Movimiento de rotación

Movimiento de rotación
Javier Junquera
Bibliografía
FUENTE PRINCIPAL
Física, Volumen 1, 3° edición
Raymod A. Serway y John W. Jewett, Jr.
Ed. Thomson
ISBN: 84-9732-168-5
Capítulo 10
Física para Ciencias e Ingeniería, Volumen 1, 7° edición
Raymod A. Serway y John W. Jewett, Jr.
Cengage Learning
ISBN 978-970-686-822-0
Capítulo 10
Tips on Physics
R. P. Feynman, R. B. Leighton, y M. Sands
Ed. Pearson Addison Wesley
ISBN: 0-8053-9063-4
Capítulo 3-3 y siguientes
Definición de traslación, rotación y vibración
Traslación: las posiciones de todas las partículas del
cuerpo se desplazan una misma cantidad.
Rotación: el movimiento de cambio de orientación de
un sólido extenso de forma que, dado un punto
cualquiera del mismo, este permanece a una
distancia constante de un punto fijo.
Vibración: oscilación en torno a una
posición de equilibrio
Partícula en un movimiento de rotación.
Posición angular o posición de rotación
Supongamos un objeto que gira sobre sí mismo
¿cómo describiríamos su posición en ese movimiento de rotación?.
La manera más fácil de describir su posición en ese movimiento de
rotación es describiendo su orientación con respecto a alguna dirección
de referencia fija.
Podemos utilizar un ángulo, medido a partir de una dirección de referencia, como
una medida de la posición de rotación o posición angular.
cannot
nt parts
owever,
llection
Partícula en un movimiento de rotación.
hat the
Posición
angular o posición de rotación
ve locaRigid object
objects
ny situa-
Supongamos un objeto plano que gira alrededor de un eje fijo
perpendicular al objeto y que pasa por un punto O.
n
otating
ure. Let
he disc.
ircle of
O.) It is
ere r is
m some
rdinate
particle
n arc of
ugh the
r
O
P
Reference
line
(a)
Todas las partículas del objeto describen un
movimiento circular alrededor de O.
P
r
O
s
u
Reference
line
(b)
(10.1a)
(10.1b)
La partícula indicada por el punto negro se
encuentra a una distancia fija r del origen y gira
alrededor de O describiendo un círculo de radio r.
Figure 10.1 A compact disc
rotating about a fixed axis through
O perpendicular to the plane of the
figure. (a) In order to define
angular position for the disc,
a fixed reference line is chosen.
Hay una estrecha relación entre el movimiento de
rotación del objeto y el movimiento de una partícula
a lo largo de una trayectoria circular.
Un objeto que rota está compuesto por muchas
partículas, cada una de las cuales se mueve con un
movimiento circular (puede ser no uniforme)
cannot
nt parts
owever,
llection
Partícula en un movimiento de rotación.
hat the
Coordenadas
polares
ve locaRigid object
objects
ny situa-
Resulta conveniente representar la posición de una partícula mediante
sus coordenadas polares
n
otating
ure. Let
he disc.
ircle of
O.) It is
ere r is
m some
rdinate
particle
n arc of
ugh the
r
O
P
Reference
line
(a)
P
r
O
En este sistema de referencia, la única coordenada
de una determinada partícula que cambia con el
tiempo es θ, permaneciendo r constante
s
u
Reference
line
(b)
(10.1a)
(10.1b)
Se elige como centro del sistema de coordenadas
polares un punto que coincida con el centro de las
trayectorias circulares de las partículas
Figure 10.1 A compact disc
rotating about a fixed axis through
O perpendicular to the plane of the
figure. (a) In order to define
angular position for the disc,
a fixed reference line is chosen.
A medida que un partícula del objeto se mueve a lo largo del
círculo de radio r desde el eje x positivo (θ = 0) hasta el punto
P, se está moviendo a lo largo de un arco de longitud s, que
está relacionado con el ángulo θ por la expresión
Partícula con movimiento circular:
definición de radián
Un radián representa el ángulo central en una circunferencia que
subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio.
Su símbolo es rad.
Equivalencia entre grados y radianes
Grados
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
Radianes
0
π/6
π/4
π/3
π/2
π
3π/2
2π
to one complete revolution.) Hence, 1 rad ! 360°/2" ! 57.3° . To convert an angle in
▲ PITFALL PREVENTION
degrees to an
angle in radians, we use the fact that " rad ! 180°, or
Partícula
con
movimiento
circular:
10.1 Remember the
"
Radiande velocidades angulares
definición
# (rad) !
# (deg)
180'
In rotational equations, we must
use angles expressed in radians.
Don’t fall into the trap of using
angles measured in degrees in rotational equations.
y
" ,t f
r
!,ti
θf
θi
O
x
Figure 10.2 A particle on a
rotating rigid object moves from !
to " along the arc of a circle. In
the time interval $t ! tf % ti , the
radius vector moves through an
angular displacement $# ! #f % #i.
Average angular speed
For example, 60° equals "/3 rad and 45° equals "/4 rad.
Because the disc in Figure 10.1 is a rigid object, as the particle moves along the circle from
the reference
line, every other
particle on
the object
rotatesB
through
Mientras
la partícula
se mueve
desde
A hasta
en unthe same
#. Thus, we can associate
the angle
! with the entire rigid
well as
angle
tiempo
, el vector
correspondiente
al object
radio as
barre
with an individual particle. This allows us to define the angular position of a rigid obel ángulo
que equivale al desplazamiento
ject in its rotational motion. We choose a reference line on the object, such as a line
angular
durante
ese
tiempo
connecting O and
a chosen
particle on
theintervalo
object. The de
angular
position of the rigid
object is the angle # between this reference line on the object and the fixed reference
line in space, which is often chosen as the x axis. This is similar to the way we identify
Ni la posición angular ni el desplazamiento angular
the position of an object in translational motion—the distance x between the object
están limitados al rango
and the reference position, which is the origin, x ! 0.
hace in
falta
“reiniciar”
la posición
a cero
As (no
the particle
question
on our rigid
object travelsangular
from position
! to position
vez que
el ejeline
x).of length r sweeps out an
" in acada
time interval
$t asla
inpartícula
Figure 10.2, cruza
the reference
angle $# ! #f % #i. This quantity $# is defined as the angular displacement of the
rigid object:
Definimos la velocidad angular media
como el cociente
$# " # f % # i
entre el desplazamiento angular y el intervalo de tiempo
The rate at which this angular displacement occurs can vary. If the rigid object spins
rapidly, this displacement can occur in a short time interval. If it rotates slowly, this displacement occurs in a longer time interval. These different rotation rates can be quantified by introducing angular speed. We define the average angular speed & (Greek
omega) as the ratio of the angular displacement of a rigid object to the time interval
$t during which the displacement occurs:
&"
#f % #i
$#
!
tf % ti
$t
(10.2)
to one complete revolution.) Hence, 1 rad ! 360°/2" ! 57.3° . To convert an angle in
▲ PITFALL PREVENTION
degrees to an
angle in radians, we use the fact that " rad ! 180°, or
Partícula
con
movimiento
circular:
10.1 Remember the
"
Radiande velocidades angulares
definición
# (rad) !
# (deg)
180'
In rotational equations, we must
use angles expressed in radians.
Don’t fall into the trap of using
angles measured in degrees in rotational equations.
y
" ,t f
r
!,ti
θf
θi
O
x
For example, 60° equals "/3 rad and 45° equals "/4 rad.
Because the disc in Figure 10.1 is a rigid object, as the particle moves along the cirDefinimos
la velocidad
media
como
el through
cociente
cle from the reference
line, everyangular
other particle
on the object
rotates
the same
Thus,
we can associate angular
the angle !ywith
the entire rigid
object as well as
angle #.el
entre
desplazamiento
el intervalo
de tiempo
with an individual particle. This allows us to define the angular position of a rigid object in its rotational motion. We choose a reference line on the object, such as a line
connecting O and a chosen particle on the object. The angular position of the rigid
object is the angle # between this reference line on the object and the fixed reference
line in space, which is often chosen as the x axis. This is similar to the way we identify
the position of an object in translational motion—the distance x between the object
Por analogía con la velocidad de traslación,
and the reference position, which is the origin, x ! 0.
la velocidad angular instantánea se define como
As the particle in question on our rigid object travels from position ! to position
" in a time interval $t as in Figure 10.2, the reference line of length r sweeps out an
angle $# ! #f % #i. This quantity $# is defined as the angular displacement of the
rigid object:
$# " # f % # i
Unidades: rad/s o s-1
The rate at which this angular displacement occurs can vary. If the rigid object spins
Figure 10.2 A particle on a
rapidly, this displacement can occur in a short time interval. If it rotates slowly, this disrotating rigid object moves from !
to " along the arc of a circle. In
placement occurs in a longer time interval. These different rotation rates can be quanthe time interval $t ! tf % ti , the
tified by introducing angular speed. We define the average angular speed & (Greek
Si vector
adoptamos
el convenio
de que el eje fijo de rotación es el eje z, entonces diremos
radius
moves through
an
omega) as the ratio of the angular displacement of a rigid object to the time interval
angular
$# ! #f % cuando
#i.
quedisplacement
es positiva
aumente (movimiento en sentido contrario del sentido
$t during which the displacement occurs:
del reloj y negativo en caso contrario
Average angular speed
&"
#f % #i
$#
!
tf % ti
$t
(10.2)
to one complete revolution.) Hence, 1 rad ! 360°/2" ! 57.3° . To convert an angle in
▲ PITFALL PREVENTION
degrees to an
angle in radians, we use the fact that " rad ! 180°, or
Partícula
con
movimiento
circular:
10.1 Remember the
"
Radiande aceleraciones angulares
definición
# (rad) !
# (deg)
180'
In rotational equations, we must
use angles expressed in radians.
Don’t fall into the trap of using
angles measured in degrees in rotational equations.
y
" ,t f
r
!,ti
θf
θi
O
x
Figure 10.2 A particle on a
rotating rigid object moves from !
to " along the arc of a circle. In
the time interval $t ! tf % ti , the
radius vector moves through an
angular displacement $# ! #f % #i.
Average angular speed
For example, 60° equals "/3 rad and 45° equals "/4 rad.
Because the disc in Figure 10.1 is a rigid object, as the particle moves along the circlela
from
the reference
line, every
other particle on
object
rotates through
the same
Si
velocidad
angular
instantánea
dethe
una
partícula
cambia
associate the
! with the
entire
rigid object
as una
well as
angle #.aThus, we
de
encan
el intervalo
deangle
tiempo
, la
partícula
tiene
with an individual particle. This allows us to define the angular position of a rigid obaceleración
angular
ject in its rotational motion. We choose a reference line on the object, such as a line
connecting O and a chosen particle on the object. The angular position of the rigid
object is the angle # between this reference line on the object and the fixed reference
Aceleración angular media
line in space, which is often chosen as the x axis. This is similar to the way we identify
the position of an object in translational motion—the distance x between the object
and the reference position, which is the origin, x ! 0.
As the particle in question on our rigid object travels from position ! to position
" in a time interval $t as in Figure 10.2, the reference line of length r sweeps out an
angle $# ! #f % #i. This quantity $# is defined as the angular displacement of the
rigid object:
Por analogía con la aceleración de traslación,
la aceleración angular $instantánea
se define como
# " #f % #i
The rate at which this angular displacement occurs can vary. If the rigid object spins
rapidly, this displacement can occur in a short time interval. If it rotates slowly, this displacement occurs in a longer time interval. These different rotation rates can be quantified by introducing angular speed. We define the average angular speed & (Greek
omega) as the ratio of the angular displacement of a rigid object to the time interval
2
-2
Unidades:
$t during which the displacement
occurs: rad/s o s
&"
#f % #i
$#
!
tf % ti
$t
(10.2)
Partícula con movimiento circular:
dirección de velocidad y aceleración angular
No se ha asociado ninguna dirección con la velocidad angular ni la aceleración angular
Siendo estrictos, la velocidad y la aceleración angular instantánea definidas anteriormente son
los módulos de las correspondientes magnitudes vectoriales
En el caso de rotación alrededor de un eje fijo, la única dirección que permite especificar
de forma unívoca el movimiento de rotación es la dirección a lo largo del eje
La dirección de
se orienta a lo largo del eje de rotación.
S
Por convenio, se considera que el sentido de
Por convenio, se considera queω el sentido de
es saliente con respecto al plano en el diagrama es entrante con respecto al plano en el diagrama
cuando la rotación es en el sentido contrario a
cuando la rotación es en el sentido de las
las agujas del reloj
agujas
del reloj
S EC TI O N 10.1 • Angular Position, Velocity, and Acceleration
295
ω
ω
Figure 10.3 The right-han
ing the direction of the ang
If the instantaneous angular speed of an object changes from !
interval "t, the object has an angular acceleration. The average angu
Partícula con movimiento circular:
dirección de velocidad y aceleración angular
No se ha asociado ninguna dirección con la velocidad angular ni la aceleración angular
Siendo estrictos, la velocidad y la aceleración angular instantánea definidas anteriormente son
los módulos de las correspondientes magnitudes vectoriales
En el caso de rotación alrededor de un eje fijo, la única dirección que permite especificar
de forma unívoca el movimiento de rotación es la dirección a lo largo del eje
La dirección de
se deduce de su definición vectorial como
La dirección de la aceleración es la misma que
la de la velocidad angular si la velocidad angular
(el módulo de
) aumenta con el tiempo
La dirección de la aceleración es antiparalela a
la velocidad angular si la velocidad angular (el
módulo de
) disminuye con el tiempo
Vector velocidad angular
R
Vector velocidad angular
Módulo: celeridad angular
α
Dirección: perpendicular al plano del movimiento
Sentido: tornillo a derechas
Como
sugiere que
Derivando el vector velocidad, obtenemos la aceleración
Cinemática de rotación:
cuerpo rígido con aceleración angular constante
En el caso de movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, el movimiento
acelerado más simple es el movimiento bajo aceleración angular constante
Y además
Podemos integrar esta expresión directamente para calcular la velocidad angular final
Cinemática de rotación:
cuerpo rígido con aceleración angular constante
Integrando una vez más obtenemos el ángulo en función del tiempo
Cinemática de rotación:
cuerpo rígido con aceleración angular constante
Si eliminamos el tiempo de la primera ecuación y sustituimos en la segunda
Y eliminando la aceleración angular
Cinemática de rotación:
cuerpo rígido con aceleración angular constante
Table 10.1
Kinematic Equations for Rotational and Linear
Motion Under Constant Acceleration
Rotational Motion
About Fixed Axis
Linear Motion
!f " !i # $t
%f " %i # !i t # 12 $t 2
!f 2 " !i 2 # 2$(%f & %i )
%f " %i # 12(!i # !f )t
vf " vi # at
1
x f " x i # vi t # 2at 2
vf 2 " vi 2 # 2a(x f & x i )
1
x f " x i # 2(vi # vf )t
Las expresiones cinemáticas para el movimiento de rotación bajo aceleración
10.4matemática
Consider again
pairsmovimiento
of angular positions
for t
angular constanteQuick
tienen la Quiz
misma forma
que the
las del
de
in Quick Quiz
If the constante,
object starts sustituyendo
from rest at the initial angular p
traslación object
bajo aceleración
de 10.1.
traslación
moves counterclockwise with constant angular acceleration, and arrives at the
gular position with the same angular speed in all three cases, for which choic
angular acceleration the highest?
Example 10.1
Rotating Wheel
Relaciones entre las magnitudes de
rotación y traslación
298
Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, cada partícula del cuerpo
C H A P T E R 10 • Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis
se mueve alrededor de un círculo cuyo centro es el eje de giro
y
v
P
s
r
u
O
x
Unapoint
partícula
un cuerpo
rígidoin
enarotación
se linea
Because
P inde
Figure
10.4 moves
circle, the
mueve
círculopath
de radio
r alrededor
del tangential
eje z
ways tangent
toen
theuncircular
and hence
is called
of the tangential velocity of the point P is by definition the tan
Dado que la partícula se mueve en una trayectoria
where s is thecircular,
distancesutraveled
by this point measured along t
vector velocidad es siempre
10.1a) and noting
that r is constant, we obta
ing that s ! r # (Eq.perpendicular
a la trayectoria
(a menudo se denomina velocidad
ds tangencial)
d#
v!
!r
dt viene
dt dado por
El módulo de la velocidad tangencial
Because d#/dt ! $ (see Eq. 10.3), we see that
! rla
$ partícula a lo
Donde s es la distancia recorridavpor
Active Figure 10.4 As a rigid object
largo de la trayectoria circular
rotates about the fixed axis through
El módulo de la velocidad tangencialThat
de lais,partícula
the tangential speed of a point on a rotating rigid obje
O, the point P has a tangential
es igual a la distancia de la partículaular
al eje
de giroof that point from the axis of rotation multiplie
distance
velocity v that is always tangent to
multiplicada
poroflaradius
velocidad
angularTherefore,
de la partícula
although every point on the rigid object has the s
the circular path
r.
every point has the same tangential speed because r is not the sa
Relaciones entre las magnitudes de
rotación y traslación
298
Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, cada partícula del cuerpo
C H A P T E R 10 • Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis
se mueve alrededor de un círculo cuyo centro es el eje de giro
y
v
P
s
r
u
O
x
Unapoint
partícula
un cuerpo
rígidoin
enarotación
se linea
Because
P inde
Figure
10.4 moves
circle, the
mueve
círculopath
de radio
r alrededor
del tangential
eje z
ways tangent
toen
theuncircular
and hence
is called
of the tangential velocity of the point P is by definition the tan
where sElismódulo
the distance
by tangencial
this point measured
along t
de la traveled
velocidad
de la partícula
and de
noting
that r is al
constant,
we obta
ing that es
s !igual
r # (Eq.
a la10.1a)
distancia
la partícula
eje de giro
multiplicada por la velocidad angular de la partícula
ds
d#
v!
!r
dt
dt
Because d#/dt ! $ (see Eq. 10.3), we see that
Active Figure 10.4 As a rigid object
rotates about the fixed axis through
O, the point P has a tangential
velocity v that is always tangent to
the circular path of radius r.
Aunque cada punto del sólido rígido tenga
la rmisma
velocidad
v!
$
angular, no todos los puntos tienen la misma velocidad
tangencial, puesto que r cambia de punto a punto.
That is, the tangential speed of a point on a rotating rigid obje
La velocidad
tangencial
defrom
un punto
en un
que
rota
ular
distance of
that point
the axis
of objeto
rotation
multiplie
aumenta
segúnevery
nos separamos
eje de
girohas the s
Therefore,
although
point on thedelrigid
object
every point has the same tangential speed because r is not the sa
at !
dv
d$
!r
dt
dt
(10.11)
Relaciones
entre las magnitudes dea ! r %
Relation between tangential
and angular acceleration
rotación y traslación
That is, the tangential component of the linear acceleration of a point on a rotating
t
Podemos establecer
aceleración tangencial
y
rigid object equals the point’s distance from the axis of rotation multiplied by the angular acceleration.
unaInrelación
la that
aceleración
angular
de lapath
partícula
y asu
Section 4.4entre
we found
a point moving
in a circular
undergoes
radial
, cuya componente
tangente
a la trayectoria
del movimiento
v 2/r
directed toward
the center of rotation
(Fig. 10.5).
acceleration
ar of magnitudees
Because v ! r $ for a point P on a rotating object, we can express the centripetal acceleration at that point in terms of angular speed as
at
ac !
P
a
ar
O
x
v2
! r $2
r
(10.12)
Latotal
componente
tangencial
aceleración
traslación
de una
The
linear acceleration
vector at de
the la
point
is a ! at " arde
, where
the magniacceleration ac . un
Because
a is a vector circular
having a radial
and a a la
tude of partícula
ar is the centripetal
que experimenta
movimiento
es igual
tangential component,
of a atal
theeje
point
on themultiplicada
rotating rigid object
distanciathe
demagnitude
la partícula
deP giro
porisla
aceleración
angular
a ! √a t 2 " a r 2 !
r √%2 " $4
√r 2% 2 " r 2$4 !
(10.13)
Figure 10.5 Pero
As a rigid
laobject
aceleración de traslación también tiene una componente centrípeta
rotates about a fixed axis through
Andy and Charlie are riding on a merry-go-round. Andy
O, the point P experiences a
rides on a horse at the outer rim of the circular platform, twice as far from the center
tangential component of linear
acceleration at and a radial
of the circular platform as Charlie, who rides on an inner horse. When the merry-gocomponent of linear acceleration
round is rotating at a constant angular speed, Andy’s angular speed is (a) twice Charar . The total linear acceleration of
Módulo
de la (d)
aceleración
de traslación
lie’s (b)
the same as Charlie’s (c)
half of Charlie’s
impossible to determine.
de traslación
total
this pointAceleración
is a ! at " ar .
Quick Quiz 10.5
Quick Quiz 10.6
Consider again the merry-go-round situation in Quick Quiz
10.5. When the merry-go-round is rotating at a constant angular speed, Andy’s tangential speed is (a) twice Charlie’s (b) the same as Charlie’s (c) half of Charlie’s (d) impos-
total
Energía cinética rotacional
Supongamos que podemos considerar el objeto
como un conjunto de partículas que rotan
alrededor del eje z con una velocidad angular
Cada una de esas partículas tiene una energía
cinética caracterizada por su masa y el módulo
de su velocidad tangencial
Aunque todas las partículas tengan la misma velocidad
angular, las celeridades tangenciales individuales
dependerán de su distancia al eje de rotación
La energía cinética total del sólido rígido vendrá dada por la suma de las energías
cinéticas de todas las partículas que lo componen
Momento de inercia
El momento de inercia se define como
Tiene por dimensiones ML2, siendo sus unidades en el SI (kg Ÿ m2)
Energía cinética rotacional
La energía cinética rotacional toma el valor
La energía cinética rotacional no es una nueva
forma de energía.
Simplemente se trata de energía cinética
ordinaria (se ha calculado como la suma de la
energía cinética de las partículas contenidas en
el sólido rígido).
Sin embargo, la nueva expresión matemática es
más conveniente cuando tratamos con
rotaciones (siempre que sepamos como calcular
el momento de inercia)
Ahora, en el lado correspondiente al almacenamiento, dentro de la ecuación de conservación de
la energía, deberemos ahora considerar que el término de la energía cinética es la suma de los
cambios tanto en la energía cinética de traslación como de rotación.
Analogía entre la energía cinética asociada con las rotaciones y
la energía cinética asociada con movimiento lineal
La energía cinética de traslación
La energía cinética rotacional
El papel de …
… lo juega
Esto va a ocurrir cada vez que comparemos una ecuación del movimiento
lineal con su correspondiente análogo en el movimiento rotacional
El momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar su
estado de movimiento rotacional
Analogías y diferencias entre masa y momento de inercia
Masa
Momento de inercia
Analogías
Es una medida de la resistencia de un objeto a
cambiar su estado de movimiento lineal
Es una medida de la resistencia de un objeto a
cambiar su estado de movimiento rotacional
Diferencias
Es una propiedad intrínseca del objeto
(asumiendo velocidades no relativistas)
Depende de la elección del eje de rotación
(no hay un valor único del momento de inercia
de un objeto).
No sólo depende de la masa, sino de cómo está
distribuida la masa alrededor del eje de giro.
Es un escalar
Es un tensor
Cálculo del momento de inercia
en un sistema discreto
Sistema discreto
C HAPTE R 10 • Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis
Ejemplo: cuatro pequeñas esferas están unidas a las cuatro esquinas de un marco de masa
despreciable
que
el plano xy.
which are the same
as the está
answers insituado
part (A). If thesobre
masses
If? What if the mass M is much larger than m? How
m of the two red spheres in Figure 10.8 are negligible, then
answers to parts (A) and (B) compare?
Si la rotación se produce alrededor
del eje y con celeridad angular ω, calcular:
these spheres can be removed from the figure and rotations
er If M !! m, then m can be neglected and the
about the
y and z axes
are equivalent. al eje y
- el momento de inercia
Iy con
respecto
nt of inertia and rotational kinetic energy in part
ecome
- la energía2 cinética
de rotación con respecto a dicho eje.
2
2
Iz " 2Ma
and
KR " Ma #
y
Las dos esferas de masa m que están situadas en el
eje y no contribuyen a Iy
m
b
m
M
M
a
a
M
b
x
a
b
O
m
a
b
M
m
(b)
(a)
Las dos esferas de masa m no se mueven alrededor
del eje y y, por tanto, no tienen energía cinética
Cálculo del momento de inercia
en un sistema discreto
Sistema discreto
which are the same as the answers in part (A). If the masses
m of the two red spheres in Figure 10.8 are negligible, then
these spheres can be removed from the figure and rotations
Ejemplo:
esferas están
about
the y and cuatro
z axes are pequeñas
equivalent.
unidas a las cuatro esquinas de un marco de masa
despreciable que está situado sobre el plano xy.
Si la rotación se produce alrededor del eje z con celeridad angular ω, calcular:
- el momento de inercia Iz con respecto al eje z
- la energía cinética de rotación con respecto a dicho eje.
m
M
b
x
Dado que ri representa la distancia perpendicular al
eje de giro
a
O
a
b
M
m
(b)
El momento de inercia y la energía cinética de rotación asociada a una
celeridad angular determinada cambia con respecto al eje de giro
Cálculo del momento de inercia
en un sistema continuo
En el caso de un objeto continuo:
1. Se divide el objeto en muchos elementos infinitesimales de masa
2. Aproximamos el momento de inercia del sólido continuo a partir de la expresión para un
sistema discreto
donde
es el cuadrado de la distancia entre el elemento de masa finita y el eje de giro
3. Tomamos el límite de la suma cuando
convierte en una integral.
. En este caso, la suma se
4. Generalmente es más fácil calcular momentos de inercia en términos de volumen de
los elementos, más que en sus masas. Podemos hacer la transformación ya que
Si el sistema es homogéneo ρ es contante y la
integral se puede evaluar para una geometría dada.
I ! ICM " MD 2
Parallel-axis theorem
(10.18)
To prove the parallel-axis theorem, suppose that an object rotates in the xy plane
about the z axis, as shown in Figure 10.12, and that the coordinates of the center of
mass are x CM, yCM. Let the mass element dm have coordinates x, y. Because this
Momentos de inercia de diferentes sólidos rígidos con respecto
a determinados ejes Table 10.2
Moments of Inertia of Homogeneous Rigid Objects
with Different Geometries
Hoop or thin
cylindrical shell
I CM = MR 2
R
Solid cylinder
or disk
I CM = 1 MR 2
2
R
Hollow cylinder
I CM = 1 M(R 12 + R 22)
2
R1
Rectangular plate
I CM = 1 M(a 2 + b 2)
12
b
a
Long thin rod
with rotation axis
through center
I CM = 1 ML 2
12
Long thin
rod with
rotation axis
through end
L
I = 1 ML 2
3
Solid sphere
I CM = 2 MR 2
5
Thin spherical
shell
I CM = 2 MR 2
3
R
L
R
R2
Cálculos de momentos de inercia:
S ECTI O N 10.5 • Calculation of Moments of Inertia
303
Momento de inercia de un anillo con respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro
10.5 Uniform Thin Hoop
y
moment of inertia of a uniform thin hoop of mass
dius R about an axis perpendicular to the plane of
and passing through its center (Fig. 10.9).
dm
Because the hoop is thin, all mass elements dm
me distance r ! R from the axis, and so, applying
10.17, we obtain for the moment of inertia about
hrough O:
Iz !
!
r 2 dm ! R 2
!
x
O
R
dm ! MR 2
this moment of inertia is the same as that of a sine of mass M located a distance R from the axis of
Figure 10.9 (Example 10.5) The mass elements dm of a
uniform hoop are all the same distance from O.
Consideremos un anillo de masa
y radio
10.6 Uniform Rigid Rod
El eje de rotación es el eje de simetría del anillo, perpendicular al
y′
y
del mismo
y que
atraviesa su centro
the moment of inertia of a uniform rigid rod of
nd mass M (Fig. 10.10) about an axis perpendicular
plano
(the y axis) and passing through its center of mass.
The shaded length element dx in Figure 10.10 has a
Toda
la masa
seby encuentra
qual to the mass per
unit length
" multiplied
dx:
dm ! " dx !
M
dx
L
r 2 dm !
M
x3
!
L/2
#L/2
L/2
x2
M
M
dx !
L
L
y el momento de inercia es
x
ng this expression for dm into Equation 10.17, with
e obtain
!
a una distancia dx
!
L/2
#L/2
x 2 dx
O
x
L
Figure 10.10 (Example 10.6) A uniform rigid rod of
length L. The moment of inertia about the y axis is less than
!
!
r 2 dm ! R 2
dm ! MR 2
ment of inertia is the same as that of a sinCálculos
de momentos
de
inercia:
Figure 10.9
(Example
10.5) The mass elements dm of a
ss M located a distance R from the axis of
uniform hoop are all the same distance from O.
Momento de inercia de un varilla uniforme con respecto a un eje perpendicular a la barra que
pasa por su centro de masas
Uniform Rigid Rod
ment of inertia of a uniform rigid rod of
M (Fig. 10.10) about an axis perpendicular
xis) and passing through its center of mass.
y′
y
ded length element dx in Figure 10.10 has a
he mass per unit length " multiplied by dx:
dm ! " dx !
dx
M
dx
L
x
O
xpression for dm into Equation 10.17, with
m!
3
#
!
L/2
#L/2
L/2
!
#L/2
x2
M
M
dx !
L
L
1
12
ML2
Uniform Solid Cylinder
!
L/2
#L/2
x
L
x 2 dx
Figure 10.10 (Example 10.6) A uniform rigid rod of
length L. The moment of inertia about the y axis is less than
Consideremos
una barra uniforme de longitud
that about the y$ axis. The latter axis is examined in
Example 10.8.
y masa
La zona sombreada de longitud
tiene una masa
igual a la
masa por unidad de longitud
multiplicada por
ylinder has a radius R, mass M, and length
oment of inertia about its central axis (the
).
nvenient to divide the cylinder into many
each of which has radius r, thickness dr,
shown in Figure 10.11. The volume dV of
oss-sectional area multiplied by its length:
r)dr. If the mass per unit volume is &, then
s differential volume element is dm !
z
dr
r
R
L
0 (Example 10.6) A uniform rigid rod of
e moment of inertia about the y axis is less than
he y$ axis. The latter axis is examined in
8.
Cálculos de momentos de inercia:
Momento de inercia de un cilindro uniforme con respecto a su eje central
z
Dividimos el cilindro en muchas cortezas cilíndricas
de radio , grosor
, y altura
dr
r
El volumen
de cada corteza es igual al área de su
sección transversal multiplicada por la altura
R
L
1 (Example 10.7) Calculating I about the z axis for
lid cylinder.
El volumen total del cilindro es
de modo
que laindensidad
esis
What if the length
of the cylinder
Figure 10.11
,
o 2L, while the mass M and radius R are held
does this change the moment of inertia of the
El resultado no depende de
. El resultado es aplicable tanto
para un cilindro de gran longitud como para un disco plano
Cálculos de momentos de inercia:
Momento de inercia de un placa plana con respecto a un eje perpendicular a la misma
14/04/15 15:09
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es
un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se
Elconvierte
momentoen
deun
inercia
de un placa
plana con
a un
perpendicular
rectángulo
de longitud
2pxrespecto
y anchura
dx,eje
cuya
masa es a la misma es la
suma de los momentos de inercia de la lámina con respecto a dos ejes contenidos en el plano
de la misma que sean perpendiculares entre sí y que se corten en el punto por donde pasa el
eje perpendicular
El momento de inercia del disco es
Teorema de Steiner
Los momentos de inercia de sólidos rígidos con una geometría simple (alta simetría) son
relativamente fáciles de calcular si el eje de rotación coincide con un eje de simetría.
Sin embargo, los cálculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario puede ser
engorroso, incluso para sólidos con alta simetría.
El Teorema de Steiner (o teorema del eje-paralelo) a menudo simplifican los cálculos.
Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a
un eje que pase por el centro de masas de un objeto,
Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje
paralelo al primero y que se encuentra a una distancia D
Teorema de Steiner: demostración
y
S EC TI O N 10.5 • Calculation of Moments of Inertia
dm
x, y
z
y′
Rotation
axis
r
y
CM
yCM
Axis
through
CM
y
xCM, yCM
O
D
O
x
xCM
CM
x
x′
x
(a)
(b)
Supongamos que un
objeto rota
en el plano xy alrededor
del eje z.
Figure 10.12 (a) The parallel-axis theorem: if the moment of inertia about an axis
perpendicular
the figure
through the center of mass isdel
I , then
the moment of
Supongamos además
quetolas
coordenadas
centro
de masas son
inertia about the z axis is I ! I # MD . (b) Perspective drawing showing the z axis
z
CM
2
CM
(the axis of rotation) and the parallel axis through the CM.
element is a distance r ! √x 2 # y 2 from the z axis, the moment of inertia about the
Tomemos un elemento
z axis is de masa
situado en las coordenadas
I!
!
r 2 dm !
!
(x 2 # y 2)dm
However, we can relate the coordinates x, y of the mass element dm to the coordinates of
this same element located in a coordinate system having the object’s center of mass as its
origin. If the coordinates of the center of mass are x CM, y CM in the original coordinate
system centered on O, then from Figure 10.12a we see that the relationships between the
unprimed and primed coordinates are x ! x" # x CM and y ! y" # yCM. Therefore,
La distancia desde este elemento al eje de rotación (eje z) es
I!!
[(x" # xrespecto
) # (y" # y ) ]dm
Y el momento de inercia
con
al eje z vale
CM
!
!
2
CM
[(x")2 # (y")2]dm # 2x CM
2
!
x "dm # 2yCM
!
y"dm # (x CM2 # yCM2)
!
dm
The first integral is, by definition, the moment of inertia about an axis that is parallel
to the z axis and passes through the center of mass. The second two integrals are zero
because, by definition of the center of mass, !x"dm ! !y"dm ! 0. The last integral is simply MD 2 because !dm ! M and D 2 ! x CM2 # yCM2. Therefore, we conclude that
e
305
Teorema de Steiner: demostración
y
S EC TI O N 10.5 • Calculation of Moments of Inertia
305
dm
x, y
z
y′
Rotation
axis
r
y
CM
yCM
Axis
through
CM
y
xCM, yCM
O
D
O
CM
x
xCM
x
x′
x
(a)
(b)
Tomemos un elemento
de (a)masa
situado
en
lasabout
coordenadas
Figure 10.12
The parallel-axis theorem:
if the moment
of inertia
an axis
perpendicular to the figure through the center of mass is ICM, then the moment of
inertia about the z axis is Iz ! ICM # MD 2. (b) Perspective drawing showing the z axis
(the axis of rotation) and the parallel axis through the CM.
Si ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del
element is a distance r ! √x # y from the z axis, the moment of inertia about the
objeto, las nuevas coordenadas
del elemento de masa serán
z axis is
2
I!
2
!
r 2 dm !
!
(x 2 # y 2)dm
However, we can relate the coordinates x, y of the mass element dm to the coordinates of
this same element located in a coordinate system having the object’s center of mass as its
origin. If the coordinates of the center of mass are x CM, y CM in the original coordinate
system centered on O, then from Figure 10.12a we see that the relationships between the
unprimed and primed coordinates are x ! x" # x CM and y ! y" # yCM. Therefore,
I!
!
!
!
[(x" # x CM)2 # (y" # yCM)2]dm
[(x")2 # (y")2]dm # 2x CM
!
x "dm # 2yCM
!
y"dm # (x CM2 # yCM2)
!
dm
The first integral is, by definition, the moment of inertia about an axis that is parallel
to the z axis and passes through the center of mass. The second two integrals are zero
because, by definition of the center of mass, !x"dm ! !y"dm ! 0. The last integral is simply MD 2 because !dm ! M and D 2 ! x CM2 # yCM2. Therefore, we conclude that
R
O:
!Apliación
! del teorema de Steiner
r 2 dm ! R 2
dm ! MR 2
ment of inertia is the same as that of a sinss M located a distance R from the axis of
Figure 10.9 (Example 10.5) The mass elements dm of a
uniform hoop are all the same distance from O.
Consideremos de nuevo la varilla uniforme de masa
y longitud
.
Calcularemos el momento de inercia con respecto a un eje perpendicular a la barra que pasa
Uniform Rigid Rod
por uno de sus extremos.
ment of inertia of a uniform rigid rod of
M (Fig. 10.10) about an axis perpendicular
xis) and passing through its center of mass.
y′
y
ded length element dx in Figure 10.10 has a
he mass per unit length " multiplied by dx:
dm ! " dx !
dx
M
dx
L
x
O
xpression for dm into Equation 10.17, with
m!
3
#
!
L/2
#L/2
L/2
!
#L/2
x2
M
M
dx !
L
L
1
12
ML2
!
L/2
#L/2
Como la
x
L
x 2 dx
Figure 10.10 (Example 10.6) A uniform rigid rod of
L. The
moment of de
inertia
about theyy el
axiseje
is less than es
distancialength
entre
el centro
masas
that about the y$ axis. The latter axis is examined in
teorema de
Steiner
Example
10.8. (o teorema de ejes paralelos) nos
, el
da:
Uniform Solid Cylinder
z
ylinder has a radius R, mass M, and length
oment of inertia about its central axis (the
Es cuatro veces más
).
dr el estado de rotación de una varilla que gira
difícil cambiar
r
con
respecto
a
uno
de
sus
extremos
que
cambiar el estado de rotación de una
nvenient to divide the cylinder into many
varilla que gira con respecto
a su centro
each of which has radius r, thickness dr,
R
shown in Figure 10.11. The volume dV of
oss-sectional area multiplied by its length:
L
Radio de giro
Es la distancia
a la que tendríamos que colocar toda la masa del cuerpo
(suponiendo que está concentrada en un único punto) para obtener el mismo
momento de inercia
Momento (o par o torque) de una fuerza
Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que puede girar alrededor de
un cierto eje gracias a un pivote, y la línea de acción de la fuerza no pasa a través
de ese pivote, el306
cuerpo
tiende
girar alrededor
de ese
ejea Fixed Axis
C HAPTE
R 10 a
• Rotation
of a Rigid Object
About
F sin φ
La línea de acción de una
fuerza es una línea
imaginaria colineal con el
vector fuerza y que se
extiende hasta al infinito en
ambas direcciones
r
F
10.6 Torque
Why are a door’s hinges and its
φ
Imagine trying to rotate a door b
F cos φ
O
the door surface but at various
φ
r
Line of
rapid rate of rotation for the door
d
action
plying it near the hinges.
If you cannot loosen a stubbor
Figure 10.13 The force F has a
effort to loosen the bolt? You may
greater rotating tendency about O
slip a pipe over the existing wren
as
F
increases
and
as
the
moment
La tendencia de una fuerza a hacer que un cuerpo gire alrededor
de door.
un eje
seare
mide
with the
You
more succe
arm
d
increases.
The
component
mediante una magnitud vectorial denominada par (o momento
la fuerza
dooraxial)
or thede
bolt)
by applying the f
F sin " tends to rotate the wrench
When a force is exerted on a r
about O.
rotate
about that
axis. The
El par es la causa de los cambios producidos en el movimiento
de rotación
y juega
un tende
measured by
vector quantity cal
papel en la dinámica de rotación análogo a las fuerzas en la dinámica
de atraslación
will consider only its magnitude h
Consider the wrench pivoted
▲
PITFALL PREVENTION
Momento (o par o torque) de una fuerza
Consideremos la llave inglesa que puede girar alrededor de un eje que pasa por .
La fuerza aplicada
puede formar un ángulo con respecto al vector posición
que indica
de
aplicación
la fuerza
306el punto
C HAPTE
R 10
• Rotation ofde
a Rigid
Object About a Fixed Axis
F sin φ
r
F
10.6 Torque
Hasta
ahora
hemos
definido
Why are
a door’s
hinges
and el
its
φ
módulo,
pero el
de b
Imagine trying
tomomento
rotate a door
F cos φ
O
fuerza
es un
theuna
door
surface
butvector
at various
φ
r
Line of
rapid rate of rotation for the door
d
action
plying it near the hinges.
If you cannot loosen a stubbor
Figure 10.13 The force F has a
effort to loosen the bolt? You may
greater rotating tendency about O
slip a pipecomo
over the existing wren
Definimos el módulo
momento
por la fuerza
as del
F increases
and asasociado
the moment
with the door. You are more succe
arm d increases. The component
door or the bolt) by applying the f
F sin " tends to rotate the wrench
When a force is exerted on a r
about O.
rotate about that axis. The tende
measured
by a vector aquantity
cal
El momento de la fuerza solo queda definido cuando se especifica un
eje de referencia
partir del
consider de
onlylaits
magnitude h
cual se determina la distancia
entre el pivote y el punto dewill
aplicación
fuerza
Consider the wrench pivoted
▲
PITFALL PREVENTION
Interpretación de la fórmula del módulo del momento (I)
Consideremos la llave inglesa que puede girar alrededor de un eje que pasa por .
La fuerza aplicada
puede formar un ángulo con respecto al vector posición
que indica
de
aplicación
la fuerza
306el punto
C HAPTE
R 10
• Rotation ofde
a Rigid
Object About a Fixed Axis
F sin φ
r
φ
F
Solo la
componente
10.6
Torque
perpendicular provoca un giro
del hinges
pivote and its
Whyalrededor
are a door’s
Imagine trying to rotate a door b
F cos φ
O
the door surface but at various
φ
r
La
componente
de lafor
fuerza
Line of
rapid
rate
of
rotation
the door
d
action
paralela a no
plying it near the hinges.
contribuirá al giro alrededor del
If you cannot loosen a stubbor
punto de pivote, porque su línea
Figure 10.13 The force F has a
effort to loosen the bolt? You may
de
acción pasa justamente a
greater rotating tendency about O
slip
a pipe
over the
través
del punto
delexisting
pivotewren
as F increases and as the moment
with the door. You are more succe
arm d increases. The component
door or the bolt) by applying the f
F sin " tends to rotate the wrench
When a force is exerted on a r
about O.
rotate about that axis. The tende
measured
by ade
vector
quantity cal
El módulo del momento de la fuerza es el producto de la distancia
al punto
aplicación
will consider
only its magnitude h
de la fuerza multiplicada por la componente perpendicular
de la fuerza
Consider the wrench pivoted
▲
PITFALL PREVENTION
Interpretación de la fórmula del módulo del momento (II)
Consideremos la llave inglesa que puede girar alrededor de un eje que pasa por .
La fuerza aplicada
puede formar un ángulo con respecto al vector posición
que indica
de
aplicación
la fuerza
306el punto
C HAPTE
R 10
• Rotation ofde
a Rigid
Object About a Fixed Axis
F sin φ
r
F
10.6 Torque
Why are a door’s hinges and its
φ
Imagine trying to rotate a door b
F cos φ
O
the door surface but at various
φ
r
Line of
rapid rate of rotation for the door
d
action
plying it near the hinges.
If you cannot loosen a stubbor
Figure 10.13 The force F has a
effort to loosen the bolt? You may
greater rotating tendency about O
slip a pipe over the existing wren
as F increases and as the moment
with the door. You are more succe
Si asociamos
la función
a la distancia
arm d increases.
The seno
component
door or the bolt) by applying the f
F sin " tends to rotate the wrench
When a force is exerted on a r
about O.
rotate about that axis. The tende
A la magnitud
se la denomina brazo del momentomeasured
(o brazo by
de apalanca)
de la cal
vector quantity
fuerza y representa la distancia perpendicular entre el eje de rotación
y la línea
de h
will consider
onlyde
itsacción
magnitude
Consider the wrench pivoted
▲
PITFALL PREVENTION
ing the force. The dashed line extending f
the line of action of F.) From the right tria
its hypotenuse, we see that d # r sin ". Th
Moment arm
lever arm) of F.
In Figure 10.13, the only component of
component perpendicular to a line drawn
Si dos o más fuerzas están actuando sobre un cuerpo rígido,
cada
una
de ellas
tiene una
cation
of the
force.
The horizontal
compon
through O,del
haspunto
no tendency
to produce
cierta tendencia a producir un movimiento de rotación alrededor
de pivote
From the definition of torque, we see tha
F1
creases and as d increases. This explains t
door if we push at the doorknob rather than
to apply our push as closely perpendicular
the doorknob will not cause the door to rot
d1
If two or more forces are acting on a ri
O
produce rotation about the axis at O. In t
clockwise and F1 tends to rotate it counte
d2
sign of the torque resulting from a force is
is counterclockwise and is negative if the t
in Figure 10.14, the torque resulting from
F2
and equal to $ F1d1; the torque from F2 is n
Active Figure 10.14 The force F1
torque about O is
Si el cuerpo está inicialmente en
reposo:
Momento de un sistema de fuerzas
tends to rotate the object
counterclockwise about O, and F2
tends
en
el to rotate it clockwise.
tiende a hacer girar el cuerpo
sentido de las agujas del reloj
Por convenio: signo
! ! # !1 $ !2
tiende a hacer girar el cuerpo en el sentido
not bedel
confused
contrarioTorque
al de should
las agujas
reloj with
At the Active Figures link
at http://www.pse6.com, you
can change the magnitudes,
negativodirections, and points of
Por
application of forces F1 and F2
to see how the object
accelerates under the action of
the two forces.
motion, as described by Newton’s second l
tional motion, but the effectiveness of the
convenio:
signo
both the forces
and positivo
the moment arms of
torque. Torque has units of force times lengt
be reported in these units. Do not confuse t
but are very different concepts.
No se debe confundir momento con fuerza
Las fuerzas pueden producir cambios
en los movimientos lineales
(segunda ley de Newton)
Las fuerzas también pueden producir
cambios en los movimientos de
rotación, per su efectividad no solo
depende del módulo de la fuerza sino
del punto de aplicación con respecto
al eje de giro
Naturaleza vectorial del momento de una fuerza
Unidades en el SI:
(no confundir con Julios)
Aplicación de un momento neto a un cuerpo rígido
Supongamos que podemos considerar un cuerpo rígido en rotación
como un conjunto de partículas.
El cuerpo rígido está sometido a la acción de un número de fuerzas que
se aplican en distintas posiciones del cuerpo rígido, en las cuales
estarán situadas determinadas partículas.
Por tanto, podemos imaginar las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo
rígido como si fueran ejercidas sobre partículas individuales del mismo.
Calcularemos el momento neto sobre el objeto debido a los momentos resultantes
de la acción de estas fuerzas alrededor del eje de rotación del cuerpo.
Cualquier fuerza que actúe sobre el cuerpo rígido puede ser
descompuesta en sus componentes radial y tangencial.
La componente radial de la fuerza aplicada no contribuye al momento,
dado que su línea de acción pasa a través del eje de rotación.
Solo la componente tangencial contribuye al par.
Aplicación de un momento neto a un cuerpo rígido
Para cualquier partícula dada, identificada mediante la variable de índice
del interior del cuerpo rígido, podemos utilizar la segunda ley de
Newton para describir la aceleración tangencial de la partícula
Multiplicamos los dos miembros de esta ecuación por
distancia de la partícula al eje de giro
Como
, la
y
Ahora sumamos los momentos ejercidos sobre todas las partículas del cuerpo rígido
Segunda ley de Newton en las rotaciones
Par neto sobre todas las partículas
del cuerpo rígido
En el modelo de cuerpo rígido, todas
las partículas tienen la misma
aceleración angular
Como el par neto debido a las
fuerzas internas se anula (ver tema
de Sistemas de partículas), entonces
el término de la izquierda queda
reducido al par externo neto
La segunda ley de Newton
en las rotaciones
El par neto que actúa sobre un
cuerpo rígido es proporcional
a su aceleración angular y la
constante de proporcionalidad
es el momento de inercia
Segunda ley de Newton en las rotaciones
Se puede hacer girar el disco mediante la aplicación de dos fuerzas
ejercidas en el borde del disco y en la dirección tangencial
y
Física para la Ciencia y Tecnología
Tipler, Mosca
Editorial Reverté
Volumen 1, capítulo 9
La dirección y sentido de las fuerzas son importantes
Si las mismas fuerzas se aplican en la
radial el disco no gira
Si las mismas fuerzas se aplican en la
dirección tangencial, pero en puntos cercanos
al centro del disco, este no ganará velocidad
angular tan rápidamente
10.8 Work,
and Energy
Trabajo y energía en el movimiento
dePower,
rotación
in Rotational Motion
Supongamos un cuerpo rígido
puede
derotational
un punto
Up que
to this
point rotar
in ouralrededor
discussion of
motion in this chap
F
φ
ds
dθ
O
r
P
on an approach involving force, leading to a description of torque on
We now see how an energy approach can be useful to us in so
problems.
We begin by
considering theque
relationship
between
Supongamos
aplicamos
unathe torque actin
ject and its resulting
motion in order
to punto
generate expression
únicarotational
fuerza externa
en el
a rotational analog
to the es
work–kinetic
energy theorem.
y que
el desplazamiento
queConsider the
oted at O in Figure 10.22. Suppose a single external force F is applied a
experimenta el punto de aplicación
in the plane of the page. The work done by F on the object as it rotate
de la fuerza por acción de la misma
finitesimal distance ds " r d' is
dW " F)ds " (F sin ()r d'
Figure 10.22 A rigid object rotates
( is the tangential
of aF, or, in other words, th
where F sin
El trabajo
infinitesimal
la fuerza
sobrecomponent
el cuerpo,
about
an axis through
O under theque realiza
the force de
along
displacement.
thatde
theuna
radial component of F doe
medida
que elforce
punto
la the
fuerza
gira a loNote
largo
action
of an external
F de aplicación
it is perpendicular
to the displacement.
applied
at P. infinitesimal
distancia
en un tiempo
es la componente tangencial de la fuerza, o la componente a lo largo del desplazamiento
La componente radial de la fuerza no realiza ningún trabajo porque
es perpendicular al desplazamiento
10.8 Work,
and Energy
Trabajo y energía en el movimiento
dePower,
rotación
in Rotational Motion
Supongamos un cuerpo rígido
puede
derotational
un punto
Up que
to this
point rotar
in ouralrededor
discussion of
motion in this chap
on an approach involving force, leading to a description of torque on
We now see how an energy approach can be useful to us in so
problems.
We begin by
considering theque
relationship
between
Supongamos
aplicamos
unathe torque actin
ject and its resulting
motion in order
to punto
generate expression
únicarotational
fuerza externa
en el
a rotational analog
to the es
work–kinetic
energy theorem.
y que
el desplazamiento
queConsider the
oted at O in Figure 10.22. Suppose a single external force F is applied a
experimenta el punto de aplicación
in the plane of the page. The work done by F on the object as it rotate
de la fuerza por acción de la misma
finitesimal distance ds " r d' is
F
φ
ds
dθ
P
r
O
dW " F)ds " (F sin ()r d'
Figure 10.22 A rigid object rotates
about an axis through O under the
action of an external force F
applied at P.
where F sin ( is the tangential component of F, or, in other words, th
the force along the displacement. Note that the radial component of F doe
it is perpendicular to the displacement.
Como
El trabajo realizado en el
movimiento de rotación es igual
al producto del par por el
desplazamiento angular
Trabajo y energía en el movimiento de rotación
A partir de la segunda ley de Newton para las rotaciones
De la expresión anterior para el diferencial de trabajo
Integrando esta expresión tenemos el trabajo total realizado por el par
Exactamente la misma fórmula matemática que el teorema de las fuerzas
vivas para el movimiento de traslación
Potencia en el movimiento de rotación
La potencia es el ritmo al cual una fuerza realiza un trabajo
Con lo que la potencia instantánea queda definida como
Expresión análoga a
en el movimiento de traslación
Comparación de los movimientos lineales y
movimientos rotacionales
tial acceleration than the portion below it. (The tangential
acceleration of a given point on the smokestack is proportional to the distance of that portion from the base.) As
the angular acceleration increases as the smokestack tips
farther, higher portions of the smokestack experience an
acceleration greater than that which could result from
gravity alone; this is similar to the situation described in
Example 10.10. This can happen only if these portions are
being pulled downward by a force in addition to the gravitational force. The force that causes this to occur is the
shear force from lower portions of the smokestack. Eventually the shear force that provides this acceleration is
greater than the smokestack can withstand, and the smokestack breaks.
Aceleración angular de una rueda
Una rueda de radio
, masa
y momento de inercia
horizontal sin fricción.
Figure 10.19 (Conceptual Example 10.11) A falling
se monta sobre un eje
smokestack breaks at some point along its length.
Interactive
Calcular:
- la aceleración
angular
A wheel of radius R, mass M, and moment of inertia I is
Solution
The magnitude of the torque
acting on the de
wheel la rueda,
mounted on a frictionless horizontal axle, as in Figure 10.20.
about its axis of rotation is ! " TR , where T is the force ex- la
aceleración
lineal
del
objeto,
A light cord wrapped around the wheel supports an object of
erted
by the
cord on the rim of the
wheel. (The
gravitamass m. Calculate the angular acceleration of the wheel, the
tional force exerted by the Earth on the wheel and the nor- la
cuerda
linear acceleration of the object, and the tension in the cord.
mal
forcetensión
exerted by thede
axle la
on the
wheel both pass
Example 10.12
Angular Acceleration of a Wheel
through the axis of rotation and thus produce no torque.)
Because !! " I#, we obtain
M
Magnitud
! ! " I# " TRdel torque neto de las fuerzas externas
TR
que actúan sobre la rueda
(1)
#"
I
O
Now let us apply Newton’s second law to the motion of the
object, taking the downward direction to be positive:
! Fy " mg % T " ma
R
Ni la gravedad
mg % T ni la normal que ejerce el eje sobre la rueda
(2)
a"
no ejercenm ningún par sobre la rueda si este se calcula
Equations (1) and (2) have three unknowns: #, a, and T.
con
Because the object and wheel are connected by a cord
that respecto a O.
T
T
m
does not slip, the linear acceleration of the suspended
object is equal to the tangential acceleration of a point on
the rim of the wheel. Therefore, the angular acceleration #
of the wheel and the linear acceleration of the object are
related by a " R #. Using this fact together with Equations
(1) and (2), we obtain
Segunda ley de Newton de las rotaciones
(3)
a " R# "
(4)
T"
mg
Figure 10.20 (Example 10.12) An object hangs from a cord
wrapped around a wheel.
TR 2
mg % T
"
I
m
mg
1 $ (mR 2/I )
tial acceleration than the portion below it. (The tangential
acceleration of a given point on the smokestack is proportional to the distance of that portion from the base.) As
the angular acceleration increases as the smokestack tips
farther, higher portions of the smokestack experience an
acceleration greater than that which could result from
gravity alone; this is similar to the situation described in
Example 10.10. This can happen only if these portions are
being pulled downward by a force in addition to the gravitational force. The force that causes this to occur is the
shear force from lower portions of the smokestack. Eventually the shear force that provides this acceleration is
greater than the smokestack can withstand, and the smokestack breaks.
Aceleración angular de una rueda
Una rueda de radio
, masa
y momento de inercia
horizontal sin fricción.
Figure 10.19 (Conceptual Example 10.11) A falling
se monta sobre un eje
smokestack breaks at some point along its length.
Interactive
Calcular:
- la aceleración
angular
A wheel of radius R, mass M, and moment of inertia I is
Solution
The magnitude of the torque
acting on the de
wheel la rueda,
mounted on a frictionless horizontal axle, as in Figure 10.20.
about its axis of rotation is ! " TR , where T is the force ex- la
aceleración
lineal
del
objeto,
A light cord wrapped around the wheel supports an object of
erted
by the
cord on the rim of the
wheel. (The
gravitamass m. Calculate the angular acceleration of the wheel, the
tional force exerted by the Earth on the wheel and the nor- la
cuerda
linear acceleration of the object, and the tension in the cord.
mal
forcetensión
exerted by thede
axle la
on the
wheel both pass
Example 10.12
Angular Acceleration of a Wheel
through the axis of rotation and thus produce no torque.)
Because !! " I#, we obtain
M
Aplicando !la! "segunda
ley de Newton al movimiento del objeto
I# " TR
TR
(tomado
hacia abajo como sentido positivo)
(1)
#"
I
O
Now let us apply Newton’s second law to the motion of the
object, taking the downward direction to be positive:
! Fy " mg % T " ma
R
T
(2)
T
m
a"
mg % T
m
Equations (1) and (2) have three unknowns: #, a, and T.
Como
objeto
yconnected
la rueda
conectados por una cuerda que no
Because the el
object
and wheel are
by a cordestán
that
does not slip, the linear acceleration of the suspended
resbala,
latangential
aceleración
lineal
del objeto suspendido es igual a la
object
is equal to the
acceleration of a point
on
the rim of the wheel. Therefore, the angular acceleration #
tangencial
de un punto en el borde de la rueda.
of the aceleración
wheel and the linear acceleration
of the object are
related by a " R #. Using this fact together with Equations
(1) and (2), we obtain
La aceleración angular
de la rueda y la aceleración lineal del objeto
TR
mg % T
(3)
a " R# "
"
I
m están relacionados por
2
mg
Figure 10.20 (Example 10.12) An object hangs from a cord
wrapped around a wheel.
(4)
T"
mg
1 $ (mR 2/I )
El péndulo físico
Consideremos un cuerpo rígido que pivota en un punto
centro de masas
situado a una distancia
de su
La fuerza gravitacional tiene un momento no nulo
con respecto de un eje que pase por
El módulo de este momento viene dado por
Pivot
O
θ
d
d sin θ
CM
Usando la regla de la mano derecha, el signo del momento
es negativo (se mete en el plano de la pizarra).
Dicho de otra manera, el momento tiende a hacer decrecer
el ángulo
Por la segunda ley de Newton para las rotaciones
mg
Figure 15.18 A physical pendulum pivoted at O.
La fuerza gravitacional produce un momento que siempre hace que el ángulo tienda hacia la
posición de equilibrio (es un “momento restaurador”).
El péndulo físico
Consideremos un cuerpo rígido que pivota en un punto situado a una distancia de su
centro de masas
La fuerza gravitacional produce un momento que siempre hace que el
ángulo tienda hacia la posición de equilibrio (es un “momento restaurador”).
Pivot
O
Si suponemos que los ángulo son pequeños (y están medidos en rad)
θ
d
d sin θ
CM
mg
La ecuación del movimiento armónico simple, cuya solución es
Figure 15.18 A physical pendulum pivoted at O.
Frecuencia angular
Periodo
Máxima amplitud angular
El péndulo de torsión
Consideremos un cuerpo rígido suspendido de un alambre que cuelga del techo
Cuando el objeto se gira un determinado ángulo , el alambre girado ejerce
sobre el objeto un torque de restauración que es proporcional al ángulo
es la constante de torsión
(Como la ley de Hooke para los muelles, pero ahora aplicado a rotaciones)
Aplicando la segunda ley de Newton de las rotaciones
De nuevo, la ecuación del oscilador armónico simple con una frecuencia y periodos iguales a
ng on the center of mass rather than on a point on the rim of the rolling object. As
we see in Figure 10.26, the center of mass moves in a straight line. If an object such
as a cylinder rolls without slipping on the surface (we call this pure rolling motion), we
can show that a simple relationship exists between its rotational and translational
motions.
Consider a uniform cylinder of radius R rolling without slipping on a horizontal
Supongamos un objeto redondo que rueda sin deslizar sobre una superficie.
urface (Fig. 10.27). As the cylinder rotates through an angle %, its center of mass
un Therefore,
cilindrothe
que
rueda
(see Eq. 10.1a).
linear
speed según
of the cen-una trayectoria recta.
moves a linear distance s ! R%Ejemplo,
er of mass for pure
motion
is given bypermanece paralelo a su orientación inicial en el espacio
Elrolling
eje de
rotación
Movimiento de rodadura de cuerpos rígidos
vCM !
ds
d%
!R
! R"
dt
dt
(10.25)
where " is the angular speed of the cylinder. Equation 10.25 holds whenever a cylinder or sphere rolls without slipping and is the condition for pure rolling motion.
Figure 10.26 One light source at the center of a rolling cylinder and another at one
point on the rim illustrate the different paths these two points take. The center moves
n a straight line (green line), while the point on the rim moves in the path called a
cycloid (red curve).
El centro de masas del cilindro se
mueve según una línea recta.
Un punto del borde se mueve
siguiendo una trayectoria más
compleja: la cicloide.
Movimiento de rodadura de cuerpos rígidos
Supongamos un objeto redondo que rueda sin deslizar sobre una superficie.
Ejemplo, un cilindro que rueda según una trayectoria recta.
El eje de rotación permanece paralelo a su orientación inicial en el espacio
S E C T I O N 10 . 9 • Rolling Motion of a Rigid Object
317
Cuando el cilindro gira un ángulo su centro de masas se
mueve una distancia
R
θ
Por lo tanto, la velocidad y la aceleración del centro de masas
para movimiento de rodadura puro son
s
Figure 10.27 For pure rolling motion, as
the cylinder rotates through an angle !, its center
moves a linear distance s " R!.
s = Rθ
The magnitude of the linear acceleration of the center of mass for pure rolling
motion is
dvCM
d%
Movimiento de rodadura de cuerpos rígidos
Supongamos un objeto redondo que rueda sin deslizar sobre una superficie.
Ejemplo, un cilindro que rueda según una trayectoria recta.
El eje de rotación permanece paralelo a su orientación inicial en el espacio
Velocidades de traslación de
varios puntos del cilindro y del
centro de masas
P′
Q
2vCM
La velocidad de traslación de cualquier punto sigue una
dirección perpendicular a la línea que une ese punto con
el punto de contacto
vCM
CM
P
Figure 10.28 All points on a
rolling object move in a direction
perpendicular to an axis through
the instantaneous point of contact
En cualquier instante de tiempo, el punto P está en
reposo con relación a la superficie (siempre que no haya
deslizamiento)
Movimiento de rodadura de cuerpos rígidos
Supongamos un objeto redondo que rueda sin deslizar sobre una superficie.
Ejemplo, un cilindro que rueda según una trayectoria recta.
El eje de rotación permanece paralelo a su orientación inicial en el espacio
About a Fixed Axis
P′
P′
v CM
v CM
CM
P
v=0
CM
v = Rω
ω
v CM
(a) Pure translation
ω
v = Rω
P
(b) Pure rotation
P′
ω = 2v CM
v = v CM + Rω
v = v CM
CM
P
v=0
(c) Combination of translation and rotation
re 10.29 The motion of a rolling object can be modeled as a combination of pure
lation and pure rotation.
Todos los puntos del cilindro tienen la misma
celeridad angular
Como la distancia de
a
es el doble que
la distancia de
al centro de masas, el
punto
tiene una celeridad con respecto a
igual a
Movimiento de rodadura de cuerpos rígidos
Supongamos un objeto redondo que rueda sin deslizar sobre una superficie.
Ejemplo, un cilindro que rueda según una trayectoria recta.
El eje de rotación permanece paralelo a su orientación inicial en el espacio
About a Fixed Axis
P′
P′
v CM
v CM
CM
P
v=0
CM
v = Rω
ω
v CM
(a) Pure translation
ω
v = Rω
P
(b) Pure rotation
P′
ω = 2v CM
v = v CM + Rω
Las superficies deben ejercer una fuerza de
rozamiento la una sobre la otra.
Esta fuerza de rozamiento produce un torque
Si no existiera la fuerza de rozamiento, el
objeto simplemente se deslizaría sin rodar
Si la fuerza de rozamiento es suficientemente grande,
entonces el objeto rueda sin deslizar
La fuerza de rozamiento es estática. El punto P está
en reposo relativo con respecto al suelo
v = v CM
CM
P
v=0
(c) Combination of translation and rotation
re 10.29 The motion of a rolling object can be modeled as a combination of pure
lation and pure rotation.
Sin embargo, la fuerza de rozamiento actúa a lo largo
de una distancia igual a cero y, por lo tanto,
no realiza ningún trabajo sobre el cilindro y la
energía mecánica se conserva
Movimiento de rodadura de cuerpos rígidos
Supongamos un objeto redondo que rueda sin deslizar sobre una superficie.
Ejemplo, un cilindro que rueda según una trayectoria recta.
El eje de rotación permanece paralelo a su orientación inicial en el espacio
About a Fixed Axis
P′
P′
v CM
v CM
CM
P
v=0
CM
v = Rω
ω
v CM
(a) Pure translation
ω
v = Rω
La energía cinética total del cilindro que rota
con respecto al punto
es
P
es el momento de inercia del cilindro
con respecto a un eje que pasa por
(b) Pure rotation
Aplicando el teorema de Steiner
P′
ω = 2v CM
v = v CM + Rω
v = v CM
CM
P
v=0
(c) Combination of translation and rotation
re 10.29 The motion of a rolling object can be modeled as a combination of pure
lation and pure rotation.
Movimiento de rodadura de cuerpos rígidos
Supongamos un objeto redondo que rueda sin deslizar sobre una superficie.
Ejemplo, un cilindro que rueda según una trayectoria recta.
El eje de rotación permanece paralelo a su orientación inicial en el espacio
About a Fixed Axis
P′
P′
v CM
v CM
CM
P
v=0
CM
v = Rω
ω
v CM
(a) Pure translation
ω
v = Rω
La energía cinética total del cilindro que rota
con respecto al punto
es
P
es el momento de inercia del cilindro
con respecto a un eje que pasa por
(b) Pure rotation
P′
ω = 2v CM
v = v CM + Rω
v = v CM
CM
P
v=0
(c) Combination of translation and rotation
re 10.29 The motion of a rolling object can be modeled as a combination of pure
lation and pure rotation.
La energía cinética de un objeto rodante es la
suma de la energía cinética de rotación
alrededor del centro de masas más la energía
cinética de traslación del centro de masas
P
(c) Combination of translation and rotation
Figure 10.29 The motion of a rolling object can be modeled as a combination of pure
Energía cinética rotacional
translation and pure rotation.
2 represents
Supongamos unaThe
esfera
sin deslizar
en un
plano
inclinado.
term 12que
I CM"rueda
the rotational
kinetic
energy
of the cylinder about its cen
1
2 represents
Supongamos
que
parte
desde
el reposo.
of mass, and the
term
Mv CM
the kinetic energy the cylinder would have
2
were just translating through space without rotating. Thus, we can say that the to
kinetic energy of a rolling object is the sum of the rotational kinetic energy ab
the center of mass and the translational kinetic energy of the center of mass.
We can use energy methods to treat a class of problems concerning the rolling
tion of an object down a rough incline. For example, consider Figure 10.30, wh
shows a sphere rolling without slipping after being released from rest at the top of
incline. Note that accelerated rolling motion is possible only if a friction force is
sent between the sphere and the incline to produce a net torque about the cente
mass. Despite the presence of friction, no loss of mechanical energy occurs because
contact point is at rest relative to the surface at any instant. (On the other hand, if
sphere were to slip, mechanical energy of the sphere–incline–Earth system would
lost due
to the nonconservative
force
of kinetic
friction.)
Para
el sistema
formado por
la esfera
y la
Tierra, y definiendo el cero
! Rla
" base
for pure
we can
express Equa
Using thepotenciales
fact that vCM en
de energías
delrolling
planomotion,
inclinado,
el teorema
de
10.28 as
conservación de la energía nos da
vCM 2 1
1
K ! 2 ICM
# 2MvCM 2
R
¿Cuál es la celeridad del centro de masas cuando llega al punto inferior?
M
R
h
ω
x
θ
vCM
Active Figure 10.30 A sphere
rolling down an incline.
Mechanical energy of the
sphere–incline–Earth system is
conserved if no slipping occurs.
At the Active Figures link
at http://www.pse6.com, you
can roll several objects down
the hill and see how the final
speed depends on the type of
!
K ! 12
!
"
"
ICM
# M vCM 2
2
R
(10
For the system of the sphere and the Earth, we define the zero configuration of gra
tional potential energy to be when the sphere is at the bottom of the incline. Th
conservation of mechanical energy gives us
Transparencias de soporte
Cálculos de momentos de inercia
Sistema discreto
Sistema continuo