la fila 2 se le suma 3 veces la fila 1)
Ejemplo:
Î"
#
Ï"
#
"
"
$Ñ
Î"
!
&
0 # œ 0 #  $0 "
$ Ò      → Ï "
#
&
"
$Ñ
*
$Ò
Cada vez que realizamos una operación elemental, usamos el símbolo Ä ó µ ya que las matrices
que se obtienen al hacer estas OE son semejantes a la inicialmente dada.
Las OE se hacen sobre las
filas o columnas, pero no a
ambas simultáneamente.
Î"
Ð %
Sea E œ Ð
#
Ï&
Ejercicio:
obtenida.
#
"
"
#
"Ñ
!Ó
Resuelva las siguientes OE, siempre sobre la última matriz
Ó
$
$Ò
+Ñ 0 " œ 0 "  $ 0 2
,Ñ 0 $ œ  0 $
-Ñ 0 % œ 0 %  0 "
.Ñ 0 # œ 0 #  # 0 "
/Ñ 0 $ œ $ 0 $  0 #
0Ñ 0 % œ 0 $  0
g) 0 % œ 0 % : 0 "
Respuesta:
Î"
Ð %
a) E œ Ð
#
Ï&
#
"
"
#
Î "$
Ð %
b) Ð
#
Ï &
"Ñ
Î "3
!Ó
%
Ð
0 œ 0 Ð
Ó
$ $  →$  #
Ï &
$Ò
"
"
"
#
"Ñ
Î "$
!Ó
Ð %
0 œ 0 "  $0 # Ð
Ó
$  "  
 → #
Ï &
$Ò
"
"
"
#
"
"
"
#
"Ñ
!Ó
Ó
$
$Ò
" Ñ
! Ó
Ó
$
$ Ò
19
"
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Î "$
%
Ð
c) Ð
#
Ï &
Î "3
%
Ð
d) Ð
#
Ï 8
Î "$
Ð  ##
e) Ð
#
Ï 8
" Ñ
Î "$
! Ó
%
Ð
0 œ 0% 0"Ð
Ó
 $ %  
→  #
Ï 8
$ Ò
"
"
"
#
"
"
"
1
" Ñ
! Ó
0 # œ 0 #  #0 "
Ó
$
Ò
#
"
"
"
1
"
"
"
1
" Ñ
! Ó
Ó
$
# Ò
Î "3
Ð  ##
Ð
#
Ï 8
" Ñ
Î "$
#Ó
Ð  ##
0 $ œ $ 0 $  0 #Ð
Ó
$
 #)
Ï 8
# Ò
"
"
"
1
" Ñ
#Ó
Ó
$
Ò
#
" Ñ
# Ó
Ó
 ""
# Ò
"
"
%
1
VIRGINIO GOMEZ
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f) No se puede desarrollarß porque la fila que se quiere cambiar es la Nº $ y esta no está en las filas de la
OE.
g) La división de filas NO es una OE.
Matriz Escalonada.
Definición: Una matriz está en la forma escalonada en renglones si se cumplen las siguientes condiciones:
i)
ii)
iii)
Todos los renglones cuyos elementos son todos ceros aparecen en la parte inferior de la matriz.
El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier renglón cuyos
elementos no todos son ceros es 1.
Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el renglón
de abajo esta más hacia la derecha que el primer 1 en el renglón de arriba.
Ejemplo: Algunas matrices en la forma escalonada son:
Î1
0
Ï0
Ejercicios:
0
1
0
0Ñ
0 ,
1Ò
Î1
0
Ï0
0
1
0
0
0
0
0Ñ
0 ,
1Ò
1
Œ0
0
!
0
0
Escalona las siguientes matrices a través de OE
EœŒ
#
$
"
ß
% 
Fœ
Î#
"
Ï"
20
"
#
$
#Ñ
$
%Ò
0
"
&
ß
#
Î"
!
Ï!
!
"
!
$
&
!
!
!
"
 "Ñ
!
# Ò
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Sabían que el matemático inglés
James Joseph Sylvester (1814 –
1897) fue el primero que uso el
término matriz en 1850, para
distinguir las matrices de los
determinantes.
La intensión era que el
término matriz tuviera el
significado de “madre” de
los determinantes
21
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Determinantes
________________________________________________________________________
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Augustin Louis Cauchy
VIRGINIO GOMEZ
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Los determinantes aparecieron en la literatura matemática más de un siglo
antes de las matrices. Algunos grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX ayudaron
a desarrollar las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadores
creen que la teoría de los determinantes tuvo su origen con el matemático alemán
Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716), quien junto a Newton fue el coinventor del
cálculo. Leibniz uso los determinantes en 1693 en referencia de los sistemas de
ecuaciones simultáneas. Sin embargo, algunos piensan que un matemático japonés,
Seki Kowa, hizo lo mismo casi 10 años antes.
El contribuyente más prolífico a la teoría de determinantes fue el matemático
francés Louis Cauchy (1789-1857), por ejemplo, escribió una memoria de 84 páginas en
1812,
que
contenía
la
primera
demostración
de
la
propiedad
"./>aE † F b œ ./>aEb † ./>aF b".
Carl Gustav Jacob Jacobi
Charles Lutwidge Dodgson
Un segundo contribuyente (después de Cauchy) fue el matemático alemán Carl
Gustav Jacob Jacobi (1804 - 1851). Fue con él que la palabra "determinante" ganó su
aceptación final.
Por último, ninguna historia estaría completa sin citar el libro An
Elementary Theory of Determinats, escrito en 1867 por Charles Lutwidge Dodgson,
(1832-1898). En este libro Dodgson da las condiciones bajo las cuales los sistemas de
ecuaciones tienen soluciones no triviales. Charles Dodgson es más conocido por su
pseudónimo de escritor "Lewis Carroll". Con ese nombre publicó su famoso libro Alicia
en el País de las Maravillas.
22
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Determinantes.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
A toda matriz cuadrada E, le corresponde un único número real llamado determinante de E y
que se denota como ¸E¸ o ./>aEb.
Así,
Î +""
Ð +
Si E œ Ð #"
ÞÞÞ
Ï+
8"
+"#
+##
ÞÞÞ
+8#
â
ÞÞÞ +"8 Ñ
â +""
â
ÞÞÞ +#8 Ó
â+
, entonces ¸E¸ œ â #"
Ó
ÞÞÞ ÞÞÞ
â ÞÞÞ
â
ÞÞÞ +88 Ò
â +8"
+"#
+##
ÞÞÞ
+8#
â
ÞÞÞ +"8 â
â
ÞÞÞ +#8 â
â
ÞÞÞ ÞÞÞ â
â
ÞÞÞ +88 â
Observación
No debes confundir una
matriz con un
determinante, no es lo
mismo.
Curiosidad:
La función determinante apareció por primera vez en
la investigación de los sistemas de ecuaciones
lineales. Veremos que es una herramienta
indispensable en el estudio y obtención de
propiedades de las matrices cuadradas.
Cálculo del Determinante de una Matriz E8 .
i)
Si E "‚" = Ð+"" Ñ ß entonces el ./> Ð E Ñ œ +""
ii) En general, el determinante de E puede calcularse con respecto a cualquier fila o columna, con la
fórmula que damos a continuación.
3 5
./> Ð E Ñ œ ! Ð  " Ñ + 3 5 ./> Ð E 3 5 Ñ , E es una matriz de orden mayor que 1
8
5œ"
y E 35 es una submatriz
+
- En particular, si E es una matriz cuadrada de orden 2, es decir, E œ Œ
! Ð  " Ñ " 5 + " 5 ./> Ð E "5 Ñ
#
./> E œ
5œ "
./> E œ
o bien,
Ð  "Ñ
" "
+†.
 Ð  "Ñ
" #
,†-
./> E œ + † .  , † -
23
,
, se tiene que:
.
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Si E œ Œ
Ejemplo:
./>aEb œ º
"
$
#
, entonces
%
#
œ  " † %  # † $ œ  %  ' œ  "!
%º
"
$
- Si la matriz es cuadrada de orden 3, es decir,
Eœ
Î +""
+#"
Ï+
$"
+"$ Ñ
+#$ , se tiene que:
+$$$ Ò
+"#
+##
+$#
" 5
./> Ð E Ñ œ ! Ð  " Ñ + " 5 ./> Ð E " 5 Ñ
3
5œ"
Ejemplo:
â
â"
â
./>ÐEÑ œ â $
â
â$
Si E œ
#
%
"
Î"
$
Ï$
#
%
"
â
"â
""
%
â
# â œ Ð  "Ñ † " † º
"
â
!â
"Ñ
# , entonces
!Ò
"#
#
$
 Ð  "Ñ † a  #b † º
!º
$
"$
#
$
 Ð  "Ñ "º
!º
$
Resolviendo , se tiene: l E l œ  #$
Ejercicios:
Encuentra el determinante de la matriz E que a continuación se presentan.
1)
"
Si E œ Œ
#
3)
Si E œ
Î"
!
Ï$
"
 "
#
#
"
"Ñ
"
# Ò
2)
+
Si E œ Œ
,
4)
Si E œ
Respuestas:
1)
3)
lEl œ "
lEl œ "&
2)
4)
lEl œ  + #  , #
lEl œ "'
Sabías que el matemático francés Pièrre
Frederick Sarrus (1798 – 1861) ideó un
método para encontrar el determinante de
una matriz de orden 3.
24
VIRGINIO GOMEZ
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Î #
#
Ï #
,
+
"
!
%
"Ñ
"
"Ò
%
"º
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Método de Sarrus.
Sea la matriz de orden 3:
E œ
Î + ""
+ #"
Ï+
$"
+ "#
+ ##
+ $#
+ "$ Ñ
+ #$
+ $$ Ò
VIRGINIO GOMEZ
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Para calcular su determinante, según este método, se procede de la siguiente manera:
1) Se repiten hacia el lado derecho de la última columna del determinante asociado, las dos primeras
columnas del lado izquierdo.
â
â + ""
â
l E l = â + #"
â
â + $"
2)
+ "#
+ ##
+ $#
â
+ "$ â + ""
â
+ #$ â + #"
â
+ $$ â + $"
+ "#
+ ##
+ $#
Se suman los productos obtenidos al multiplicar los elementos de las diagonales principales, y se
restan los tres productos de los elementos de las diagonales secundarias.
l E l =+"" Þ+## Þ+$$  +"# Þ+#$ Þ+$"  +"$ Þ+#" Þ+$#  +"# Þ+#" Þ+$$  +"" Þ+#$ Þ+$#  +"$ Þ+## Þ+ $"
Ejemplo:
Î#
Si E œ "
Ï%
#Ñ
#
, entonces
" Ò
$
!
#
â
â#
â
l El= â"
â
â%
$
!
#
â
 #â#
â
# â"
â
" â%
$
! œ
#
./>aEb œ a # † ! † "  $ † # † %  Ð  #Ñ † " † #b  Ð$ † " † "  # † # † #  a  #b † ! † %Ñ œ *
Ejercicios:
Encuentra el determinante de la matriz dada, usando el método de Sarrus.
1)
Eœ
Î"
"
Ï"
2)
Fœ
Î #
!
Ï $
"
#
%
3)
Gœ
Î +
+
Ï +
,
,
,
#
%
!
$Ñ
&
$Ò
$Ñ
"
"Ò
+ Ñ
+
+Ò
Respuestas:
1)
2)
3)
l El=  %
l E l œ  #(
l El œ !
25
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Desafío:
Aplica todo lo anterior, calcula el determinante de la matriz de orden 4:
Î "
Ð %
E œÐ
#
Ï %
Respuesta:
#
!
$
#
"
"
"
"
$ Ñ
# Ó
Ó
$
 $Ò
./> Ð E Ñ œ  "$
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Es evidente que el cálculo del determinante de una matriz de orden 8 puede ser tedioso, como
habrás podido ya observar en el cálculo del determinante de orden % ‚ %ß imagínese para el caso de
determinantes de orden & ‚ & y así sucesivamente. Sin embargo, existen algunas matrices a las cuales es
muy sencillo calcular sus determinantes.
1)
Sea E 8 una matriz triangular inferior o superior. Entonces
./> ÐEÑ œ + "" † + ## † + $$ † ..Þ † + 88
Esto es, el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus componentes en la
diagonal.
Ejemplo:
Î #
Ð !
Sea E œ Ð
!
Ï !
$
$
!
!
!
#
"
!
" Ñ
% Ó
Ó
$
 #Ò
entonces, E es una matriz triangular superior, por lo tanto:
./> Ð EÑ œ  # † $ † " †  # œ "#
2)
Si la primera columna o fila de una matriz tiene todos sus elementos nulos excepto el del lugar
+"" , su determinante es:
â
â
â +"" +"# +"$ ÞÞÞ +"8 â
â
â
â
â
â +## +#$ ÞÞÞ +#8 â
â ! +## +#$ ÞÞÞ +#8 â
â
â
+$$ ÞÞÞ +$8 â
â
â
â+
â ! +$# +$$ ÞÞÞ +$8 â œ +"" â $#
â
â
â
â ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ â
â ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ â
â
â
â
â
â +8# +8$ ÞÞÞ +88 â
â ! +8# +8$ ÞÞÞ +88 â
Ejemplo:
$
% Ñ
Î#  "
&
(
#Ó
Ð !
Si E œ Ð
, entonces
Ó
!
#
$
#
Ï!
'
&
"Ò
â
â&
â
./> ÐEÑ œ # † â #
â
â'
â
#â
â
# â œ # † a  (b œ "%
â
"â
(
$
&
26
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Propiedades De Los Determinantes.
Sea E una matriz cuadrada de orden 8.
1)
Si en un determinante todos los elementos de una fila o columna son ceros, entonces el
determinante es cero.
â
â
â+ , - â
â
â
â. / 0 â œ !
â
â
â! ! !â
Ejercicio:
â
â&
â
â!
â
â$
3)
â
â&
â
â"
â
â$
Verifica la propiedad anterior.
â
#â
â
#⠜
â
(â
"
"!
"!
â
#â
â
!⠜
â
(â
ii)
â
â &
â
â "
â
â #
"
"!
#
â
$ â
â
"! ⠜
â
( â
Si en un determinante se intercambian dos filas o dos columnas, se obtiene un determinante que es
el opuesto aditivo del original.
â
â+
â
â.
â
â1
Ejercicio:
i)
"
!
"!
â
-â
â
0âœ!
â
3â
>
El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. Es decir, l E l œ ¹E ¹. Esto es:
â
â â
â
â+ , - â â+ . 1 â
â
â â
â
â. / 0 â œ â, / 2â
â
â â
â
â1 2 3 â â- 0 3 â
Ejercicio:
i)
â
â! ,
â
â! /
â
â! 2
o
Verifica la propiedad anterior.
i)
2)
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
â
â&
â
â#
â
â(
,
/
2
â
â
-â
â.
â
â
0 â œ â+
â
â
3â
â1
/
,
2
â
0â
â
-â
â
3â
o
Verifica la propiedad anterior.
$
%
'
â
 "â
â
 #â œ
â
" â
ii)
27
â
â+
â
â.
â
â1
â
â#
â
â&
â
â(
,
/
2
%
$
'
â
â
-â
â+
â
â
0 â œ  â.
â
â
3â
â1
â
 #â
â
 "â œ
â
" â
0
3
â
,â
â
/â
â
2â
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
Si los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican por un número real, el
valor de este determinante es equivalente al producto del número real por el valor del determinante
original. Es decir:
a: − ‘, se tiene que:
â
â+
â
: †â.
â
â1
Ejercicio:
â
â%
â
& †â#
â
â!
â
â #!
â
â #
â
â !
ii)
$
!
$
,
/
:2
â â
- â â+
â â
0 â œ â.
â â
:5 â â 1
:,
:/
:2
â
-â
â
0â
â
3â
â
" â
â
 "â œ
â
 #â
â
& â
â
"â œ
â
#â
"&
!
$
Si los correspondientes coeficientes de dos filas (o dos columnas) son iguales o están en una razón
constante, el determinante es cero. Es decir:
â
â+
â
â+
â
â1
,
,
2
Ejercicio:
â
-â
â
-⠜ !
â
3â
â
â+
â
â.
â
â1
o
â
,â
â
/âœ!
â
2â
,
/
2
Calcula los determinantes.
â
â'
â
â(
â
â)
i)
6)
â â
-â â +
â â
0âœâ .
â â
3 â â :1
Verifica la propiedad anterior
i)
5)
,
/
2
VIRGINIO GOMEZ
4)
#
$
&
â
#â
â
$⠜
â
&â
â
â#
â
â#
â
â"
ii)
â
â +
â
â .
â
â $+
o
$
$
&
,
/
$,
â
- â
â
0 âœ!
â
$- â
â
%â
â
%⠜
â
(â
Un determinante se puede expresar como suma de dos determinantes descomponiendo como
sumandos los elementos de una fila o columna cualquiera, como se indica a continuación.
â
â+
â
â.
â
â1
,
/
2
â â
-â â
+
â â
0 â œ â ."  . #
â â
3â â
1
â
â+
â
â.
â
â1
,
/
2
â â
â â+
â â
0"  0# â œ â . "
â â
3
â â 1
,
/"  /#
2
â â
- â â +"  +#
â â
0 â œ â ."  . #
â â
3 â â 1"  1 #
,
/
2
â â
- â â +"
â â
0 â œ â ."
â â
3 â â 1"
28
,
/
2
,
/"
2
â â
- â â+
â â
0" â  â .#
â â
3 â â 1
â â
- â â +#
â â
0 â  â .#
â â
3 â â 1#
,
/
2
,
/#
2
â
-â
â
0â
â
3â
â
- â
â
0# â
â
3 â
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Ejercicio:
â
â%
â
i) â &
â
â(
$
!
"
â
â& '
â
ii) â ) "!
â
â" !
7)
â â
" â â$"
â â
 #â œ â$#
â â
# â â'"
$
!
"
$
!
"
â â
â â
( â â &
'
( â â& '
â â
â â
"# â œ â %  % '  % "!  # â œ â % '
â â
â â
"â â "
!
" â â" !
â â
" â â"
â â
 #â â#
â â
# â â"
â
" â
â
 #â
â
# â
$
!
"
â â
( â â& '
â â
"! â  â % %
â â
 "â â" !
â
( â
â
# â
â
 "â
Si se sustituye cualquier fila o columna por la suma de ella más 5 veces otra fila
o columna, el determinante de la matriz no cambia.
â
â+
â
â.
â
â1
Ejemplo:
â
â"
â
â#
â
â(
8)
â â
" â â$
â â
 #â œ â$
â â
# â â'
â
â
- â Š0 $ œ$ 0 $  0 #‹ â +
â
â
0 âœ
â .
â
â
3â
â $1  .
,
/
2
â
- â
â
0 â
â
$3  0 â
,
/
$2  /
Si a la fila 2 le sumamos 2 veces la fila 1 (0 # œ 0#  #0" ), obtenemos:
â
 "â
â
 "â œ  "
â
" â
$
%
'
;
â
â"
â
â%
â
â(
â
 "â
â
 $â œ  "
â
" â
$
"!
'
lM8l œ "
Ejercicios:
1)
Encuentre el determinante de las siguientes matrices usando propiedades
Î "1
Ð "
a) E œ Ð
#
Ï %
2)
Sea
#
&
$
$
$
#
%
!
%Ñ
'Ó
Ó b)
'
)Ò
Î "
Ð "
E œ Ð
!
Ï #
!
#
!
!
"
!
"
"
Î&
Ð !
F œ Ð
%
Ï#
!Ñ
Î!
"Ó
Ð !
F œ Ð
Ó
"
#
Ï!
!Ò
!
"
!
"
"
"
#
$
"
!
!
!
Calcula ./>cÐ E † F Ñ>  M% dß M% œ Identidad de orden %
3)
Encuentra el valor de 5 si se cumple la siguiente igualdad
â
â5  #
â
â !
â
â "
%
"
!
â
â
#& â
â5  &
â
â
! â œ â "
â
â
5 %â
â "
$
5#
!
â
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â
#â
â
"â
29
#
#
&
%
$Ñ
$Ó
Ó
'
&Ò
" Ñ
 "Ó
Ó
"
" Ò
VIRGINIO GOMEZ
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4)
5)
Prueba que
â
â"
â
â"
â
â"
+
,
-
â
,-â
â
- +â œ !
â
+,â
Calcula:
â
â"
â
â#
â
G œ â!
â
â!
â
â!
$
%
!
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!
&
#
"
&
#
(
%
#
'
$
â
*â
â
#â
â
$â
â
#â
â
"â
Respuestas:
1)
a) ./> Ð E Ñ = (!#
b) ./> Ð FÑ œ  ##!
2)
ÔÎ "
ÖÐ !
./>ÖÐ
"
ÕÏ #
3)
5 œ#
5)
./>ÐGÑ œ  "%
!
#
"
!
#
"
"
#
#Ñ
×
! ÓÙ
 M% Ù œ !
Ó
#
Ø
%Ò
Aplicaciones De Los Determinantes.
Menor de una Matriz.
Se llama Menor del elemento +34 de la matriz E a la submatriz Q34 .
Ejercicios:
Calcula los determinantes para la siguiente matriz E œ
a)
lQ "$ l œ
b)
lQ ## l œ
Respuestas:
a)
%
b)
30
!
Î"
"
Ï"
#
%
!
$Ñ
&
$Ò
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Cofactor.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
34
Sea E una matriz de orden 7 ‚ 8, el cofactor 34 de E, se determina por E3 4 œ Ð  "Ñ lQ34 l
Ejemplo:
Si E œ
E $ # œ Ð  "Ñ
Ejercicios:
1)
3)
$#
Î#
%
Ï"
"
&
!
$ Ñ
#
, entonces
"Ò
¸Q $ # ¸ œ  " º #
%
Sea la matriz E œ
Î#
%
Ï"
$
œ)
#º
"
&
!
$ Ñ
#
, determina:
"Ò
2)
4)
E $$ œ
E $# œ
Respuestas:
1)
Ð  "Ñ
$$
2)
Ð  "Ñ
"#
3)
4)
)
&
#
º%
%
º"
E "# œ
E "" œ
"
œ'
&º
#
œ'
"º
Adjunta de una Matriz.
Dada una matriz E cuadrada de orden 8, se define la matriz adjunta de E la cual se escribe
+.4ÐEÑß como la traspuesta de la matriz de cofactores F de orden 8 ‚ 8Þ
Veamos como se determina:
Sea F œ E34 la matriz de cofactores de Eß entonces
E
Î ""
E
Ð
#"
Ð
Þ
FœÐ
Ð
Þ
ÏE
8"
E "#
E ##
Þ
Þ
E
8#
31
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ E "8
Ñ
Þ E #8 Ó
Þ
Þ Ó
Ó
Þ
Þ Ó
Þ E 88 Ò
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
ÐFÑ >
Ejemplo:
Si E œ
Î#
!
Ï$
%
"
&
Î E ""
Ð E "#
Ð
œÐ Þ
Ð
Þ
Ï E"8
E #"
E ##
Þ
Þ
E#8
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ E8" Ñ
Þ E8# Ó
Ó
Þ
Þ Ó
œ +.4 ÐEÑ
Ó
Þ
Þ
Þ E88 Ò
$ Ñ
 " , entonces la +.4 ÐEÑ es:
( Ò
"
E "" œ º
&
"
œ "#
( º
E "# œ º
"
œ  $; en forma análoga (verifícalo), tenemos que:
( º
!
$
E "$ œ  $ ß
E #" œ  "$ ß
E #$ œ # ß
E ## œ &
E $" œ  ( ß
E $# œ #
E $$ œ #
VIRGINIO GOMEZ
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$ $Ñ
Î "#
 "$
&
#
ß que es la matriz de cofactores, de manera que la traspuesta de
Ï (
#
# Ò
F es la adjunta de E. Esto es:
 "$  ( Ñ
Î "#
$
&
#
+.4 aEb œ
Ï $
#
# Ò
Así F œ
Ejercicios:
1)
3)
Eœ
Determina la matriz adjunta para las siguientes matrices.
Î "
"
Ï !
+
E œ Œ
+
#
#
#
$ Ñ
%
 #Ò
,
,
2)
$
Eœ Œ
%
#
&
4)
Î "
Ð $
Eœ Ð
#
Ï "
&
Œ %
#
$ 
$
 "#
"!
'
!
#
#
"
Respuestas:
1)
Î  "#
#
Ï #
3)
,
Œ+
"!
#
#
,
+ 
# Ñ
(
%Ò
2)
4)
Î !
Ð "
Ð
!
Ï #
32
"
"
"
#
!
#
$
$
#Ñ
#Ó
Ó
$
# Ò
#Ñ
'Ó
Ó
&
Ò
$
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Matriz Inversa.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Dada una matriz E de orden 8 y ./>ÐEÑ Á !. Existe la matriz E" , denominada inversa de E,
que cumple lo siguiente:
E8 † E8" œ E8" † E8 œ M8
Existen diversos métodos que permiten encontrar la amtriz inversa. En este curso estudiaremos el
método de la matriz equivalente y el de la matriz adjunta.
Método 1: Matriz Equivalente.
Una forma de encontrar la inversa de una matriz es a través de OEÞ Se trabaja con una matriz
aumentada. A la izquierda se coloca la matriz a la cual se le quiere determinar la inversa y a la derecha, la
matriz Idéntidad, y a través de OE hechas sobre toda la matriz, se transforma la matriz de la izquierda en la
Identidad y la matriz que resulta a la derecha, es la matriz inversa buscada.
Î+
Ð .
Ð
ÐEß M )=Ð 2
Ð
Þ
ÏB
,
/
3
Þ
C
Þ
0
4
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ
l
l
l
l
l
"
!
!
Þ
!
!
"
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ
"
Þ
Þ
!
Þ
Þ
"
Þ
!Ñ
Î" ! Þ
! ÓÐ ! " Þ
ÓÐ
! ÓÐ
Ä ! ! "
ÓÐ
!
Þ Þ Þ
Ï! ! Þ
"Ò
!
!
Þ
Þ
"
l +‡
l .‡
l 2‡
l Þ
l B‡
,‡
/‡
3‡
Þ
C‡
El * indica un término distinto del dado inicialmente
Ejemplo:
E œ
Determina, si es que existe, la matriz inversa de E, haciendo OE:
Î"
#
Ï!
!
"
#
"Ñ
"
" Ò
Desarrollo:
1°
Como ./>aEb Á ! (verifícalo), se tiene que existe E" .
2°
Para determinar E" , trabajamos con el método de la matriz equivalente. Esto es:
Î"
(Eß M ) = #
Ï!
!
"
#
 "l "
 "l !
" l !
!
"
!
!Ñ
Î"
!
!
0 # œ 0 # # 0 "
" Ò     →Ï !
Î"
!
0 $ œ 0 $  #0 #
     →Ï !
!
"
!
33
"
"
"
!
"
#
 "l
"l
"l
| "
|#
| %
"
#
!
!
"
#
!Ñ
!
"Ò
!
"
!
!Ñ
!
"Ò
-‡ Þ
Þ Þ
Þ Þ
Þ Þ
Þ Þ
ÞÑ
ÞÓ
Ó
ÞÓ
Ó
Þ
ÞÒ
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Î"
0$œ  0$ !
   →Ï !
0" œ0" 0$
0 # œ 0 #  0$
Por lo tanto:
E
"
Î"
!
Ï!
œ
!
"
!
!
"
!
!l
!l
"l
Î $
#
Ï %
" l
" l
" l
$
#
%
"
#
%
"Ñ
"
"Ò
#
"
#
"Ñ
"
"Ò
#
"
#
No es necesario comprobar, pero si multiplicamos E † E
Eœ
Î "
"
Ï $
"
#
"
!Ñ
"
"Ò
c)
Î !
#
Eœ
Ï #
"
"
"
"Ñ
"
"Ò
Respuestas:
c)
"
œ M$
Determina E , si es que existe, para cada matriz dada, usando OE.
a)
E
"
"
Ejercicios:
a)
! Ñ
!
"Ò
!
"
#
œ
Î "
#
Ï &
"
"
%
" Ñ
"
$Ò
No tiene matriz Inversa
Î "
#
Ï "
b)
Eœ
d)
Î"
Ð #
EœÐ
#
Ï"
b)
E
"
E
"
d)
Método 2: Matriz Adjunta.
œ
"Ñ
"
!Ò
#
!
"
!
"
"
"
Î  "Î$
 "Î$
Ï #Î$
Î "
Ð !
œÐ
"
Ï "
"
$
!
#
 "Ñ
"Ó
Ó
#
 "Ò
"Î$
"Î$
"Î$
$
%
%
"
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
 #Î$ Ñ
"Î$
%Î$ Ò
"
"
"
!
% Ñ
' Ó
Ó
&
"Ò
Otro método para encontrar la matriz inversa de una matriz, es a través de la matriz adjunta y
usando la siguiente fórmula:
E" œ
"
kEk
† +.4aEb
34
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Hallemos la Inversa de E, si existeß por medio de la matriz adjunta, sabiendo que E
esta dada de la siguiente manera:
E œ
Î "
!
Ï #
" Ñ
#
"Ò
#
$
!
Desarrollo:
1°
Como el lE l =  11 Á !, tenemos que existe E" .
2°
Determinaremos la matriz adjunta:
E.4 Ð E Ñ œ Ò E 3 4 Ó
Î$
E.4aEb œ #
Ï(
3°
>
$
#
Î
º !
Ð

"º
Ð
Ð
#
"
œ ÐÐ  "º
!

"º
Ð
Ð
#
"
Ï º$
#º
%
"
#
'Ñ
Î $
%
%
œ
Ï '
$Ò
>
Por último, E" œ
E
"
"
† +.4aEb
kEk
Î $
"
œ
† %
 "" Ï
'
#
"
%
 "º
!
#
"
º #
"
 "º
!
#
"
%
( Ñ
#
$Ò
( Ñ Î  $Î""
# œ
%Î""
 $ Ò Ï 'Î""
$
&
#
'Ñ
$
"Ò
Î+
2) E œ !
Ï,
Respuestas:
"
 #Î""
 "Î""
%Î""
 (Î"" Ñ
#Î""
$Î"" Ò
Determina E a través de la +.4ÐEÑ, si es posible.
Î#
1) E œ "
Ï%
E
>
$ Ñ
º
Ó
!
Ó
"
# Ó
Ó
 "º
# ! ºÓ
Ó
Ó
"
#
º!
º
$ Ò
!
º #
"
Ejercicios:
1)
#
"º
"
"º
"
#º
œ
Î  "Î(
 "Î(
Ï ##Î((
"&Î((
##Î((
 "'Î((
$Î"" Ñ
!
 "Î"" Ò
35
!
"
!
,Ñ
!
+Ò
Î$
Ð "
3) E œ Ð
"
Ï"
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplo:
"
$
"
"
"
"
$
"
"Ñ
"Ó
Ó
"
$Ò
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
2)
3)
E
"
E
"
œ
Î +
"
!
+ #  ,# Ï  ,
Î &Î"#
Ð  "Î"#
œ Ð
 "Î"#
Ï  "Î"#
!
+# ,#
!
 "Î"#
&Î"#
 "Î"#
 "Î"#
,Ñ
!
+ Ò
 "Î"#
 "Î"#
&Î"#
 "Î"#
 "Î"# Ñ
 "Î"# Ó
Ó
 "Î"#
Ò
&Î"#
36
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Sistemas De Ecuaciones Lineales.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
________________________________________________________________________________
Johann Carl Friedrich Gauss
La teoría de las ecuaciones lineales juega un papel importante y motivador en el
ámbito del álgebra lineal. Muchos problemas de álgebra lineal son equivalentes al
estudio de un sistema de ecuaciones lineales, como por ejemplo hallar el núcleo de una
aplicación lineal o caracterizar el subespacio generado por un conjunto de vectores.
Los fenómenos lineales son aquellos en que, al duplicar o triplicar la causa, se
duplica o triplica el efecto, y al sumar las causas, se suman los efectos. Muchos
fenómenos naturales y sociales tienen comportamientos muy similares al lineal; por ello
se pueden estudiar, con una aproximación aceptable, considerándolos como tales.
Se cree que hacia el 1100 AC, los chinos ya se plantearon el problema de cómo
resolver dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Y en Japón, el matemático Seki
Kowa (1642-1708) hizo un aporte igual o mejor en esta materia que el matemático
inglés Isaac Newton (1642-1727). Poco después de que Seki Kowa hubiera previsto la
solución de un sistema de manera hipotética, en 1693, Leibniz encontró un método para
resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas, comparable al creado por los
chinos. Este método fue aplicada en 1750 por Cramer (matemático Suizo, 1704-1752) y
simplificado en 1764 por E. Bézout (matemático francés 1730-1763). Sin embargo, el
matemático que hizo mayores contribuciones en este tema fue el alemán Johann Carl
Friedrich Gauss (1777-1855). Incluso, dos métodos muy utilizados para resolver
sistemas de ecuaciones llevan su nombre.
En esta sección veremos como aplicar todo lo aprendido anteriormente en la
solución de sistemas de ecuaciones lineales. Veremos detalladamente el algoritmo de
eliminación Gaussiana y de Gauss-Jordan, analizaremos las soluciones de dichos
sistemas y daremos una interpretación geométrica de ellas.
37
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En esta sección describiremos tres métodos para encontrar todas las soluciones (si existen) de un
sistema de 7 ecuaciones lineales con 8 incógnitas. Analizaremos sistemas de ecuaciones lineales que no
poseen solución, que poseen solución única o infinitas soluciones.
Comenzaremos con algunas definiciones que son escenciales para avanzar en este tema.
Definición: Una Ecuación Lineal o de primer grado en 8 incógnitas B" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 es una expresión de
la forma:
+" B"  +# B#  +$ B$  ÞÞÞ  +8 B8 œ ,
..... (1)
donde +" ß +# ß +$ ß ÞÞÞß +8 ß , son números dados en algún conjunto numérico.
+" ß +# ß +$ ß ÞÞÞß +8 se llaman coeficientes de la ecuación y , el término independiente. Se llama
solución de la ecuación a toda 8-upla de números que reemplazados ordenadamente en lugar de las
incógnitas B" , B# , B$ , ÞÞÞ , B8 convierten a la expresión (1) en una identidad.
Se dice que las soluciones satisfacen la ecuación.
Por ejemplo, dada la ecuación #B"  $B#  È#B$  B% œ (, dos soluciones de la misma son:
"
Š"ß  "ß È#ß !‹ y Œ  #ß ß !ß  "#.
$
Estudiaremos ahora los sistemas de ecuaciones y su resolución.
Definición: Se denomina sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de dos o más ecuaciones lineales
con dos o más incógnitas.
Ejemplo:
Ú
+"" B"  +"# B#  +"$ B$  ÞÞÞ  +"8 B8 œ ,"
Ý
Ý
Ý
Ý +#" B"  +## B#  +#$ B$  ÞÞÞ  +#8 B8 œ , #
Û ....................................................................
Ý
Ý
....................................................................
Ý
Ý
Ü +7" B"  +7# B#  +7$ B$  ÞÞÞ  +78 B8 œ , 7
Observación:
Con el sistema anterior se pueden formar tres matrices:
i) Una matriz de coeficientes numéricos:
Î + ""
Ð + #"
Ð
E œ Ð + $"
Ð
Þ
Ï + 7"
+ "#
+ ##
+ $#
Þ
+ 7#
38
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ + "8 Ñ
Þ + #8 Ó
Ó
Þ + $8 Ó
Ó
Þ
Þ
Þ + 78 Ò
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ii) Una matriz de incógnitas:
Î B" Ñ
Ð B# Ó
\œÐ
Ó
Þ
ÏB Ò
8
iii) Una matriz de términos independientes:
Î ," Ñ
Ð , Ó
FœÐ # Ó
Þ
Ï, Ò
8
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Utilizando esta tres matrices, es posible escribir el sistema de ecuaciones lineales de la forma
siguiente:
E†\ œF
Es decir,
Î + ""
Ð + #"
Ð
Ð + $"
Ð
Þ
Ï + 7"
+ "#
+ ##
+ $#
Þ
+ 7#
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ + "8 Ñ
Î B" Ñ Î ," Ñ
Þ + #8 Ó
Ó
Ð B # ÓÐ , # Ó
Þ + $8 Ó
†Ð
œÐ
Ó
Ó
Þ
Ó Þ
Þ
Þ
ÏB Ò Ï, Ò
8
8
Þ + 78 Ò
Ahora bien, si juntamos la matriz E y la matriz F , formamos una nueva matriz llamada Matriz
Ampliada y denotada por ÐEß FÑ.
Î + ""
Ð + #"
Ð
ÐE ß FÑ œ Ð Þ
Ð
Þ
Ï+
7"
+ "#
+ ##
Þ
Þ
+ 7#
+ "$
+ #$
Þ
Þ
+ 7$
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ
l ,"
l ,#
l Þ
l Þ
l ,8
Ñ
Ó
Ó
Ó
Ó
Ò
Ejercicios: Dado los siguientes sistemas de ecuaciones, escribe las matrices: Eß Fß \ß ÐEß FÑ.
1)
B"  B#  B $ œ "
 B" 
B$ œ %
# B"  #B#  %B$ œ  #
2)
B#  B% œ "
#B "  B $ œ !
B$  %B% œ $
39
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Respuestas:
1)
2)
E œ
Î
"
"
Ï #
"
!
#
ÐEß FÑ œ
Î "
"
Ï #
Î!
E œ #
Ï!
"
!
!
!
"
"
ÐEß FÑ œ
Î!
#
Ï!
"
!
!
"Ñ
Î " Ñ
ÎB"Ñ
B#
"
%
ß F œ
ß \ œ
Ï #Ò
ÏB Ò
%Ò
$
"
!
#
"
"
%
" Ñ
!
%Ò
!
"
"
l
l
l
" Ñ
%
#Ò
Î"Ñ
ß Fœ !
Ï$Ò
"
!
%
Î B" Ñ
Ð B Ó
ß \ œÐ #Ó
B$
ÏB Ò
%
l "Ñ
l !
l $Ò
Métodos De Resolución De Sistemas De Ecuaciones.
Método 1: REGLA DE CRAMER.
GABRIEL CRAMER
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Sea E una matriz de orden 8. Entonces la sólución única al sistema E † \ œ F está dado por
B" œ
Donde:
H"
H
B# œ
H#
H
B3 œ
H3
H ß
ÞÞÞÞÞÞ , B 8 œ
H8
H
H es el determinante de E
H3 es el determinante de sustituir la columna 3 por la matriz de términos independientes,
es decir, la matriz F .
¡¡IMPORTANTE!!
Para resolver un sistema
usando este método se requiere que det(A ) ≠ 0
40
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Ejemplo:
Para mostrar la aplicación de este método, vamos a resolver el siguiente sistema.
#B"  B#  $ B $ œ "
 B"  &B#  B$ œ %
$ B"  #B#  %B$ œ  "
1°
Identifiquemos cada una de las matrices del sistema.
Eœ
2°
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Î #
"
Ï $
"
&
#
$Ñ
Î " Ñ
"
%
ß Fœ
ß
Ï "Ò
%Ò
\œ
ÎB" Ñ
B#
ÏB Ò
$
Verifiquemos que el determinante de E sea distinto de cero. En efecto:
H œ ./>aEb
â
â #
â
œâ "
â
â $
"
&
#
â
$â #
â
" â "
â
%â $
"
&
#
œ a  %!  $  'b  a  %&  %  %b œ # Á !
Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer.
3°
4°
Calculemos el valor de las incógnitas:
B" œ
â "
â
â
â %
â
â "
B# œ
â #
â
â
â "
â
â $
B$ œ
â #
â
â
â "
â
â $
" $ ââ
â
&
" â
â
# % â
œ
$ ââ
â
" â
â
% â
'
œ $
#
œ
" ââ
â
% â
â
" â
#
œ "
#
œ
%
œ #
#
#
"
%
"
#
"
&
#
#
Î B" Ñ Î $ Ñ
B# œ "
La solución del sistema está dada por la matriz \ œ
ÏB Ò Ï#Ò
$
Ejercicios:
Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas usando la Regla de Cramer.
1)
#B"  B# œ $
$B"  #B# œ &
2)
# B "  % B #  'B $ œ ")
% B "  &B #  ' B $ œ #%
$B "  B #  # B $ œ %
3)
#B "  $ B #  B $ œ &
41
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 B"  #B#  $B$ œ !
%B"  B#  B$ œ  "
4)
B"  $B#  B$ œ %
&B"  B# œ $
#B"  'B#  #B$ œ )
Respuestas:
1)
2)
3)
4)
""
"
B# œ
(
(
B" œ %
B# œ #
"
&
$
B" œ
B# œ
B$ œ 
%
%
%
./>ÐEÑ œ !ß no se puede resolver por Cramer.
B" œ
B$ œ $
¡¡CUIDADO!! Esta Regla tiene dos limitaciones:
1° La matriz de coeficientes numéricos deber ser cuadrada
ya que se calcula el determinante de ella y, además, debe
ser distinto de cero.
2° Sirve sólo cuando el sistema tiene una única solución.
Método 2: ECUACIÓN MATRICIAL
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Otra forma de resolver un sistema de ecuaciones es a través de la siguiente ecuación matricial.
ŠE † E‹ † \ œ E † F
"
"
M8 †\ œE
"
\œE
Î multiplicando por la matriz inversa a la izquierda ŠE ‹
"
E†\ œF
†F
"
†F
Es decir, para resolver un sistema de ecuaciones se debe encontrar la matriz inversa de Eß si es
que existe, la cual se multiplica por la matriz F .
Ejemplo:
Para mostrar la aplicación de este método, vamos a resolver el siguiente sistema.
B"  B #  B $ œ #
#B"  $B#  B$ œ $
 #B"  #B#  B$ œ  #
42
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1°
Identifiquemos cada una de las matrices del sistema.
E œ
2°
"
$
#
â
" â "
â
"â #
â
" â #
"
" º
" "
º
# "º
"
"
$ "º
$
#
Î "
"
+.4aEb œ
Ï #
º
#
"
#
" º
"
"
º  # "º
"
"
º
# "º
$
$ Ñ
# ºÓ
Ó
"
" Ó
Ó
º
 # #ºÓ
Ó
Ó
"
"
º#  $º Ò
#
º #
#Ñ
Î "
%
!
œ
Ï #
 &Ò
>
!
$
$
"
$
%
>
# Ñ
$
&Ò
Por lo tanto, la matriz inversa queda determinada como sigue:
"
"
" Î
!
+.4aEb œ
kEk
 $Ï
#
E
"
œ
Î "Î$
!
Ï #Î$
 "Î$
"
%Î$
"
$
%
# Ñ
$
&Ò
 #Î$ Ñ
"
&Î$ Ò
Luego, \ œ E" † F
\œ
6°
Î B" Ñ
B#
ÏB Ò
"
 $ œ  $  #  %  a'  #  #b œ  $ Á !
#
E" œ
5°
\œ
Como verificamos que el determinante es distinto de cero, buscaremos la matriz inversa. Para
ello, utilizaremos la matriz adjunta.
Î
Ð º
Ð
Ð
+.4aEb œ ÐÐ
Ð
Ð
Ϻ
4°
" Ñ
Î # Ñ
" ß F œ
$
ß
Ï #Ò
" Ò
"
$
#
Se dice que existe la matriz inversa, sí y sólo si, k E k Á !.
Verifiquemos que el determinante sea distinto de cero.
â
â "
â
kEk œ â #
â
â #
3°
Î "
#
Ï #
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Î "Î$
!
Ï #Î$
 "Î$
"
%Î$
 #Î$ Ñ Î # Ñ Î " Ñ
"
$
"
Þ
œ
&Î$ Ò Ï  # Ò Ï # Ò
La solución del sistema está dada por la matriz \ œ
43
Î B" Ñ Î " Ñ
B# œ
"
ÏB Ò Ï # Ò
$
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Ejercicios:
Resuelve los siguientes sistema usando la ecuación matricial.
1)
B"  #B#  B$ œ  $
2 B"  &B#  B$ œ  "
B "  B #  * B $ œ  "'
2)
#B#  $B$ œ %
#B"  'B#  (B$ œ "&
B"  # B#  &B$ œ "!
Respuestas:
"
Î  %%
"*
Ï (
"*
)
$
( Ñ
 $ ß luego B " œ "
" Ò
1)
E
2)
./> ÐEÑ œ !, por lo tanto no se puede resolver el sistema por este método
œ
B# œ "
B$ œ #
¡¡CUIDADO!!
Este método también tiene algunas limitaciones, primero, la
matriz de coeficientes numéricos debe ser cuadrada para
poder así encontrar su determinante, y si este es igual a cero,
no se puede aplicar este método.
Método 3: METODO GAUSSIANO
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Este método es más general que los otros dos anteriores, pues nos permite analizar con más detalle
las distintas soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones lineales admite transformaciones mediante OE, manteniendo invariable
su solución hasta llegar a una matriz escalonada por filas.
El método consiste en reducir por filas la matriz ampliada a la forma escalonada para, luego,
despejar el valor de la última incógnita. Después se usa la sustitución hacia atrás para obtener el valor de
las demás incógnitas.
Ejemplo: Para comprender mejor el método, apliquémoslo para resolver el siguiente sistema.
BCD œ#
#B  $C  D œ $
 #B  #C  D œ  #
44
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1°
Caractericemos el sistema de ecuaciones:
Eœ
Î "
#
Ï #
F œ
\œ
" Ñ
 " ß Matriz de coeficientes.
" Ò
Î # Ñ
$
ß Matriz de términos independientes.
Ï #Ò
ÎBÑ
C , Matriz de incógnitas.
ÏDÒ
Ð Eß FÑ œ
2°
"
$
#
Î
"
#
Ï #
"
$
#
"
"
"
#Ñ
$ , Matriz ampliada.
#Ò
l
l
l
Escalonemos la matriz ampliada, realizando OE sobre las filas.
Ð Eß FÑ œ
Î
"
#
Ï #
"
$
#
"
"
"
#Ñ
$
0# œ 0#  #0" ; 0$ œ 0$  #0"
#Ò
l
l
l
Î"
!
Ï!
"
&
%
"
$
$
l
l
l
# Ñ
 " 0$ œ &0$  %0"
# Ò
Î"
!
Ï!
"
&
!
"
$
$
l
l
l
# Ñ
" 0 # œ0 #  0 $
' Ò
Î"
!
Ï!
3°
"
&
!
"
!
$
l
l
l
De la última matriz, obtenemos el siguiente sistema equivalente.
BCD œ#
 &C œ &
$D œ '
4°
#Ñ
&
'Ò
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Si despejamos las incógnitas C y D y reemplazamos sus valores en la primera ecuación obtenemos
el valor de B. Así, podemos concluir que la solución del sistema es:
ÎBÑ Î " Ñ
"
\œ C œ
ÏDÒ Ï # Ò
45
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Oye!!
¿Sabías que existía otro
método para resolver
sistemas de ecuaciones
llamado Gauss-Jordan?
Si quieres saber más acerca
de ello, revisa el libro
Álgebra Lineal de Stanley
Grossman que se encuentra
en biblioteca.
Análisis De Las Soluciones De Un Sistema De Ecuaciones.
VIRGINIO GOMEZ
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Para analizar las soluciones de un sistema de ecuaciones, necesitamos conocer un concepto que
aún no hemos visto: El Rango de una Matriz.
Rango de una Matriz.
Se llama Rango de una matriz E − `7‚8 al orden de la mayor submatriz cuadrada cuyo
determinante es no nulo.
Ejemplo 1:
Î #
!
Ï "
Sea E œ
Î #
!
Ï "
#
"
"
#
"
"
!Ñ Î #
" à
!
#Ò Ï "
% Ñ
!
, las posibles submatrices de orden 3 son:
#Ò
!
"
#
#
"
"
% Ñ Î #
!
!
à
#Ò Ï "
!
"
#
% Ñ Î# !
!
" "
à
 #Ò Ï" #
% Ñ
!
#Ò
Verifica que el determinante de cada una de las matrices anteriores es cero, por lo tanto el rango
de la matriz E no es 3.
# #
Luego, debemos considerar las submatrices de orden 2. Una de éstas es Œ
cuyo
! "
determinante no es cero. En consecuencia, el rango de E es dos, lo que se denota como V aEb œ #.
Ejemplo 2:
Sea E œ
Î"
#
Ï$
#
$
&
$Ñ
% una matriz cuadrada de orden 3.
(Ò
Por lo tanto, si E es una matriz de orden 3, entonces el rango debería ser 3ß pero si calculamos su
determinante nos damos cuenta que este es igual a cero.
â
â"
â
lEl œ â #
â
â$
#
$
&
â
$â
â
%⠜ !
â
(â
Ê
V aEb Á $
46
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Busquemos el determinante de alguna de sus submatrices de orden 2.
$
¹E"" ¹ œ º
&
%
œ " Á!
(º
V aEb œ #
Ê
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Otra forma, más general, es determinar el rango a través de OE, ya que estas no modifican ni su
orden ni su rango. Las OE se hacen sobre las filas hasta escalonar la matriz y el rango estará determinado
por el número de filas no nulas.
Ejemplo:
Determinemos el rango de la siguiente matriz.
Î "
Ð #
Eœ Ð
"
Ï $
1°
$
&
$
%
#
"
#
"
"
$
$
#
# Ñ
& Ó
Ó
$
* Ò
Realicemos las OE para escalonar la matriz:
−2
1
2
−1
3
 1

5
 2
 −1 3

 3 −4

1

0
0

0

1
−3
−3
2
3
−1
0
−2
5
30
1
−5
− 32
0
− 60
64
2 

5 
− 3

9 





− 10 
2
1
5
f2=f2-2f1  1
0
f3=f3+f1 
0


f4=f4-3f1  0
f4=f4+2f3
1

0
0

0

−2
5
0
5
1
−5
−2
−1
2 

1 
− 1

3 
3 −2
−1 5
0 30
1
−5
− 32
2

1
5

0 
3
−1
6
− 13
0
0
0
f3=f3+6f2
f4=f4-13f2
Como la matriz escalonada tiene $ filas no nulas, resulta que el rango de E es $
También es posible escalonar la matriz
realizando OE sobre las columnas,
pero convendremos en trabajar por
filas.
Ejercicios:
1)
Eœ
Encuentra el rango de las siguientes matrices a través de OE.
Î"
!
Ï"
!
#
%
"
"
$
"Ñ
#
&Ò
47
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2)
Î!
Ð "
EœÐ
"
Ï#
"
"
#
%
"
!
"
"
3)
Î "
Ð "
EœÐ
"
Ï #
"
!
#
"
" Ñ
"Ó
Ó
!
! Ò
#
"
&
"
" Ñ
# Ó
Ó
%
Ò
"
Respuestas:
1)
2)
3)
< œ #
< œ$
<œ #
Análisis De Soluciones A Través Del Estudio De Rangos.
Sistema de Ecuaciones
R(A) = R(A,B)
NO
Sistema Incompatible
No Existe Solución
SI
Sistema Compatible
Determinado
SI
R(A) = R(A,B) = n
Existe Una Única
Solución
NO
Sistema Compatible
Indeterminado
Existen Infinitas
Soluciones
Donde:
•n es N° de incógnitas
•R(A) rango de la matriz de
coeficientes
•R(A,B) es rango de la matriz
ampliada
48
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Estudiemos algunos sistemas.
1)
Sistema Compatible Determinado.
Ya vimos que este tipo de sistema posee solución única.
Ejemplo:
Resolvamos el siguiente sistema usando el método Gaussiano.
BCD œ#
#B  $C  D œ $
 # B  #C  D œ  #
1°
Caracterizando el sistema de ecuaciones
E œ
2°
Î "
#
Ï #
"
$
#
" Ñ
Î # Ñ
ÎBÑ
" ß F œ
$
ß \œ C
Ï # Ò
ÏDÒ
" Ò
Aplicaremos operaciones elementales a la matriz ampliada
Ð Eß FÑ œ
Î "
#
Ï #
"
$
#
"
"
"
l
l
l
# Ñ
$
#Ò
0# œ 0#  #0"
0$ œ 0$  #0"
ÐEß FÑ œ
Î"
!
Ï!
0$ œ &0$  %0"
Î"
!
Ï!
0# œ 0 #  0 $
3°
"
&
%
"
$
$
"
&
!
Î"
!
Ï!
"
&
!
# Ñ
"
# Ò
l
l
l
"
$
$
"
!
$
l
l
l
l
l
l
# Ñ
"
' Ò
#Ñ
&
'Ò
Analizando los rangos de la matriz escalonada. Tenemos que:
8 œ $
V aE b œ $
V aEß F b œ $
;
Por lo tanto, el sistema posee solución única.
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4°
Trabajaremos el sistema equivalente al original para determinar la solución al sistema de
ecuaciones lineales.
El sistema resultante es:
BCD œ#
 &C œ &
$D œ '
49
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Se determina una de las incógnitas y las restantes resultan de ir reemplazando los valores
encontrados.
De aquí resulta: B œ "
2)
C œ "
Dœ#
Sistema Compatible Indeterminado.
Ya vimos que este tipo de sistema posee infinitas soluciones.
Ejemplo:
Resolvamos el siguiente sistema usando OE.
BCD œ"
# B  $C  #D œ #
$B  #C  D œ $
1°
Caracterizando el sistema de ecuaciones lineales.
Eœ
2°
Î"
#
Ï$
"Ñ
#
à
" Ò
"
$
#
Î"Ñ
# à
Ï$Ò
"
&
&
"
%
%
l "Ñ
l !
l !Ò
Î"
!
Ï!
"
&
!
"
%
!
Escalonando la matriz ampliada.
aEß F b œ
Î"
#
Ï$
"
$
#
0# œ 0#  #0"
0$ œ 0$  $0"
"
#
"
l "Ñ
l #
l $Ò
Î"
!
Ï!
0$ œ 0 $  0 #
3°
Fœ
l "Ñ
l !
l !Ò
Analizando los rangos de la matriz escalonada.
\œ
ÎBÑ
C
ÏDÒ
Como 8 œ $ß V aEb œ #ß V aEß F b œ #, se tiene que el sistema es Compatible Indeterminado;
por lo tanto, tiene infinitas soluciones.
Con la matriz obtenida podemos formar el sistema equivalente:
B CD œ"
 & C  %D œ !
4°
Observa que la expresión 8  V aEb, permite conocer el número de incógnitas de las cuales
dependeran las otras.
50
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VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Es decir: $  # œ ". Esto significa que de las $ incógnitas, # de ellas quedan en función de la
otra incógnita.
En efecto:
Si despejamos C de la segunda ecuación tenemos: C œ
%
D
&
Si este resultado lo reemplazamos en la primera ecuación y despejamos B, tenemos que:
"
Bœ" D
&
5°
"
ÎBÑ Î"  & DÑ
Ð
%
La solución general, entonces, es: \ œ C œ
D Ó
ÏDÒ Ï &
Ò
D
Î& Ñ
Î&Ñ
Î" Ñ
\ œ ! à \ œ Ð %& Ó
à \ œ Ð )& Ó
Ï!Ò
Ï"Ò
Ï#Ò
'
6°
Algunas soluciones particulares son:
3)
Sistema Incompatible o Inconsistente.
Este tipo de sistema, como ya vimos, no tiene solución.
Ejemplo:
Resolvamos el siguiente sistema
# C  $D œ %
#B  'C  (D œ "&
B  #C  &D œ "!
1°
Caracterizando el sistema de ecuaciones lineales.
E œ
2°
Î!
#
Ï"
$Ñ
( à
&Ò
#
'
#
Fœ
Î % Ñ
"& à
Ï "! Ò
\œ
ÎBÑ
C
ÏDÒ
Escalonando la matriz ampliada.
ÐEß FÑ œ
Î!
#
Ï"
#
'
#
$
(
&
Î"
#
0" Ç 0$
  → Ï !
l % Ñ
l "&
l "! Ò
#
'
#
&
(
$
51
l "! Ñ
l "& 0# œ 0#  # 0"
l % Ò     →
(
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Î"
!
Ï!
3°
#
#
#
&
$
$
l
l
l
"! Ñ
Î"
 & 0$ œ 0 $  0 # !
% Ò    → Ï !
#
#
!
&
$
!
l
l
l
"! Ñ
&
"Ò
Analizando los rangos de la matriz escalonada. Tenemos que:
8 œ $ß V aEb œ #ß V aEß F b œ $
Por lo tanto, el sistema no tiene solución
Observación:
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Si el vector de términos Independientes es un vector nulo, entonces el sistema es
Homogéneo, en caso contrario se llama No Homogéneo.
El sistema homogéneo E † \ œ ) siempre tiene solución, es decir, es Compatible:
a)
b)
Si tiene una solución única, ésta es la trivial ( B3 œ !à a3ß con 3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8 Ñ
Si 8 Á <, entonces tiene Infinitas soluciones, entre ellas la trivial.
Para resolver este tipo de sistema de ecuaciones debemos calcular el determinante de la matriz de
coeficientes numéricos. Si el determinante es distinto de cero, el sistema posee solución única y es la
trivial, pero si el determinante es igual a cero, el sistema posee infinitas soluciones y éstas se obtienen por
el método gaussiano.
Ejemplo 1:
Determinemos la o las soluciones del siguiente sistema homogéneo.
# B  $C  %D œ !
B  #C  D œ !
 B  $C  &D œ !
1°
Eœ
2°
3°
Caracterizando el sistema de ecuaciones lineales.
Î #
"
Ï "
$
#
$
% Ñ
" à
& Ò
Fœ
Î!Ñ
! à
Ï!Ò
\œ
ÎBÑ
C
ÏDÒ
Calculando el determinante de la matriz E.
â
â #
â
./> Ð E Ñ œ â "
â
â "
$
#
$
â
% â
â
 " â œ  &) Á !.
â
& â
Luego, el sistema tiene solución única, y es la trivial.
Por lo tanto:
Bœ!
Cœ!
Dœ!
52
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Ejemplo 2:
Determinemos la o las soluciones del siguiente sistema homogéneo.
B  $C  &D œ !
#B  'C  "!D œ !
 B  &C  D œ !
1°
Caracterizando el sistema de ecuaciones lineales.
Eœ
2°
Î "
#
Ï "
$
'
&
& Ñ
"! à
"Ò
Fœ
Î!Ñ
! à
Ï!Ò
\œ
ÎBÑ
C
ÏDÒ
Calculando el determinante de la matriz E.
â
â "
â
./> Ð E Ñ œ â #
â
â "
â
& â
â
"! ⠜ !.
â
"â
$
'
&
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Como el ./> ÐEÑ œ !, tenemos que el sistema tiene infinitas soluciones y para determinarlas, lo
haremos a través del método gaussiano.
3°
Realizando operaciones elementales en la matriz E.
Eœ
Î "
#
Ï "
$
'
&
& Ñ
"!
"Ò
0# œ 0#  #0"
0$ œ 0 $  0 "
Î"
!
Ï!
4°
$
!
#
&Ñ
!
%Ò
0# Ç 0$
Î"
!
Ï!
$
#
!
&Ñ
% à
!Ò
Resolviendo el sistema equivalente
B  $C  &D œ !
# C  %D œ !
C œ  #D
B œ  ""D
5°
La solución general, entonces, es: \ œ
6°
Algunas soluciones particulares son:
\œ
Î B Ñ Î  ""D Ñ
C œ
 #D
ÏDÒ Ï D Ò
Î! Ñ
Î  "" Ñ
Î  ## Ñ
! à \œ
# à \ œ
%
Ï!Ò
Ï " Ò
Ï # Ò
53
8 Á V aEb
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Ejercicios:
Resuelve los siguientes sistemas usando el método de GaussÞ Si el sistema tiene
infinitas soluciones además de la general determine una particular.
1)
# B$  $ œ B#  $B"
B"  $B# œ "  #B$
$B#  B$ œ #  #B"
2)
>"  $>#  &>$  >% œ %
#>"  &>#  #>$  %>% œ '
3)
B1  B#  #B$ œ "
B"  $B#  %B$ œ "
#B"  #B#  %B$ œ $
4)
$B  'C  'D œ *
#B  &C  %D œ '
 B  "'C  "%D œ  $
Respuestas:
1)
Sistema Compatible Determinado: B " œ " B # œ !
B$ œ !
2)
Sistema Compatible Indeterminado
Solución General: Ð  #  "* >  ( =ß #  ) >  # =ß >ß =Ñ >ß = − ‘
Solución Particular: Si > œ ! ß = œ !ß Ð  #ß #ß !ß !Ñ
3)
El sistema es Incompatible.
4)
Sistema Compatible Indeterminado.
# )
Solución General : ($  > ß > ß > Ñ
> −‘
* *
#* )
#&
)
Soluciones Particulares: a$ß !ß !bà Œ ß ß "à Œ ß  ß  "
* *
*
*
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Existen sistemas de ecuaciones lineales en las cuales al menos uno de los coeficientes numéricos
+34 es una constante desconocida y necesitamos saber cómo es la solución del sistema.
Ejemplo:
Determinaremos el o los valores que deberían tener + y , en el sistema que se
presenta a continuación, para que sea:
i)
ii)
iii)
Compatible Determinado
Compatible Indeterminado
Incompatible
$B"  #B#  &B$ œ "
B"  B#  #B$ œ "
%B"  $B#  +B$ œ ,
1°
Eœ
Caracterizando el sistema.
Î$
"
Ï%
#
"
$
&Ñ
# à
+Ò
Fœ
Î"Ñ
" à
Ï,Ò
\œ
54
Î B" Ñ
B#
ÏB Ò
$
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2°
Aplicando operaciones elementales sobre la matriz ampliada.
Î$
ÐEß FÑ œ Ð "
Ï%
#
"
$
&
#
+
¸
¸
¸
"Ñ
Î"
"Ó
0" Ç 0# Ð $
Ï%
,Ò
"
#
$
Î"
0# œ 0#  $0" à 0$ œ 0$  %0" Ð !
          →Ï
!
Î"
0$ œ 0 $  0 # Ð !
Ï!
3°
"
"
!
#
&
+
¸
¸
¸
"Ñ
"Ó
,Ò
"
"
"
"
"
+(
#
"
+)
¸
¸
¸
¸
" Ñ
¸ # Ó
¸ , %Ò
" Ñ
# Ó
, #Ò
Analizando los rangos.
8œ$
V aEb œ depende del valor de +.
V aEß F b œ depende de los valores de + y , .
i)
Para que el sistema sea Compatible Determinado se debe cumplir que: V aEb œ V aEß F b œ 8, es
decir, V aEb œ V aEß F b œ $. Esto ocurre cuando +  ( Á !, o bien, + Á (.
Conclusión: El sistema tendrá solución única a + − ‘  Ö(×
ii)
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Para que el sistema sea Compatible Indeterminado se debe cumplir que: V aEb œ V aEß F b  8,
es decir, V aEb œ V aEß F b  $. Esto ocurre cuando +  ( œ ! y ,  # œ 0, o bien, cuando + œ (
y , œ #. En este caso, el V aEb œ V aEß F b œ #Þ
Conclusión: El sistema tendrá infinitas soluciones cuando + œ ( y , œ #.
iii)
Para que el sistema sea Incompatible se debe cumplir que: V aEb Á V aEß F b. Esto ocurre cuando
+  ( œ ! y ,  # Á !, o bien + œ ( y , Á #Þ
Ejercicios:
1)
a)
b)
Considere los sistemas
#B"  $B#  & œ !
 B"  (B#  B$ œ !
%B"  ""B#  5B$ œ !
B"  B #  B $ œ !
#B"  $B#  %B$ œ !
$B"  %B#  5B$ œ !
¿Para qué valores de 5 los sistemas tendrán soluciones no triviales?
55
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2)
Determinar qué valor debería tomar ! para que el sistema siguiente sea
i)
ii)
iii)
Compatible Determinado
Compatible Indeterminado
Incompatible
B"  B #  B $ œ "
$B"  !B#  !B$ œ &
%B"  !B# œ &
3)
Determinar qué valores debe tomar + y , para que el sistema sea
i)
ii)
iii)
Compatible Determinado
Compatible Indeterminado
Incompatible
B"  B #  B $ œ "
$B"  B#  #B$ œ &
%B "  +B$ œ ,
Respuestas:
b)
"!
""
5 œ&
2)
i)
ii)
iii)
! Á! • !Á&
!œ&
!œ!
3)
i)
ii)
iii)
+Á'
+œ' • ,œ)
+œ' • ,Á)
1)
a)
5 œ
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Interpretación Geométrica De Los Sistemas De Ecuaciones.
Geométricamente en el plano ‘# , se interpretan de la siguiente forma (Cada ecuación se representa
en una línea recta)
a) Rectas No Paralelas.
b) Rectas Paralelas.
c) Rectas que Coincidens.
Un punto de intersección
No existe intersección
Infinitos puntos de intersección
56
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En el espacio ‘$ , la interpretación es la siguiente (cada ecuación representa un plano)
a)
b)
c)
d)
e)
Los tres planos se intersectan en
la misma recta. Entonces cada
punto sobre el plano es una
solución y se tiene un número
infinito de soluciones.
Dos de los planos coinciden e
intersectan a un tercer plano en una
recta. Entonces cada punto sobre la
recta es una solución y existe un
número infinito de soluciones..
Los tres planos se intersectan en un
punto, entonces existe una solución
única.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Al menos dos de los planos son
paralelos y distintos.
Entonces
ningún punto puede estar en ambos y
no hay solución. El sistema no tiene
solución.
Dos de los planos coinciden en una recta
. El tercer plano es paralelo a L (y no
contiene a , de manera que ningún punto
del tercer plano se encuentra en los dos
primeros. No existe solución.
57
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AUTOEVALUACION N° 1
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
PROBLEMA 1: Encuentra el valor de Bß Cß Aß D para que se cumpla la igualdad propuesta:
BC
ŒCD
A"
CB

#C  Œ #D
BA
'
œ
'  Œ "
%
D 
PROBLEMA 2: Dadas las matrices
Eœ
Î -"
$
Ï -&
!
%
#
#
-"
!
"Ñ
-"
$Ò
Gœ
à
Î -"
#
Ï!
Fœ
!
-$
!
(
!
-"
Î&
-#
Ï'
"
-"
!
!
"
-$
-$ Ñ
! à
"Ò
-& Ñ
" à
"Ò
Determina E>  G > , #(E  G )> † F , G † F > .
AUTOEVALUACION N° 2
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: Dado que una matriz se dice IDEM-POTENTE si E# œ E. Verifica si las matrices
siguientes son o no idempotente.
Î2
E œ -1
Ï1
-3
4
-3
-5 Ñ
5 ;
4Ò
Î -1
Fœ 1
Ï -1
3
-3
3
5Ñ
-5 ;
5Ò
Î0
Gœ 0
Ï0
PROBLEMA 2: Dadas las matrices:
Ô1
Aœ 2
Õ4
-3
1
-3
2×
-3 ;
-1 Ø
Ô1
Bœ 2
Õ1
4
1
-2
1
1
1
0×
1 ;
2Ø
Comprueba que EF œ EG
58
Ô2
Cœ 3
Õ2
1
-2
-5
-1
-1
-1
-2 ×
-1
0Ø
1
0
0
0Ñ
1
0Ò
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AUTOEVALUACION N° 3
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
Î "
Ð $
PROBLEMA 1: Sea E œ Ð
#
Ï "
a)
b)
c)
$
 "#
"!
'
Calcula ¸E¸
Determina la matriz E.4aEb
Determina la matriz inversa de E.
!
#
#
"
#Ñ
'Ó
Ó
&
$ Ò
PROBLEMA 2: Verifica que:
a)
b)
c)
La adjunta de una matriz escalar es una matriz escalar
La adjunta de una matriz diagonal es una matriz diagonal
La adjunta de una matriz triangular es una matriz triangular
PROBLEMA 3: Para las siguentes matrices, determina las respectivas matrices adjuntas.
a)
Eœ
Î #
"
Ï %
!
"
!
"Ñ
"
"Ò
b)
Fœ
Î #
&
Ï "
$
"
!
! Ñ
%
! Ò
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
PROBLEMA 4: Para las matrices del problema 3, determina, si existe, las respectivas matrices inversas.
Si existe, muéstralas.
59
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AUTOEVALUACION N° 4
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
Î -9= !
!
PROBLEMA 1: Sea E œ
Ï =/8 !
!
"
!
 =/8 ! Ñ
!
.
-9= ! Ò
Determina si E posee inversa y si es posible, hállala.
PROBLEMA 2: Que valores de + hacen que la matriz dada sea singular (inversible).
Eœ
Î +
"
Ï#  +
+"
#
+$
+ "Ñ
$
+ (Ò
Fœ
Î+  #
"
Ï !
PROBLEMA 3: Encuentra
B−‘
de
manera
aInd.: M es la matriz idéntica de orden 3b
a)
EœŒ
c)
E œ BM 
B%
$
Î#
!
Ï!
)
B #
"
#
%
b)
#
$ Ñ
+" #
!
+ #Ò
que
Eœ
la
Î #
"
Ï %
matriz
!
"
!
"Ñ
"  BM
"Ò
"Ñ
$
%Ò
PROBLEMA 4: Determina la matriz \ en la ecuación:aE † \ " † F b œ E † F con
>
E
Î"
!
Ï$
"
"
"
"Ñ
Î!
# à Fœ "
Ï"
!Ò
60
!
#
"
"Ñ
!
!Ò
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
tenga inversa.
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
AUTOEVALUACION N° 5
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
Î+
PROBLEMA 1: Sea E œ .
Ï1
a)
c)
â
â1
â
â.
â
â+
2
/
,
â
â+,
â
â. /
â
â1  2
â
3â
â
0â
â
-â
,
/
2
,
/
2
-Ñ
0 y ./>aEb œ &. Calcula los siguientes determinantes.
3Ò
b)
â
-â
â
0â
â
3â
d)
+,
» È È
# + ,
#È + È ,
+,
»
â
â &
â
â $.
â
â %+
â
â #+  #.
â
1
â
â
.
â
PROBLEMA 2: Calcula los siguientes determinantes:
a)
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
b)
â
â"
â
â"
â
â"
â
â"
 &2
$/
%,
#,  #/
2
/
#
"
"
"
â
 &3 â
â
$0 â
â
%- â
â
#-  #0 â
â
3
â
â
0
â
"
!
"
#
â
"â
â
"â
â
#â
â
"â
PROBLEMA 3: Determina los valores de -%‘, que satisfacen la ecuación: ./>a-M  Eb œ 0ß donde - es
incógnita de la ecuación e M es la matriz idéntica de orden 4.
Î#
Ð !
EœÐ
!
Ï!
"
"
!
!
!
!
%
!
)Ñ
"! Ó
Ó
!
& Ò
61
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
AUTOEVALUACION N° 6
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
PROBLEMA 1: ¿Qué condiciones se deben cumplir para que el sistema se pueda resolver mediante la
ecuación \ œ E" F ?
Si dichas condiciones se cumplen, encuentre la solución usando la ecuación matricial y
operaciones elementales.
B%  B " œ "
B#  B $  B " œ #
B$  B # œ $
B%  B $  B " œ %
PROBLEMA 2: Resuelva el siguiente sistema usando la regla de Cramer.
$C  #B œ D  "
$B  #D œ )  &C
$D  " œ B  #C
PROBLEMA 3: Resuelva usando el método gaussiano.
#B  C  D œ "
B  #C  D œ %
B  C  #D œ  $
AUTOEVALUACION N° 7
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: Determina los valores de 5 tales que los sistemas posean:
i)
ii)
iii)
ninguna solución
más de una solución
una sola solución
a)
5B  C  D œ "
B  5C  D œ "
B  C  5D œ "
b)
B  #C  $D œ #
$B  %C  #D œ 5
#B  $C  D œ "
PROBLEMA 2: Considera el siguiente sistema. Determina el valor que debe tener "+" de manera que el
sistema sea compatible.
B  #C  D œ "
#B  C  $D œ  %
B  C  Ð+  #ÑD œ  $+  &
%B  #C  Ð+  'ÑD œ  $+#  )
62
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UNIDAD 2
VECTORES, RECTAS Y PLANOS
63
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
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Vectores en ‘# y ‘$ .
________________________________________________________________________
Josiah Willard Gibbs
Sir William Rowan Hamilton
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
El estudio de los vectores se originó con la invención de los cuaterniones de
Hamilton (matemático Irlandés 1805-1865).
Hamilton y otros desarrollaron los
cuaterniones como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico.
Pero los resultados fueron muy complicados para entenderlos con rápidez y aplicarlos
facilmente. Los cuaterniones contenian una parte escalar y una parte vectorial y las
dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo.
Los
matemáticos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar
considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el análisis vectorial.
Este trabajo se debe al físico americano Josiah Willard Gibbs (1839-1903).
Gibbs, era un físico original que hizo mucha aplicaciones en el área físico matemática.
Definió por ejemplo, la igualdad, adición y multiplicación de vectores. Además, definió
el producto escalar para los vectores 3, 4, 5 , y lo aplicó en problemas referente a fuerzas.
Al estudiar matemáticas, a comienzos del siglo XIX, no debemos perder de vista
el hecho que la mayor parte de las matemáticas modernas se desarrollaron para
resolver problemas del mundo real. Los vectores fueron desarrollados por Gibbs y otros
para facilitar el análisis de los fenómenos físicos, y en ese sentidos tuvieron un gran
éxito.
64
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Vectores En El Espacio.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Algunas cantidades físicas como la longitud y la masa quedan perfectamente determinadas por su
magnitud. Tales cantidades se llaman Escalares. Sin embargo, para otras como la fuerza y la velocidad, se
necesita especificar, además, su direcciónÞ Estas últimas se llaman Vectoriales.
Se acostumbra representar un vector mediante un segmento de recta dirigido cuya dirección
representa la dirección del vector y cuya longitud en términos de alguna unidad representa su magnitud.
El sistema coordenado rectangular tridimensional consta de tres rectas reales mutuamente
perpendiculares. Tales rectas se llaman ejes coordenados y su intersección común se llama origen del
sistema.
El sistema así definido establece una correspondencia biunívoca entre los puntos del espacio y las
ternas ordenadas aBß Cß D b de números reales.
z
5
P(2,3,5)
3
y
2
x
figura 1
Al origen del sistema le corresponde la terna a!ß !ß !b. A la terna a#ß $ß &b le corresponde el punto
T que muestra la figura 1.
Los planos BC , CD , DB se llaman Planos Coordenados y dividen al espacio en ocho regiones
llamadas Octantes. El octante cuyos puntos tienen sus tres coordenadas positivas se llama Primer Octante,
pero no se ha convenido una numeración para los otros siete.
Sean T aB" ß C" ß D" b y UaB# ß C# ß D# b dos puntos del espacio.
65
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
z
Q(x2,y2,z2)
P(x1,y1,z1)
R(x2,y2,z1)
0
V(x1,y1,0)
H
y
T(x2,y2,0)
x
figura 2
La distancia entre T y U está dada por:
. aT , Ub œ ÉaB#  B" b#  aC#  C" b#  aD#  D" b#
Ejemplo:
La distancia entre los puntos T a#ß "ß $b y Ua$ß %ß "b es:
. aT , Ub œ Éa$  #b#  a%  "b#  a"  $b#
. aT ß Ub œ È "  *  %
. aT ß Ub œ È"%
Por lo tanto, la distancia de T a U es È"% au. de m.b
Ejercicios:
1)
a)
b)
2)
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Obtenga la distancia entre los puntos E y F , y determine el punto medio de los segmentos
rectilineos que unen E y F .
EÐ$ß %ß #Ñà
EÐ%ß  $ß #Ñà
FÐ"ß 'ß $Ñ
FÐ  #ß $ß  &Ñ
Demuestre que los tres puntos Ð"ß  "ß $Ñß Ð#ß "ß (Ñ y Ð%ß #ß 'Ñ son los vértices de un triángulo
rectángulo y calcule su área. (Indicación: utilice el teorema de Pitágoras)
A
b
C
Teorema de Herón de Alejandría
A = s (s − a )(s − b )(s − c )
c
a
donde s es el semiperímetro.
A es el área del triángulo.
B
figura 3
66
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Respuestas:
1)
a) 3 au. de m.b
b) 11 au. de m.b
2)
&
Œ#ß &ß 
#
$
Œ"ß !ß  
#
El ˜ es rectángulo y su área es aproximadamente 5,6125
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Definición: Llamaremos Vector en el espacio a toda terna ordenada de números reales, c+" ß +# ß +$ d. El
vector asociado con el segmento de recta cuyo punto inicial es T aB" ß C" ß D" b y cuyo punto
terminal es UaB# ß C# ß D# b se denota por:
→
T U œ U  T œ aB# ß C# ß D# b  aB" ß C" ß D" b œ cB#  B" ß C#  C" ß D#  D" d œ →
+
Es usual denotar los vectores con letras minúsculas con una flecha para distinguirlos de las
cantidades escalares.
Ejemplos:
1)
→
Si T a  )ß *ß "b y Ua$ß 'ß !b, entonces el vector T U se determina como sigue:
→
T U œ U  T œ a$ß 'ß !b  a  )ß *ß "b œ c""ß  $ß  "d
→
UT œ T  U œ a  )ß *ß "b  a$ß 'ß !b œ c  ""ß $ß "d
2)
3)
→
Si Ea)ß  'ß  $b, entonces SE œ c)ß  'ß  $d.
Sean
los
puntos
y
T œ Ð!ß ! Ñ
→
UT œ T  U œ Ð!ß !Ñ  Ð$ß $Ñ œ [  $ß  $]
U œ Ð$ß $Ñ,
Ejercicios:
entonces
el
vector
1)
Sean los puntos T œ Ð$ß "Ñß U œ Ð#ß  "Ñß V œ Ð%ß #Ñ. Determine los vectores dirigidos
→
→
→
TU ,
UT ,
VT .
2)
Sean los puntos T œ Ð$ß "ß  "Ñß U œ Ð!ß #ß  "Ñß V œ Ð%ß  #ß #Ñ. Determine los vectores
→
→
→
dirigidos T U ,
UT ,
VT .
Respuesta:
1)
2)
→
T U œ c  "ß  #d;
→
T U œ c  $ß "ß !d;
→
UT œ c"ß #d;
→
VT œ c  "ß  "d
→
UT œ c$ß  "ß !d;
67
→
VT œ c  "ß $ß  $d
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Sabías que los vectores asociados a
segmentos de rectas en los que el punto
inicial no es el origen del sistema se llaman
vectores libres.
→
Definición: Sea →
+ œ c+" ß +# ß +$ d y , œ c," ß ,# ß ,$ d dos vectores y ! − ‘.
i)
ii)
1°
2°
→
Diremos que →
+ œ , si y sólo si: +" œ ," • +# œ ,# • +$ œ ,$ .
→
Se define la Adición →
+  , y la Multiplicación por escalar !→
+ de la siguiente manera:
→
→
+  , œ c+" ß +# ß +$ d  c," ß ,# ß ,$ d œ c+"  ," ß +#  ,# ß +$  ,$ d
!→
+ œ c!+" ß !+# ß !+$ d
Ejemplos:
1
1°
2°
3°
4°
→
Sean →
+ œ c  $ß "ß !d y , œ c#ß  "ß %d. Entonces:
→
→
+  , œ c  $ß "ß !d  c#ß  "ß %d œ c  "ß !ß %d
$→
+ œ $c  $ß "ß !d œ c  *ß $ß !d.
→
 # , œ  #c#ß  "ß %d œ c  %ß #ß  )d
→
% ,  #→
+ œ %c#ß  "ß %d  #c  $ß "ß !d
œ c)ß  %ß "'d  c  'ß #ß !d
œ c#ß  #ß "'d
5°
→
$→
+  # , œ $c  $ß "ß !d  #c#ß  "ß %d
œ c  *ß $ß !d  c%ß  #ß )d
œ c  "$ß &ß  )d
2)
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
→
→
Si 2 œ c  $ß +  #ß $, d y 5 œ c+  ,ß  &ß !d.
Ú+  , œ  $
→ →
2 œ 5 ÍÛ +#œ &
Ü $, œ !
Ú+ œ  $
•
ÍÛ
Ü, œ !
68
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Observaciones:
1)
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
→
Geométricamente en vector →
+  , es la diagonal del paralelógramo cuyos lados adyacentes son
→
los vectores →
+ y , como se ilustra en la figura siguiente:
b
+ b
a
a
-b
-
b
a
figura 4
2)
3)
→
→
→
Si , œ c," ß ,# ß ,$ d, entonces  , œ Ð  "Ñ , œ c  ," ß  ,# ß  ,$ dÞ
Todo vector →
+ œ c+" ß +# ß +$ d se puede considerar como el vector de origen en el punto Sa!ß !ß !b y
extremo en el punto T a+" ß +# ß +$ b como se muestra en la figura siguiente:
z
a
P(a1,a2,a3)
0
y
x
4)
figura 5
→
Se define la Sustracción de los vectores →
+ y , como el vector
→
→
→
+  , œ→
+  Ð  , Ñ œ c+"  ," ß +#  ,# ß +$  ,$ d
Definición: Sea →
+ œ c+" ß +# ß +$ d un vector. Se llama norma, magnitud o módulo del vector →
+ , al número
real no negativo ¼ →
+ ¼ œ È+"#  +##  +$# .
Todo vector de norma 1 se llama Vector Unitario. En el espacio hay tres vectores unitarios
especiales que se denotan en forma especial, éstos son:
3 œ c"ß !ß !d;
•
y es claro que ¼ 3 ¼ œ ¼ 4¼ œ ¼ 5 ¼ œ ".
•
•
4 œ c!ß "ß !d;
•
•
Todo vector →
+ œ c+" ß +# ß +$ d se puede escribir:
69
5 œ c!ß !ß "d
•
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
→
+ œ c+" ß !ß !d  c!ß +# ß !d  c!ß !ß +$ d
→
+ œ +" c"ß !ß !d  +# c!ß "ß !d  +$ c!ß !ß "d
•
•
•
→
+ œ +" 3  + # 4  + $ 5
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Los vectores +" 3 , +# 4ß +$ 5 se llaman Componentes del vector →
+ y tienen la dirección de los ejes
coordenados.
•
•
•
z
a3 k
a
k
i
a2 j
y
j
a1 i
x
Teorema:
figura 6
→
Sean →
+ y , dos vectores y ! − ‘. Se tiene:
1)
m→
+m œ m→
+m
2)
→
→
m→
+  ,m œ m ,  →
+m
3)
m→
+ m œ ! si y sólo si →
+ œ a!ß !ß !b œ )
4)
m!→
+ m œ ¸!¸ † m→
+ m; con ! Á !
5)
"
•
?œ → →
+ es un vector unitario en la dirección de →
+ , si m→
+m Á !
m+m
Observaciones
1)
2)
El vector nulo ) no tiene dirección definida.
Es claro que para ! − ‘, ! Á 0, la dirección de !→
+ es la misma que la de →
+ . Si !  !, ambos
vectores tendrán igual sentido y si !  !, el sentido de !→
+ será el contrario del sentido de →
+.
Ejemplos:
1)
•
•
•
→
Dados los vectores →
+ œ $3  4  5 y , œ c"ß !ß  *d.
Calcula en módulo de →
+
#
→
#
m + m œ É$  a  "b  "# œ È*  "  " œ È"" au. de m.b
70
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
2)
3)
→
Calcula en módulo de ,
→
m , m œ É"#  !#  a  *b# œ È"  !  )" œ È)# au. de m.b
→
Calcula en módulo de →
+  ,
→
m→
+  , m œ mc$ß  "ß "d  c"ß !ß  *dm
→
m→
+  , m œ mc%ß  "ß  )dm
→
m→
+  , m œ É % #  a  " b#  a  ) b #
→
m→
+  , m œ È"'  "  '% œ È)" œ *
4)
1°
2°
Determina un vector unitario en la dirección de →
+.
Para ello necesitamos el móludo de m→
+ m. Como fue determinado en el ejemplo 1, tenemos
quem→
+ m œ È"" au. de m.b
Por lo tanto,
•
•
•
"
"
$ •
" •
" •
•
?œ → →
+ œ
$3  4  5  œ
3
4
5
Œ
È""
È""
È""
È""
m+m
Ejercicios:
1)
Determine la norma de los siguientes vectores
a)
→
? œ [ "ß #È$ß  & ]
b)
→
@ œ [  $ß  $ß  "]
c)
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Si →
@ œ [  "ß  $ß #]
→
#ll ? ll  $ll→
@ ll
y
→
? œ [#ß !ß  "], entonces determina
2)
Determina el valor de 5 para que:
a)
ll→
? ll œ (ß donde →
? œ [#ß $ß 5 ]
b)
ll→
? ll œ & donde →
? œ [  5ß $ß "]
3)
Sea →
? œ Ò  "ß # ß $Ó C
a)
→
?
4)
Determina el vector unitario en la dirección de →
? con norma 5.
b)
•
•
•
→
@ œ 3  4  '5Þ Determina el vector unitario en la dirección de:
→
@
71
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Respuestas:
1)
2)
3)
a)
b)
c)
a)
b)
a)
b)
4)
È$)
È"*
#È&  $È"%
5 œ „'
5 œ „ È"&
"
#
$
•
?œ–
ß
ß
È"% È"% È"% —
"
"
'
•
@ œ –
ß 
ß
È$)
È$) È$) —
&
"!
"&
– È ß È ß È —
"%
"%
"%
Definición:
Ejemplo:
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
→
Dos vectores →
+ y , son paralelos si y sólo si existe un número ! − ‘ tal que
→
, œ !→
+.
Los vectores →
+ œ  $3  4  5
•
•
•
y
•
•
•
→
, œ '3  #4  #5 son paralelos puesto que:
•
•
•
→
, œ '3  #4  #5
•
•
•
→
, œ  #Œ  $3  4  5 
→
→
, œ  #→
+ , esto significa que la magnitud del vector , es 2 veces la magnitud del
vector →
+ . Ambos vectores son paralelos, pero tienen dirección contraria.
Definición:
→
Sean →
+ œ c+" ß +# ß +$ d y , œ c," ß ,# ß ,$ d dos vectores. Se define el Producto Escalar o
→
Producto Punto de →
+ y , como el número:
→
→
+ † , œ c+" ß +# ß +$ d † c," ß ,# ß ,$ d œ ! + 5 † ,5 œ +" † ,"  +# † ,#  +$ † ,$
$
5œ"
Ejemplo:
→
Sean los vectores →
+ œ c  "ß $ß 'd y , œ c$ß "ß (d, entonces el producto escalar
→
→
+ † ,
→
→
+ † ,
→
→
+ † ,
→
→
+ † ,
œ c  "ß $ß 'd † c$ß "ß (d
œ œ a  "b † $  $ † "  ' † (
œ  $  $  %#
œ %#
72
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Ejercicios:
1)
•
•
•
•
•
•
•
Sea →
? œ  #3  4  $5 , →
@ œ  #3  5 y →
A œ $3  4Þ Determina:
a)
→
? †→
@
2)
Calcula el valor de 5 si c#ß $ß 5 d † c5ß "ß %d œ #"
b)
#†→
? †→
A
Respuestas:
1)
2)
a)
"
b)
 "%
5 œ $
Teorema:
Sea : el menor ángulo formado por los vectores →
+ œ c+" ß +# ß +$ d y
→
→
→
+ † , œ m→
+ m † m , m † -9= :
Corolario:
i)
→
El coseno del ángulo formado por los vectores →
+ y , ésta dado por
→
→
+ † ,
-9= : œ
→ .
m→
+m†m,m
ii)
→
Ô →
→
+ † , ×
El ángulo entre los vectores →
+ y , es : œ E<--9=
→
Õ m→
+ m † m , mØ
iii)
→
+ †→
+ œ m→
+ m#
iv)
→
→
Dos vectores no nulos →
+ y , son perpendiculares si y sólo si →
+ † , œ !.
Ejemplos:
•
•
•
1) Dado dos vectores, →
+ œ #3  4  #5
→
forman los vectores →
+ y ,.
1°
y
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
→
, œ c," ß ,# ß ,$ d. Entonces:
→ • •
, œ 3  4 . Determinaremos el coseno y el ángulo que
→
→
Para ello es necesario determinar →
+ † , , m→
+ m y m , m.
•
•
•
•
•
→
→
+ † , œ Œ#3  4  #5  † Œ 3  4  œ #  "  ! œ $
m→
+ m œ È%  "  % œ È* œ $
73
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
2°
→
m , m œ È"  "  ! œ È#
→
Luego, el coseno del ángulo formado por los vectores →
+ y , es:
-9= : œ
3°
→
→
+ † ,
$
"
œ
œ È#
→
#
$ † È#
m→
+m†m,m
→
Y el ángulo formado por los vectores →
+ y , es el siguiente:
Ô
→
→
+ † , ×
"
1
: œ E<--9=
œ E<--9=” È#• œ c<+. d
→
→
#
%
Õm + m † m , mØ
→ 1
Así, el menor ángulo formado por los vectores →
+ y , es c<+. d.
%
2)
→
Los vectores →
+ œ c  %ß &ß (d y , œ c"ß  #ß #d son perpendiculares. En efecto, ambos son no
→
nulos y además →
+ † , œ  %  "!  "% œ !.
Ejercicios:
1)
Sean →
? œ 3  #4  $5à →
@ œ  $3  #4  &5 y →
A œ #3  %4  5 . Calcula:
a)
b)
c)
El coseno y el ángulo entre →
? y→
@
El coseno y el ángulo entre →
? y→
A
El coseno y el ángulo entre →
@ y→
A
2)
Para el triángulo cuyos vértices están en EÐ#ß  &ß $Ñß FÐ  "ß (ß !Ñ y GÐ  %ß *ß (Ñ, determine
las medidas de los ángulos interiores.
Respuestas:
1)
2)
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
a)
b)
-9= ! œ
-9= ! œ
c)
-9= ! œ
% È
"$$
"$$
"$ È
'
%#
É #"
$)
w
ww
w
ww
à
à
! œ '*‰ %# #!
w
ww
! œ %!‰ %" %(
à
! œ %"‰ &) %%
! œ #*ß ('‰
" œ *'ß ))‰
# œ &$ß $'‰
74
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
a
Definición: Sea →
+ un vector no nulo. Los ángulos !, " y # que →
+ forma con los ejes coordenados se
llaman Angulos Directores de →
+.
γ
a3
α β
a1
a2
-9= ! œ
+"
ll→
+ ll
-9= " œ
+" œ m→
+ m-9= !à
+#
ll→
+ ll
-9= # œ
+$
ll→
+ ll
+# œ m→
+ m-9= " à +$ œ m→
+ m-9= #
Luego, si conocemos los cosenos directores de un vector →
+ y su longitud m→
+ m el vector →
+ queda
completamente determinado.
Por otro lado:
m→
+ m œ É+"#  +##  +$#
#
#
#
m→
+ m# œ +  +  + œ m→
+ m# -9=# !  m→
+ m# -9=# "  m→
+ m# -9=# #
"
#
$
m→
+ m# œ m→
+ m# † c-9=# !  -9=# "  -9=# # d
Luego:
-9=# !  -9=# "  -9=# # œ "
Esta ecuación nos indica que los cosenos directores no son arbitrarios.
Y que además, el vector a forma un
ángulo α con el lado positivo del eje x,
β con el lado positivo del eje y , γ con el
eje positivo del eje z. Estos ángulos
reciben el nombre de Ángulos
Directores del vector .
Sabían ustedes que las
componentes de a : a 1 , a 2,
a 3 se llaman Números
Directores.
Los ángulos directores se determinan de la siguiente forma:
+
! œ E<- -9= →" à
m+m
+
" œ E<- -9= →# à
m+m
75
+
# œ E<--9= →$ 
m+m
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
•
•
•
Ejemplo: Si →
@ œ  3  4  #5 , entonces:
a)
Los cosenos directores son los siguientes, sabiendo que m→
@ m œ È ':
-9= ! œ 
b)
"
à
È'
-9= " œ
"
È'
à -9= # œ 
#
È'
Los àngulos directores se determinan obteniendo el arco coseno de los valores anteriores. Esto es:
! œ E<- -9= 
" œ E<- -9= 
# œ E<- -9=  
"
œ ""%9
È' 
"
œ ''9
È' 
#
œ "%4,749
È' 
Ejercicios:
1)
2)
3)
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Encuentra los cosenos directores de →
@ œ Ò  "ß #ß *ÓÞ
Encuentra los ángulos directores de →
@ œ Ò  "ß #ß * ÓÞ
•
•
•
Determina los ángulos directores del vector →
@ œ #3  $4  %5 y prueba que
2
#
#
-9= !  -9= "  -9= # = "
Respuestas:
1)
-9= ! œ 
2)
3)
! œ *'ß "9
! œ ')ß #9
Definición:
"
È)'
à
-9= " œ
#
È)'
à -9= # =
" œ ((ß &9 # œ "$ß *9
" œ &'ß "9
# œ %#ß !9
*
È)'
→
→
Sean →
+ y , dos vectores no nulos. Se llama Proyección Escalar de , sobre →
+ al
número:
→
,
T <9C I=- →
œ
+
→
→
+ † ,
m→
+m
b
Proy. Escalar
76
a
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
→
→
Sean →
+ y , dos vectores no nulos. Se llama Proyección Vectorial de , sobre →
+ al
vector:
T <9C Z /->
→
,
→
+
œ
→
→
+ † , •
+
m→
+m
o
T <9C Z /->
→
,
→
+
→
→
+ † , →
œ →
+
m + m#
b
Proy. Vectorial
Ejemplo:
1°
a
Dado los vectores →
? œ Ò  "ß #ß "Ó y →
@ œ Ò $ß  #ß %ÓÞ Determinemos la proyección
escalar y la proyección vectorial de →
@ sobre →
? es:
Calculemos el pruducto punto y la norma del vector →
?.
→
? †→
@ œ Ò  "ß #ß "Ó † Ò $ß  #ß %Ó œ  $  %  % œ  $
m→
? m œ È"  %  " œ È'
2°
Ahora, obtendremos la proyección escalar:
T <9C I=-
3°
→
@
→
?
œ
$
œ  "ß ##%(%%)("ÞÞÞ
È'
Calculando la proyección vectorial:
T <9C Z /->
Ejercicios:
1)
2)
→
@
→
?
œ
$
ŠÈ'‹
#
$
'
$
Ò  "ß #ß "Ó œ ” ß  ß  •
'
'
'
Determina la proyección vectorial de →
? sobre →
@ß
•
•
•
•
•
•
→
→
? œ #3  $4  5 ß
@ œ 3  #4  '5
→
? œ Ò #ß "ß # Ó , →
@ œ Ò !ß $ß % Ó
Respuestas:
1)
2)
VIRGINIO GOMEZ
Definición:
#•
% • "# •
3 4 5
%"
%"
%"
$$ %%
”!ß ß •
#& #&
77
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
→
+
→
+ ‚ , œ ”º #
,#
→
+
→
+ ‚ , œº #
,#
o
Ejemplo:
+$
+
ß º "
,$ º
,"
+$
+
ß "
,$ º º ,"
+
+$ •
3º "
º
,$
,"
+#
,# º•
+$ •
+"
º4  º ,
,$
"
+# •
5
,# º
Sean los vectores →
? œ c#,",  $d, →
@ œ c$,  ",%d. Determinaremos el producto cruz de
→
→
? y @ . En efecto:
"
→
? ‚→
@ ϼ
"
$ •
#
3º
% º
$
$ •
#
4º
% º
$
•
•
" • •
5 œ 3  "(4  &5 œ c"ß  "(ß  &d
º
"
Ejercicios: Determina el producto cruz entre los siguientes vectores.
2)
•
•
•
•
•
•
→
? œ 3  4  #5 y →
@ œ #3  $4  %5
•
•
•
•
•
•
→
? œ #3  %4  &5 y →
@ œ  $3  #4  5
3)
•
•
→
? œ Ò #ß  "ß ! Ó y →
@ œ 35
1)
Respuestas:
1)
2)
3)
VIRGINIO GOMEZ
→
Sean →
+ œ c+" ß +# ß +$ d y , œ c," ß ,# ß ,$ d dos vectores. Se llama Producto Vectorial o
→
Producto Cruz de →
+ y , aen ese ordenb al vector:
Definición:
•
•
•
→
A œ  #3  )4  &5
•
•
•
→
A œ  '3  "$4  )5
•
•
•
→
A œ 3  #4  5
Propiedades del Producto Cruz.
Sean →
? y →
@ dos vectores en ‘$ , entonces:
1)
→
? ‚→
@ œ  Š→
@ ‚→
? ‹Þ Propiedad Anticonmutativa para el producto vectorialÞ
2)
→
? † Š→
? ‚→
@‹œ! • →
@ † Š→
? ‚→
@ ‹ œ ! . Entonces Š→
? ‚→
@ ‹ es ortogonal a →
? y→
@.
3)
p
p
Si →
? y→
@ son vector no nulo, entonces ? y @ son paralelos si y sólo si →
? ‚→
@ œ)
78
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Ejercicios:
1)
Determina un vector perpendicular a →
? y→
@ simultáneamente:
→
? = Ò #ß "ß $Ó y
•
•
→
? œ35 y
a)
b)
2)
Determina un vector unitario que sea ortogonal a:
•
•
•
→
? œ 3  %4  5 y
→
? œ Ò #ß  $ß !Ó
a)
b)
3)
→
@ œ Ò"ß !ß #Ó
•
•
•
→
@ œ #3  4  5
•
•
→
@ œ #3  $4
→
y
@ œ Ò !ß % ß $Ó
Determina a través del producto cruz si los siguientes vectores son paralelos:
→
? = Ò "ß  #ß $Ó y
→
@ œ Ò#ß %ß 'Ó
Respuestas:
1)
2)
3)
c#ß  "ß  "d
c"ß  "ß "d
$ •
# •
"" •
a)

3
4
5
È"$%
È"$%
È"$%
* •
' •
) •
b)

3
4
5
È")"
È")"
È")"
Los vectores no son paralelos.
a)
b)
Teorema: Si : es el ángulo entre →
? C→
@ ß entonces m→
? ‚→
@ m œ m→
? m † m→
@ m=/8:.
m→
? ‚→
@m
Es decir: sen : œ →
m ? m † m→
@m
Ejemplo:
1°
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Si : es el ángulo formado por →
? y→
@ . Determinemos : y =/8 :ß usando producto
→
→
cruz dado que ? œ c  "ß "ß "dß @ œ c#ß "ß #d.
Calcularemos m→
? ‚→
@ m, m→
? m y m→
@ m.
"
→
? ‚→
@ ϼ
"
" •
"
3º
#º
#
" •
"
4º
#º
#
m→
? ‚→
@ m œ È"  "'  * œ È#'
•
•
" • •
5 œ 3  %4  $5
º
"
m→
? m œ È"  "  " œ È$
m→
@ m œ È%  "  % œ È* œ $
79
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
2°
Determinando el =/8 :, tenemos que:
=/8 : œ
3°
È#'
m→
? ‚→
@m
" #'
œ
œ Ê
œ !ß *)"$!'('#ÞÞÞ
→
→
È
$
$
m? m †m@m
$†$
El ángulo queda determinado como sigue:
" #'
: œ E<-=/8 Ê  œ ()ß * 9
$
$
Ejercicios:
Encuentra el ángulo : entre los vectores
a)
b)
•
•
•
→
? =#3  4  5 y
→
? œ c  "ß !ß %d y
Respuestas:
a)
b)
•
•
•
→
@ œ  $3  #4  %5
→
@ œ c  #ß "ß # d
È$!
Ê : œ #%ß & 9
È' † È#*
È&$
=/8 : œ
Ê : œ $'ß " 9
$È"(
=/8 : œ
Interpretación Geométrica de m→
? ‚→
@ m.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Sea el paralelógramo T UVW definido por los vectores →
? y→
@ . Por geometría básica, se tiene
que:
S
v
P
R
h = || v || sen ϕ
ϕ
u
Q
Area ò œ base † altura
Area ò œ m→
? ‚→
@m
80
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Calculemos el área del paralelógramo que tiene como lados adyacentes los siguientes
•
•
•
vectores: →
? œ 4ß →
@ œ45
Ejemplo:
1°
Primero calcularemos →
? ‚→
@ . En efecto:
"
→
? ‚→
@ ϼ
"
! •
!
3º
"º
!
! •
!
4º
"º
!
" • •
5œ3
"º
2°
Determinaremos la morma de →
? ‚→
@.
3°
En consecuencia, tenemos que el área del paralelógramo es " c?Þ ./ +Þd.
m→
? ‚→
@ m œ È" œ "
Ejemplo:
1°
Encontremos el área del triángulo de vértices EÐ!ß #ß #Ñ ß FÐ)ß )ß  #Ñ y GÐ*ß "#ß 'Ñ.
En primer lugar, debemos determinar los vectores que forman el tríangulo.
→
+ œ
→
, œ
2°
→
EF œ F  E œ c)ß 'ß  %d
→
EG œ G  E œ c *ß "!ß %d
Debemos calcular el área del triángulo, que es equivalente a la mitad del área del paralelógramo.
A˜ œ
A˜ œ
3°
"
A
# ò
" → →
m+ ‚ , m
#
→
Calculando →
+ ‚ ,:
→
'
→
+ ‚ , œº
"!
4°
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
% •
)
3º
% º
*
% •
)
4º
% º
*
•
•
•
' •
5 œ '%3  ')4  #'5
º
"!
Determinando la norma del vector obtenido en el 3° paso:
81
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
→
m→
+ ‚ , m œ È*$*'
5°
En consecuencia, podemos afirmar que el área del triángulo es:
"
† # È # $%* œ È#$%* œ %)ß %''%)$#'ÞÞÞ Ð?. ./ +.Ñ
#
Ejercicios:
1)
Calcula el área del paralelógramo de lados adyacentes los vectores
→
→
? œ Ò$ß #ß  "Ó y
@ œ Ò "ß #ß $Ó
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
2)
→ →
Calcula el área del paralelógramo con los vértices que se especifican y de lados EF y EG .
a)
E œ Ð"ß "ß " Ñß F œ Ð#ß $ß %Ñ ß G œ Ð'ß &ß #Ñ
b)
E œ Ð"ß $ß  #Ñß F œ Ð#ß "ß %Ñ, G œ Ð  $ß "ß 'Ñ
c)
E œ Ð+ß !ß !Ñß F œ Ð!ß ,ß !Ñß G œ Ð!ß !ß -Ñ
3)
Calcula el área del triángulo de vértices
E œ Ð"ß $ß &Ñß F œ Ð$ß $ß !Ñß G œ Ð  #ß !ß &Ñ
Respuestas:
1)
2)
3)
'È& Ò?. ./ +.Ó
a) # È)$ Ò?. ./ +.Ó
b) È""%! Ò?. ./ +.Ó
c) È+# , #  +# - #  , # - # Ò?. ./ +.Ó
*È '
Ò?. ./ +.Ó
#
→
→
→
Definición: Sean →
+ , , ,→
- tres vectores. Los productos →
+ †Š, ‚→
- ‹ y Š→
+ ‚ , ‹†→
- se llaman
→ →
→
→
→
Producto Escalar Triple y los productos de la forma + ‚ Š , ‚ - ‹ y Š + ‚ , ‹ ‚ →
se llaman Producto Vectorial Triple.
82
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Observación:
1)
→
El número º→
+ †Š, ‚→
- ܼ
→
vectores →
+, , y →
-.
representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los
n
h
c
ϕ
b
→
Z œ º→
+ †Š, ‚→
- ܼ
a
2)
→
→
Si →
+ †Š, ‚→
- ‹ œ !, entonces los vectores →
+, , ,→
- son coplanares.
Ejemplo:
Determinemos el volumen del paralelepípedo que tiene a →
? =c$ß  &ß "dß
→
→
@ œ c!ß #ß  #d y A œ c$ß "ß "d como lados adyacentes.
En efecto, →
? ‚→
@ œ c)ß 'ß 'd
1°
Buscando, en primer lugar, →
? ‚→
@.
2°
Calculemos Š→
? ‚→
@‹†→
A œ c)ß 'ß 'dc$ß "ß "d œ #%  '  ' œ $'
3°
Entonces, el volumen del paralelepipedo es ºŠ→
? ‚→
@‹†→
A º œ $' Ð?Þ ./ @ÞÑ
Ejercicios:
1)
Calcula el volumen del paralelepípedo con lados adyacentes
→
? œ c"ß "ß !d ß
2)
3)
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
→
@ œ c!ß "ß "dß
→
A œ c"ß !ß "d
aVerifiquémoslob
→ → →
Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores T U ß T V y T W , donde
T Ð#ß "ß  "Ñ ß UÐ  $ß "ß %Ñ ß VÐ  "ß !ß #Ñ y WÐ  $ß  "ß &Ñ.
Calcular el volumen del tetraedro cuyos vértices son:
83
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Ea"ß "ß "bß F a!ß ! ß #b ß G a!ß $ß !b, Ha%ß !ß !b
"
" "
El volumen de un tetaedro está dado por: Z œ F 2 œ Œ ºŠ→
? ‚→
@‹†→
A º
$
$ #
Respuestas:
1)
# Ð?. ./ @.Ñ
2)
3)
El volumen de un tetaedro está dado por: Z œ
→
? œ c  "ß  "ß "d
→
@ œ c  "ß #ß  "d
→
A œ c$ß  "ß  "d
â
â "
â
→
→
→
Š? ‚ @ ‹ † A œ â  "
â
â $
Z œ
"
#
"
& Ð?Þ ./ @ÞÑ
"
" "
F 2 œ Œ ºŠ→
? ‚→
@‹†→
A º
$
$ #
â
" â
â
 " â œ  "Ð  #  "Ñ  " Ð"  $Ñ  "Ð"  'Ñ œ #
â
"â
"
"
Ð ?Þ ./ @Þ Ñ
†# œ
'
$
3
Rectas en ‘ .
VIRGINIO GOMEZ
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Consideremos una recta P que pasa por el punto T! ÐB! ß C! ß D! Ñ y es paralela al vector →
< œ c+ß ,ß - d
mostrado en la figura
84
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z
P
P0
L
r
y
x
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→
La recta P es el conjunto de todos los puntos T ÐBß Cß DÑ del espacio para los cuales el vector T! T
→
es paralelo a →
< . Una manera de expresar que T! T es paralelo a →
< es afirmar que existe un escalar > tal
que:
→
T! T œ >→
<
aEcuación Vectorial de la Recta Pb
→
Si T! T œ T  T! œ cB  B! ß C  C! ß D  D! d y →
< œ c+ß ,ß - d, entonces
→
T! T œ >→
<
cB  B! ß C  C! ß D  D! d œ c+>ß ,>ß ->d
es decir: B  B! œ +>ß
o bien:
C  C! œ ,>ß
Ú B œ B  +>
!
Û C œ C!  ,> ß > − ‘
Ü D œ D!  ->
D  D! œ ->
aEcuación Paramétrica de la recta Pb
Si +ß ,ß - son no nulos, entonces eliminando el parámetro > se tiene:
B  B!
C  C!
D  D!
;
œ
œ
+
,
-
aEcuación simétrica o cartesiana de la recta Pb
Observaciones:
i) El vector →
< œ c+ß ,ß - d determina la dirección de la recta y los números +ß ,ß - son los números
directores de ella.
ii) Si uno de los números directores de una recta P es cero, por ejemplo , œ !ß entonces la recta tiene por
ecuación:
B  B!
D  D!
œ
à C œ C!
+
-
Determinemos la ecuación simétrica de la recta que pasa por los puntos T" Ð  $ß #ß %Ñ y
Ejemplo:
T# Ð'ß "ß # Ñ.
85
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VIRGINIO GOMEZ
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1° Necesitamos conocer el vector director de la recta P. Como nos dicen que la recta pasa por los puntos
→
T" y T# , podemos afirmar que →
< œ T" T# œ c * ß  "ß  #d es el vector director de P.
2°
Si escogemos a T" como el punto por donde pasa la recta, la ecuación simétrica de la recta es:
B$
C #
D %
œ
œ
*
"
#
Definición:
a)
b)
Sean P" y P# dos rectas; →
<1 vector director de P" C →
<# vector director de P# .
P" es paralela a P# si →
<1 ² →
<2
P" es perpendicular a P# si →
<1 ¼ →
<2
Ejemplo: Averiguemos si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares
B œ  "  >ß
C œ #  $>ß
Dœ>
B œ #  >ß
C œ  #  >ß
D œ $  #>
y
Para averiguar si las dos rectas son paralelas debiera ocurrir que →
<1 ² →
<2 , es decir, →
<1 œ ! →
<2 o
→
→
→
→
bien que <1 ‚ <2 œ @. En efecto,
los vectores directores son <1 œ c"ß  $ß "d y <2 œ c"ß "ß #d.
Se ve claramente que →
<1 Á ! →
<2 .
Ahora verifiquemos si →
<1 ¼ →
<2 , es decir →
<1 † →
<2 œ !. En efecto, c"ß  $ß "d † c"ß "ß #d œ !.
Por lo tanto las rectas son perpendiculares.
Ejercicios:
1)
2)
Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por Ð#ß "ß  $Ñ con vector director ["ß
"ß $]
Encuentra las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por Ð"ß %ß $Ñ y que es ¼ a la recta:
B œ #  >; C œ "  >; D œ  $  &>.
3)
Encuentra la ecuación de la recta en su forma simétrica que pasa por Ð#ß &ß 'Ñ y Ð  *ß $ß "Ñ.
4)
Considera la recta P cuyas ecuaciones son:
Ú B œ #  $>
ß>−‘
PÀÛ Cœ>
ÜD œ  "  t
Determina un vector unitario paralelo a P y dos puntos distintos de la recta.
86
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6)
Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos T" Ð  "ß "ß #Ñ y
T# œ Ð#ß $ß "Ñ.
VIRGINIO GOMEZ
5)
Encuentra la ecuación de una recta P ortogonal a las dos rectas dada y que pasa
B#
C$
D"
B#
C&
D$
por el punto dado
œ
œ
à
œ
œ
à Ð  %ß (ß $Ñ
%
(
$
$
%
#
Respuestas:
1)
Bœ#>
C œ">
D œ  $  $>
2)
B"œ
3)
B#
C&
D'
œ
œ
""
#
&
4)
→
? œ ’
5)
P À B œ  "  $>à C œ "  #>à D œ #  > à > − ‘
6)
B%
C(
D$
œ
œ
#'
"
$(
C%
D$
œ
"
&
$
"
"
È"" ß È"" ß È"" “
y dos puntos distintos son EÐ#ß !  "Ñ, FÐ  "ß "ß !Ñ.
Teorema: Sea P una recta paralela al vector →
< y sea E un punto del espacio que no pertenece a P y T!
un punto cualquiera que pertenece a la recta. La distancia . de E a P está dada por:
z
r
A
x
y
d
θ
L
P0
→
m→
< ‚ T! Em
.œ
m→
<m
87
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Ejemplo:
PÀ
1°
2°
Determinemos la distancia desde el punto EÐ"ß #ß  "Ñ a la recta
B"
C'
D$
.
œ
œ
$
"
#
Mostraremos los elementos básicos de la recta P.
→
< œ c$ß "ß #dß T! a  "ß 'ß $b
→
Calcularemos el vector T! E Þ
→
T! E œ E  T! œ Ð"ß #ß  "Ñ  a  "ß 'ß $b œ Ò#ß  %ß  %Ó
3°
Calcularemos m→
< m œ mc$ß "ß #dm œ È*  "  % œ È"%
4°
→
Calcularemos m→
< ‚ T! E m .
→
Para ello, debemos determinar el vector →
< ‚ T! E . En efecto:
→
→
< ‚ T! E œ c$ß "ß #d ‚ Ò#ß  %ß  %Ó
→
"
→
< ‚ T! E œ ”º
%
#
$
à º
%º
#
#
$
à
 %º º#
"
 % º•
→
→
< ‚ T! E œ c%à "'à  "%d
→
Ahora bien, m→
< ‚ T! E m œ È"'  #&'  "*' œ È%') œ 'È"$
5°
Por tanto, la distancia del punto E a la recta P es . œ
' È"$
a?Þ ./ 7Þb
È"%
Ejercicios:
1) Determina si las rectas dadas son paralelas o perpendiculares
C œ  #  %>ß D œ  "  "! >
B#
C$
D%
œ
œ
$
#
&
VIRGINIO GOMEZ
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y
B œ '>ß
2)
Sean los puntos EÐ  "ß "ß #Ñ y FÐ$ß "ß #ÑÞ Determina la ecuación de la recta que pasa por E y F .
3)
Determina la distancia entre el punto UÐ$ß  "ß %Ñ y la recta dada por B œ  #  $> ß
>ß D œ "  % >
C œ #
4) Determina la distancia entre el punto VÐ"!ß $ß  #Ñ y la recta dada por B œ %>  #à
D œ >"
88
C œ $à
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Respuestas:
1)
→
< " œ c$ß  #ß &dß →
< # œ c'ß  %ß "!d
→
<" œ #†→
< # ß es decir, c$ß  #ß &d œ
"
#
† c'ß  %ß "!d
Por lo tanto las rectas son paralelas.
2)
3)
4)
B"
à C œ "à D œ #
%
.ÐUß PÑ œ È'
.ÐVß PÑ œ ! aObs.: V − Pb
Planos en ‘$ .
VIRGINIO GOMEZ
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Sean T! ˆB!ß C! ß D! ‰ un punto fijo del espacio y →
8 œ c+ß ,ß - d un vector dado, con →
8 Á ).
z
n
P
P0
y
x
Un punto T aBß Cß D b del espacio perteneciente al plano que contiene a T! y es perpendicular al
→
→
vector 8 si y sólo si el vector T! T es perpendicular a →
8.
→
→
8 † T! T œ !
;
Ecuación Vectorial del Plano.
→
Como T9 T œ T  T! œ cB  B! ß C  C! ß D  D! d, entonces
→
→
8 † T! T œ !
c+ß ,ß - d † cB  B! ß C  C! ß D  D! d œ !
+aB  B! b  , aC  C! b  - aD  D! b œ !
+B  +B!  ,C  ,C!  -D  -D! œ !
donde . œ  +B!  ,C!  -D! ; entonces
+B  ,C  -D  . œ ! ;
Ecuación Cartesiana del Plano.
Entonces, podemos concluir que la ecuación del plano se puede determinar de dos formas: a
través de la ecuación vectorial o de la ecuación cartesiana.
89
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De la definición dada, podemos determinar la ecuación del plano de dos formas:
T  T! œ aBß Cß D b  aB! ß C! ß D! b
T  T! œ caB  "bß aC  "bß aD  $bd
1°
Por lo tanto
c À
c À
c À
cB  "ß C  "ß D  $ d † c  "ß #ß $d œ !
 aB  "b  #ÐC  "Ñ  $ ÐD  $Ñ œ !
 B  #C  $D œ "#
→
8 œ c  "ß #ß $d y pasa por T a  "ß "ß $b
. œ a  "b † a  "b  # † "  $ † $ œ "#
2°
Ê
B! œ  "
Por lo tanto, reemplazamos en la ecuación general del plano.
Ê
;
C! œ " ;
VIRGINIO GOMEZ
Determinemos la ecuación del plano que tiene vector normal →
8 œ c  "ß #ß $d y pasa por T a  "ß "ß $b.
Ejemplo:
D! œ $
 B  # C  $D œ "#
Ejercicios:
Halla la ecuación del plano que pasa por el punto T Ð#ß "ß #Ñ y su vector normal es →
8 œ c"ß !ß !d
1)
2)
Halla la ecuación del plano que pasa por el punto T Ð #ß "ß  "Ñ y es perpendicular al vector
→
8 œ c#ß "ß  $d.
3)
Determina la ecuación del plano que pasa por los puntos T œ Ð"ß #ß "Ñß U œ Ð  #ß $ß  "Ñ y
V œ Ð"ß !ß %Ñ
Respuestas:
1)
2)
3)
B œ #
#B  C  $D œ )
 B  *C  'D œ #$
Distancia de un Punto a un Plano.
Se puede probar que en general la distancia . entre un punto T" y un plano c está dada por:
 →
m→
8 † T0 T " m
Hœ
m→
8m
ó bien
Hœ
l+B"  ,C"  -D"  .l
È +#  , #  - #
p
donde T" − c y 8 es un vector normal al plano c
Ejemplo: Determina la distancia del punto Ea%ß !ß "b al plano #B  C  )D œ $
90
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Departamento de Ciencias Básicas
2°
Sabemos que Ea%ß !ß "b es el punto fuera del plano y →
8 œ c#ß  "ß )d el vector normal al plano que
se obtiene de la ecuación del plano.
Determinaremos el valor de la expresión ¸+B"  ,C"  -D"  . ¸. En efecto:
¸# † %  " † !  ) † "  $¸ œ ¸)  )  $¸ œ "$
3°
Calculando la norma del vector director, tenemos que m→
8 m œ È'* a¡verifícalo!b
4°
Luego, tenemos que la distancia del punto al plano es:
. œ
"$ È
'* œ "ß &'&!"'!*ÞÞÞ au. de l.b
'*
Ejercicios:
1)
Dertermina la distancia del punto dado al plano dado
a) Ð  $ß !ß #Ñ à  $ B  C  & D œ !
b) Ð"ß &ß  %Ñ à $ B  C  # D œ '
2)
Dertermina la distancia desde el punto Ð!ß "ß "Ñ al plano de vector normal [$,",'] y que pasa por T Ð"ß "ß #Ñ
Respuestas:
1)
2)
VIRGINIO GOMEZ
1°
"*
¸ $ß #" Ð? ./ 6Ñ
È$&
"'
b) . œ
¸ %ß #( Ð? ./ 6Ñ
È"%
*
.œ
È%'
a) . œ
91
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Planos Paralelos.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos, es decir, si el producto cruz de sus
vectores normales es el vector nulo.
La distancia entre dos planos paralelos c y d que no contienen al origen, está dado por:
Hœ
¹."  . # ¹
m→
8m
donde: ." œ T" † →
8 y .# œ T# † →
8
T" − Plano c"
Ejemplo:
1°
y
T# − Plano c#
Derterminemos la distancia entre los planos paralelos $B  C  #D  ' œ !
'B  #C  %D  % œ !.
Determinemos los puntos T" y T# que pertenencen a los planos respectivos.
Sea T" œ a"ß "ß #b − Plano c"
2°
y
T# œ a"ß "ß  #b − Plano c#
Calculemos los valores de ." y .# . En efecto:
." œ T " † →
8 œ a"ß "ß #b † c$ß  "ß #d œ '
. # œ T# † →
8 œ a"ß "ß  #b † c$ß  "ß #d œ  #
y
3°
Calculemos la norma de uno de los vectores directores de los planos. Para ello, trabajaremos con
el vector →
8 œ c$ß  "ß #d
²→
8 ² œ È*  "  % œ È"%
4°
Por lo tanto, podemos determinar la distancia entre los planos. Esta es:
Hœ
l."  .# l
l'  Ð  #Ñl
)
a?Þ ./ 6Þb
œ
œ
→
È
È
² 8²
"%
"%
92
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
1°
2°
Determina la ecuación cartesiana del plano cß que contiene el punto a"ß #ß $b y es
paralela al plano d À $B  C  #D œ %. Encuentre, además, la distancia entre ambos planos.
Como c ² d , se tiene que sus vectores directores también son paralelos. Por lo tanto, un vector
normal para c es →
8 œ c$ß  "ß #d
La ecuación de plano solicitada es:
c À $aB  "b  "aC  #b  #aD  $b œ !
c À $B  $  C  #  #D  ' œ !
c À $B  C  #D  ( œ !
3°
VIRGINIO GOMEZ
Ejemplo:
La distancia entre ambos planos es:
Hœ
¸%  ( ¸
È"%
œ !ß )!"()$($ a?Þ ./ 6Þb
Determina la distancia entre los dos planos paralelos #B  C  D œ " y %B  #C  #D œ $.
Ejercicio:
Respuesta:
.œ
"
œ !ß #!% a?Þ ./ 6Þb
È#%
Planos Perpendiculares.
Dos planos c" y c# son perpendiculares si sus vectores normales son perpendiculares, es decir
→
→
8 1 ¼ 8 # ß donde →
81 y →
8 # son vectores normales a c" y c # .
Ejemplo:
1°
Determinemos si los siguientes planos B  #C  $D œ & y #B  #C  #D œ % son
perpendiculares.
Obtengamos los vectores directores de los planos correspondientes.
→
8 1 œ c"ß  #ß  $d
2°
y
→
8 # œ c#ß  #ß #d
Diremos que los planos son perpendiculares si y sólo si →
81 †→
8 # œ !. En efecto:
Ò"ß  #ß  $Ó † Ò#ß  #ß #Ó œ #  %  ' œ !
Por lo tanto los planos son perpendiculares
93
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Ejercicios:
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
1)
2)
Halla la ecuación del plano que pasa por el punto a  #ß $ß %b y es paralela al plano &B  #C  $D œ !.
Determina el valor de 5 de modo que los planos 5B  #C  $D œ & y 'B  5C  #D œ  $
sean perpendiculares.
3)
Determina si los siguientes pares de planos son paralelos o perpendiculares
a)
b)
c)
&B  $C  D œ %ß
B  %C  (D œ "
$B  C  %D œ $  *B  $C  "#D œ %
B  $C  'D œ % &B  C  D œ %
Respuestas:
1)
2)
3)
&B  #C  $D œ  #)
$
5œ
%
Son perpendiculares en +ß son paralelos en b, No son paralelos ni
perpendiculares en - .
Ángulo entre Planos.
El ángulo entre dos planos se define como el ángulo entre los vectores normales a los dos planos.
Este ángulo se determina de la siguiente forma:
Ô
: œ E<--9= Ö
8 " Þ→
8 #¹ ×
¹→
Ù
→
→
m
8
m
†
m
8
m
"
#
Õ
Ø
Ejemplo:
1°
Calculemos el ángulo entre los planos B  #C  D œ ! y #B  $C  #D œ !
Determinemos ¹ →
8 " Þ→
8 # ¹, m→
8 " m y m→
8 # m.
8 " Þ→
8 # ¹ œ ¹c"ß  #ß "d † c#ß $ß  #d¹ œ ¹#  '  #¹ œ '
¹→
m→
8 " m œ È"  %  " œ È'
m→
8 # m œ È%  *  % œ È"(
Ô ¹c"ß  #ß "d † c#ß $ß  #d ¹ ×
'
9
Ù œ E<--9=
: œ E<--9=Ö
È
 œ &$ß &&
È' † È"(
"!#
Õ
Ø
94
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Ejercicios: Encuentra el ángulo entre los planos.
1)
BCD œ$ •
 %B  #C  (D œ &
2)
BCD œ!
•
3)
Determinar la ecuación del plano que cumpla con la condición indicada.
a)
b)
c)
$B  #C  #D œ !
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Paralelo al plano #B  C  D  " œ ! y contenga al punto Ð#ß $ß %Ñ.
Perpendicular al plano B  $C  D  ( œ ! y contenga los puntos Ð#ß !ß &Ñ y Ð!ß #ß  "Ñ.
Perpendicular a cada uno de los planos B  C  D œ ! y $B  %C  &D  # œ ! y contenga al
punto Ð$ß  #ß "Ñ.
Respuestas:
1)
)'ß !"9
2)
3)
Revise sus respuestas con sus compañeros y luego con su profesor.
95
""ß %#9
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AUTOEVALUACION N° 8
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
PROBLEMA 1: Dado los vectores →
? œ Ò  "ß &ß #Ó y →
@ œ Ò  #ß $ß "Ó con →
?,→
@ − ‘3 . Determina:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Los cosenos directores para →
?.
La distancia de →
@ a→
?.
El área del paralelogramo generado por →
?y→
@.
La ecuación simétrica de la recta que pasa por el punto a"ß #ß  $b y vector
director →
@.
La ecuación del plano que pasa por a$ß #ß "b y vector normal →
?.
La proyección vectorial de →
? sobre →
@.
La proyección escalar de →
@ sobre →
?.
PROBLEMA 2: Determina el volumen del paralelepípedo que tiene vértices T Ð&ß %ß &Ñà UÐ%ß "!ß 'Ñà
→ → →
VÐ"ß )ß (Ñ y WÐ#ß 'ß *Ñ y aristas T U ß T V C T W .
PROBLEMA 3: Diga si el cuadrilátero que tiene sus vértices en T Ð  "ß #ß $Ñà UÐ%ß $ß  "Ñà VÐ#ß #ß "Ñ y
WÐ&ß (ß  $Ñ es un paralelógramo.
AUTOEVALUACION N° 9
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: Muestra que los puntos:
a)
b)
Ð#ß "ß &Ñà Ð),-#ß !Ñà Ð"%ß -&ß &Ñ son colineales (que se ubican en la misma recta)
Ð$ß "ß #Ñà Ð-$ß "ß -"Ñà Ð%ß $ß &Ñ y Ð"ß "ß "Ñ son coplanares (que se ubican en el mismo plano)
PROBLEMA 2: Determina si las rectas se intersectan. Si se intersectan, calcula el ángulo que forman.
Ú B œ $  (>
P" :Û C œ #  >
Ü D œ $  #>
à >%‘
ÚB œ &  =
P# :Û C œ $  #= à
Ü D œ #  '=
96
=%‘
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
AUTOEVALUACION N° 10
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA1: Sean →
? œ c"ß  #ß $dà →
@ œ c  $ß #ß &d y →
A œ c#ß  %ß "d. Calcula:
a)
b)
c)
d)
h)
j)
k)
→
? →
@
→
$→
@  &A
→
A
T <9C I=- →
@
→
?
T <9C Z /->→
@
→
? †→
A →
A †→
@
El ángulo entre →
? y→
@
Determina el volumen del paralelepípedo generado por los vectores →
?ß →
@ y→
A.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
PROBLEMA 2: Determina las ecuaciones de la recta que pasa por el punto Ð$ß  $ß %Ñ y es perpendicular
B$
#C  (
$D
C$
D#
a cada una de las rectas: #B%
y
.
œ
œ
# œ " œ &
"
$
$
B#
C#
)D B"
#C
D$
y
œ
œ
œ
œ
$
%
%
$
%
%
paralelas y determina la distancia entre ellas.
PROBLEMA 3: Demuestra que las rectas
AUTOEVALUACION N° 11
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: Calcula el ángulo formado por la recta
#B  $C  D  "" œ !.
B#
C
D%
œ
œ
$
"
#
son
y el plano
PROBLEMA 2: Determina la distancia del punto Ð(ß (ß %Ñ a la recta de intersección de los planos
'B  #C  D  % œ ! y 'B  C  #D  "! œ !.
PROBLEMA 3: Encuentra la ecuación del plano que contiene a la recta
paralelo a la recta:
B"
"
œ
C
#
œ
D(
& .
97
B#
C$
D
y es
œ
œ 
#
$
%
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
AUTOEVALUACION N° 12
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: Determina la distancia del punto Ð#ß  "ß %Ñ al plano #B  &C  %D œ $!.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
PROBLEMA 2: Encuentra la ecuación del plano que contiene al punto Ð"ß  "ß #Ñ y a la recta
B  # œ C  " œ D&
#
PROBLEMA 3: Calcula el valor de 5 para que los
%B  5C  'D  * œ ! sean perpendiculares entre si.
planos
5B  #C  #D  ( œ ! y
PROBLEMA 4: Sean !, " y $ los ángulos directores de un vector →
+.
-9=# !  -9=# "  -9=# $ œ ".
98
Demuestra que
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UNIDAD 3
Espacios Vectoriales.
99
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
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Espacios Vectoriales.
________________________________________________________________________
Giuseppe Peano
Max Zorn
VIRGINIO GOMEZ
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El primero en dar una definición axiomática de espacio vectorial real, fue el
matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) en una publicación en el año 1888.
También logró establecer las condiciones que debe cumplir un objeto (por ejemplo un
vector) para que sea linealmente dependiente de otros (es decir, se pueda escibir como
una combinación lineal) e introduce la idea de dimensión (para referirse al número de
elementos de un conjunto).
Más adelante, en 1935, el matemático alemán Max Zorn (1906-1993), publicó
un axioma que permitió fundamentar la demostración de varios teoremas relativos a
espacios vectoriales, llamado "Lema de Zorn".
Existen muchas situaciones problemáticas que se pueden resolver con mayor
facilidad aplicando los conceptos mencionados. Por ejemplo, en los sistemas de
ecuaciones lineales resulta natural considerar combinaciones lineales de las filas de una
matriz; también, es posible caracterizar conjuntos tales como ‘2 (vectores en el plano) y
‘3 (vectores en el espacio); etc.
100
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Departamento de Ciencias Básicas
Un espacio vectorial Z es un conjunto de objetos, llamados vectores, que junto con
dos operaciones binarias llamadas adición y multiplicación por un escalar,
cumplen las siguientes propiedades
a) Propiedades para la Adición
() À Z ‚Z Ä Z
Ð→
Bß →
CÑ Ä→
B →
C
i) Clausura: a →
Bß →
C − Z à Ð→
B →
C Ñ − Z Þ La suma de dos vectores es un vector.
ii) Asociatividad: a →
Bß →
Cß →
D −Z à →
B  Ð→
C →
D Ñ œ Ð→
B →
CÑ→
D
iii) Conmutatividad: a →
Bß →
C − Z à →
B →
C œ →
C →
B
→
→
→
a→
B − Z ß bx ) − Z Î →
B  ) œ ) →
B œ →
B
iv) Elemento neutro aditivo:
VIRGINIO GOMEZ
Definición:
→
→
v) Elemento inverso aditivo: a →
B −Zß →
B Á ) ß bx  →
B −Z Î →
B  Ð→
B Ñ œ Ð→
B Ñ→
B œ )
b) Propiedades para la Multiplicación por un Escalar
vi) Clausura bajo la multiplicación por un escalar: a →
B −Z
• ! − Š ; !→
B −Z
vii) Asociatividad de la multiplicación por escalares: a ! ß " − Š ß a →
B −Z à
!Ð"→
B Ñ œ Ð! " Ñ→
B
viii) a →
B − Z ß "†→
B œ →
B , donde " es el elemento unitario del cuerpo ŠÞ
c) Propiedades Distributivas
ix) a ! − Š ß a →
B ß→
C −Z
x)
a !ß " − Šß a →
B −Z
Î
! Š→
B →
C ‹ œ !→
B  !→
C
Î a!  " b→
B œ !→
B  "→
B
101
(† )À Š‚Z Ä Z
Ð !ß →
B Ñ Ä !→
B
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Ejemplos:
1)
El conjunto Z œ Ö!× (con Š œ ‘) es un espacio vectorial, llamado trivial.
En efecto, (Z ß  ß † Ñ cumple las propiedades:
i) Clausura: ! − Z à a!  !b − Z Þ
ii) Asociatividad: ! − Z à
!  a!  !b œ a!  !b  !
iii) Conmutatividad: ! − Z à
!!œ!!
iv) Elemento neutro aditivo:
a ! − Z ß bx ! − Z Î !  ! œ !
v) Elemento inverso aditivo: a ! − Z ß b ! − Z Î !  ! œ !
vi) Clausura bajo la multiplicación por un escalar: ! − Z , ! − ‘ ; !! œ ! − Z
vii) Asociatividad de la multiplicación por escalares: a !ß " − ‘ ß ! − Z à
! a" ! b œ a ! " b ! œ !
viii) ! − Z ß " † ! œ !, donde 1 es el elemento neutro multiplicativo del conjunto ‘Þ
ix) a ! − ‘ ß ! − Z
x)
Î
a !ß " − ‘ß ! − Z
! a!  !b œ !!  !!
Î a!  " b! œ !!  " ! œ !
2) El conjunto Z œ Ö"× no es un espacio vectorial.
En efecto, aZ ß  ß † b no cumple la propiedad de clausura para la adición:
i) " − Z à a"  "b œ #  Z Þ Luego, aZ ß  ß † b no es un espacio vectorial.
Observaciones:
1) Los elementos de Z se denominan vectores y los elementos de Š, escalares.
2) Si Š = ‘ , diremos que Z es un espacio vectorial real. Si Š œ ‚ ß diremos que Z
es un espacio vectorial complejo.
102
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Ejercicios:
Determina si los siguientes conjuntos son e.v.
1)
Z œ ÖÐBß CÑ À C œ 7 B× donde 7 es un número real fijo y B es un número real
arbitrario.
2)
Z œ Q#‚$ .
Respuestas:
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
1)
Z œ ÖÐBß CÑ À C œ 7 B× es un e. v., ya que Z consiste en todos los puntos sobre la recta C œ 7 B
que pasa por el origen y tiene pendiente 7 y cumple con todas las propiedades de un e.v.
2)
El conjunto de las matrices de orden # ‚ $, junto con la adición de matrices y la multiplicación por
un escalar, cumple con todas las propiedades de un e.v.
Propiedades De Los Espacios Vectoriales.
→
1) El elemento neutro ) para la operación adición es único.
2) Para cada elemento →
B de Z , el inverso aditivo  →
B es único.
a→
Bß →
C ß→
D −Z ß →
B →
C œ →
B →
D Ê→
C œ →
D
3) Ley de Cancelación:
4) El producto del escalar ! por cualquier vector es el vector nulo.
5) a ! − Šß a →
B − Z à a  !b →
B œ  Š!→
B‹
→ →
6) a - − Š ß - † ) œ )
→
7) ! →
B œ )
Ê
! œ !
→
” →
B œ ) ß
B −Z.
! −Š • →
Subespacios Vectoriales.
Definición: Sea Z un Š - espacio y W un subconjunto de Z Þ Diremos que W es un subespacio
vectorial de Z , si W es un espacio vectorial sobre Š con las mismas operaciones de
adición y multiplicación por escalar definidas en Z . Se dice que W hereda las operaciones
del espacio vectorial Z
→
Observación: Cualquiera sea el espacio Z , tanto ˜ ) ™como Z mismo, son subespacios triviales. Los
demás subespacios de Z , distintos a los dos mencionados, se llaman subespacios propios.
103
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Teorema:
Sea Z un Š - espacio vectorial y W un subconjunto de Z . Entonces W
vectorial de Z si y sólo si:
i) W Á 9
ii) →
? −W •→
@ −W Ê→
? →
@ −W
iii) - − Š • →
? − W Ê -→
? −W
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
es un subespacio
Ejemplo: El conjunto W œ ÖÐBß CÑ − ‘# Î B  #C œ ! × es subespacio de ‘# , pues verifica que:
→
i) W Á 9 , pues ) œ Ð!ß !Ñ − WÞ
Al reemplazar Ð!ß !Ñ en Wß se tiene que
! #†! œ !
ii) →
? −W •→
@ −W Ê→
? œ Ð?" ß ?# Ñ • →
@ œ Ð@" ß @# Ñ − W
Ê ?"  #?# œ ! • @"  #@# œ !
Ê Ð?"  #?# Ñ  Ð @"  #@# Ñ œ !
Ê ?"  @"  #?#  #@# œ ! , al suprimir paréntesis
Ê Ð?"  @" Ñ  #Ð?#  @# Ñ œ ! , al conmutar y asociar
Ê Ð ?"  @" ß ?#  @# Ñ − W , por definición de W
Ê Ð?" ß ?# Ñ  Ð@" ß @# Ñ − W , por adición de vectores
Ê →
? →
@ −W
Por lo tanto, →
? −W •→
@ −W Ê→
? →
@ −W
iii) Finalmente, probemos que À
-−‘ • →
? − W Ê -→
? −W
-−‘ • →
? − W Ê - − ‘ • Ð?" ß ?# Ñ − W
Ê - − ‘ • Ð?"  #?# œ ! Ñ
Ê
- Ð?"  # ?# Ñ œ !
Ê
- ?"  #- ? # œ !
Ê
Ð- ? " ß - ? # Ñ − W
Ê
-Ð?" ß ?# Ñ − W
Ê
-→
? −W
Por lo tantoß - − ‘ • →
? − W Ê -→
? −W
De i), ii) y iii) se tiene que W es un subespacio vectorial de ‘# .
Ejercicios: Determina si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales.
1)
2)
3)
4)
5)
W œ ÖÐB ß C Ñ − ‘# Î $B œ C ×
W œ ÖÐB ß Cß D Ñ − ‘$ Î B  %C  #D œ !×
W œ ÖÐB ß C Ñ − ‘# Î C œ #B  " ×
W œ ÖÐBß C ß D Ñ − ‘3 Î #B  "#C  D œ "×
+ ,
W œ œŒ
− Q#‚# Î +  , œ !
- .
104
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6)
W œ Ö +  ,B  -B# − T# ÐBÑ Î , œ - ×
Respuestas:
1), 2), 5) y 6) Son subespacios vectoriales.
3) y 4) No son subespacios vectoriales.
Combinaciones Lineales.
VIRGINIO GOMEZ
Departamento de Ciencias Básicas
Hemos vistoß en el capítulo anteriorß que todo vector →
@ œ c+ß ,ß - d de ‘$ se puede escribir de la
•
•
•
forma →
@ œ +3 ,4-5
•
• •
En este caso se dice que →
@ es una combinación lineal de los tres vectores unitarios 3 ß 4 y 5 .
Definición:
Sea Z un Š - espacio vectorial y sean →
@ "ß →
@ # ß ÞÞÞÞß →
@ 8 vectores de Z . Cualquier vector
→
→
que se pueda escribir de la forma !" @ "  !# @ #  ÞÞÞÞÞÞÞÞ  !8 →
@ 8 , donde !" , !2 , ... ß !n son
→
→
escalares, se llama una combinación lineal (C.L) de @ " ß @ # ß ÞÞÞß →
@ 8.
Ejemplo: Encontremos los valores de !" , !2 , ... ß !n que nos permitan escribir al vector
Î (Ñ
Î "Ñ
→
(
#
como una C.L. de →
y
A œ
@" œ
Ï ( Ò
Ï %Ò
Î &Ñ
→
$ .
@# œ
Ï "Ò
Î (Ñ
Î  "Ñ
Î &Ñ
(
#
= !"
 !#  $
Ï ( Ò
Ï %Ò
Ï "Ò
Es decir,
Para ello formemos el sistema de ecuaciones
 ( œ  !"  & !#
( œ # !"  $ !#
( œ % !"  !#
Y resolvámoslo, usando matrices.
Escalonando, se tiene
Î "
#
Ï %
|
&
$ |
|
"
 (Ñ Î"
(
µ !
( Ò Ï!
& |
|
(
|
!
(Ñ
(
!Ò
Así, el sistema tiene solución única (¿por qué?) y ésta es !" œ # y
Por lo tanto,
105
!# œ  "
Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez
Î (Ñ
Î "Ñ
Î &Ñ
(
#
$
= #

Ï (Ò
Ï %Ò
Ï "Ò
Ejercicios: Encuentra los valores de !" , !2 , ... ß !n , si es que existen, tales que
1)
$
La matriz Q œ Œ
"
#
*
Q" œ Œ
2) La matriz E œ Œ
#
!
"
"
!
"
%
&
Q# œ Œ
y
!
#
"
$
#
Þ
 '
"
pueda escribirse como una C.LÞ de
 $
E" œ Œ
3)
)
pueda escribirse como una C.LÞ de
$
"
!
"
,
"
E# œ Œ
!
!
"
"
y
"
E$ œ Œ
!
"
Þ
"
El vector →
@ œ c  #ß &d pueda escribirse como una C.L. de →
@ " œ Ò !ß " ÓÞ
4) El vector →
@ œ Ò "ß #ß  $ Ó pueda escribirse como una C.L de →
@ " œ Ò"ß  #ß $Ó ß
→
@ # œ Ò #ß !ß "Ó y →
@ $ œ Ò !ß #ß  "ÓÞ
Respuestas:
1)
2)
3)
4)
y !# œ #
!" œ $
y !$ œ %
! " œ  # , !# œ  &
No existe ningún escalar ! que permita escribir al vector →
@ como una C.L.
y
!" œ  &Î$ ß
! # œ %Î$
!$ œ  #Î$
Observación: El vector nulo es una C.L. de cualquier conjunto de vectores.
En efectoß
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→
a8 −  • a →
B "ß →
B # ß ÞÞÞÞß →
B 8 − Z ß se tiene que ) œ ! →
B "  !→
B #  ÞÞÞÞ  ! →
B8
106
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Definición: Sea Z un Š - espacio vectorial y E œ Ö→
@ "ß →
@ # ß ÞÞÞß →
@ 8 × © Z . Se dice que E es un
conjunto generador de Z , si todo vector en Z se puede escribir como una combinación
lineal de los vectores de EÞ
La notación Z œ E¡ sirve para indicar que Z es un espacio generado por EÞ
Ejemplos:
1)
Determinar si W œ Öa"ß "bà a#ß "b× genera a ‘# .
Diremos que W œ Öa"ß "bà a#ß "b× genera a ‘# sí y sólo si
a aBß C b − ‘# de manera que aBß C b œ !a"ß "b  " a#ß "b
En efecto:
!  #" œ B
!" œC
resolviendo el sistema en función de B e C, tenemos que:
y
! œ #C  B
" œBC
por lo tanto , aBß C b œ !a"ß "b  " a#ß "b, es decir
aBß C b œ a#C  Bba"ß "b  aB  C ba#ß "b.
Como existe la c.l., podemos afirmar que ‘# œ W ¡
2)
El conjunto F œ œŒ
es decir:
"
!
!
!
ß
! Œ!
`#‚# = ¦œŒ
"
!
ß
! Œ"
"
!
!
!
ß
! Œ!
!
!
ß
! Œ!
!
es un conjunto generador de `#‚# ,
" 
"
!
ß
! Œ"
!
!
ß
! Œ!
!
, pues
" §
cualquiera sea la matriz de orden # ‚ # , ésta se puede escribir como una combinación lineal de las
matrices de F .
En efecto,
3)
4)
+
Œ-
,
"
œ +Œ
.
!
!
!
 ,Œ
!
!
"
!
 -Œ
!
"
!
!
 .Œ
!
!
•
•
"
!
Los vectores 3 œ Œ  y 4 œ Œ  generan a ‘# .
!
"
•
Los vectores 3 œ
Î"Ñ
!
ß
Ï!Ò
•
4 œ
Î!Ñ
"
Ï!Ò
y
•
5œ
107
Î!Ñ
!
generan a ‘$ .
Ï"Ò
!
"
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Observación: Si se agrega uno o más vectores a un conjunto generador, se obtiene otro conjunto
"
#
"
generador. Por ejemplo, si œŒ , Œ  genera a ‘# , entonces œŒ ,
#
$
#
#
#
Œ  $  también genera a ‘ .
5)
Determinar si el vector a"ß &ß  $ß 'b esta
W œ Öa"ß "ß "ß "bà a"ß "ß "ß !bà a"ß "ß !ß !bà a"ß !ß !ß !b×.
en
el
espacio
vectorial
Linealidad.
generado
#
Œ $ ,
por
Sea Z un Š - espacio vectorial y E œ Ö→
@ "ß →
@ # ß ÞÞÞÞ→
@ 8 × © Z ; E es un conjunto linealmente
dependiente (L.D.) si existen escalares !" , !2 ,..., !n − Š, no todos nulos, tales que:
8
→
!!→
@ œ!→
@ ! →
@  ...  ! →
@ =)
3
3 œ"
3
"
2
"
#
8
8
Es decir, dos vectores en un e.vÞ son linealmente dependientes, si y solo si uno es un múltiplo
escalar del otro.
Cuando E no es L.D. se le denomina linealmente independiente (L.I.).
Observación 1:
→
@ "ß →
@ # ß ÞÞÞÞÞÞÞß →
@ 8 son linealmente dependientes (L.D.), si y sólo si, uno de ellos es
una combinación lineal los restantes.
Observación 2: W es un conjunto linealmente independiente si todo subconjunto finito de W es L.I.
Ejemplo:
El conjunto W œ ÖÐ #ß  "ß !ß $ Ñß Ð  'ß $ß !ß * Ñ× es L.I.
→
Efectivamente, de la definición se tiene que: !" →
@ " + !2 →
@# œ )
Es decir,
!" Ð #ß  "ß !ß $ Ñ  !2 Ð  'ß $ß !ß * Ñ œ Ð!ß !ß !ß ! Ñ
Al multiplicar por un escalar
Ð# !" ß  !" ß !ß $ !" Ñ  Ð  ' !2 ß $ !2 ß ! ß * ! 2 Ñ œ Ð!ß !ß !ß ! Ñ
Al sumar componente a componente
Ð # !1  ' ! 2 ß
!
"
 $ ! 2 ß ! ß $ ! "  * ! 2 Ñ œ Ð!ß !ß !ß ! Ñ
108
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Al igualar los vectores y formar un sistema de ecuaciones:
# !"  ' !2 œ !
 !"  $ !2 œ !
! œ !
$ !"  * !2 œ !
Al resolver mediante matrices
Î
#
"
Ï $
Se obtiene que
Ejercicios:
1)
2)
3)
'Ñ Î "
$
#
µ
* Ò Ï $
$ Ñ Î "
' µ
!
* Ò Ï !
$ Ñ
!
") Ò
!" œ !2 œ ! , de donde se concluye que los vectores son L.I.
Determina si los siguientes conjuntos son L.I. o L.D.
W œ ÖÐ"ß "ß !Ñ ß Ð"ß "ß "Ñ ß Ð!ß  "ß "Ñ×
V œ ÖÐ"ß "Ñ ß Ð#ß  "Ñ ß Ð$ß !Ñ ×
T œ Ö "  #B ß B  B# ß #  (B  $B# ×
Respuestas:
1) L.I. , 2) L.D. y 3) L.D.
Me cuesta entender un
poco esto. ¿Existe alguna
interpretación geométrica?
Una interpretación geométrica de la dependencia e independencia lineal en ‘$ es:
En a) los tres vectores son independientes y no coplanares.
En b) los tres vectores son dependientes y coplanares.
109
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Observaciones:
1)
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Si el conjunto E œ Ö→
@ "ß →
@ # ß ... ß →
@ 8 × es L.I., entonces el único valor que pueden asumir los
→
escalares !" ß !2 ß ... ß !8 en la ecuación !" →
@ "  !2 →
@ #  ...  !8 →
@ 8 œ ) es !" = !2 œ ÞÞÞ œ !8
œ !Þ
2) Todo conjunto que consta de un único vector distinto del nulo es L.I.
3) Si uno de los vectores de un conjunto de vectores es el nulo, entonces el conjunto es L.D.
4) El conjunto 9 es L.I.
5) Si Ö→
@ "ß →
@ # ß ÞÞÞÞß →
@ 5 × es un conjunto de L.D.ß entonces uno de los vectores es C.L. de los restantesÞ
6) Si el vector →
@ es C.L de →
@ "ß →
@ # ß ÞÞÞß →
@ 5 ß entonces Ö→
@ß→
@ "ß →
@ # ß ..Þß →
@ 5 × es L.D.
7) Todo subconjunto de un conjunto L.I. es L.I.
8) Todo conjunto de un conjunto de vectores que contenga un subconjunto L.D es L.D.
9) Si el conjunto E = Ö→
@ "ß →
@ # ß ÞÞÞß →
@ 5 × es un conjunto generador L.D. del espacio
entonces existe →
@ 4 − E tal que E  Ö→
@ 4 × es también un conjunto generador de Z Þ
Base de un Espacio Vectorial.
vectorial Z ,
•
Hemos visto que, en ‘# , un vector se puede escribir como una C.L. de los vectores 3 œ Ð"ß !Ñ
•
•
•
y
•
4 œ Ð!ß "Ñ. En ‘3 ß se escribieron en términos de los vectores 3 œ Ð"ß !ß !Ñß 4 œ Ð!ß "ß !Ñ y 5 œ Ð!ß !ß
"ÑÞ
Sean Z un Š - espacio vectorial y K œ Ö→
@ "ß →
@ # ß ÞÞÞß →
@ 8 × © Z . Se dice que K es una base de Z si :
i) K es L.I.
ii) K es un conjunto generador de Z .
Observaciones:
1) Se conviene en considerar a una base como un conjunto ordenado de vectores.
n
n
2) Todo conjunto de 8 vectores L.I., en ‘ , es una base de ‘ .
n
3) Dado que, en ‘ , el conjunto de vectores:
→
/ " œ Ð "ß !ß !ß ÞÞÞÞß !Ñ
→
/ # œ Ð!ß "ß !ß ÞÞÞÞß !Ñ
→
/ $ œ Ð!ß !ß "ß ÞÞß !Ñ
Þ
Þ
→
/ 8 œ Ð!ß !ß ÞÞÞÞÞÞß "Ñ
110
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1
n
es linealmente independiente, se tiene que este conjunto constituye una base de ‘ .
n
se llama base canónica en ‘ .
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Esta base especial
¿ Se podría esto relacionar con
algún ejemplo práctico de la vida
real para que me quede más claro?
Podríamos hacer una analogía con los colores. Si consideramos los tres colores primarios: rojo,
amarillo y azul (los cuales son independientes entre sí) podríamos "generar" con ellos toda la gama de
colores (Rosa Cromática). Recuerda que rojo y amarillo generan el naranjo; azul y rojo , el morado , etc.
Entonces la base sería el conjunto de los colores primarios y el conjunto de todos los colores que
existen vendría a ser el espacio vectorial.
Ejemplos:
1) El conjunto F œ ÖÐ"ß #ß !Ñß Ð!ß $ß "Ñ× es una base para el espacio vectorial
Z œ ÖÐBß Cß DÑ − ‘3 Î #B  C  $D œ !×Þ
En efecto:
i)
ii)
F es L.I., porque sus vectores son L.I. (un vector no es múltiplo del otro).
F es un conjunto generador de Z , pues si B y D se escogen arbitrariamente y se despeja C
(obteniéndose que C œ #B  $DÑ, entonces los vectores del conjunto Z son de la forma ÐBß
#B  $Dß DÑ, es decir, son una C.L. de los vectores Ð"ß #ß !Ñ y Ð!ß $ß "Ñ.
ÐBß #B  $Dß DÑ œ BÐ"ß #ß !Ñ  DÐ!ß $ß "Ñ
Así, entonces, F es efectivamente una base para Z Þ
2) El conjunto F œ œŒ
"
!
`#‚# . Demuéstralo.
!
!
ß
! Œ!
"
!
ß
! Œ"
!
!
ß
! Œ!
!
es una base para el espacio vectorial
" 
Ejercicios:
1) Determina si E œ ÖÐ"ß "ß "Ñß Ð"ß #ß $Ñß Ð#ß  "ß "Ñ× constituye una base para ‘$ .
2) Sea [ el subespacio de ‘% generado por los vectores
→
? " œ Ð"ß  #ß &ß  $Ñß →
? # œ Ð#ß $ß "ß  % Ñß →
? $ œ Ð$ß )ß  $ß  &Ñ
Encuentra una base de este subespacio.
3) Sea [ el subespacio generado por los vectores
→
? " œ Ð"ß #ß  "ß $ß %Ñ ß →
? # œ Ð#ß %ß  #ß 'ß )Ñß →
? $ œ Ð"ß $ß #ß #ß 'Ñß
→
→
? % œ Ð"ß %ß & ß " ß )Ñß ? & œ Ð #ß (ß $ß $ß *Ñ
Halla un subconjunto de los vectores que sea base de [ .
111
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Respuestas:
1)
2)
3)
E es base para ‘$ .
F œ ÖÐ"ß  #, &ß  $Ñß Ð!ß (ß  *ß #Ñ×.
F œ ÖÐ"ß #ß  "ß $ß %Ñß Ð!ß "ß $ß  "ß #Ñß Ð!ß !ß  %ß !ß  &Ñ×.
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? "ß →
? # ß ÞÞÞß →
? m × y Ö→
@ "ß →
@ # ß ÞÞÞß →
@ n × son bases del espacio vectorial Z , entonces
Observación: Si Ö→
7 œ 8 ; es decir, dos bases cualesquiera de un mismo espacio vectorial tienen el mismo
número de vectores.
Dimensión.
Definición: Se llama dimensión de un Š - espacio vectorial al número de elementos de una base
cualquiera de Z . Si Z consiste únicamente en el vector nulo, diremos que su dimensión es
!Þ
Notación: La dimensión de Z se denota por .37ÐZ ÑÞ
Ejemplos:
1)
La dimensión de ‘8 es 8. ¿Por qué?
2)
Si W œ ÖÐ"ß "Ñ ß Ð!ß "Ñ× , entonces .37ÐWÑ œ #.
Para estar seguros de nuestra afirmación, debemos probar que W es una base de ‘# .
i) Verifiquemos que W es L.I.
→
De
@ "  !2 →
@# œ )
!" →
se tiene que !" Ð"ß "Ñ  !2 Ð!ß "Ñ œ Ð!ß !Ñ
de donde resulta que
!" œ ! y !2 œ ! Por lo tanto, los vectores son L.I.
ii) Verifiquemos, ahora, que generan a ‘# , es decir, que
aÐBß CÑ − ‘#
ÐBß C Ñ œ !" Ð"ß "Ñ  !2 Ð!ß "Ñ
Desarrollando los paréntesis À ÐBß C Ñ œ Ð !" ß !" Ñ  Ð !ß !2 Ñ
Igualando y despejando, obtenemos
!" œ B
!"  !# œ C
Ê !# œ C  B
Por lo tanto, ÐBß C Ñ œ B Ð"ß "Ñ  ÐC  BÑ Ð!ß "Ñ
112
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Es decir,
‘# œ  W  .
De i) y ii) se desprende que W es una base de ‘# Þ
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Así, entonces, como el número de elementos de W es 2, podemos concluir que
.37 ÐWÑ œ #.
Ejercicios:
Respuestas:
Determina la dimensión de cada una de las bases encontradas en los ejercicios de la página
109.
1) 3
2) 2
y
3) 3.
Caracterización De Un Subespacio Vectorial.
Caracterizar un subespacio W de Z , consiste en determinar las condiciones necesarias y
suficientes que debe cumplir un vector →
@ de Z para que pertenezca a WÞ Para ello se debe demostrar,
primero, que los vectores que generan al subespacio W son linealmente independientes. Luego, se debe
determinar la "forma" del subespacio W generado por dichos vectores.
Ejemplo:
Vamos a caracterizar al subespacio de ‘$ , generado por los vectores
→
@ " œ Ð!ß "ß #Ñ ß →
@ # œ Ð  "ß $ß  "Ñ
i) Los vectores son L.IÞ (demuéstralo).
ii) Determinemos el subespacio generado por los vectores →
@" y →
@ 2.
Sea W œ Ð!ß "ß #Ñ ß Ð  "ß $ß  "Ñ¡ß es decir, sea W el subespacio generado.
Ð B ß C ß D Ñ − W Í b !1 ß !2 − ‘ Î Ð B ß C ß D Ñ = !1 Ð!ß "ß #Ñ + !2 Ð  "ß $ß  "Ñ
Usando matrices
Í Ð B ß C ß D Ñ = Ð ! , !1 ß # !1 Ñ + Ð  ! 2 ß $ ! # ß  ! 2 Ñ
Í Ð B ß C ß D Ñ = Ð  !2 , !1  $ ! # ß # ! 1  ! # Ñ
Í
B =  !2
C œ !1  $ !#
D œ # !1  !#
Î!
"
Ï#
"
$
"
l BÑ Î"
l C µ !
l D Ò Ï!
$
"
!
l
l
l
Encontramos que el sistema tiene solución si y sólo si
generado por los vectores →
@" y →
@ 2 es:
113
C
Ñ
B
D  #C  (B Ò
D  #C  (B œ ! . Así , el subespacio
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Ejercicios: Caracteriza los subespacios generados por
1)
E œ ÖÐ"ß !Ñß Ð!ß "Ñ×
2)
F œ ÖÐ  "ß #ß " Ñ ß Ð !ß !ß " Ñ ×
3)
G œ ÖÐ  #ß !ß "ß # Ñ ß Ð!ß "ß !ß ! Ñ×
Respuestas:
1)
2)
3)
W œ ‘#
W œ ÖÐBß Cß DÑ − ‘$ Î C  #B œ !×
W œ ÖÐBß Cß Dß AÑ − ‘% Î B  A œ ! • #D œ A ×
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W œ ÖÐBß Cß DÑ − ‘$ Î D  #C  (B œ ! ×, que corresponde a un plano en el espacio y pasa por el origen.
Observación: Es evidente que también es posible determinar la base de un subespacio vectorial.
Ejemplo: Sea W œ ÖÐBß Cß DÑ − ‘$ Î#D  #C œ !×. Es claro que W es un subespacio de ‘$ (verifícalo).
Los vectores de este subespacio tienen 3 componentes y se da sólo una condición; por lo tanto, la
base de W debe tener # vectores.
En efecto, de la condición se tiene que # D œ #C , es decir, D œ C . Esto último implica que
ÐBß C ß DÑ œ ÐBß Cß CÑ o sea ÐBß Cß DÑ œ ÐBß !ß !Ñ  Ð!ß Cß CÑ, de manera que À
ÐBß Cß DÑ œ BÐ"ß !ß !Ñ  CÐ!ß "ß "Ñ
Así, el conjunto generador de W es ÖÐ"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß "Ñ× , es decir W œ ÖÐ"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß "Ñס
Ahora, como Ð"ß !ß !Ñ y Ð!ß "ß "Ñ son L.I. podemos concluir que el conjunto ÖÐ"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß "Ñ×
es una base de W .
Ejercicios: Determine una base para los siguientes subespacios vectoriales.
1)
2)
W œ ÖÐBß C ß D Ñ − ‘$ Î D  #C œ !×
W œ ÖÐBß C ß D ß AÑ − ‘4 Î B  #C œ ! • D  $A œ ! ×
Respuestas:
1)
2)
ÖÐ"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß #Ñ×
ÖÐ  #ß "ß !ß !Ñß Ð!ß !ß  $ß "Ñ×
114
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Observación 1: En un Š- espacio vectorial Z , de dimensión 8, todo subconjunto W linealmente
→
independiente, con 8 vectores, es una base de Z . Si Z œ Ö ) ×, entonces se dice que
Z tiene dimensión cero.
Observación 2: Sea Z un Š- espacio vectorial, de dimensión 8.
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Todo subconjunto de Z con más de 8 vectores es L.D.
Todo subconjunto de Z con menos de 8 vectores no genera a Z .
Todo subconjunto de Z con 8 elementos, que lo genere, es una base de Z .
Todo subconjunto de Z con 8 elementos y que sea L.I., es una base de Z .
Si [ es un subconjunto de Z , entonces .37Ð[ Ñ Ÿ 8.
Si [ es un subespacio de Z y .37 Ð[ Ñ œ 8ß entonces [ œ Z .
F œ Ö→
@ "ß →
@ # ß ÞÞÞß →
@ 8×
una base de Z . Todo vector →
@ de Z se escribe en forma única como C.L de los
vectores de FÞ
Observación 3: Sea Z un Š - espacio vectorial de dimensión finita y sea
Intersección de Subespacios.
Teorema: Si Y y [ son dos subespacios vectoriales de un mismo Š - espacio vectorial Z , entonces la
intersección Y  [ es un subespacio vectorial de Z Þ
Ejemplos:
1) Sean Y y [ dos planos en el espacio de tres dimensiones que pasan por el origen, entonces su
intersección, en general, será una recta que pasa por el origen, tal como se muestra en la figura.
2) Si Y œ ÖÐBß Cß DÑ − ‘$ Î B  C œ !× y [ œ ÖÐBß Cß DÑ − ‘$ Î D  B  C œ !×, entonces una base
para Y  [ es ÖÐ"ß "ß !Ñ×.
En efecto:
El conjunto intersección es Y  [ = ÖÐBß Cß DÑ − ‘$ Î B  C œ ! • D  B  C œ ! ×
Como los vectores de Y  [ tienen tres componentes y hay sólo dos condiciones, se puede concluir
que la base tiene ( $  # œ ") un sólo vector.
115
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Ahora, las condiciones B œ C • B œ D  C indican que D œ ! ; por lo tanto, los vectores ÐBß Cß DÑ del
conjunto Y  [ son de la forma ÐCß Cß !Ñ y se pueden escribir como À
ÐBß Cß DÑ œ ÐCß Cß !Ñ œ CÐ"ß "ß !Ñ
Luego, el conjunto ÖÐ"ß "ß !Ñ× es una base para Y  [ .
Ejercicios: Dados Y y [ ß determine una base para Y  [ .
1)
Y œ ÖÐBß C ß DÑ − ‘$ Î B œ !×
y
2)
Y œ ÖÐBß C ß DÑ − ‘$ Î B  C œ !×
[ œ ÖÐBß Cß DÑ − ‘$ Î D  B  C œ !×
y
[ œ ¢ÖÐ"ß "ß !Ñ ß Ð#ß !ß "Ñ×£
Respuestas:
1)
2)
Y  [ œ Ð!ß "ß  "Ñ¡
Y  [ œ Ð"ß "ß !Ñ¡
Unión De Subespacios.
En general la unión de subespacios no es un subespacio vectorial, como lo prueba el siguiente
ejemplo.
Sean los subespacios Y œ ÖÐBß !Ñ − ‘# Î B − ‘× y [ œ ÖÐ!ß CÑ − ‘# Î C − ‘× y sean los
vectores →
? œ Ð"ß !Ñ − Y y →
@ œ Ð!ß "Ñ − [ .
Es evidente que →
? − ÐY  [ Ñ • →
@ − ÐY  [ Ñ ; además,
→
? →
@ œ Ð"ß !Ñ  Ð!ß "Ñ œ Ð"ß "Ñ
pero
Luego,
Ð"ß "Ñ Â Y • Ð"ß "Ñ Â [
→
? →
@ Â ÐY  [ Ñ
Por lo tantoß ÐY  [ Ñ no es subespacio vectorial.
Gráficamente:
116
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Teorema:
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Si Y y [ son subespacios de un Š - espacio vectorial Z , entonces ÐY  [ Ñ es un
subespacio si y sólo si Y © [ • [ © Y .
Suma de Subespacios.
Sean Y y [ dos subespacios del mismo Š - espacio vectorial Z , se llama suma de Y y [
al conjunto
Y  [ œ Ö→
@ −Z Î →
@ œ →
? →
Aß →
? −Y • →
A − [×
Observación: El conjunto ÐY  [ Ñ es un subespacio vectorial de Z .
Suma Directa De Subespacios.
Sean Z un espacio vectorial, Y y [ subespacios de Z .
Z œ Y Š[ Í Z œ Y [
Ejemplo:
•
→
Y [ œ Ö) ×
Sean Z œ ‘$ y los conjuntos Y y [ , definidos como
Y œ ÖÐ Bß C ß D Ñ Î # B  C  $D œ ! ×
[ œ ÖÐ Bß C ß D Ñ Î B œ >ß C œ >ß D œ > ×
Dado que
Y œ  Ð"ß "ß "Ñß Ð"ß %ß # Ñ 
[ œ  Ð"ß "ß "Ñ 
→
y que Y  [ œ [ Á Ö ) × , se cocluye que Z no es suma directa de Y y [ .
117
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Ejercicios:
1)
Si Z œ ‘$ y los conjuntos Y y [ se definen como
Y œ ÖÐBß Cß DÑ Î # B  C  $ D œ !×
[ œ ÖÐBß C ß D ÑÎ B œ >ß C œ  >ß D œ > à > − ‘×
Determina si Z œ Y Š [ .
2)
Si Y œ ÖÐ+ß ,ß -ß .ÑÎ,  -  . œ !× y [ œ ÖÐ+ß ,ß -ß .ÑÎ+  , œ ! • - œ #.×
Encuentra una base (y su dimensión) para los conjuntos:
i) Y
ii) [
iii) Y  [
iv) Y  [
v) Verifica si se cumple que ‘% œ Y Š [
Respuestas:
1)
2)
Sí, es suma directa.
i) F" œ ÖÐ "ß !ß !ß !Ñß Ð!ß  "ß "ß !Ñß Ð!ß  "ß !ß "Ñ× y .37ÐF" Ñ œ $ œ .37ÐY Ñ
ii) F# œ ÖÐ  "ß "ß !ß !Ñß Ð!ß !ß #ß "Ñ× y .37 ÐF# Ñ œ # œ .37Ð[ Ñ
iii) Base de ÐY  [ Ñ œ ÖÐ$ß  $ß #ß " Ñ× y .37 ÐF+=/ ./ Y  [ Ñ œ "
iv) Base de ÐY  [ Ñ œ .37ÐY Ñ  .37Ð[ Ñ  .37 Ð Y  [ Ñ œ %
De acuerdo a ésto cualquier base de ‘% , por ejemplo, la base canónica es base
→
v) No es suma directa ya que Y  [ Á Ö ) ×
AUTOEVALUACION N° 13
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: En ‘# se definen la adición y ponderación escalar de la siguiente forma:
a+ß , b  a-ß . b œ a+  -ß !b
!a+ß , b œ a!+ß !b
¿Es ‘# con estas operaciones un Espacio Vectorial?. Justifica tu respuesta.
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de Y  [ .
PROBLEMA 2: Sean Y œ ˜aBß Cß D b − ‘$ Î#B  $C  &D œ !™ y [ œ ˜a!ß !ß "bà a"ß "ß !b™¡
a)
Verifica que Y es subespacio de ‘$ .
118
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b)
c)
d)
Caracteriza [ .
Encuentra una base de Y  [ .
Determina si existe ! − ‘ tal que a"ß !ß #!b − [ .
PROBLEMA 3: Determina para que valor de 5 − ‘ las matrices:
" #
"
$
"
5
!
à
à
à
Œ !
"  Œ  "  # Œ  " ! Œ5
"
son l.d.
" Ÿ
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PROBLEMA 4: Demuestra que [ œ ˜aBß Cß D b − ‘$ Î#B  %C  D œ !™ es un subespacio vectorial de
‘$ .
AUTOEVALUACION N° 14
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: Sea W œ ÖaBß Cß Dß Ab − ‘$ ÎB  #D œ !×. Detemina un conjunto que genere a W .
PROBLEMA 2: Determina si a#ß $ß  "b es c.l. de Öa"ß "ß )bà a!ß #ß !bà a"ß !ß "b×
PROBLEMA 3: Encuentra la dimensión del espacio
+ ,
Z œ ”
− `# Бф+ œ , • - œ . Ÿ
- .•
PROBLEMA 4: Decide si T Ð>Ñ œ >#  #>  $ es c.l. de T" Ð>Ñ œ Ð>  "Ñ# ß T# Ð>Ñ œ "# >  "ß T$ Ð>Ñ œ &.
PROBLEMA 5: Determina si el vector aB#  B  $b peretenece a W , donde
W œ ¢ÖB$  #B#  "à B#  #à B$  B×£.
PROBLEMA 6: Sean Y œ ˜aBß Cß Dß Ab − ‘% Î%B  $A  'D œ !™ y
[ œ ˜aBß Cß Dß Ab − ‘% Î$B  'C  %A œ !™, subespacios de ‘% .
a)
b)
Encuentra una base para Y  [ .
Determina el valor de ! − ‘ de modo que a  $!  "ß #!ß "ß $  #!b sea un vector de Y  [ .
119
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AUTOEVALUACION N° 15
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
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PROBLEMA 1: Sea Y el conjunto de todos los puntos de ‘$ que estan en el plano B  #D œ !
[ œ {($ß "ß %Ñà Ð#ß  $ß &Ñà Ð&ß  #ß *Ñà Ð"ß %ß  "Ñס.
Determina:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Si [ es subespacio vectorial de ‘$ .
Una base para Y y [
Caracteriza Y  [
¿‘$ =Y Š [ ?
Dim(Y Ñß Dim(W), Dim( Y  [ ) y Dim(U+W)
Una base para Y +[
PROBLEMA 2: Sea F œ ÖÐ"ß #ß !Ñà Ð!ß  $ß %Ñà Ð!ß !ß  'Ñ×. Verifica si ‘$ œ F ¡Þ
Caracteriza dicho espacio.
PROBLEMA 3: Determina si
Î"
!
Ï#
#
%
&
%Ñ
Î"
$
es c.l. de  !
Ï"
"Ò
#
#
'
&Ñ Î"
$ à !
!Ò Ï!
!
"
$
$Ñ
$ Ÿ
"Ò
y
PROBLEMA 4: Sea Z un espacio vectorial sobre un cuerpo Š y sea F œ Ö@" ß @# ß ÞÞÞß @8 × una base de Z .
Demuestra que cada elemento de Z tiene una expresión única como combinación lineal de
los elementos de FÞ
120
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UNIDAD 4
Transformaciones Lineales.
121
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Transformaciones Lineales.
____________________________________
Jean d'Alembert
Salvatore Pincherle
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En este último capítulo estudiaremos una clase especial de funciones, llamadas
Transformaciones Lineales (conocidas también como Operadores Lineales), que tienen
una gran variedad de aplicaciones y que ocurren con bastante frecuencia en el álgebra
lineal y otras ramas de la matemática.
Fue el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) quien definió las
transformaciones lineales sobre un espacio vectorial y las operaciones (adición y
multiplicación) con operadores lineales.
En 1890, el matemático italiano Salvatore Pincherle (1853-1936) formuló una
teoría sobre las transformaciones lineales en espacios vectoriales de dimensión infinita.
Esta teoría no estaba basada en el trabajo de Peano, sino en los aportes sobre
operadores abstractos de Leibniz (1646-1716) y el matemático francés Jean d'Alembert
(1717-1783).
Varias de las definiciones y teoremas que veremos a continuación son válidas,
también, para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los
escalares son números complejos). Sin embargo, en este curso sólo trabajaremos los
espacios vectoriales reales y, por lo tanto, eliminaremos la palabra "real" en el análisis
de los espacios y transformaciones lineales que realicemos durante el desarrollo del
capítulo.
122
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Transformaciones Lineales.
VIRGINIO GOMEZ
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Definición: Sean Z y [ dos Š - espacios vectoriales. Se llama Transformación Lineal (T.L.) de Z
en [ a toda función 0 À Z Ä [ que verifica las siguientes condiciones:
3Ñ
X debe preservar la suma
a→
? ß→
@ − Z Ê 0 Š→
? →
@ ‹ œ 0 Š→
? ‹  0 Š→
@‹
33Ñ
X debe preservar el producto por escalar
a→
? − Z ß a - − Š Ê 0 Š-→
? ‹ œ -0 Š→
?‹
Es decir, la imagen de la suma de las imágenes de vectores es igual a la suma de las imágenes de
cada vector, y la imagen del producto de un escalar por un vector es igual al producto del escalar
por la imagen del vector.
Las T.L se suelen denotar por letras mayúsculas X ß P ß W ÞÞ............Þ
Las condiciones a3b y a33b son equivalentes a la siguiente
333Ñ
0 Š!→
?  "→
@ ‹ œ !0 Š→
? ‹  " 0 Š→
@ ‹ß a→
?ß →
@ − Z ß a!ß " − Š
En efecto para obtener a3b y a33b de a333b basta considerar ! œ " œ 1 y se tiene la condición a3bÞ
Si " œ ! se tiene la condición a33b
La condición a333b se obtiene aplicando la a3b seguida de la a33bÞ
Ejemplo:
3Ñ
La aplicación X À ‘# Ä ‘# es una transformación lineal definida a través de
X aBß C b œ a  $B  #Cß  B  $C b. En efecto, si verificamos sus condiciones nos daremos
cuenta que X es T.L.
Verificando que la suma es cerrada.
X Š→
B →
C ‹ œ X Š→
B ‹  X Š→
C ‹ß a→
Bß→
C − ‘#
Por hipótesis se sabe que:
→
B œ ÐB" ß B# Ñ de manera que X Š→
B ‹ œ a  $B"  #B# ß  B"  $B# b
→
C œ ÐC" ß C# Ñ de manera que X Š→
C ‹ œ a  $C"  #C# ß  C"  $C# b
→
B →
C œ aB" ß B# b  ÐC" ß C# Ñ
→
→
B  C œ aB"  C" ß B#  C# b
‚X
→
→
X Š B  C ‹ œ X aB"  C" ß B#  C# b
X Š→
B →
C ‹ œ Š  $aB"  C" b  #aB#  C# b ß  aB"  C" b  $aB#  C# b‹
X Š→
B →
C ‹ œ a  $B  $C  #B  #C ß  B  C  $B  $C b
X Š→
B →
C ‹ œ a  $B"  #B# ß  B"  $B# b  a  $C"  #C#  C"  $C# b
→
→
XŠB  C ‹ œ
X Š→
B‹

X Š→
C‹
"
"
#
#
123
"
"
#
#
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Por lo tanto,
33Ñ
X Š→
B →
C ‹ œ X Š→
B ‹  X Š→
C‹
Verifiquemos que el producto por escalar es cerrado.
X Š- →
B ‹ œ -X Š→
B ‹ß a→
B − ‘# ß a - − ‘
Por hipótesis se sabe que:
→
B œ ÐB" ß B# Ñ de manera que X Š→
B ‹ œ a  $B"  #B# ß  B"  $B# b
-→
B œ - aB 1 , B # b
→
X Š- B ‹ œ X Š-aB1 , B# b‹
œ X a- B 1 , - B # b
œ a  $- B"  #- B# ß  - B "  $ - B # b
œ -a  $B"  #B# ß  B"  $B# b
œ - X Š→
B‹
Por lo tanto X Š- →
B ‹ œ -X Š→
B ‹ß
a→
B − ‘# ß a - − ‘
De a3b y a33b se tiene que X es una T.L.
2)
Sean Z y [ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo Š, se tiene que X À Z Ä [ de manera
que X Š →
? ‹ œ K[ . Pruebe que a →
? − Z À XŠ→
? ‹ œ K[ , es una transformación lineal.
V
r
v1
r
v2
r
v3
r r
v +u
W
T
θW
r r
T (v + u )
Sabemos que X es una transformación lineal sí y sólo si X preserva operaciones:
3Ñ
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Verificando que la suma es cerrada.
a→
?ß→
@ − Z Ê X Š→
? →
@ ‹ œ X Š→
? ‹  X Š→
@‹
Por hipótesis se sabe que:
→
? − Z de manera que X Š→
? ‹ œ K[
→
@ − Z de manera que X Š→
@‹œK
[
124
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Probando la tesis, tenemos que:
X Š→
? →
@ ‹ œ X Š→
? ‹  X Š→
@‹
K[
Por lo tanto,
33Ñ
œ
K[  K[
X Š→
? →
@ ‹ œ X Š→
? ‹  X Š→
@‹
Verifiquemos que el producto por escalar es cerrado.
a→
? − Z ß a- − Š Ê X Š- →
? ‹ œ -X Š→
?‹
Por hipótesis se sabe que:
→
? − Z de manera que X Š→
? ‹ œ K[
Probando la tesis, tenemos que:
X Š-→
? ‹ œ -X Š→
?‹
K[ œ -K[
Por lo tanto X Š- →
? ‹ œ -X Š→
?‹
De a3b y a33b se tiene que X es una T.L.
3)
Sea Z un espacio vectorial. Mostrar que X À Z Ä Z de manera que X Š→
?‹ œ →
? , llamada
transformación idéntica, es una T.L.
3Ñ
Verificando que la suma es cerrada.
a→
?ß→
@ − Z Ê X Š→
? →
@ ‹ œ X Š→
? ‹  X Š→
@‹
Por hipótesis se sabe que:
→
? − Z de manera que X Š→
?‹ œ →
?
→
@ − Z de manera que X Š→
@‹œ→
@
Probando la tesis, tenemos que:
X Š→
? →
@‹œ→
? →
@
/Por definición de X
→
œ X Š ? ‹  X Š→
@ ‹ /Por hipótesis
Por lo tanto,
33Ñ
VIRGINIO GOMEZ
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X Š→
? →
@ ‹ œ X Š→
? ‹  X Š→
@‹
Verifiquemos que el producto por escalar es cerrado.
a→
? − Z ß a- − Š Ê X Š- →
? ‹ œ -X Š→
?‹
Por hipótesis se sabe que:
→
? − Z de manera que X Š→
?‹ œ →
?
125
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Probando la tesis, tenemos que:
X Š-→
? ‹ œ -→
?
X Š-→
? ‹ œ -X Š→
?‹
/Por definición de X
/Por hipótesis
Por lo tanto X Š- →
? ‹ œ -X Š→
?‹
De a3b y a33b se tiene que X es una T.L.
4)
3Ñ
Sea [ œ Ö0 À E Ä ‘Î 0 aBb es una función derivable×, con E © ‘. Muestre que X À [ Ä [
.0 aBb
de manera que X c0 aBbd œ
ß a0 − [ , es una T.L.
.B
Verificando que la suma es cerrada.
a 0 ß 1 − Z Ê X a0  1b œ X a0 b  X a1b
.0
.0 aBb
o también X c0 aBbd œ
.B
.B
.1
.1aBb
→
@ − [ de manera que X a1b œ
o también X c1aBbd œ
.B
.B
Por hipótesis se sabe que:
0 − [ de manera que X a0 b œ
Probando la tesis, tenemos que:
X a0  1 b œ
.
c0 aBb  1aBbd
.B
/Por definión de X
X a0  1 b œ
.
.
c0 aBbd 
c1aBbd
.B
.B
/Por propiedad del Cálculo Diferencial
X a0  1b œ X a0 b  X a1b
Por lo tanto,
33Ñ
VIRGINIO GOMEZ
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/Por hipótesis
X a0  1b œ X a0 b  X a1b
Verifiquemos que el producto por escalar es cerrado.
a0 − [ ß a- − Š Ê X a- 0 b œ -X a0 b
Por hipótesis se sabe que:
0 − [ de manera que X a0 b œ
.
c0 aBbd
.B
Probando la tesis, tenemos que:
X a- 0 b œ
.
c-0 aBbd
.B
/Por definición de X
126
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X a- 0 b œ -
.
c0 aBbd
.B
X a - 0 b œ - X a0 b
/Por propiedad del Cálculo Diferencial
/Por hipótesis
Por lo tanto X a- 0 b œ -X a0 b
De a3b y a33b se tiene que X es una T.L.
Transformaciones No Lineales.
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Para demostrar que una transformación no es lineal, basta mostrar que dicha transformación no
preserva la suma o la multiplicación por escalar. También, se puede demostrar usando el método del
contraejemplo.
Ejemplo: Demostremos que X À ‘# Ä ‘# de manera que X aBß C b œ a#B  Cß C  $b no es una
transformación lineal.
Forma 1: Veremos que X no satisface la condición de la suma:
Verificando que la suma NO es cerrada.
a→
?ß→
@ − Z Ê X Š→
? →
@ ‹ œ X Š→
? ‹  X Š→
@‹
Por hipótesis se sabe que:
→
? œ aBß C b − Z de manera que X Š→
? ‹ œ X aBß C b œ a#B  Cß C  $b
→
@ œ a+ß , b − Z de manera que X Š→
@ ‹ œ X a+ß , b œ a#+  ,ß ,  $b
Probando la tesis, tenemos
X Š→
? →
@ ‹ œ X Š→
? ‹  X Š→
@‹
X caBß C b  a+ß , bd œ X aBß C b  X a+ß , b
X aB  +ß C  , b œ a#B  Cß C  $b  a#+  ,ß ,  $b
a#aB  +b  aC  , bß aC  , b  $b œ a#B  #+  C  +ß C  ,  'b
a#B  #+  C  ,ß C  ,  $b Á a#B  #+  C  +ß C  ,  'b
Por lo tanto, X no es una transformación lineal.
Forma 2: Veremos que X no es una transformación lineal dando un contraejemplo.
Sean a"ß #b y a#ß &b, dos vectores de ‘#
127
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X Š→
? →
@ ‹ œ X Š→
? ‹  X Š→
@‹
X ca"ß #b  a#ß &bd œ X a"ß #b  X a#ß &b
X a$ß (b œ X a"ß #b  X a#ß &b
a"$ß %b œ a%ß  "b  a*ß #b
a"$ß %b Á a"$ß "b
Por lo tanto, X no es una transformación lineal.
Ejercicios: Determina cuál de las siguientes funciones son Transformaciones Lineales
1)
2)
3)
4)
5)
X À ‘# Ä ‘# ß X aBß C b œ a&Bß B  C b
X À ‘# Ä ‘ß X aBß C b œ %
X À ‘$ Ä ‘# ß X aBß Cß D b œ a#B  C  Dß B  D b
X À ‘# Ä ‘# ß X aBß C b œ aB  #C  "ß C b
Sea Z œ Ö0 À c+ß , d Ä ‘Î0 aBb es una función integrable en c+ß , d © ‘×.
X À Z Ä ‘ de manera que X c0 aBbd œ ( 0 aBb.B es una T.L.
,
+
Respuestas:
(1) , (3) y (5) son T.L
(2) y (4) no son T.L.
Propiedades.
1)
Sean X y P dos transformaciones lineales de Z en [ , es decir,
P À Z Ä [ , entonces se cumple:
a)
2)
3Ñ
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Demostrar que
X ÀZ Ä[ y
X a)Z b œ )[ . La imagen del vector nulo por una Transformación Lineal es siempre el
vector nulo. Por lo tanto, para probar que una función no es T.L. basta probar que
X a)Z b Á )[ .
b)
XŠ  →
B ‹ œ  X Š→
B‹
c)
X  P es una T.L.
d)
- † X es T.L., para todo - − Š
Si X À Z Ä [ y P À [ Ä ^ son dos transformaciones lineales, entonces P‰X À Z Ä ^ , es una
T.L. En efecto, cualquiera sean →
B,→
C en Z y - − Š.
aP‰X bŠ→
B →
C ‹ œ P’X Š→
B →
C ‹“
œ P’X Š→
B ‹“  ’X Š→
C ‹“
œ P’X Š→
B ‹“  P’X Š→
C ‹“
128
‚por X una T.L.
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œ aP‰X bŠ→
B ‹  aP‰X bŠ→
C‹
33Ñ
aP‰X bŠ-→
B ‹ œ P’X Š-→
B ‹“
œ P’-X Š→
B ‹“
œ -P’X Š→
B ‹“
œ -aP‰X bŠ→
B‹
De a3b y a33b se tiene que aP‰X b es una T.L.
Sea X À ‘# Ä ‘# ß X aBß Cß D b œ a  $B  Dß )  B  C b.
X ˆ)‘# ‰ œ X a!ß !b œ a  $ † !  !ß )  !  !b œ Ð!ß )Ñ Á )‘# .
Ejemplo:
Observación:
X no es T. L, ya que
Denotaremos por _ Ð Z ß [ Ñ el conjunto de todas las transformaciones lineales de Z en
[ donde Z y [ son espacios de dimensión finita sobre un mismo cuerpo Š. De las
letras -Ñ y .Ñ de la propiedad "Ñ se tiene que _ Ð Z ß [ Ñ es un subespacio del espacio de
todas las funciones de Z en [ donde la función nula es el vector nulo de _ Ð Z ß [ Ñ.
De ahora en adelante, Z y [ serán espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo Š.
Definición:
Sean Z y [ dos espacios vectoriales, definidos sobre un mismo cuerpo Š y
X À Z Ä [ una T.L. Se define O/<8/6 o R ?-6/9 de X , al conjunto de todos los
vectores de Z tales que su imagen es el vector nulo de [ , se denota por O/<ÐX Ñ, así:
O/< ÐX Ñ œ š→
@ − Z Î X Š→
@ ‹ œ )[ ›
T
V
Ker(T)
r
u1
r
u2
r
u3
r
un
W
θW
Ker(T) ⊆ V
Definición:
VIRGINIO GOMEZ
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Se llama M7+1/8 de X al subconjunto de [ que contiene a todos los vectores que son
imágenes de todos los vectores de Z , es decir, al recorrido de la función X Þ Se denota por
M7Ð X Ñ, así:
M7 aX b œ V/- aX b œ š→
A − [ Îb →
@ − Z À X Š→
@‹œ→
A›
129
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T
V
W
r
u1
r
u2
r
u3
r Im(T)
w1 r
rw 2
w3
r
wn
r
un
Im(T) ⊆ W
Proposición 1: Sea X À Z Ä [ una T. L., entonces:
1)
2)
O/<aX b es subespacio de Z
M7aX b es subespacio de [
Desafío:
Demuestra que O/<aX b e M7aX b son subespacios vectoriales.
VIRGINIO GOMEZ
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Definición: Sea X À Z Ä [ una T. L. Se llama Nulidad de X a la dimensión del O/<aX b y se denota
por (aX bÞ Se llama Rango de X a la dimensión de la M7aX b y se denota por 3aX b.
a( œ />+ß 3 œ <29b
Ejemplo:
Entonces:
Sea X À ‘2 Ä ‘# ß una T. L., definida por X aBß C b œ  #aBß C b. a¡verifícalo!b.
O/<aX b œ ˜aBß C b − ‘# ÎX aBß C b œ a!ß !b™
O/<aX b œ ˜aBß C b − ‘# Î  #aBß C b œ a!ß !b™
O/<aX b œ ˜aBß C b − ‘# Îa  #Bß  #C b œ a!ß !b™
O/<aX b œ ˜aBß C b − ‘# Î  #B œ ! •  #C œ !™
O/<aX b œ ˜aBß C b − ‘# Î B œ ! • C œ !™
O/<aX b œ ˜a!ß !b™
Así: (aX b œ !
Por otra parte:
M7aX b œ ˜a+ß , b − ‘# ÎX aBß C b œ a+ß , b™
M7aX b œ ˜a+ß , b − ‘# Î  #aBß C b œ a+ß , b™
M7aX b œ ˜a+ß , b − ‘# Î+ œ  #B • , œ  #C ™
M7aX b œ ˜a+ß , b − ‘# Îa+ß , b œ a  #Bß  #C b™
M7aX b œ ˜a+ß , b − ‘# Îa+ß , b œ a  #Bß !b  a!ß  #C b™
130
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M7aX b œ ˜a+ß , b − ‘# Îa+ß , b œ a  #Bba"ß !b  a  #C ba!ß "b™
M7aX b œ ˜a"ß !bà a!ß "b™¡
Por lo tanto, una base para M7aX b es ˜a"ß !bà a!ß "b™. Así: 3aX b œ #.
Ejercicios:
En los siguientes ejercicios, determina
a)
b)
c)
d)
O/<aX b
M7 aX b
R aX b
V aX b
1)
2)
3)
4)
Sea
Sea
Sea
Sea
X
X
X
X
À ‘#
À ‘$
À ‘$
À ‘$
Ä ‘# ß X aBß C b œ aB  #Cß B  C b
Ä ‘$ ß X aBß Cß D b œ aB  Cß #B  Cß $B  C b
Ä ‘$ ß X aBß Cß D b œ aB  Cß B  Cß B  C b
Ä ‘$ ß X aBß Cß D b œ aBß C  Dß C  D b
Respuestas:
O/<aX b œ ÖÐ !ß !Ñ×
M7aX b œ ‘#
(aX b œ !
3aX b œ #
1)
a)
b)
c)
d)
2)
a)
b)
c)
d)
O/< aX b œ ÖÐBß Cß DÑ − ‘$ ÎB œ C œ !ß D − ‘ ×
M7aX b œ ÖÐ+ß ,ß -Ñ − ‘$ Î+  #,  - œ ! ×
( aX b œ "
3ÐXÑ œ #
3)
a)
b)
c)
d)
O/<aX b œ ÖÐBß Cß DÑ − ‘ $ ÎB  C œ ! ×
M7aX b œ ÖÐ+ß ,ß -Ñ − ‘$ Î+ œ , œ - ×
( aX b œ #
3ÐXÑ œ "
4)
a)
b)
c)
d)
O/<aX b œ ÖÐ!ß !ß !Ñ×
M7aX b œ ‘$
( aX b œ !
3ÐXÑ œ $
Proposición:
Sea X − _aZ ß [ b, entonces:
1)
2)
X es inyectiva sí y sólo si O/<aX b œ Ö)Z ×
X es sobreyectiva si M7aX b œ [ .
131
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Si revisamos el ejemplo resuelto anteriormente en donde X À ‘2 Ä ‘# ß definida por
X aBß C b œ  #aBß C b, que es una T.L., encontramos que
O/<aX b œ ˜aBß C b − ‘# Î B œ ! • C œ !™ œ ˜a!ß !b™ Ê ( aX b œ !
Por lo tanto, podemos afirmar que X es una T.L. inyectiva.
Por otra parte:
M7aX b œ ˜a+ß , b − ‘# ÎX aBß C b œ a+ß , b™ œ ˜a"ß !bà a!ß "b™¡
Por lo tanto, una base para M7aX b es ˜a"ß !bà a!ß "b™. Así: 3aX b œ #.
Entonces, M7aX b œ ‘# . En consecuencia, X es sobreyectiva.
Ejercicios: Verifica si las siguientes T.L. son inyectivas y sobreyectivas.
1)
2)
X À ‘# Ä ‘# ß X aBß C b œ aB  Cß B  C b
Sea X À ‘# Ä ‘$ ß X aBß C b œ aBß Cß B  C b
Respuestas:
1)
2)
X es inyectiva y sobreyectiva.
X es inyectiva, pero no sobreyectiva.
Teorema (de las dimensiones):
Si X − _aZ ß [ bß entonces:
.37cO/<aX bd  .37cM7aX bd œ .37aZ b
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Ejemplo:
Ejemplo: Del ejercicio N°1, resuelto anteriormente, X À ‘# Ä ‘# ß X aBß C b œ aB  Cß B  C b, nos
encontramos que O/<aX b œ Öa!ß !b× lo que implica que ( aX b œ ! y, por otro lado, encontramos
que M7aX b œ ˜a"ß !bà a!ß "b™¡lo que implica que 3aX b œ #.
En consecuencia, tenemos que
.37cO/<aX bd  .37cM7aX bd œ .37a‘# b
!

#
œ
#
Ejercicio: Verifique el teorema de las dimensiones con el ejemplo N° 2, resuelto anteriormente.
132
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Teorema Fundamental Del Algebra Lineal.
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Seav Z y [ dos Š- espacios vectoriales, F œ š→
@ "ß →
@ #ß →
@ $ ß ÞÞÞ ß →
@ 8 ›, base de Z ,
→
→
→
→
š A " ß A # ß A $ ß ÞÞÞ ß A 8 ›, conjunto arbitrario de vectores de [ . Entonces existe una única Transformación
Lineal X − _aZ ß [ b tal que X Š →
@ ‹ œ →
A ß 3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8.
"
"
Observación: De la demostración del teorema se desprende que basta que dos T.L. coincidan sobre una
base cualquiera de Z para que sean iguales sobre todo el espacio.
Ejemplo: Sea F œ Öa"ß #bà a!ß  "b× una base de ‘# y consideremos dos vectores cualesquiera de ‘$ ,
por ejemplo →
A " œ a  "ß "ß !bß →
A # œ a!ß  $ß "b. Entonces:
aaBß C b − ‘# Ê aBß C b œ !a"ß #b  " a!ß  "b
aBß C b œ a!ß #!b  a!ß  " b
!œB
aBß C b œ a!ß #!  " b Ê œ
#!  " œ C
Por lo tanto, aaBß C b − ‘#
Ê
ʜ
!œB
" œ #B  C
aBß C b œ Ba"ß #b  a#B  C ba!ß  "b
X aBß C b œ X cBa"ß #bd  X ca#B  C ba!ß  "bd
X aBß C b œ BX a"ß #b  a#B  C bX a!ß  "b
X aBß C b œ Ba  "ß "ß !b  a#B  C ba!ß  $ß "b
X aBß C b œ a  Bß Bß !b  a!ß  'B  $Cß #B  C b
X aBß C b œ a  Bß  &B  $Cß #B  C b
que resulta una transformación lineal de ‘# a ‘$ .
Ejercicios:
1)
ÎX
Sea X À ‘3 Ä ‘# ß una T. L., definida X a"ß !ß !b œ Ð#ß  $Ñà X a!ß "ß !b œ Ð  "ß "Ñ
X a!ß !ß "b œ Ð  #ß &Ñ. Determina:
a)
b)
c)
d)
e)
X aBß Cß D b
O/<aX b
M7aX b
(aX b
3aX b
2)
Determina la fórmula de definición de la T.L.
a)
X À ‘3 Ä ‘3 tal que
X a"ß "ß "b œ a"ß #ß $bà X a"ß "ß !b œ a$ß #ß "bà X a"ß !ß !b œ a!ß !ß "b.
b)
X À ‘# Ä ‘# tal que
X a#ß "b œ a"ß &b
X a!ß "b œ a  "ß "b
133
y
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c)
X À ‘$ Ä ‘# tal que
X a"ß !ß "b œ a"ß "b
X a!ß "ß "b œ a!ß  $b
X a"ß "ß !b œ a  "ß !b
Averigua si existe X a"ß  #ß $b
d)
X À ‘# Ä ‘# tal que
X a"ß "b œ a!ß $b
X a  #ß  #b œ a"ß $b
Respuestas:
1)
a)
b)
c)
d)
e)
2)
a)
b)
c)
d)
X aBß Cß D b œ a#B  C  #Dß  $B  C  &D b
O/<aX b œ ÖD a$ß %ß "bÎD − ‘× œ Öa$ß %ß "b× ¡
M7aX b œ š Ð +ß , Ñ Î +ß , − ‘ › œ ‘#
(aX b œ .37cO/<aX bd œ "
3aX b œ .37cM7aX bd œ #
X aBß Cß D b œ a$C  #Dß B  Cß C  #D b
X À ‘ # Ä ‘# ß X ÐBß CÑ œ ÐB  C ß # B  C Ñ
X À ‘ 3 Ä ‘# ß X Ð Bß Cß DÑ œ Ð  C  Dß #B  #C  DÑ
X a"ß  #ß $b œ a&ß $b
No existe la ecuación de la T.L., ya que los vectores son l.d.
Algebra De Las Transformaciones U Operadores Lineales.
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En el estudio de las transformaciones lineales de Z en [ es de fundamental importancia que el
conjunto de estas transformaciones hereda una estructura natural de espacio vectorial. el conjunto de las
transformaciones lineales de un espacio Z en sí mismo tiene incluso una estructura algebraica mayor, pues
la composición ordinaria de funciones da una multiplicación de tales transformaciones.
Teorema: Sean Z y [ espacios vectoriales. Sean X y W transformaciones lineales de Z en [ . La
funciones siguientes se definen como sigue:
i)
ii)
iii)
aX  W bŠ→
? ‹ œ X Š→
? ‹  W Š→
?‹
a-X bŠ→
? ‹ œ -X Š→
?‹
aX W bŠ→
? ‹ œ aX ðW bŠ→
? ‹ œ X ’W Š→
? ‹“
Ejemplos: Sean W À ‘# Ä ‘# de manera que W aBß C b œ a#B  Cß C b y X aBß C b œ a  #B  Cß !b dos
operadores lineales. eterminemos las definiciones de los siguientes operadores lineales.
134
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a)
b)
c)
d)
e)
aW  X baBß C b œ W aBß C b  X aBß C b
œ a#B  Cß C b  a  #B  Cß !b
œ a#Cß C b
aX W baBß C b œ aX ðW baBß C b
œ X cW aBß C bd
œ X ca#B  Cß C bd
œ a  #a#B  C b  Cß C b
œ a  %B  Cß !b
aWX baBß C b œ aWðX baBß C b
œ W cX aBß C bd
œ W a  #B  Cß !b
œ a#a  #B  C b  !ß !b
œ a  %B  #Cß !b
a#X  $W baBß C b œ #X aBß C b  $W aBß C b
œ #a  #B  Cß !b  $a#B  Cß C b
œ a  %B  #Cß !b  a'B  $Cß $C b
œ a  "!B  Cß  $C b
X # aBß C b œ aX † X baBß C b
œ aX ðX baBß C b
œ X cX aBß C bd
œ X a  #B  Cß !b
œ a  #a  #B  C b  !ß !b
œ a%B  #Cß !b
Ejercicios:
a)
b)
c)
d)
ÐWX Ñ ÐBß CÑ œ
ÐX WÑ ÐBß CÑ œ
W # ÐBß CÑ œ
X # ÐBß CÑ œ
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Observación: La transformación compuesta ÐW X Ñ ÐBß CÑ existe, sí y sólo sí, el Recorrido de X es
subconjunto del dominio de W Þ
Respuestas:
a)
b)
c)
d)
aWX bÐBß CÑ œ ÐBß !Ñ
aX W bÐBß CÑ œ Ð!ß CÑ
W # ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ
X # ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
135
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Más Ejercicios: Sean las transformaciones lineales:
W À ‘3 Ä ‘# Î WÐBß Cß DÑ œ ÐB  Cß C  DÑ
X À ‘3 Ä ‘$ Î X ÐBß Cß DÑ œ ÐBß B  Dß B  CÑ
V À ‘$ Ä ‘$ Î VÐBß Cß DÑ œ ÐBß #Cß B  $DÑ
Determina si existen:
a)
c)
e)
g)
i)
k)
b)
d)
f)
h)
j)
l)
X V
W V
WV
XW
VX
X#
$X  #V
WX
XV
VW
W#
V#
Respuestas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
ÐX  VÑÐBß Cß DÑ œ Ð#Bß B  #C  Dß #B  C  $DÑ
Ð$X  #VÑÐBß Cß DÑ œ ÐBß $B  %C  $Dß B  $C  'DÑ
ÐW  VÑ, no se puede determinar.
ÐW X ÑÐBß Cß DÑ œ Ð#B  Dß C  DÑ
ÐWVÑÐBß Cß DÑ œ ÐB  #Cß  B  #C  $DÑ
ÐX VÑÐBß Cß DÑ œ ÐBß  $Dß B  #CÑ
ÐX WÑÐBß Cß DÑß no se puede determinar.
ÐV WÑÐBß Cß DÑ ß no se puede determinar.
ÐV X ÑÐBß Cß DÑ œ ÐBß #B  #Dß %B  $CÑ
W # ß no se puede determinar.
X # œ ÐBß Cß DÑ
V # œ ÐBß %Cß %B  *DÑ
Matriz Asociada A Una Transformación Lineal.
Sean Z y [ dos Š-espacios vectoriales,
F" œ š→
@ "ß →
@ # ß ÞÞÞ ß →
@ 8 ›, F# œ š→
A "ß →
A # ß ÞÞÞ ß →
A 7›
bases de Z y [ respectivamente y X :Z Ä W una Transformación lineal, entonces:
X Š→
@ " ‹ œ +"" →
A "  +"# →
A #  ÞÞÞ  +"7 →
A7
→
→
→
→
X Š @ # ‹ œ +#" A "  +## A #  ÞÞÞ  +#7 A 7
ããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããã
X Š→
@ ‹œ+ →
A + →
A  ÞÞÞ  + →
A
8
La matriz:
8"
"
Î + ""
Ð + #"
Ð
E œ Ð Þ
Ð
Þ
Ï + 8"
8#
#
+ "#
+ ##
Þ
Þ
+ 8#
87
Þ
Þ
Þ
Þ
Þ
7
Þ + "8 Ñ
Þ + #8 Ó
Ó
Þ
Þ Ó
Ó
Þ
Þ
Ò
Þ + 87
136
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cuya j-ésima columna está formada por las coordenadas del transformado por X del j-ésimo vector
de la base F" con respecto a la base F# se llama Matriz Asociada a X con respecto a las bases F" y F#
y la denotaremos por Q cX dF F ó cX dF F . Observemos que el orden de Q cX dF F es 7 ‚ 8 donde 7 es la
" #
" #
" #
dimensión de [ y 8 es la dimensión de Z .
Ejemplo:
Sea X À ‘$ Ä ‘# la T.L. definida por X aBß Cß D b œ a#B  Cß C  D b.
F" œ ˜a"ß "ß "bà a"ß "ß !bà a"ß !ß !b™ y F# œ ˜a#ß !bà a!ß "b™ bases de ‘$ y ‘# respectivamente.
Entonces:
X a"ß "ß "b œ a"ß #b œ
"
a#ß !b  #a!ß "b
#
"
X a"ß "ß !b œ a"ß "b œ a#ß !b  "a!ß "b
#
X a"ß !ß !b œ a#ß !b œ "a#ß !b  !a!ß "b
Luego, la matriz asociada a la T.L. es E œ
Î"
#
Ï#
"
#
"
"Ñ
!Ò
Z y [ dos Š- espacios vectoriales,
F" œ š→
@ "ß →
@ # ß ÞÞÞ , →
@ 8› y
F# œ š→
A"ß →
A # ß .ÞÞ,→
A m › bases de Z y [ respectivamente y E una matriz de orden
Proposición 1: Sean
7 ‚ 8 con elementos en Š. Entonces existe una única transformación lineal X de Z en
[ tal que cX d F" F# œ E.
Ejemplo:
La transformación lineal de ‘# en ‘$ cuya matriz asociada respecto de las bases
Î#  "Ñ
canónicas es E œ !  # , es tal que:
" Ò
Ï$
#
X a"ß !b œ #a"ß !ß !b  !a!ß "ß !b  $a!ß !ß "b œ a#ß !ß $b
X a!ß "b œ a  "ba"ß !ß !b  a  #ba!ß "ß !b  "# a!ß !ß "b œ ˆ  "ß  #ß "# ‰
Por lo tanto: X a"ß !b œ a#ß !ß $b y X a!ß "b œ ˆ  "ß  #ß "# ‰
Entonces, X se puede definir:
aaBß C b − ‘# Ê aBß C b œ !a"ß !b  " a!ß "b
aBß C b œ a!ß !b  a!ß " b
!œB
aBß C b œ a!ß " b Ê œ
"œC
Por lo tanto, aaBß C b − ‘#
Ê
aBß C b œ Ba"ß !b  C a!ß "b
ÎX
X aBß C b œ X cBa"ß !bd  X cC a!ß "bd
137
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X aBß C b œ B X a"ß !b  C X a!ß "b
X aBß C b œ Ba#ß !ß $b  C ˆ  "ß  #ß "# ‰
X aBß C b œ a#Bß !ß $Bb  ˆ  Cß  #Cß "# C ‰
X aBß C b œ ˆ#B  Cß  #Cß $B  "# C ‰
que resulta una transformación lineal de ‘# a ‘$ .
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Observación: Si se intercambia el orden de los vectores de las bases, cambia la transformación lineal.
(¡verifícalo!).
Z,
[
dos
Š-espacios
vectoriales,
F" œ š→
@ "ß →
@ # ß ÞÞÞ,→
@ 8›
y
Si X À Z Ä [ es una
F# œ š→
A"ß →
A # ß ÞÞÞß →
A 7 › bases de Z y [ respectivamente.
→
→
T.L., entonces cX dF F ’ B “ œ ’X Š B ‹“ . Es deir, al multiplicar la matriz asociada a X
Proposición 2:
Sean
" #
F"
F#
por el vector coordenado de →
B respecto de la base F" ß se obtiene el vector coordenado
de la imagen de →
B por X respecto de la base F# .
Sea X À `#‚# a‘b Ä ‘$ definida como X Œ
Ejemplo:
La
+
-
,
œ a+  ,ß -  #.ß , b.
.
matriz
asociada
a
X
respecto
" !
" !
!
!
! #
F" œ  Œ
à
à
à
y
! "  Œ ! !  Œ  " !  Œ ! ! Ÿ
F# œ ˜a  #ß #ß #bà a"ß !ß !bà a"ß "ß !b™ es
!
!
" Ñ
Î !
" "
"
#
cX dF F œ
" #
Ï #
! " #Ò
$
Si →
B œŒ
 "#
!
; entonces ’→
B“
%
F"
Î % Ñ
Ð "Ó
œÐ " Ó
y
Ï ! Ò
#
138
a
las
bases
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B ‹“
’X Š→
F#
Î !
"
œ
Ï #
!
"
!
!
"
"
%
" ÑÎ  " Ñ Î ! Ñ
Ð
ÓÐ  * Ó
#
œ
Ð " Ó
#
 # ÒÏ # Ò Ï "&
Ò
#
!
Entonces, X Š→
B ‹ œ !a  #ß #ß #b  *# a"ß !ß !b 
"&
# a"ß "ß !b
‰
œ ˆ$ß "&
# ß!
AUTOEVALUACION N° 16
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1:
Sea X À ‘$ Ä ‘$ de manera que
X ÐBß Cß DÑ œ ÐB  %Cß $C  &Dß $DÑ
a)
b)
c)
d)
PROBLEMA 2:
Diga si X es transformación lineal.
Determine el O/<aX b y la M7aX b
Calcule (aX b y 3aX b.
Diga si X es una transformación inyectiva.
Sea X À ‘$ Ä ‘$ una T.L. definida por:
X aBß Cß D b œ a%B  'Cß #D  C  Bß B  C b. Sean
I œ ša"ß !ß !bà a!ß "ß !bà a!ß !ß "b› y
J œ ša"ß "ß "bà a  "ß #ß !bà a%ß  &ß 'b› base de ‘$ .
Encontrar la matriz asociada a la transformación X dada las bases
I y J.
AUTOEVALUACION N° 17
Indicación:
PROBLEMA 1:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
Considera la T.L. X À `# a‘b Ä ‘% definida por:
XŒ
a)
b)
B
D
C
œ aB  %D  Aß A  Dß B  Cß Ab
A
¿Es X inyectiva?
¿Es > sobreyectiva?
139
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c)
"
Encuentra X Œ
!
PROBLEMA 2:
#
"
Sea X À ‘$ Ä ‘$ una T.L. tal que:
X a"ß !ß !b œ a"ß %ß %bà
X a!ß "ß !b œ a  "ß !ß  #bà
X a!ß !ß "b œ a"ß  "ß "b
Determina la definición de X y calculo X a  "ß #ß $b
140
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Pre- Examenes
141
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PRE-EXAMEN N° 01
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: a)
b)
Determina la condición de + y , de modo que la matriz E sea invertible.
Resuelve la ecuación para \ , E\ œ F , para + œ " y , œ !.
Eœ
Î "
,
Ï "
!
#
"
"Ñ
+ à
!Ò
Fœ
Î#
$
Ï"
 "Ñ
!
$ Ò
PROBLEMA 2: Sean Y y [ subespacios de ‘$ definidos como sigue:.
Y œ ÖaBß Cß D b − ‘$ ÎB  C  D œ !× y [ œ Öa!ß "ß !bà a$ß "ß !bס.
a)
b)
Verifica que Y es subespacio de ‘$ .
Determina una base de Y  [ y extiéndela a una base de ‘$ .
PROBLEMA 3: Sea X À ‘# Ä ‘# una transformación lineal tal que:
X a  "ß $b œ a$ß  #bà
X a&ß $b œ a  'ß %b
a)
b)
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Encuentra explícitamente la transformación lineal X .
¿Es X inyectiva?. ¿Por qué?.
PROBLEMA 4: Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos T" a"ß %ß #bß T# a#ß $ß !b
T$ a  "ß  #ß %b.
y
PROBLEMA 5: Determina los valores de "- ", si es posible, de modo que el sistema tenga infinitas
soluciones.
B  C  -D œ !
$B  %C  #D œ !
#B  $C  D œ !
142
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PRE-EXAMEN N° 02
Indicación:
Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: Resuelve, usando determinantes (Regla de Cramer)
#D  $ œ C  $B
B  $D œ #C  "
$C  D œ #  #B
PROBLEMA 2: Demuestra que ‘$ œ Y Š [ , donde:
Y œ ÖaBß Cß D b − ‘$ ÎB  D œ !× y
[ œ ÖaBß Cß D b − ‘$ ÎB œ ! • &C  #D œ !×
PROBLEMA 3: Sea X À ‘$ Ä ‘$ definida por: X aBß Cß D b œ aB  Cß B  Dß C  D b
a)
b)
Determina la matriz asociada E œ cX dGG con respecto a la base canónica.
Usando E, determina los valores propios de X .
PROBLEMA 4: Resuelve la ecuación para 5 − ‘ À
â
â5  #
â
â !
â
â "
%
"
!
â â
#& â â 5  &
â â
! âœâ "
â â
5 %â â "
$
5#
!
â
%â
â
#â
â
"â
VIRGINIO GOMEZ
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Con el valor de 5 encontrado, sustitúyelo en el siguiente sistema y encuentra su solución,
si existe.
5B  C  D  A œ !
5B  C  D  5A œ "
5B  C  D  %A œ  #
PROBLEMA 5: Para el triángulo cuyos vértices están en EÐ#ß  &ß $Ñß FÐ  "ß (ß !Ñ y GÐ  %ß *ß (Ñ
calcula la longitud de cada lado, el punto medio de cada lado y su área de dos formas
distintas (vectorial y con la fórmula de Herón de Alejandría).
143
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Bibliografía Recomendada.
________________________________________
(1994)
: Matrices. Ed. McGraw-Hill, México D.F.
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1)
Ayres, F.
2)
De Burgos, J.
3)
Devaud, G.; Erpelding, M.T.; Kirstein, L.; Navarro, M.I.; Ortega, M., y
Vicente, M. (1996) : Álgebra Lineal. Proyecto de Desarrollo de la Docencia.
U. de Concepción.
4)
Grossman, S. (1996) : Álgebra Lineal. Ed. McGraw-Hill, Bogotá.
5)
Hoffman, K. y Kunze, R. (1997): Álgebra Lineal. Ed. Prentice Hall, México D.F.
6)
Lipschutz, S. (1993) : Álgebra Lineal. Ed. McGraw-Hill, Madrid.
7)
Torregrosa, J.R. y Jordán, C. (1993) : Álgebra Lineal y sus Aplicaciones.
Ed. McGraw-Hill, Madrid.
(1994) : Álgebra Lineal. Ed. McGraw-Hill, Madrid.
144