Práctico 4 1. Calcular ∫ f(z)dz en los siguientes casos: . . . . . 2

Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
1. Calcular
Análisis complejo - Curso 2009
Práctico 4
f (z)dz en los siguientes casos:
R
γ
f (z) =
z+2
z ;
z
γ(t) = 2eit , t ∈ [0, π].
f (z) = e ; γ(t) = (1 + i)t, t ∈ [0, 1].
f (z) = 1/z γ(t) = 2eit , t ∈ [0, 2π].
f (z) =
1
z 2 +9 ;
γ(t) = i + 3eit , t ∈ [0, 4π].
f (z) = sen(z); γ(t) = t + t2 i, t ∈ [0, 1].
R
2. Calcular la integral γ zez dz , siendo γ :
la curva que va de i a −i + 2 en línea recta.
a curva que une 0 y 1 + i a través de la parábola y = x2 .
3. Calcular la integral de z1 en una curva que une 1 y −10 sin pasar por 0 y que está
contenida en el semiplano superior. Hacer lo mismo con una curva contenida en el
semiplano inferior. Demostrar que no hay ninguna primitiva de z1 denida en un
dominio que contenga a ambas curvas.
4. Sea f (x) = eix donde se asumirá x ∈ R. Calcular [0,x] f (t)dt. Demostrar que
|eix − 1| ≤ |x| para todo x ∈ R. Demostrar que si pn (x) es el polinomio de Taylor
1
de grado n de f en 0 se tiene |eix − pn (x)| ≤ (n+1)!
|x|n+1 .
R
5. Calcular
(siempre orientando
las curvas Ren sentido
antihorario):
R
R
R
z
a) |z|=2 z2dz−1 ; b) |z|=r Re(z)dz ; c) |z|=1 ez dz ; d) |z|=1 z n z̄ m dz (n, m ∈ N).
6. Integrando f (z) = 1/z sobre la elipse γ : γ(t) = acos(t) + ibsen(t), mostrar que
Z
0
2π
2π
dt
=
a2 cos2 (t) + b2 sen2 (t)
ab
7. Calcular(con las curvas orientadas en sentido horario):
ez
dz
|z|=1 z
R
dz
.
|z|=2 z 2 +1
R
R
|z|=1
2z 2 −z−2
dz .
z
z 2 +2z
dz ,
|z−2|=1 (z−a)3
R
a ∈ C \ D(2, 1).
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