Cálculo de la superficie de un casquete esférico

Memorias Tercer Congreso Internacional sobre la Enseñanza de la
Matemática Asistida por Computadora
CALCULO DE LA SUPERFICIE DE UN CASQUETE ESFÉRICO
Allan Gen Palma
I. Introducción
Este artículo presenta una nueva forma de calcular el área de un “casquete esférico” , utilizando
conocimientos geométricos básicos impartidos en secundaria, para ello se establece una equivalencia
de una superficie redonda en el espacio a una figura plana, procedimientos que hace más de dos mil
años utilizaba Arquímides, actualmente este problema que se encuentra restringido a estudiantes con
conocimientos de Cálculo diferencial e integral.
Para verificar la validez de este procedimiento se utilizará el Cálculo diferencial e integral.
II. Desarrollo
Es común en un primer curso de Cálculo en varias variables, efectuar el ejercicio del cálculo de la
superficie de un “casquete esférico”. Dicho ejercicio con lleva a la aplicación de integrales dobles
sobre una región plana ℛ entre otras cosas. Como ejemplo se propone el cálculo de la superficie de un
“casquete esférico” perteneciente a una esfera de radio R y que se encuentra sobre el círculo de radio p.
Solución:
z
Ecuación de la esfera de radio R centrada en el origen:
x 2 + y 2 + z 2 = R2
A
C
h
Ecuación del hemisferio superior:
z = R 2 − x2 − y2
O
rp
B
y
x
2
p
 ∂z   ∂z 
1 +   +   dA = 4 ∫ ∫
0 0
 ∂x   ∂y 
2
A=
∫∫
ℜ
( 2R
2
)
− 2R R2 − p2 π .
p2 − x2
π
R
R −x −y
2
2
2
dydx = 4 ∫ 2 ∫
0
p
0
R
R − r2
2
rdrdθ =
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Pero, ahora quiero presentarles una forma muy simple, de calcular esta área, sin la aplicación del
cálculo diferencial e integral. Con lo cual este problema podrá en el futuro resolverse por estudiantes
de secundaria sin mayor dificultad que la representada por el Teorema de Pitágoras.
Consideremos de la figura anterior los triángulos rectángulos:
C
h = R 2 − p2
h
R
O
Por lo que AC =
(R −
R2 − p2
) +p
2
2
=
2R 2 − 2R R2 − p2 .
p
A
R−h
C
p
Entonces, el área de la superficie esférica equivale al área de un círculo de radio AC, por lo que:
A = π 

2
(
)
2R 2 − 2 R R 2 − p 2  = π 2 R 2 − 2 R R 2 − p 2 .

Círculo de radio AC, cuya área es equivalente
al del casquete esférico de radio p y
perteneciente a una esfera de radio R.
Ahora apliquemos la fórmula con valores numéricos.
Ejemplo:
Calcular el área de la superficie esférica de un “casquete esférico” perteneciente a un hemisferio de
radio 5cm que se encuentra sobre el círculo de radio 3cm.
Solución:
AC =
12 + 32 cm =
10cm , por lo que el área solicitada corresponde a,
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A=π
(
)
2
10 cm 2 = 10π cm 2
III. Conclusiones
Espero y este trabajo les facilite los cálculos a los estudiantes que cursan Cálculo diferencial e integral,
así como allanar el camino para los estudiantes de secundaria que desean ampliar sus conocimientos,
utilizando los conocimientos básicos adquiridos en el colegio.
Además ya es posible determinar con relativa facilidad cálculos que involucran la disminución de la
superficie de los polos terrestres por efectos del calentamiento de la Tierra y por ende el deshielo de los
polos, también podría determinarse el área de la capa de ozono que se ha perdido por efectos de la
contaminación producida en los últimos tiempos.
IV. Bibliografía
1. Larson, Hostetler, Edwards, Cálculo y Geometría Analítica, Volumen II, quinta o
sexta edición, Mc Graw-Hill, México D.F.
2. Arquímides, El “Método”, Editorial Universitaria de Buenos Aires, Argentina.