Práctico 9 Funciones de Variación Acotada y Absolutamente

Introducción al Análisis Real
Curso 2007
Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Práctico 9
Funciones de Variación Acotada y Absolutamente Continuas
En los cursos básicos de análisis es bien conocida las relaciones existentes entre las operaciones de diferenciación e integración. Precisamente, dos resultados básicos conocidos expresan dicha relación: el Teorema
Fundamental del Cálculo y la Regla de Barrow. Es decir,
“si f es una función continua, y F es una función con derivada continua, entonces
d
dx
Z
x
Z
b
f (t)dt = f (x),
a
F 0 (t)dt = F (b) − F (a).00
a
¿Para que clase de funciones es posible extender el Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla de Barrow? Con
ese objetivo se introducen los conceptos de funciones de variación acotada y funciones absolutamente continuas.
1.
a) Con el objetivo de extender la regla de Barrow a una familia mayor de funciones que las de
clase C 1 (continuas con derivada continua), indicar en que “buen” conjunto de funciones
“tiene sentido” la Regla de Barrow.
Observación: No estamos pidiendo cuales son las funciones para las cuales se verifica la regla de
Barrow. Por ejemplo, si F no es derivable en casi todo punto, carece de sentido integrar su derivada.
b) Observar que existen funciones monotonas que no verifican la Regla de Barrow, pero sin
embargo vale lo siguiente:
Rb
Si f : [a, b] → R monotona creciente, entonces f 0 es integrable y a f 0 (x)dx ≤ f (b) − f (a).
Dar un ejemplo de función continua que verifique la desigualdad estricta.
2. Funciones de Variación Acotada
a) Probar que el conjunto de funciones de variaciones acotadas forman un espacio vectorial.
b) Notaremos por Vab [f ] a la variación de f en el intervalo [a, b]. Probar que si a < b < c
entonces Vab [f ] + Vbc [f ] = Vac [f ].
c) Sea v(x) = Vax [f ]. Probar que v es una función monótona creciente
d ) Probar que el conjunto N Vab de funciones de variación acotada, sujetas a la condición
f (a) = 0 es un espacio vectorial normado.
3. Funciones Absolutamente Continuas
Recordar que una función f : R (o [a, b]) → C (o R) se dice absolutamente continua si para todo ε > 0
existe δ > 0 tal que para todo conjunto finito de intervalos {(ak , bk )}k=1,...,N en R (o en [a, b]) dos a dos
PN
PN
disjuntos tales que k=1 (bk − ak ) < δ entonces k=1 |f (bk ) − f (ak )| < ε.
a) Probar que la definición se puede extender a una familia numerable de intervalos.
b) Probar que el conjunto de funciones absolutamente continuas definidas en [a, b], es un
subespacio lineal del espacio vectorial de funciones de variación acotada definidas en [a, b].
c) Probar que el subespacio de funciones absolutamente continuas esta incluido estrictamente
en el subespacio lineal de funciones uniformemente continuas.
d ) Sea f de variación acotada tal que f (−∞) = 0. Entonces f es absolutamente continua si y
solo si µf es absolutamente continua respecto a la medida de Lebesgue (siendo µf la medida
de Lebesgue-Stieltjes asociada, es decir, µf ((−∞, x]) = f (x)).
4. Averiguar si las siguientes funciones son de variación acotada en [−1, 1]:
f (x) = x2 sen
1
si x 6= 0, f (0) = 0
x
1
g(x) = x sen
1
si x 6= 0, g(0) = 0.
x
(1)
5. Sea (xn )n≥1 una numeración de Q, y consideremos f : R → R tal que f (x) =
f (x) = 0 si x ∈
/ Q.
1
2n
si x = xn y
a) Probar que f es discontinua exactamente en los puntos de Q.
b) Mostrar que f es de variación acotada, y hallar sus variaciones positiva, negativa y total.
x [f ] es continua por la derecha.
c) Demostrar que su variación V−∞
d ) Concluir que existe una función creciente y continua por la derecha que es discontinua
exactamente en los racionales.
6. Si f : R → C y existe una constante M tal que |f (x) − f (y)| ≤ M |x − y|, ∀x, y ∈ R, se dice que
f es lipschitziana con constante de Lipschitz M . Probar que f es lipschitziana con constante de
Lipschitz M si y sólo si f es absolutamente continua y |f 0 (x)| ≤ M para casi todo x.
7. Sea σ la función de Cantor. Entonces σ es continua y creciente pero no es absolutamente continua.
Observar también que si f (x) = 2σ(x) − x, entonces f es continua, f (0) = 0, f (1) = 1 y sin
embargo f 0 = −1 ctp.
8. Decimos que una función f : (a, b) → R es convexa si
f (λs + (1 − λ)t) ≤ λf (s) + (1 − λ)f (t),
(2)
∀s, t ∈ (a, b), λ ∈ (0, 1). (Interpretar geométricamente).
a) Probar que f es convexa si y sólo si ∀s, t, s0 , t0 ∈ (a, b) tales que s ≤ s0 ≤ t0 y s ≤ t ≤ t0 ,
f (t0 ) − f (s0 )
f (t) − f (s)
≤
.
t−s
t0 − s0
(3)
b) Probar que f es convexa si y sólo si f es absolutamente continua en cada intervalo compacto
incluido en (a, b) y f 0 es creciente en los puntos que está definida.
c) Probar que si f es convexa y t0 ∈ (a, b), entonces existe β ∈ R tal que f (t)−f (t0 ) ≥ β(t−t0 ),
∀t ∈ (a, b).
d ) (Desigualdad de Jensen) Si (X, M, µ) es una espacio de medida de probabilidad, y
g : X → (a, b) pertenece a L1 (µ), y f es convexa en (a, b) entonces
Z
Z
f ( gdµ) ≤ f ◦ g dµ.
Sugerencia: Tomar t0 =
R
gdµ y t = g(x) en (c) e integrar.
2