Tema 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 1 TEMA 5: INCUMPLIMIENTO DE LAS HIPÓTESIS SOBRE EL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN 5.1) Introducción 5.2) El Modelo de Regresión Lineal Generalizado 5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados 5.4) El Contraste de Normalidad de Jarque-Bera 2 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.1) Introducción - Incumplimiento de las Hipótesis del Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC): El Modelo de Regresión Lineal Generalizado (MRLG). - La Matriz de Varianzas-Covarianzas en un MRLG. - Tipos de Modelos en el MRLG: · Modelo Heterocedástico · Modelo con Autocorrelación · Modelo con Problemas de Heterocedasticidad y Autocorrelación 3 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.1) Introducción Hipótesis del Modelo de Regresión Lineal Clásico: · La Matriz de Regresores X es NO ESTOCÁSTICA · NO hay OMISIÓN DE VARIABLES RELEVANTES ni INCLUSIÓN DE VARIABLES SUPERFLUAS. Hipótesis 1 · NO existe MULTICOLINEALIDAD PERFECTA. Rang ( X ) = K + 1 4 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.1) Introducción Hipótesis del Modelo de Regresión Lineal Clásico: Hipótesis 2 LA PERTURBACIÓN DEL MODELO U SE COMPORTA COMO UNA VARIABLE ALEATORIA RUIDO BLANCO (perturbación esférica). E (U i ) = 0; ∀i E (U i2 ) = σ u2 ; ∀i Homocedasticidad E (U i ·U s ) = 0; ∀i ≠ s Incorrelación Matriz de VarianzasCovarianzas de U V (U ) = E [U ·U '] = σ U2 ·I Matriz Escalar 5 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.1) Introducción Hipótesis del Modelo de Regresión Lineal Clásico: La Forma Funcional del Modelo es Lineal Hipótesis 3 Yi = β 0 + β1 · X 1i + ... + β K · X Ki + U i o Y = X ·β + U Se asume Normalidad de las Perturbaciones Hipótesis 4 d Ui → N (0, σ U2 ) o d U → N (ϑ , σ U2 ·I ) 6 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.1) Introducción El MRLG será aquel Modelo que verifique TODAS las Hipótesis del Modelo de Regresión Lineal Clásico excepto la Hipótesis 2. Modelo de Regresión Lineal Clásico Modelo de Regresión Lineal Generalizado Aleatoria U i Variable → Ruido Blanco Aleatoria U i Variable → No Ruido Blanco E (U i ) = 0; ∀i E (U i ) = 0; ∀i E (U i2 ) = σ u2 ; ∀i E (U i2 ) ≠ σ U2 ; ∀ o algún i E (U i ·U s ) = 0; ∀i ≠ s E (U i ·U s ) ≠ 0; ∀ o algún i ≠ s V (U ) = E [U ·U '] = σ U2 ·I V (U ) Matriz No Escalar Matriz Escalar 7 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.1) Introducción La Matriz de Varianzas-Covarianzas de las Perturbaciones en un MRLG será V (U ) = E [U ·U '] = σ ·Ω 2 U Ω Matriz No Singular Si Ω = I MRLG = MRLC Matriz Semidefinida Positiva 8 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.1) Introducción Tipos de MRLG: 1 Modelo con Problemas de Heterocedasticidad: E (U i2 ) = σ i2 ≠ σ U2 ; ∀ o algún i 2 Modelo con Problemas de Autocorrelación: E (U i · U s ) ≠ 0; ∀ o algún i ≠ s 3 Modelo con Problemas de Heterocedasticidad y Autocorrelación: E (U i2 ) = σ i2 ≠ σ U2 ; ∀ o algún i y E (U i · U s ) ≠ 0; ∀ o algún i ≠ s 9 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.2) El Modelo de Regresión Lineal Generalizado - Especificación del Modelo: Incumplimiento Hipótesis MRLC - Consecuencias de Aplicar MCO a un MRLG · ¿Son Estimadores Insesgados? · ¿Son Estimadores Óptimos? · ¿Podemos aplicar Inferencia Estadística Tradicional? ¿ES ADECUADA LA ESTIMACIÓN MCO? 10 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.2) El Modelo de Regresión Lineal Generalizado Modelo con U No-Esférica Yi = β 0 + β1 · X 1i + ... + β K · X Ki + U i E (U i2 ) = σ U2 ; ∀ i INCUMPLIMIENTO E (U i · U s ) = 0; ∀ i ≠ s Supuesto de Homocedasticidad Supuesto de Incorrelación POR TANTO E (U i2 ) = σ i2 ≠ σ U2 ; ∀ o algún i E (U i · U s ) ≠ 0; ∀ o algún i ≠ s HETEROCEDASTICIDAD AUTOCORRELACIÓN 11 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.2) El Modelo de Regresión Lineal Generalizado MRLG (Modelo con Perturbaciones No-Esférica) Yi = β 0 + β1 · X 1i + ... + β K · X Ki + U i E (U i2 ) = σ i2 ≠ σ U2 ; ∀ o algún i E (U i · U s ) ≠ 0; ∀ o algún i ≠ s MCO β̂ MCO PREGUNTA: ¿MCO es el mejor procedimiento para estimar los parámetros del Modelo? 12 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.2) El Modelo de Regresión Lineal Generalizado Consecuencias de Aplicar MCO en un MRLG: E (βˆMCO ) = β 1 El EMCO es INSESGADO 2 El EMCO NO es ÓPTIMO. Además, se verifica que −1 −1 V ( βˆMCO ) = σ U2 ·( X '·X ) · X '·Ω· X ·( X '·X ) −1 ≠ σ U2 ·( X '·X ) 3 e'·e SCE S = = n − K −1 n − K −1 2 es un estimador SESGADO de σ U2 ( ) E S 2 > σ U2 13 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.2) El Modelo de Regresión Lineal Generalizado Consecuencias de Aplicar MCO en un MRLG: 4 2 La Expresión S ·( X '· X ) Varianzas-Covarianzas V ( βˆ ) 5 Los Estadísticos empleados para realizar Contrastes de Hipótesis y construir Intervalos de Confianza no podrán ser empleados. −1 MRLG no es adecuada para estimar la Matriz de - Lineal MCO β̂ MCO - Insesgado - Consistente - NO ÓPTIMO EMCO NO ADECUADA Mínimos Cuadrados Generalizados 14 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados - Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados (EMCG). Procedimiento - Propiedades de Generalizados: los Estimadores Mínimo Cuadráticos · Lineales · Insesgados · Consistentes · Óptimos - Problemas - Solución: Transformar el Modelo - La Predicción con MCG 15 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados Mínimos Cuadrados Generalizados ( βˆMCG = X '·Ω −1 · X ) −1 · X '·Ω −1 ·Y Matriz de Varianzas-Covarianzas ( V ( βˆ ) = σ U2 · X '·Ω −1 · X ) −1 Un estimador insesgado del parámetro desconocido σ U2 es −1 ~ ~ e '· Ω ·e ~ 2 S MCG = n − K −1 En donde ~ e = Y − X ·β̂ MCG GENERALIZADO. es el RESIDUO MÍNIMO CUADRÁTICO 16 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados ¿De dónde se obtienen los Mínimos Cuadrados Generalizados? ~ '·Ω −1 ·~ min SCE = e e MCG ˆ {β MCG } SOLUCIÓN: ( βˆMCG = X '·Ω −1 · X ) −1 · X '·Ω −1 ·Y (DEMOSTRACIÓN) Si Ω = I βˆMCG = βˆMCO 17 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados Propiedades de los Estimadores Mínimos Cuadrados Generalizados 1 El EMCG es LINEAL (Demostración) 2 El EMCG es INSESGADO (Demostración) 3 El EMCG es CONSISTENTE (Demostración) 4 La Matriz de Varianzas-Covarianzas de β̂ MCG es ( V (βˆMCG ) = σ U2 · X '·Ω −1 · X 5 ) −1 El EMCG es ÓPTIMO: En el contexto de un MRLG, el estimador lineal e insesgado de menor varianza será el que se obtiene mediante el18 método de MCG. TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados Modelo de Regresión Lineal Generalizado E (U i2 ) = σ i2 ≠ σ U2 ; ∀ o algún i Y = X ·β + U ( βˆMCG = X '·Ω −1 · X E (U i · U s ) ≠ 0; ∀ o algún i ≠ s ) −1 −1 · X '·Ω ·Y ELIO: Estimador Lineal, Insesgado y Óptimo. ¿Con qué Problemas nos encontramos a la hora de calcular β̂ MCG ? Tenemos que Estimar Ω Ω̂ Tenemos que Invertir Ω̂ ˆ −1 Ω SOLUCIÓN: Transformar el MRLG en un MRLC y aplicar MCO 19 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados MODELO Y = X ·β + U SOLUCIÓN ¿MRLG? EMCO: Lineal, Insesgado, Consistente, NO ÓPTIMO APLICAR MCO −1 −1 MCG: βˆMCG = (X '·Ω · X ) · X '·Ω ·Y −1 PROBLEMA: SOLUCIÓN ¿MRLC? EMCO: Lineal, Insesgado, Consistente, Óptimo. ˆ −1 ? ¿Ω Transformar el MRLG en un MRLC y aplicar MCO EMCG: Lineal, Insesgado, Consistente, ÓPTIMO MCO=MCG Y * = X * ·β + U * 20 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados Transformar un MRLG en un MRLC Teorema: Si Ω es una matriz definida positiva, entonces existe una matriz de transformación Pnxn no singular que cumple que P·Ω·P' = I Corolario: P'·P = Ω −1 (Demostración) 21 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados Transformar un MRLG en un MRLC Modelo de Regresión Generalizado Y = X ·β + U Se premultiplica el modelo por P E (U ) = 0 E (U ·U ' ) = σ U2 ·Ω E (U * ) = 0 Y * = P·Y P·Y = P· X ·β + P·U X * = P· X Y * = X * ·β + U * MRLC U * = P·U E (U * ·U * ' ) = σ U2 ·I 22 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados Transformar un MRLG en un MRLC Y * = X * ·β + U * El Modelo Transformado verifica las Hipótesis del MRLC sobre el Término de Perturbación APLICAR MCO * βˆMCO 1 E (U * ) = 0 2 E (U * ·U * ' ) = σ U2 ·I (demostración) (demostración) 1 * βˆMCO = βˆMCG (demostración) 2 *2 2 S MCO = S~MCG (demostración) 3 ( ) * Vˆ βˆMCO = Vˆ (βˆMCG ) (demostración) 23 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados La Predicción en un MRLG Yˆn + h = X n' + h ·β̂ MCO PROBLEMA En un MRLG la estimación MCO NO ES ÓPTIMA Yˆn + h NO ES UN PREDICTOR ÓPTIMO 24 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.3) Estimación por Mínimos Cuadrados Generalizados La Predicción en un MRLG ¿CUÁL ES EL PREDICTOR ÓPTIMO EN UN MRLG? Yˆn + h = X n' + h ·βˆMCG + W ' ·V −1 ·e~ W = E (U · U n + h ) Vector que contiene las covarianzas de las perturbaciones en cada momento muestral y la perturbación en (n+h) ~ e es el residuo de la estimación MCG V = E (U ·U ') = σ 2 ·Ω es la Matriz de Varianzas-Covarianzas de U 25 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.4) El Contraste de Normalidad de Jarque-Bera - Objetivo - Importancia de Verificar la Normalidad de U - Funcionamiento · Contraste de Hipótesis · Test de Jarque-Bera (JB) Conceptos Simetría Apuntalamiento · Regla de Decisión 26 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.4) El Contraste de Normalidad de Jarque-Bera OBJETIVO IMPORTANCIA Verificar si la Perturbación del Modelo de regresión (U) sigue una Distribución Normal. Si U sigue una distribución Normal Sigue distribución Normal β̂ una INFERENCIA ESTADÍSTICA Contraste de Hipótesis Intervalos de Confianza 27 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.4) El Contraste de Normalidad de Jarque-Bera FUNCIONAMIENTO Contraste de Hipótesis H 0 : U sigue una Distribución Normal H1 : U NO sigue una Distribución Normal Test Estadístico aˆ 2 (cˆ − 3)2 d 2 JB = N · + → χ 2 6 24 N N N ·∑ ei3 i =1 aˆ = ∑ ei2 i =1 N 3 2 Coeficiente Asimetría N ·∑ ei4 cˆ = i =1 2 e ∑ i i =1 N 2 Coeficiente Curtosis 28 TEMA 5: Incumplimiento de las Hipótesis sobre el Término de Perturbación 5.4) El Contraste de Normalidad de Jarque-Bera REGLA DE DECISIÓN RECHAZAR LA HIPÓTESIS NULA DE NORMALIDAD DE LAS PERTURBACIONES DEL MODELO SI… JB > χ 22,α Región Aceptación α (1 − α ) 29 χ 2 2 ,α