Ruido térmico y potencia disponible

Universidad del Cauca - FIET
EL RUIDO Y SU FILTRAJE
El Ruido y su Filtraje
Universidad del Cauca
Teoría de Telecomunicaciones
Departamento de Telecomunicaciones
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EL RUIDO Y SU FILTRAJE
Introducción
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El Ruido
Las señales eléctricas no deseadas suelen ser generadas por diversas
fuentes, generalmente clasificadas por las interferencias hechas por
el hombre o por ruido generado naturalmente.
Un ruido inevitable en las comunicaciones eléctricas es el ruido
térmico, generado por el movimiento de los electrones en un medio
de conducción.
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Para el análisis del ruido térmico se considera que es generado por
el movimiento aleatorio de cargas particulares, en un medio de
conducción.
La teoría cinética dice que:
La energía promedio de una partícula a la temperatura absoluta
proporcional a kT .
T
es
Entonces el ruido térmico debe incluir este producto en su
definición.
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Jhon Jhonson y Henrry Nyquist se dedicaron al estudio sobre los
resistores metálicos y llegaron a la siguiente conclusión:
Cuando una resistencia de valor R es sometida a una temperatura T , el
movimiento aleatorio de los electrones produce un voltaje de ruido entre un par de
terminales abiertos.
Y este voltaje tiene una distribución gaussiana con media cero y
varianza dada por:
2(kT ) 2
v  
R v2
3h
2
2
v
T
esta dado en grados kelvin
h  6.62x1034 J constante de Planck
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Esta constante de Planck proviene de la teoría cuántica que define
que el promedio cuadrado de la densidad espectral de ruido es:
Gv ( f ) 
2Rh | f |
2
V
/ Hz
h| f |/ kT
e
1
Asumiendo frecuencias bajas esta expresión queda resumida a:
 h | f |
Gv ( f )  2 RkT 1 

2
k
T


| f |
kT
h
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Estas ecuaciones omiten el termino correspondiente a energía en el
punto cero, que es independiente de la temperatura y no desempeña
ningún rol en la transferencia de ruido térmico a una carga.
Sin embargo en sistemas de comunicaciones la temperatura se
estandariza a la temperatura del ambiente:
T 0  290 º K (63 º F )
Para el caso del infrarrojo esta temperatura no se conserva, por
ende el promedio del voltaje cuadrado de la densidad espectral de
h| f |
ruido térmico es:
 1
Gv ( f )  2 RkT V 2 / Hz
2kT
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Esta definición presenta problemas porque al integrar Gv ( f ) en toda
frecuencia genera una varianza indeterminada.
Pero para el análisis que se quiere hacer esta aproximación es valida
Equivalente Thevenin y Norton de resistencia:
Gi ( f ) 
Gv ( f ) 2kT

2
R
R
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Otra manera mas clara y rápida de definir el ruido térmico, es
utilizar la potencia disponible, la cual se puede determinar aplicando
el concepto de máxima transferencia de potencia.
la máxima potencia es entregada cuando la impedancia de la carga es el
complejo conjugado de la impedancia de la fuente.
Pa 
v s (t ) / 22
Rs

v s (t ) 2
4 Rs
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Aplicando este teorema en nuestro circuito se tiene:
Gv ( f ) 1
Ga ( f ) 
 kT W / Hz
4R
2
Indica que la máxima densidad potencia entregada a una carga
adaptada, sin tener en cuenta su valor es de: 1 kT
2
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Ruido Blanco
En los sistemas de comunicaciones existen muchos otros ruidos
que tienen una distribución gaussiana y que tienen una densidad
espectral plana sobre un amplio rango de frecuencias.
A este tipo de ruidos cuyo comportamiento se despliega a lo largo
del espectro, se le conoce como Ruido Blanco.
Este tipo de ruido es muy exacto para los sistemas de
comunicaciones y la suposición de gaussiano permite aplicar los
conceptos previos.
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Ruido Blanco
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Entonces la densidad espectral de ruido blanco esta dada por:
G( f ) 
N0
2
N 0 representa la densidad espectral unilateral de ruido –constante.
Como la función de densidad es conocida, la función de
autocorrelación se obtiene mediante Fourier.

R ( )   ( N 0 / 2)e j 2ft df ( N 0 / 2) ( )

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Ruido Blanco
Este resultado indica que la autocorrelación solo tiene sentido en
cero y por lo tanto cualquier par de muestras de un ruido blanco
serán no correlacionadas y estadísticamente independientes.
Cuando el ruido blanco es mostrado en el osciloscopio, los barridos sucesivos son
siempre diferentes uno de otro, aunque se observe que la forma de onda es la
misma, sin importar la velocidad de barrido que se emplee, puesto que todas las
tasas de variación de tiempo (componentes de frecuencia) están contenidas en
igual proporción, similarmente si el ruido blanco se lleva a un parlante siempre
suena lo mismo, algo como una caída de agua.
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Ruido Blanco
Este resultado indica que la autocorrelación solo tiene sentido en
cero y por lo tanto cualquier par de muestras de un ruido blanco
serán no correlacionadas y estadísticamente independientes.
El valor de N0 depende de dos factores:
El tipo de ruido
El tipo de densidad espectral
Para un resistor térmico:
N0v  4RkT
N0i  4kT / R
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Ruido Blanco
Por definición cualquier fuente de ruido térmico tiene densidad
espectral unilateral dada por:
2Ga ( f )  kT
Pero para aquellos ruidos que no son del tipo térmico, debido a que
su potencia no depende de la temperatura, se establece un
parámetro de temperatura de ruido para cualquier ruido blanco.
TN 
2Ga ( f ) N 0

k
k
Entonces dad la temperatura de fuente de ruido se tiene: N 0  kT N
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Ruido Blanco
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Considere un ruido blanco gaussiano con densidad espectral
Gx ( f )  N 0 / 2
Aplicado a un filtro con función de transferencia H ( f ) , la respuesta
obtenida sería
Gy ( f ) 
R( ) 
N0
| H ( f ) |2
2

N o 1
F | H ( f ) |2
2
N0
y  R y (0) 
2
2




| H ( f ) | 2 df
El ruido deja de ser blanco para
convertirse en coloreado
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Ruido Blanco
Para un filtro pasabajas de ganancia unitaria con ancho de banda B,
se tienen que:
Gy ( f ) 
N0  f 


2  2B 
Ry ( )  N0 Bsinc 2B
Se causa que la salida de
ruido este correlacionada
sobre intervalos de: 1/2B
y 2  N0 B
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Ruido térmico en un circuito RC
Considérese el siguiente circuito RC con una resistencia a
temperatura T.
En este equivalente Thevenin, la fuente de ruido se aplica a un filtro
pasabajas RC no ruidoso.
Para dicho filtro la función de transferencia es:
| H ( f ) |2  [1  ( f / B)2 ]1
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Ruido térmico en un circuito RC
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La densidad espectral de salida será:
G y ( f ) | H ( f ) | 2 G x ( f ) 
2 RkT
1  ( f / B) 2
B
1
2RC
Y la inversa sería:
R( )  2 RkTBe-2B| | 
kT -| | /RC
e
C
Esto muestra que el voltaje de ruido filtrado, tiene apreciable
correlación en un intervalo aproximadamente igual a RC. Entonces
se puede decir que y(t ) es gaussiana de media cero y: 2
kT
y  R y (0) 
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C
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Ruido térmico en un circuito RC
Se puede notar que el resultado no depende del valor de la
resistencia aunque el origen de ruido sea una resistencia térmica.
Suponga una temperatura de ruido igual a la temperatura
ambiente y una capactancia de 0.1μF entonces
4 *1021
14
y 

4
*
10
107
2
y el valor rms seria de aproximadamente 0.2μV, que es un valor
típico de voltaje de ruido.
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