Trabajo, Energía y Potencial

Física III -15
Cátedra de Física Experimental II
Física III
Trabajo, Energía y Potencial
Prof. Dr. Victor H. Rios
2015
Física III -15
METAS DE APRENDIZAJE
Al estudiar este capítulo, usted aprenderá:
• A calcular la energía potencial eléctrica de un conjunto de cargas.
• El significado e importancia del potencial eléctrico.
• A determinar el potencial eléctrico que un conjunto de cargas produce en
un punto en el espacio.
• El uso de las superficies equipotenciales para visualizar la forma en que
varía el potencial eléctrico en el espacio.
• A emplear el potencial eléctrico para calcular el campo eléctrico.
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Contenidos
- El concepto físico de trabajo.
- Energía potencial eléctrica.
- Energía para la formación de un sistema de cargas puntuales
discretas.
- Aplicaciones a cristales iónicos
- Energía en el caso de sistemas continuos.
- Potencial y campo electrostático de una carga puntual.
- Mostraciones en clase
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Introducción
Este capítulo trata de la energía que se asocia con las interacciones eléctricas. Cada vez que se
enciende una luz, un reproductor de CD o un aparato eléctrico, se utiliza energía eléctrica, un elemento indispensable de nuestra sociedad tecnológica. Así como el concepto de energía hizo
posible resolver con facilidad algunos tipos de problemas de mecánica, el empleo de las ideas de
energía hace más fácil la solución de una variedad de problemas de electricidad.
Cuando una partícula con carga se mueve en un campo eléctrico, el campo ejerce una fuerza
que efectúa trabajo sobre la partícula. Este trabajo siempre se puede expresar en términos de la
energía potencial eléctrica. Así como la energía potencial gravitatoria depende de la altura de
una masa sobre la superficie terrestre, la energía potencial eléctrica depende de la posición que
ocupa la partícula con carga en el campo eléctrico. Describiremos la energía potencial eléctrica
utilizando un concepto nuevo, llamado potencial eléctrico o simplemente potencial.
Es frecuente que en el estudio de los circuitos, una diferencia de potencial entre un punto y otro reciba el
nombre de voltaje. Los conceptos de potencial y voltaje
son cruciales para entender la manera en que funcionan los circuitos eléctricos, y tienen aplicaciones de
gran importancia en los haces de electrones que se
utilizan en la radioterapia contra el cáncer, los aceleradores de partículas de alta energía y muchos otros
aparatos.
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Energía potencial eléctrica
La fuerza de atracción entre dos masas es conservativa, del mismo modo se puede demostrar que la fuerza de interacción entre cargas es conservativa.
El trabajo de una fuerza conservativa, es igual a la diferencia entre el valor inicial y el
valor final de una función que solamente depende de las coordenadas que denominamos energía potencial.
B

 
F . dl  E pA  E pB
A
El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector desplazamiento dl, tangente a la trayectoria.
dW = F * dl = F dl cosθ = F * dr
donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la partícula cargada q
en la dirección radial.
Fig.2 Esquema de la trayectoria
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Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición inicial A, distante rA del centro
de fuerzas y la posición final B, distante rB del centro fijo de fuerzas.
Fig.2 Esquema de la trayectoria
El trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a
la posición B.
La fuerza de atracción F, que ejerce la carga fija Q sobre la carga q
La energía potencial es :
es conservativa.

El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, para r = ∞, E p =0
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Energía potencial de una distribución de cargas discretas
Vamos a calcular ahora la energía necesaria para formar la distribución uniforme de
cargas positivas.
O bien, la energía que se liberaría cuando la distribución uniforme de carga positiva
explotase de modo que cada parte de ella estuviese a una distancia infinita una de la
otra.
Determinaremos la expresión de la energía de un sistema de tres cargas, y la generalizamos para una distribución continua de carga.
Consideremos un sistema de tres cargas puntuales fijas q1, q2 y q3, tal como se
indica en la fig.3
q1
q1
q1
Fig. 3
q2
q3
q2
La energía de este sistema U vale :
q3
q2
q3
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Llamando V1 al potencial producido por las cargas q2 y q3 en la posición que ocupa q1. La
energía de la carga q1 en el campo producido por las otras dos es:
q3
q2
Análogamente, llamando V2 al potencial producido por las cargas q1 y q3 en la posición que
ocupa q2. La energía de la carga q2 en el campo producido por las otras dos es:
q1
q3
Del mismo modo, llamando V3 al potencial producido por las cargas q1 y q2 en la posición
que ocupa q3. La energía de la carga q3 en el campo producido por las otras dos es:
q1
q2
Sumando estas tres contribuciones obtenemos el doble de las energías del
sistema de partículas
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Ejemplo 1 - Sistema de cargas puntuales
Dos cargas puntuales se localizan en el eje x, q1= - 2e en x = 0 y q2 =+e en x = a. a) Determine el
trabajo que debe realizar una fuerza externa para llevar una tercera carga puntual q3 = + e del infinito a x = 2a. b) Determine la energía potencial total del sistema de tres cargas.
SOLUCIÓN
La figura presenta el arreglo final de las tres cargas.
a) El trabajo que debe hacer una fuerza externa sobre q3 es igual a la diferencia entre dos cantidades: la energía potencial U asociada con q3 cuando está en x = 2a y la energía potencial que
tiene cuando está infinitamente lejos. La segunda de éstas es igual a cero, por lo que el trabajo
que debe realizarse es igual a U. Las distancias entre las cargas son r13 = a y r23 = a, por lo que a
partir de la ecuación anterior
Si q3 se lleva del infinito a lo largo del eje + x, es atraída por q1 pero repelida con más fuerza por
q2; por ello, debe hacerse un trabajo positivo para llevar q3 a la posición x = 2a.
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b) La energía potencial total del conjunto de tres cargas está dado por la ecuación :
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Generalización de la expresión de la energía para el caso continuo
1
U 
2
N

i 1
qi Vi
donde
Vi 
qj
N

k
rij
j 1

k
U 
2
N
N
qi q j
j 1
rij
 
i 1
Consideremos el caso de la distribución Volumétrica, la energía será:
Z
r(r')
dτ'
v
dq'
r'
Fig. 7
X
U 
1
2
Y

i

 qi V (ri ) 
1
2

´
d ´ r (r´) V (r´)
;
i j
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Concepto de potencial
Del mismo modo que hemos definido el campo eléctrico, el potencial es una propiedad del
punto P del espacio que rodea la carga Q.
Definimos potencial V como la energía potencial de la unidad de carga positiva imaginariamente situada en P, V = Ep / q.
El potencial es una magnitud escalar
V
1 Q
4  0 r
La unidad de medida del potencial en el S.I. de unidades es el volt (V)
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Relaciones entre fuerzas y campos
Una carga en el seno de un campo eléctrico E experimenta
una fuerza proporcional al campo cuyo módulo es :
F = qE
Fig. 15 Campo eléctrico
cuya dirección es la misma, pero el sentido puede ser el mismo o el contrario dependiendo de que la carga sea positiva o
negativa.
Relaciones entre campo y diferencia de potencial
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En la fig. 16, vemos la interpretación geométrica.
Fig. 6 Interpretación de E y V
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CAMPOS CONSERVATIVOS – CONDICION ELECTROSTATICA
El campo eléctrostático ¨E¨ es conservativo,
lo que quiere decir que la integral del “E” a
lo largo de un camino cerrado es:


c


E . dl  0
Prueba

Un campo vectorial E independiente del tiempo es
 conservativo cuando se deriva de un
campo escalar V(r) es denominado potencial de E , es decir existe una función V (r) tal que:

V ˆ V ˆ V ˆ
E  V  
i
j
k
x
y
z
Dado el potencial ¨V¨ podemos calcular el vector campo eléctrico ¨E¨, mediante el operador
gradiente. Cuando se cumple esta condición podemos escribir:





dV (r )   V . dr  E . dr
es una diferencial exacta.
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Interpretación física
En particular, si


F   U
representa el campo de fuerzas
z
A
El trabajo mecánico para trasladar una partícula de A a B, será:

r ( B)
WAB  
Ya que


r ( A)

r (A)
  U ( B)
F . dr   dU  U ( B)  U ( A)
U ( A)
 
F . dr   d U

F
B

r (B)

F
x
y
U( r ) es la energía potencial de la partícula en el campo de fuerzas
El trabajo del campo será:
WAB  U ( B)  U ( A)  U
Si el camino entre A y B es cerrado ( A= B), resulta:
WAA
 
   F . dr  0
C
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Trabajo realizado por el campo eléctrico
El trabajo que realiza el campo eléctrico sobre una carga q cuando se mueve desde una
posición en el que el potencial es VA a otro lugar en el que el potencial es VB es:
 
W   F . dl  E pA  E pB  q ( VA  VB )
B
A
Fig. 7 Campo y potencial eléctrico
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A partir de la ecuación
 
W   F . dl  E pA  E pB  q ( VA  VB )
B
A
a)
El campo eléctrico realiza un trabajo W cuando una carga positiva q se mueve
desde un lugar A en el que el potencial es alto a otro B en el que el potencial es más
bajo,
Si q > 0 y VA > VB
entonces W > 0
b) El campo eléctrico realiza un trabajo cuando una carga negativa q se mueve desde un
lugar B en el que el potencial es más bajo a otro A en el que el potencial es más alto.
c) Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga positiva q
desde un lugar B en el que el potencial es más bajo hacia otro lugar A en el que el
potencial más alto.
d) Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga negativa q
desde un lugar A en el que el potencial es más alto hacia otro lugar B en el que el
potencial más bajo.
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Electrón volts
La magnitud e de la carga del electrón se usa para definir una unidad de energía que es útil en
muchos cálculos con los sistemas atómico y nuclear. Cuando una partícula con carga q se desplaza de un punto en el que el potencial es Vb a otro en que es Va, el cambio en la energía potencial U es
Si la carga q es igual a la magnitud e de la carga del electrón, 1.602 x 10-19 C, y la diferencia
de potencial es Vab, el cambio en la energía es
Esta cantidad de energía se define como 1 electrón volt (1 eV):
A menudo se utilizan los múltiplos meV, keV, MeV, GeV y TeV.
CUIDADO Recuerde que el electrón volt es una unidad de energía, ¡no una unidad de
potencial ni de diferencia de potencial !!!
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Ejemplo 2 - Fuerza eléctrica y potencial eléctrico
En el interior de un acelerador lineal, un protón (carga +e = 1.602 x
10 -19 C se desplaza en línea recta de un punto a a otro punto b
una distancia total d = 0.50 m. A lo largo de esta línea, el campo
eléctrico es uniforme con magnitud E =1.5 x 10 7 V/m = 1.5 x107
N/C en la dirección de a a b. Determine a) la fuerza sobre el protón; b) el trabajo realizado sobre este por el campo; c) la diferencia
de potencial Va -Vb.
SOLUCIÓN
a) La fuerza sobre el protón está en la misma dirección que el
campo eléctrico, y su magnitud es
b) La fuerza es constante y está en la misma
dirección que el campo eléctrico, de manera
que el trabajo efectuado sobre el protón es
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c) La diferencia de potencial es el trabajo por unidad de carga, que es
Se obtiene el mismo resultado con más facilidad si se recuerda que 1 electrón volt es igual a
1 volt multiplicado por la carga e. Como el trabajo realizado es 7.5 x 10 6 eV y la carga es e, la
diferencia de potencial es (7.5 x 10 6 eV) / e = 7.5 x 10 6 V.
Ejemplo 3 - Potencial debido a dos cargas puntuales
Un dipolo eléctrico consiste en dos cargas puntuales, q1 = +12 nC y q2 = -12 nC, colocadas a una
distancia de 10 cm una de la otra (figura ). Calcule los potenciales en los puntos a, b y c sumando
los potenciales debidos a cada carga.
SOLUCIÓN
Para encontrar V en cada punto, se hace la suma algebraica
En el punto a el potencial debido a la carga positiva q1 es
y el potencial debido a la carga q2 es
El potencial Va en el punto a es la suma de éstos:
Con cálculos similares se demuestra que en el punto b
el potencial debido a la carga positiva es +2700 V, el
potencial debido a la carga negativa es - 770 V, y
En el punto c, el potencial debido a la carga positiva es
El potencial debido a la carga negativa es 2830 V, y el potencial total es igual a cero:
El potencial también es igual a cero en el infinito (infinitamente lejos de ambas cargas).
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Bibliografía
-
Alonso; Finn. "Física ". Cap. 21. Addison-Wesley Iberoamericana.
Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 22. McGraw-Hill.
Halliday; Resnick. "Fundamentos de física". Cap. 29. CECSA.
Roller; Blum. "Física". Cap. 28. Reverté.
Serway. "Física". Cap. 25. McGraw-Hill.
Tipler. "Física". Cap. 20. Reverté.
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Energía potencial eléctrica:
La fuerza eléctrica causada por cualquier conjunto de cargas es una fuerza conservativa. El trabajo W realizado
por la fuerza eléctrica sobre una partícula con carga que se mueve en un campo eléctrico se representa por el
cambio en una función de energía potencial U.
La energía potencial eléctrica para dos cargas puntuales q y q0 depende de su separación r. La energía potencial
eléctrica para una carga q0 en presencia de un conjunto de cargas q1, q2, q3 depende de la distancia de q0 a cada
una de las demás cargas.
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Potencial eléctrico:
El potencial, denotado por V, es energía potencial por unidad de carga. La diferencia de potencial entre dos puntos es igual a la cantidad de trabajo que se requeriría para trasladar una unidad de carga de prueba positiva entre
esos puntos. El potencial V debido a una cantidad de carga se calcula mediante una suma (si la carga es un
conjunto de cargas puntuales) o mediante integración (si la carga es una distribución). La diferencia de potencial
entre dos puntos a y b, también llamada potencial de a con respecto a b, está dado por la integral de línea de El
potencial de un punto dado se encuentra obteniendo primero y después resolviendo la integral.
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Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial
eléctrico:
Si se conoce el potencial V como función de las coordenadas
x, y y z, las componentes del campo eléctrico en cualquier punto
están dadas por las derivadas parciales de V.
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Apéndice
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El dipolo eléctrico
El dipolo eléctrico es un tipo de distribución de carga que se presenta frecuentemente como veremos en el tema dedicado a los dieléctricos.
Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas, una positiva +Q y otra negativa -Q del mismo valor, separadas una distancia d.
El potencial en el punto P distante r1 de la carga –Q y r2 de
la carga +Q es
Expresamos r1 y r2 en función de r y q , que es la posición
del punto P expresada en coordenadas polares.
Fig. 17 Dipolo eléctrico
Teniendo en cuenta que d es pequeño frente a r, podemos obtener una buena aproximación empleando el desarrollo en serie
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Para expresar de forma aproximada los cocientes r / r1 y r / r2.
Despreciando los términos de orden superior a d2 / r2
El potencial se expresa en función de r y θ
Es interesante destacar, que el potencial debido a un dipolo disminuye con la inversa del cuadrado
de la distancia r, mientras que para una carga puntual disminuye con la inversa de r.
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Fig. Potencial del Dipolo Eléctrico
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Uniones Intermoleculares
• Se establecen entre átomos cargados eléctricamente y que pertenecen a dos especies químicas
distintas.
• Las especies químicas son iones o moléculas. La carga eléctrica proviene de que estas
especies son iones, o átomos involucrados en un dipolo permanente o en un dipolo inducido.
Fuerzas Moleculares de Van der Waals
 La base de las fuerzas de van der Waals es la
existencia de dipolos eléctricos en las moléculas
m
-
+
 Estos dipolos pueden ser permanentes, fugaces o inducidos.
+
H
+
H
O
-
• Los dipolos permanentes derivan de
la asimetría de las cargas electrónicas.
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Fuerzas Moleculares de Van der Waals

El momento dipolar permanente se
determina por espectroscopía
(efecto Stark) o por la constante
dieléctrica.
Momentos Dipolares (m)
m [D]
CCl4
0
H2
0
H20
1.85
HCl
1.08
HI
0.42
D (Debye): 3.3 x 10-30 C/m
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Fin