MATEMATICA I - Instituto Norbert Wiener

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
NORBERT WIENER
Manual del Alumno
ASIGNATURA: Matemática I
PROGRAMA: S3C
Lima-Perú
SESION 1
SISTEMAS DE NUMERACION
DEFINICION :
Es un conjunto de reglas y principios que nos van a servir para una buena lectura y escritura de los
números.
Ejemplo: Convertir 425(6) al sistema decimal.
425(6) = 4 x 62 + 2 x 6 + 5
425(6) = 161
BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN:
Es el número de unidades de un orden cualquiera, necesarios para formar una unidad del orden
inmediato superior.
La base de un sistema de numeración es un número entero positivo y mayor que uno.
SISTEMA DECIMAL:
Su principio fundamental es: “diez unidades de un orden cualquiera, forman una unidad del orden
inmediato superior”.

OBSERVACIONES:
1. En todo sistema de numeración se utiliza la cifra cero (0).
2. En base “n” se utilizan “n cifras”
3. La mayor cifras disponible es la base menos uno.
4. En los sistemas de numeración mayores que el de base diez, se utilizan los siguientes
convencionalismos:
 = 10 ;  = 11 ;  = 12
Segundo caso.- “Del sistema decimal a un sistema de base “n” .
Ejemplo: Convertir 418 al sistema quinario.
418
3
5
83
3
5
16
5
3
Luego: 418 = 3133(5)
Tercer caso.- “De un sistema de base “n” a otro de base “m” donde “n” y “m” 10 y m  n
Ejemplo: Convertir 251(7) al sistema de base 4
PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN
A base 10: 251(7) = 2x72 + 5x7 +1
BASE
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
SISTEMA
Binario
Ternario
Cuaternario
Quinario
Senario
Heptal
Octal
Nonario
Decimal
Undecimal
Duodecimal
CIFRAS DISPONIBLES
0,1
0,1,2
0,1,2,3
0,1,2,3,4
0,1,2,3,4,5
0,1,2,3,4,5,6
0,1,2,3,4,5,6,7
0,1,2,3,...,7,8
0,1,2...,7,8,9
0,1,2,...,8,9,
0,1,2,..., ,
251(7) = 134
A base 4: 134
4
2
33
1
4
8
4
2
Luego: 251(7) = 2012(4)
EJERCICIOS 2
Convertir:
EJERCICIOS 1
Base (10) : 24, 568, 8347, etc.
Base (2) : 10(2) ; 110(2) ; 1010(2)
Base (5)
: 13(5) ; 214(5) ; 423(5)
Base (9)
: 234(9) ; 357(9) ; 876(9)
1.
10110101(2) al sistema de base 8
2.
274(12) al sistema decimal
3.
5(12) al sistema decimal
SESION 2
4.
2341(5) al sistema nonario
OPERACIONES ARITMETICAS
CONVERSIÓN DE SISTEMAS
5.
265(8) al sistema binario
6.
985 al sistema undecimal
Primer caso.- “De un sistema de base “n” al sistema decimal.
SESION 3
2.
DISYUNCIÓN INCLUSIVA (v).- Representa al conectivo “o”, es verdadera si al menos
una de las proposiciones componentes es verdadera, resultando falsa solo cuando las dos
son falsas.
3.
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ().- Representa al conectivo “o” en su sentido excluyente,
es verdadera cuando solamente una de las proposiciones es verdadera y no las dos,
resultando falsa en otros casos.
4.
NEGACIÓN (~).- El valor de la negación de un enunciado es siempre opuesto al valor de
verdad del enunciado.
5.
LA CONDICIONAL ().- Representa al conectivo “si ...entonces”, es falsa solamente
cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, siendo verdadera en todos los
demás casos.
6.
LA BICONDICIONAL ().- Representa al conectivo”si y solo si”, es verdadera cuando las
proposiciones componentes tienen el mimo valor de verdad, en otros casos es falsa.
LOGICA PROPOSICIONAL
ENUNCIADO:
Se denomina así a toda frase u oración. Ejemplo:
1.
¿Qué estudias en la Universidad?
2.
¡Alcánzame la toalla¡
3.
2x+3=11
4.
Madrid es la capital de España.
PROPOSICIÓN:
Es un enunciado que tiene la propiedad de ser verdadera (v) o falsa (f), pero nunca verdadera y falsa
simultáneamente.
Las proposiciones se denotan con letras minúsculas tales como: p, q, r, s, t,... a las que se les
denomina variables proposicionales.
SESION 5
COMPUERTAS LOGICAS
Ejemplos:
1. César Vallejo nació en París
(f)
2. 2+3 < 10-3
DEFINICIÓN:
(v)
3. El número 1331 es divisible por 11
(v)
4. Todos los hombres no son mortales
(f)
LAS PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
1.
Proposiciones Simples: Llamadas también proposiciones atómicas o elementales, son
aquellos enunciados que tienen un solo sujeto y un solo predicado.
2.
Proposiciones Compuestas: Llamadas también proposiciones moleculares o coligativas, son
aquellas que están constituidas por dos o mas proposiciones simples.
SESION 4
LEYES DE LA LOGICA PROPOSICIONAL
FUNCIONES VERITATIVAS
1.
CONJUNCIÓN () .- Representa al conectivo “y”, es verdadera cuando las dos
proposiciones p y q son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa.
Un circuito conmutador es un circuito eléctrico que contiene interruptores para el paso o la interrupción
de la corriente.
Si designamos por p y q dos interruptores eléctricos que dejan pasar corriente y por p y q
dos interruptores eléctricos que no dejan pasar corriente, estos se pueden conectar por un alambre en
serie o en paralelo.
ESTADO LOGICO
INTERRUPTOR
LAMPARA
V
Cerrado
Encendida
F
Abierto
Apagada
RELACION ENTRE LA LOGICA Y LA INFORMATICA:
Existe una íntima relación entre la lógica y la informática, puesto que la lógica constituye el
fundamento teórico de la informática, en cuanto comprende mejor las computadoras y su respectiva
construcción de lenguajes de programación.
Entre sus múltiples aplicaciones, la lógica se aplica a la tecnología. En este campo, la lógica
se aplica a la construcción de circuitos lógicos, y entre ellos los circuitos eléctricos, compuertas lógicas,
los diagramas de flujo, etc.
SESION 6
DOMINIO DE UNA RELACION.Se llama dominio a todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación . Se denota
Dom(R) y se simboliza :
Dom (R)= x A /  y B , ( X,Y ) R
CIRCUITOS EN SERIE Y EN PARALELO
CIRCUITOS EN SERIE:
Los circuitos en serie constan de dos o mas interruptores, donde un interruptor esta después de otro y
así sucesivamente. El gráfico de un circuito en serie es la representación de una fórmula proposicional
conjuntiva, cuya expresión más simple es “p y q”.
p
q
RANGO DE UNA RELACION.Se llama rango de una relación R de A en B al conjunto de las segundas componentes de los pares
ordenados de la relación. Se denota Ran (R) y es simboliza :
Ran (R)= y B /  x A , ( X,Y ) R
EJEMPLO: Hallar el dominio y el rango de las relaciones en A siendo A = 1,2,3,4,5 
y, R1 =  (x,y) AxA / x+y = 7 
Solución.-
p  q
R1 = ( 2,5);(3,4);(5,2);(4,3) 
CIRCUITOS EN PARALELO:
Los circuitos en paralelo constan en dos o mas interruptores, donde cada interruptor esta en la otra línea
y así sucesivamente. El gráfico de un circuito en paralelo es la representación de una fórmula
proposicional disyuntiva,cuya expresión más simple es “p o q”.
p
Siendo :
Dom (R1) =  2,3,4,5
Ran (R1) =  2,3,4,5
FUNCIONES
Definición.Es un conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera
componente es decir :
1.- f  AxB
2.- (x,y) f  (x,z) f (y=z)
q
pvq
SESION 7
TEORIA DE CONJUNTOS
EJEMPLO :
 Sea A = 1,2,3,4 y B = a,b,c,d,e si f es la función: f =  (1,a);(2,b);(3,c);(4,c) 
Solución .-
RELACIONES
Dom f = 1,2,3,4
Ran f = a,b,c
Definición.Se llama relación entre los elementos de un conjunto A y los elementos de un conjunto B a todo
subconjunto R del producto cartesiano AxB ; esto es, una relación R consiste en lo siguiente :

1.- Un conjunto A ( conjunto de partida )
2.- Un conjunto B ( conjunto de llegada )
Solución.-
Simbólicamente se denota por:
R : AB  R A x B
Dom f =  0,4
Ran f = 3
En la función y = f(x) = 3 x 0,4 hallar el dominio y el rango.

Hallar el dominio y rango de la función f(x) = (x-1) (x-9)
Solución.(x-1) (x-9) > 0
( X-1 0 X-9  0 )  ( X-1 0 X-9  0 )
( X1  X9)  ( X1  X9 )
(X 9 )  ( X 1)
Ejemplo: a
a: antecedente
b: consecuente
c: valor de la razón (cociente)
PROPORCIONES:
Dadas cuatro cantidades, si el valor de la razón de las dos primeras es igual al valor de la razón de las
otras dos, entonces dichas cuatro cantidades forman una proporción.
<- ,1  9,  > = Dom f
y = f(x)
( x-1) (x-9) 0   0, >
y = f(x)   0, >
entonces el rango es : Ran f =  0, >
Las proporciones también pueden aritméticas o geométricas.
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES:
Si:
a = c ; una proporción entonces: se cumple que:
b d
SESION 8
1º a + b = c + d
b
d
APLICACIONES CON CONJUNTOS
2º a - b = c - d
b
d
 Hallar el dominio y rango de las relaciones en A siendo A =  1,2,3,4,5 
a.- R = (x,y)  AxA / x+y < 4
b.- R = (x,y)  AxA / y < 4
c.- R = (x,y)  AxA / x2-2  y
d.- R = (x,y)  AxA / x-3y = 12

Hallar el rango de la función f(x) = (x+1) x   0,8 

Hallar el dominio y rango de la función f(x) = x2-6x+8

= c
b
3º
a = c
b+a d+c
3º
b-a
a = c
d-c
5º a + c = a = c
b+d
b d
2
Hallar el dominio y rango de la función f(x) = x +6x+8
5º a - c = a = c
b-d
b d
SESION 9
RAZONES Y PROPORCIONES
EJERCICIOS 9
RAZONES:
1.
La diferencia de dos números es 244, y estan en relación de 7 a 3, ¿cúal es el mayor de los
números?
Se llama así al resultado de la comparación de dos cantidades.esta comparación se puede hacer de dos
modos:
2.
Lo que cobra y lo que gasta diariamente un individuo suman 60 soles, lo que gasta y lo que
cobra esta en relación de 2 a 3, ¿en cuánto tiene que disminuir el gasto diario para que dicha
relación sea de 3 a 5?
3.
La relación entre dos números es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 33 unidades y al
otro se le suma 60 entonces ambos resultados serían iguales. Hallar dichos números
4.
En una serie de razones equivalentes, los antecedentes son: 2,3,7 y 11. El producto de los
consecuentes es 37422. Hallar la suma de los consecuentes.
1.
2.
Cuando una cantidad excede a la otra, llamada también razón aritmética o por diferencia.
Ejemplo: a-b = c
a: antecedente
b: consecuente
c: valor de la razón (diferencia)
Cuando una cantidad contiene a otra, llamada también razón geométrica o por división.
5.
Los antecedentes de varias razones equivalentes son: 3, 4, 5 6. Si la suma de los dos
primeros conecuentes es 28. Hallar los dos últimos.
C-
MATRIZ COLUMNA.Es la matriz que tiene varias filas y una sola columna.
SESION 12
MATRICES
DEFINICION :
Una matriz es un arreglo rectangular de números reales ordenados en filas o columnas
Ejemplo.
G=
 Sen  , Cos , Tg 
4
3
D-
5
4
Las matrices se denotan con letras mayúsculas A,B,C... etc. El conjunto de los elementos se denotan
con letras minúsculas subindicadas aij, bij, cij...etc.
-3
1
4
(3X1)
MATRIZ CERO.Es la matriz que todos sus elementos son cero.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
K=
(3X3)
A =  aij 
EEn general : el elemento aij ocupa la intersección de la i-esima fila y la
j-ésima columna.
ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de una matriz esta dado por el producto del número de filas con el número de columnas.
MATRIZ CUADRADA.Es aquella matriz que tiene el mismo numero de filas y columnas
3 4 5
6 7 -1
2 -5 0
A=
Ejemplo.
EJERCICIOS 12
Indicar que tipo de matrices y que orden tienen las siguientes matrices .
2 3 4
A=
-1 2 0
es una matriz de orden 2x3
2 -5 1
A=
3 4 0
TIPOS DE MATRICES
A-
B= 0 0 0
MATRIZ RECTANGULAR.Es la matriz donde el número de filas es diferente al número de columnas
2
-2
k
b
C=
1 0 5
A=
2 1 3
B-
(2X3)
F=
-3
1
7
G=
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
MATRIZ FILA.Es la matriz donde es una sola fila y varias columnas.
P =  3 -2 1 5  (1X4)