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VI.1.1 Notación especial
a, b, c, m, n,
Distancias parciales dentro del claro de una viga o marco.
da, db, dc, dx
Deflexión total de una viga o marco en el lugar donde indica el
subíndice.
E
Módulo de elasticidad del acero (2 039 000 kg/cm2).
f
Peralte de una armadura o marco.
h
Altura de columnas para armaduras o marcos.
Ha-Hb, etc.
Reacción horizontal en apoyos de marcos.
lab, lbc, lcd
Momento de inercia de la pieza indicada por el subíndice.
L
Claro de una viga o armadura entre apoyos.
Ma-Mb-Mc
Momento flexionante actuando en el lugar indicado por el subíndice.
N
Cantidad de fuerzas aplicadas a una viga.
P
Carga concentrada.
Ra, Rb, Rc
Reacción en vigas según el apoyo indicado por el subíndice.
Va, Vv, Vc
Reacción vertical en apoyos de marcos.
W
Carga total distribuida uniformemente.
w
Carga unitaria distribuida uniformemente.
α, a
Angulo que forma la cubierta de un techo con la horizontal.
A, B, D, F, G,
J, K, N, S, T,
φ, Ψ
Constantes para cálculo de marcos rígidos. Definidas en cada caso
y usadas para simplificar las fórmulas.
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VI.1.2 Viga empotrada en un extremo, libre en el otro
1 de 2
Fórmulas y diagramas de vigas para diversas condiciones de carga estática
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VI.1.2 Viga empotrada en un extremo, libre en el otro
2 de 2
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VI.1.3 Vigas con apoyos simples
1 de 6
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VI.1.3 Vigas con apoyos simples
2 de 6
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VI.1.3 Vigas con apoyos simples
3 de 6
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VI.1.3 Vigas con apoyos simples
4 de 6
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VI.1.3 Vigas con apoyos simples
5 de 6
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VI.1.3 Vigas con apoyos simples
6 de 6
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VI.1.4 Vigas empotradas en ambos extremos
1 de 5
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VI.1.4 Vigas empotradas en ambos extremos
2 de 5
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VI.1.4 Vigas empotradas en ambos extremos
3 de 5
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VI.1.4 Vigas empotradas en ambos extremos
4 de 5
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VI.1.4 Vigas empotradas en ambos extremos
5 de 5
P
P
P
P
A C
D
E
F B
P P P P P P P
A (n-1) Fuerzas
espaciamiento
=L n
L 5 L 5 L 5 L 5 L 5
MA
B
MB
DEFLEXION
CORTE
MOMENTO
CARGA
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VI.1.5 Vigas empotradas en un extremo y apoyo simple en el otro
1 de 6
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VI.1.5 Vigas empotradas en un extremo y apoyo simple en el otro
2 de 6
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VI.1.5 Vigas empotradas en un extremo y apoyo simple en el otro
3 de 6
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VI.1.5 Vigas empotradas en un extremo y apoyo simple en el otro
4 de 6
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VI.1.5 Vigas empotradas en un extremo y apoyo simple en el otro
5 de 6
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VI.1.5 Vigas empotradas en un extremo y apoyo simple en el otro
6 de 6
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VI.1.6 Vigas continuas con claros iguales y cargas uniformemente distribuidas
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VI.1.7 Vigas continuas con claros iguales y cargas concentradas en los centros
de varios claros
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VI.1.8 Vigas continuas con claros iguales y cargas concentradas aplicadas
en los tercios de varios claros
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VI.2Armaduras
Definición
También reciben el nombre de vigas de alma abierta. Las armaduras son elementos
estructurales formados por un conjunto de barras rectas articuladas en sus extremos,
solicitadas principalmente a fuerzas internas normales (tensión o compresión) y unidas
en su plano de tal manera que se forma un conjunto de triángulos indeformables.
Armadura
Columna
Joist
(viga de alma abierta)
Contraventeo
Armadura.
Aplicaciones
Se utilizan cuando una viga de alma llena (perfil laminado) o hecha con tres placas soldadas, deja de ser económica debido a la magnitud de la carga muerta. Las secciones
que se obtienen son tales, que el peso propio de la viga o trabe es el factor más importante que interviene en el diseño.
Tipos de armaduras
En la siguiente figura se muestran los diversos tipos de armaduras.
Diversos tipos de armaduras.
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Las diferentes armaduras se caracterizan por la forma de la triangulación que forman
las piezas que unen las cuerdas; pueden ser horizontales, a dos aguas, de cuerdas
paralelas, o en arco.
Aplicaciones
Las armaduras tienen una aplicación muy clara, cuando se busca salvar claros grandes,
como ocurre en puentes, cubiertas especiales, etc. Sin embargo, también se usan en
sistemas de piso, sustituyendo a las vigas de acero cuando se busca la ligereza de los
elementos estructurales.
Su función, al formar parte de la cubierta de un edificio industrial, es soportar y techar la
superficie de la nave para que en el interior del edificio se puedan realizar las operaciones típicas de un proceso de producción industrial.
Armadura de cubierta
Contraventeo
de cubierta
Lámina cubierta
Larguero
Armadura
Armadura
longitudinal
Columna
Normalmente las armaduras se apoyan en columnas de acero, las cuales pueden ser de
sección transversal I (secciones laminadas o hechas con tres placas soldadas), secciones en cajón (cuatro placas soldadas) o miembros armados.
También se utilizan en soluciones estructurales que requieren salvar grandes claros. En
este caso, el peralte de la armadura corresponde a la distancia libre entre los pisos del
edificio.
Mediante la combinación de las armaduras planas, se obtienen estructuras espaciales,
en las que los elementos están orientados según dos o más direcciones.
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La armadura Pratt se caracteriza porque los montantes están sometidos a compresión
y las diagonales a tensión.
La armadura Warren no tiene montantes y las diagonales están sometidas a tensión y
compresión alternadamente.
Las armaduras tipo Pratt y Warren se usan en una gran variedad de aplicaciones, en
las cubiertas de edificios o naves industriales y como vigas en los marcos rígidos que
forman la estructura básica de un edificio convencional.
Un tipo de armadura especial, es la denominada Vierendell, que se caracteriza porque
no tienen elementos diagonales que completen la triangulación, sino elementos horizontales y verticales que forman paneles con conexiones rígidas y que resisten fuerzas
normales y cortantes.
Es muy utilizada en construcciones de edificios, ya que los claros que deja, se adaptan
perfectamente para la colocación de ventanas y puertas.
P
P
P
P
Cuerda superior
P
Losa
Losa
Montante
Losa
P
e
Losa
L´
H = Peralte
H´
Cuerda inferior
Armadura Vierendeel.
Forma de trabajo
Todas las fuerzas exteriores desarrollan fuerzas axiales internas en las barras que forman la armadura. Aunque generalmente las barras que forman la armadura, se consideran y analizan como articuladas en sus extremos es difícil llegar a construirlas con
esas condiciones de apoyo, ya que las uniones soldadas o atornilladas que son las más
usuales, rigidizan la junta y desarrollan momentos flexionantes que en la mayoría de los
casos se desprecian. Las uniones de las barras en las articulaciones puede ser directa
o por medio de placas de nudo.
Así los efectos debidos al momento flexionante se transmite como tensión y compresión en las cuerdas inferior y superior de la armadura. Las barras verticales y diagonales
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transmiten la fuerza cortante. Además, el alma de la armadura se encuentra parcialmente vacía reduciendo por lo tanto el peso propio de la pieza.
Características
La principal característica de una armadura es la triangulación y así formando mecanismos se van transmitiendo las fuerzas que soporta hasta los apoyos. En cada nudo
las fuerzas exteriores se mantienen en equilibrio junto con las fuerzas internas que se
desarrollan en las barras que concurren al mismo punto.
Consideraciones para análisis
La magnitud de las fuerzas horizontales de tensión y compresión que actúan en las
cuerdas superior e inferior depende del peralte de la armadura. Una manera aproximada de obtener estas fuerzas consiste en dividir el momento flexionante en una sección,
entre el peralte de la armadura. De esta manera se obtiene el momento resistente como
si fuese desarrollado exclusivamente por las cuerdas extremas.
P/2
P
P
C
C
P
P/2
C
C
T
C
d=
C
T
T
T
C= Compresión
T= Tensión
ΣP
4P
RA =
=
= 2P
2
2
P/2
P
L
12
RB =
ΣP
= 2P
2
P
C
Mmáx
C
d=
L
12
C=
Mmáx
d
=
12 Mmáx
L
T
RA = 2P
L/2
Análisis de la armadura.
Por la misma naturaleza de las fuerzas internas que se desarrollan, se ve la importancia
que adquiere el efecto de pandeo en los miembros sometidos a compresión. Se procurará que la relación de esbeltez de estas piezas se conserve dentro de ciertos valores.
En los miembros en tensión, una excesiva flexibilidad de ellos, produce vibraciones
excesivas y deformaciones no recomendables, principalmente en las etapas iniciales
de montaje. Las NTC-2004 recomiendan relaciones máximas de esbeltez de 200 para
miembros a compresión y de 240 para miembros en tensión.
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En el diseño de las armaduras, se supone que todas las fuerzas están aplicadas en los
nudos y que éstos a su vez son articulaciones. En la figura siguiente al aplicar una carga
en una posición intermedia entre dos nudos, origina esfuerzos de flexión adicionales a
los directos que actúan en los miembros de la armadura. En el caso c al ser un nudo
rígido trata de conservar constante el ángulo original de la armadura, aún después de
la deformación.
Esto provoca esfuerzos secundarios de flexión en la barra no considerados en el diseño
original. Estos últimos efectos pueden ser despreciables, si se logra que los ejes de
todas las piezas que concurren a un nudo, coincidan efectivamente en un punto.
P
α1
α
α2
P
α
α2 < α1
P
a
b
c
Efectos secundarios en armaduras.
En realidad, en los casos mostrados, la armadura se comporta como una viga de alma
llena en la que la transmisión de fuerzas internas se realiza a través de las barras trianguladas.
Con la simple triangulación se asegura la rigidez de la estructura formada y que las deformaciones de esta, sean pequeñas y producidas por los incrementos de longitud en
cada una de las barras, sometidas a fuerza axial. Es recomendable que al proyectar una
armadura, los ángulos se conserven entre 45 y 60º y que las dimensiones de las piezas,
sean semejantes. De no ser así, las fuerzas en las barras pueden alcanzar valores elevados, o bien las deformaciones, proporcionales a la longitud de los miembros, al ser
desiguales pueden provocar desplazamientos asimétricos en la estructura.
La dirección de las diagonales, tiene cierta importancia, ya que de ésta depende el tipo
de esfuerzo a que se encuentra sometida la pieza.
El equilibrio de los nudos, se obtiene por los elementos mecánicos, fuerzas cortantes,
normales y momentos flexionantes, que se desarrollan en cada una de las barras que
constituyen la estructura.
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VI.3.1 Marcos rígidos ar ticulados simples
1 de 6
Fórmulas y diagramas de marcos rígidos para diversas condiciones de carga estática.
Notaciones para una estructura con miembros de sección transversal constante.
Direcciones positivas de las componentes
vertical y horizontal de las reacciones de
la estructura.
Constantes generales de la estructura:
φ=
I 1-2 q
I 2-3 h
ψ=
f
h
A = 4 (3 + 3 ψ + ψ 2 + 1 )
φ
B = 2 (3 + 2 ψ)
Constante C:
Se utilizará sólo en los casos de carga horizontal sobre la estructura.
C = 2 (3 + ψ + 2 )
φ
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VI.3.1 Marcos rígidos ar ticulados simples
2 de 6
Fórmulas y diagramas de marcos rígidos para diversas condiciones de carga estática.
Carga vertical uniformemente repartida sobre toda la viga.
Carga vertical uniformemente repartida sobre un miembro inclinado.
Carga vertical concentrada sobre la junta 3.
Carga vertical concentrada sobre el punto de un miembro inclinado.
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VI.3.1 Marcos rígidos ar ticulados simples
3 de 6
Fórmulas y diagramas de marcos rígidos para diversas condiciones de carga estática.
Carga vertical concentrada sobre cualquier punto de un miembro inclinado.
Carga horizontal uniformemente repartida sobre la mitad izquierda de la
estructura.
Carga horizontal uniformemente repartida sobre una columna.
Carga horizontal uniformemente repartida sobre parte de una columna.
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VI.3.1 Marcos rígidos ar ticulados simples
4 de 6
Fórmulas y diagramas de marcos rígidos para diversas condiciones de carga estática.
Carga horizontal concentrada sobre la junta 3.
Carga horizontal concentrada en la junta 2.
Carga horizontal concentrada sobre cualquier punto de un miembro inclinado.
Carga horizontal concentrada sobre cualquier punto de una columna.
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VI.3.1 Marcos rígidos ar ticulados simples
5 de 6
Fórmulas y diagramas de marcos rígidos para diversas condiciones de carga estática.
Momento aplicado en la junta 3.
Momento aplicado en la junta 2.
f
M
2
I2-3
I1-2
V1
M 21
M 23
4
M21
M23
h
5
1
L
M
(6+B+2ψ)
2Ah
M
M
V5
L
L
M 4 H5 h
(M M21)
M
H5h (1+ ψ)
2
H1 H5
3
H1
V1
H5
M3
V5
Dos momentos iguales aplicados en las juntas 2 y 4.
Carga vertical concentrada sobre la ménsula.
La ménsula actúa como simple voladizo y su momento máximo es Pu
en el punto T. El diagrama de momentos del voladizo no se presenta
intencionalmente para que el diagrama de momentos de flexión de
la estructura quede ilustrado con más claridad.
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VI.3.1 Marcos rígidos ar ticulados simples
6 de 6
Fórmulas y diagramas de marcos rígidos para diversas condiciones de carga estática.
Dos cargas verticales concentradas e iguales aplicadas simétricamente
sobre las ménsulas.
Las ménsulas actúan como simples voladizos con los momentos
máximos de Pu en los puntos T. Los diagramas de momentos de
estos voladizos no se presentan intencionalmente, para que el
diagrama de momentos de flexión de la estructura quede ilustrado
más claramente.
6-30. Efectos de la variación de la temperatura. t° para toda la estructura.
Desplazamiento horizontal de un apoyo.
Nota: Si la dirección del desplazamiento de la estructura es opuesta
a la del diagrama, se introduce el valor ∆ con signo negativo.
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VI.3.2 Marcos rígidos empotrados simples
1 de 7
Fórmulas y diagramas de marcos rígidos para diversas condiciones de carga estática.
Notaciones para una estructura con miembros de sección transversal constante.
Direcciones positivas de los momentos y
de las componentes vertical y horizontal
de las reacciones de la estructura.
Constantes de la estructura:
φ=
A=
I1-2 q
I 2-3 h
3 (1- φψ )
2 (1+ φψ 2 )
D = 16 (3 + φ )
ψ=
f
h
B=
6 (1+ φ )
1+ φψ 2
F = 12 2+ 2φ - A (1- φ ψ )
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VI.3.2 Marcos rígidos empotrados simples
2 de 7
Fórmulas y diagramas de marcos rígidos para diversas condiciones de carga estática.
Carga vertical uniformemente repartida sobre toda la viga.
Carga vertical uniformemente repartida sobre un miembro inclinado.
Carga vertical concentrada en la junta 3.
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VI.3.2 Marcos rígidos empotrados simples
3 de 7
Fórmulas y diagramas de marcos rígidos para diversas condiciones de carga estática.
Carga vertical concentrada sobre el centro de un miembro inclinado.
Carga vertical concentrada sobre cualquier punto de un miembro inclinado.
Carga horizontal uniformemente repartida sobre la mitad izquierda de la
estructura.
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VI.3.2 Marcos rígidos empotrados simples
4 de 7
Fórmulas y diagramas de marcos rígidos para diversas condiciones de carga estática.
Carga horizontal uniformemente repartida sobre una columna.
Carga horizontal uniformemente repartida sobre una parte de la columna.
Carga horizontal concentrada en la junta 3.
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257
VI.3.2 Marcos rígidos empotrados simples
5 de 7
Fórmulas y diagramas de marcos rígidos para diversas condiciones de carga estática.
Carga horizontal concentrada en la junta 2.
Carga horizontal concentrada sobre cualquier punto de un miembro inclinado.
Carga horizontal concentrada en cualquier punto de la columna.
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VI.3.2 Marcos rígidos empotrados simples
6 de 7
Fórmulas y diagramas de marcos rígidos para diversas condiciones de carga estática.
Momento aplicado a la junta 3.
Momento aplicado a la junta 2.
Dos momentos iguales a las juntas 2 y 4.
Carga vertical concentrada aplicada a una ménsula.
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VI.3.2 Marcos rígidos empotrados simples
7 de 7
Fórmulas y diagramas de marcos rígidos para diversas condiciones de carga estática.
Dos cargas verticales concentradas iguales aplicadas simétricamente sobre
ménsulas.
m
M
Las ménsulas actúan como simples voladizos con los momentos Pu
en los puntos T. Los diagramas de momentos de estos voladizos no
se presentan intencionalmente, para que el diagrama de momentos
de flexión de la estructura quede ilustrado más claramente.
Efectos de la variación de la temperatura. t° para toda la estructura.
Desplazamiento horizontal de un apoyo.
Asentamiento vertical de un soporte.
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