Metales: Modelo de electrones libres ky Metal dk k kx 2π/L L Cov. + Covalente vdW unión metálica vdW Metales Los electrones se mueven libremente a través del material Modelo : Gas de electrones libres Potencial cristalino Drude (1900) Sommerfeld (1927) Considero un gas clásico para estudiar conductividad Aplicó la estadística de Fermi Dirac Fermi-Dirac Potencial del modelo Na: 1s2 2s2 2p6 3s1 Sodio metálico L densidad electrónica l t ó i (e/cm3) ? Z: valencia A: masa atómica (gr/mol) ρm = densidad (gr/cm3) Otra forma de expresar la densidad: rs(Na) (N ) = 22.08 08 A rionico(Na (N +) = 00.98A 98A Modelo de Sommerfeld Para un gas de Ne electrones : Si despreciamos la interacción e-e, resolvemos el problema de 1 electrón: Ll Llenamos los l niveles i l de d energía í con los l Ne electrones l Ej.: 1D L Condiciones de contorno =k=nπ/L n=1,2,… Números cuánticos: n = 1, 2, 3, 4,…. ms = + ½ , - ½ (↑ , ↓ ) Lleno los niveles con los N electrones Ej.: N = 6 nF: n correspondiente al último nivel ocupado En general, si N es par se tiene: nF = N/2 en un cristal N ≈1023 Definimos la Energía de Fermi como la energía del ultimo nivel ocupado p La energía de Fermi es función de N/L (densidad electrónica del gas) Para el gas en 3D ni=1,2,3,.. F Estas condiciones de contorno no son adecuadas para estudiar t di las l propiedades i d d de d bulk b lk de d un material t i l Condiciones periódicas de contorno (Born-von Karman) Lz Ly Las soluciones son: Lx Las funciones de onda son autofunciones del operador momento Poseen momento lineal definido Valores posibles de k ? ni entero Ne electrones: Energía g de Fermi ky Velocidad de Fermi kF kx estados ocupados 2π/Ly 2π/Lx Superficie de Fermi = εF superficie en el espacio k (esfera) Separa los estados ocupados de los vacios La energía total del estado fundamental del gas se calcula: Para una muestra macroscópica, los valores permitidos de k llenan densamente el espacio densidad de estados g(k) (k) o g(E) ( ) g g 1d g 2d 3d Calor específico de los metales La energía interna de un gas clásico de N e- es: E(T) = 3/2 N KB T (1/2 KB T por grado de libertad) Cv(clas) = ∂E/∂T = 3/2 N KB Si N = NA (6.023 (6 023 1023), ) ell calor l específico ífi molar l es: cv(clas) = 3/2 NA KB = 3/2 R Este término debería sumarse a la contribución proveniente de las vibraciones ib i de d la l red. d Ell cv de d un metall a temperatura ambiente bi sería cv = 3/2 R + 3 R = 9/2 R Recordemos que ocurre en aisladores: A bajas temperaturas C v = α T3 C v / T = α T2 En un metal ? cv = cv fonones+ 3/2 R ? T Tamb T=T cv = 3 R + 3/2 R = 9/2 R ? La contribución L ib ió de d los l electrones l de d conducción d ió all calor l especifico ifi de un metal es pequeña a temperatura ambiente, comparada con la contribución proveniente de las vibraciones de la red (fonones) A muy bajas temperaturas : Tratamiento cuántico - Gas de Sommerfeld La energía total del estado fundamental del gas : E(T) donde Cv = ∂E/∂T Cómo calculamos la energía interna E(T) ? Distribución de Fermi-Dirac T=0 T≠0 EF = lim μ T 0 Estimación de la contribución electrónica al Cv g(ε) No e- excitados V ≈ g(EF) KB T Energía de excitación ≈ KB T E V ≈ g(EF) (KB T)2 cv≈ g(EF) KB2 T Su muestra que para un gas de e- en 3D : 3n 3n g( F) = g(E = 2 EF 2 KBTF cv≈ g(EF) KB2 T = 3/2 n KB T/TF c(clas) = 3/2 n KB T=Tamb cv ≈ T/TF ≈ 10-2 c(clas) La contribución de los electrones de conducción al calor especifico de un metal a Tamb es ~ 1% del valor clásico Para un metal P t la bajas temperaturas Cv = Cve + Cvpph = γ T + α T3 C v / T = γ + α T2 γ es proporcional a g(EF) Limite clásico ????