una metodología activa para la resolución de problemas

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UNA METODOLOGÍA ACTIVA PARA LA RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS
Miró-Julià, Margaret
margaret.miro@uib.es
Departamento de Ciencias Matemáticas e Informática
Universidad de las Islas Baleares
RESUMEN
El objetivo de esta ponencia es presentar las conclusiones del proyecto de mejora de la
calidad docente titulado “El uso de estrategias adecuadas para la resolución de problemas de
Estadística” que se realizó en la Universidad de las Islas Baleares durante el curso 2005-2006.
Debido a nuestra dilatada experiencia en la enseñanza de las asignaturas
Estadística Económica y Métodos Matemáticos para la Economía I, II y III de los estudios que
dependen de la Facultad de Economía, somos conscientes del desánimo y desinterés de nuestros
alumnos. Es indiscutible que existen dificultades por parte de los profesores a la hora de
enseñar, pero también existen obstáculos por parte de los alumnos para aprender. Esta
problemática resulta evidente a la hora de resolver problemas.
El proyecto, cuyas conclusiones presentamos, pretende ensayar nuevas formas de
enseñanza/aprendizaje que responden a las recientes directrices del espacio Europeo. El
proyecto está dirigido a potenciar la tarea del alumno a la hora de enfrentarse con un problema.
Se basa fundamentalmente en la creación de guiones que ofrezcan al alumno las pautas a seguir
a la hora de resolver problemas y que también le permitan realizar una auto-evaluación de los
resultados obtenidos.
Palabras claves: problemas, metodología activa, estadística, matemáticas.
Clasificación JEL (Journal Economic Literature): A22, C10, C60.
Área temática: Metodología y Didáctica de las Matemáticas aplicadas a la Economia y
la Empresa.
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1. INTRODUCCIÓN
Después de varios años enseñando Estadística Económica y Métodos
Matemáticos para la Economía I, II y III, los profesores notamos que los comentarios de
los estudiantes son repetitivos: “A mi las matemáticas no me van”. “Yo soy de letras”.
“Estoy perdido y no se por dónde empezar”. Aunque es verdad que todos nacemos con
habilidades y destrezas diferentes, también es verdad que la mayoría de personas
tenemos la capacidad de aprender cosas nuevas y adquirir destrezas que no teníamos
antes. En particular esto se aplica a los universitarios.
Nadie nace sabiendo tocar el piano, bailar un vals o pilotar un avión. Muchos de
nosotros no adquiriremos nunca estas destrezas. Pero la mayoría somos conscientes de
que podríamos adquirir estas destrezas si estuviéramos dispuestos a realizar el trabajo
necesario para aprenderlos. No todos podemos ser concertistas de piano, pero casi todos
podemos aprender unas cuantas canciones a base de lecciones y sobre todo práctica. Lo
mismo ocurre con las matemáticas. No todos podemos descubrir nuevas teorías
matemáticas, pero casi todos podemos aprender a utilizar herramientas matemáticas con
facilidad y confidencia.
Cuando alguien aprende por primera vez a bailar un vals, se siente confuso y
torpe. Están ocurriendo muchas cosas a la vez y es difícil saber por dónde empezar. Lo
mismo ocurre con las Matemáticas. Es por ello que resulta conveniente dividir el
proceso de aprender Matemáticas en pequeños trozos para luego juntarlos todos de
manera coherente.
El proyecto realizado en la Universidad de las Islas Baleares consiste en
descomponer la resolución de problemas de estadística en pequeñas destrezas y ofrecer
al alumno un guión que le permita enfrentarse a un problema de estadística con
confidencia y seguridad.
Para poder elaborar un guión para la resolución de problemas de estadística en
particular, hemos tenido que determinar en qué consiste la resolución de problemas en
general y elaborar un guión general para la resolución de problemas.
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2. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Cuando una persona desarrolla su habilidad de resolución de problemas, ¿qué
desarrolla primero? ¿el conocimiento conceptual?, ¿o el conocimiento procedimental?,
¿o se desarrollan ambos en armonía?
Este debate no es nuevo. Investigaciones realizadas recientemente muestran que
el conocimiento conceptual y procedimental parecen desarrollarse mano en mano. El
aumento de un tipo de conocimiento soporta el aumento del otro tipo, que a su vez
soporta un aumento en el conocimiento primero.
El conocimiento conceptual es flexible y no está ligado con un tipo específico de
problemas y por consiguiente se puede generalizar. Consiste en comprender los
principios que gobiernan un dominio y las interrelaciones entre las unidades de
conocimiento en un dominio.
El conocimiento procedimental es la habilidad de una persona para ejecutar una
secuencia de acciones que resuelvan un problema. El conocimiento procedimental está
ligado a un tipo específico de problemas y por consiguiente no se puede generalizar.
Existen diversas teorías acerca de las interrelaciones en el desarrollo del
conocimiento conceptual y del conocimiento procedimental. Las teorías basadas en
“primero los conceptos” consideran que las personas desarrollan primero el
conocimiento conceptual en un dominio y utilizan este conocimiento conceptual para
generar y seleccionar procedimientos para resolver problemas en ese dominio. Por otro
lado, las teorías basadas en “primero los procedimientos” sostiene que las personas
aprenden primero procedimientos para resolver problemas, y luego debido a la
repetición del proceso, extraen conceptos acerca del dominio.
El debate acerca de qué tipo de conocimiento se desarrolla primero no es el
objetivo de nuestro proyecto. Lo importante es el desarrollo gradual de ambos tipos de
conocimiento y de las interacciones que ocurren entre ambos durante el desarrollo. Ser
competentes en matemáticas requiere que las personas desarrollen y relacionen su
conocimiento de conceptos y su conocimiento de procedimientos, ya que un aumento en
un tipo de conocimiento conduce a un aumento del otro tipo de conocimiento, que a su
vez nos lleva a un aumento del primer tipo de conocimiento.
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2.1. El Espacio Europeo de Educación Superior
La llegada del Espacio Europeo de Educación Superior supone cambios
importantes en los estudios universitarios y nos obliga al rediseño inminente de las
asignaturas de los planes de estudios. Este nuevo diseño nos obliga a cambiar tanto los
contenidos como la metodología.
El proceso de autoevaluación y reflexión sobre la docencia resulta decisivo para
la mejora de la actividad académica. Generalmente, la impartición continuada de la
misma asignatura permite mejorar los aspectos técnicos: objetivos y contenidos de la
asignatura. Sin embargo, la metodología docente no ha variado.
El cambio de metodología promovido por la convergencia hacia un Espacio
Europeo de Educación Superior es uno de los temas que suscitan más discusión entre
los profesores universitarios. Los incondicionales del modelo tradicional argumentan
que el contexto universitario español, caracterizado por la masificación de alumnos, y la
propia mentalidad del estudiante, acostumbrado a representar un papel pasivo en el
aprendizaje, imposibilita la implantación del nuevo modelo de universidad española.
Por otro lado, los participantes en las actuales discusiones pedagógicas están de acuerdo
en que existen problemas de falta de interés, motivación y participación activa, por parte
de los alumnos, lo que disminuye el rendimiento académico.
Hasta ahora y siguiendo en la línea del modelo tradicional de enseñanza, la
mayoría de profesores universitarios de matemáticas consideramos que nuestra tarea
consiste en la transmisión de un conocimiento acabado y abstracto y por ello tendemos
a adoptar un estilo expositivo. Nuestra enseñanza está plagada de definiciones, en
abstracto, y de procedimientos algorítmicos. Sólo al final, y no siempre, aparece un
problema contextualizado como aplicación de lo que se ha aprendido en clase. Sin
embargo, si tenemos en cuenta el nuevo modelo de universidad, habrá que considerar
que el conocimiento matemático no es algo acabado sino algo en plena creación,
entonces ya no bastará con la exposición. Habrá que hacer partícipes a los alumnos de
su propio aprendizaje, los alumnos deberán participar en la construcción de su
conocimiento.
Está claro que debemos fomentar en los alumnos la capacidad de aprender a
aprender. Uno de los vehículos más asequibles para llevar a los alumnos a esta
habilidad, es la resolución de problemas. El objetivo final de que el alumno aprenda a
resolver problemas es que adquiera el hábito de plantear y resolver problemas como
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forma de aprender. Es por ello que planteamos la introducción de pequeños cambios en
la metodología docente para obligar al alumno a interpretar un papel más activo en su
proceso de aprendizaje mediante la resolución de problemas. La incorporación de
pequeñas experiencias innovadoras intenta demostrar que sí es posible realizar ciertas
acciones para promover un aprendizaje activo del estudiante a pesar de los
inconvenientes del contexto educativo en el que nos encontramos.
2.2 Esquema General para la Resolución de Problemas
Partimos de la base de que los objetivos de las asignaturas Estadística
Económica y Métodos Matemáticos I, II y III no consisten únicamente en asimilar
conceptos sino también en aprender procedimientos, que a su vez, nos permitan ampliar
los conceptos aprendidos.
Para poder asimilar conceptos y procedimientos es necesaria la práctica de los
mismos. Uno de los recursos básicos que se ha de dominar es la técnica de resolución de
problemas. La resolución de problemas sirve para apoyar los conocimientos teóricos y
mejorar su comprensión. Por ello, conviene no únicamente resolver los problemas
correctamente, sino aprender el método de trabajo utilizado. Pero aplicar el método no
es suficiente, también hay que presentar los resultados obtenidos de una manera
coherente.
A continuación presentamos información que hay que ofrecer al estudiante el
primer día de clase para que pueda desarrollar su capacidad de resolución de problemas
de una manera activa.
2.2.1. Guión general
A la hora de resolver problemas hay una serie de pasos que los profesores
realizamos instintivamente y que generalmente no transmitimos a los estudiantes. A
continuación presentamos una lista de pasos a seguir en la resolución de problemas
junto con algunos comentarios que pretenden ayudar a los estudiantes a llegar hasta la
solución.
1. Leer el enunciado. Apuntar todos los datos significativos que ofrece el
problema.
2. Leer el enunciado. Discernir qué es lo que pide el problema. Hacer un esquema
o dibujo del problema.
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3. Leer el enunciado. Situar el problema, determinar la fórmula a utilizar a partir de
los datos del problema.
4. Si creéis que falta información necesaria para resolver el problema, volver a leer
el enunciado tratando de encontrar algún dato que permita inferir esta
información. Si esta información no aparece puede ser debido a varias cosas:
•
el problema se puede resolver de una manera más simple que no requiera de
esa información;
• os habéis planteado más preguntas de las que en principio el problema
pretendía resolver;
• realmente el problema no puede ser resuelto sin esta información, que quizás
el profesor ha dado por supuesta. Incluir la información que consideréis
necesaria en forma de hipótesis. Debéis comprobar que las hipótesis son
coherentes y razonadas.
5. Resolver el problema, para ello buscar problemas similares ya resueltos, para
encontrar ideas que permitan vislumbrar el camino de la solución. Si es
necesario, acudir a los profesores, preferentemente en horas de tutorías. Una vez
obtenida la solución comprobar que es coherente con las condiciones del
enunciado.
6. Esto es probablemente lo más importante: debéis aprender algo en el tiempo que
habéis dedicado a resolver el problema. Debéis utilizar vuestra capacidad crítica
para analizar cómo habéis resuelto el problema, qué procedimiento habéis
utilizado, cómo se puede generalizar ése procedimiento, qué conceptos nuevos
habéis aprendido, …. Que los detalles coyunturales no os impidan ver las ideas
generales que habéis consolidado.
2.2.2 Presentación de Resultados
Además de aprender, tenéis que demostrarle al profesor que habéis aprendido.
Para ello, además de resolver el problema tenéis que presentar los resultados obtenidos.
Entre otras cosas, esto os ayudará en la realización de las pruebas individuales, que
representan un porcentaje importante de la nota. Presentar la solución no consiste sólo
en escribir símbolos y ecuaciones, sino también en escribir palabras. Las descripciones
verbales de lo que significan los símbolos y las ecuaciones son una parte importante de
la resolución. Al escribir la solución del problema, mejorará vuestra comprensión de lo
que estáis haciendo, ya que si no podéis escribir acerca de lo que habéis hecho entonces
no lo comprendéis, y si no lo comprendéis, lo más seguro es que lo resolváis
incorrectamente.
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A continuación encontraréis una serie de puntos que pueden ayudaros a plasmar
vuestras soluciones.
1. La solución de los problemas debe redactarse de forma clara, precisa y
completa: sin dejarse información importante. A veces una gráfica o una tabla o
un dibujo nos ahorran mil palabras.
2. La redacción debe mostrar la lógica de todo vuestro razonamiento y de los
métodos seguidos. Cuando argumentéis, debéis ser concienzudos: no os saltéis
pasos lógicos, escribir las frases enteras sin “comerse” el sujeto, las
conjunciones, el verbo, los signos de puntuación. Escribir toda la palabra, una
solución no es un mensaje SMS.
3. Leer de forma crítica vuestra redacción (preferiblemente al día siguiente).
Crítica quiere decir que os pongáis en la piel de la persona que ha de valorar lo
que habéis escrito. Podéis intercambiar problemas y criticar el del compañero.
2.3 Comentarios generales
A partir de lo que hemos observado en nuestros alumnos consideramos que las
dificultades a la hora de resolver problemas pueden ser las siguientes: a) dificultades
asociadas con el enunciado; b) dificultades asociadas con los conocimientos necesarios;
c) dificultades asociadas con el proceso de resolución; y d) dificultades asociadas con
las características del sujeto que se enfrenta al problema. Los profesores debemos
realizar un esfuerzo para minimizar estas dificultades y ayudar a los estudiantes a
superarlos.
En muchas ocasiones, hemos visto que enunciados de problemas, aparentemente
sencillos, resultaban complicados para los alumnos, y en consecuencia, era muy bajo el
porcentaje que respondía correctamente. La comprensión inicial del enunciado es
indispensable para su correcta resolución. Se pueden encontrar dificultades relacionadas
con la extensión total o con las diversas frases, con la complejidad gramatical, con el
vocabulario utilizado, etc. Los cambios de una sola palabra, pueden dificultar la
apropiación del problema por el estudiante, así como lo hacen la estructura de las frases,
o el uso de formas negativas. Los profesores debemos realizar un esfuerzo para
proporcionar al alumno un enunciado sencillo, comprensible y acertado. Hemos de
vigilar la redacción del enunciado cuidando la ambigüedad y la indefinición.
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Autores
Los profesores nos quejamos continuamente del insuficiente conocimiento
matemático con el que llegan los estudiantes a la universidad. Las deficiencias
matemáticas que presentan nuestros estudiantes de primer curso generan muchas
dificultades a la hora de resolver problemas. Este problema no tiene fácil arreglo sin un
esfuerzo considerable por parte de profesores y estudiantes.
El estudiante medio actual se caracteriza por su escasa motivación. Son pocos
los que manifiestan un entusiasmo claro por aquello que están aprendiendo. Muchas son
las razones que contribuyen a esta situación. Una de ellas la constituye la sensación de
que los conocimientos inherentes a la materia son inalcanzables. La motivación y el
rendimiento académico no son independientes sino existen influencias mutuas entre
ambos. La motivación es el desencadenante del esfuerzo necesario para el aprendizaje.
Una manera de motivar al estudiante es plantear un método de evaluación sugerente,
que proyecte una imagen de “esfuerzo asequible” al estudiante.
3. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA
Ahora que ya tenemos un guión establecido para la resolución de problemas en
general, vamos a particularizar para la resolución de problemas en la asignatura
Estadística Económica.
3.1 Estadística Económica: la asignatura
Tabla 1 ofrece una breve descripción de la asignatura. La carga lectiva es de seis
créditos, estructurándose en dos clases semanales de dos horas de duración. De los seis
créditos que tiene la asignatura, nosotros, los profesores del Departamento de Ciencias
Asignatura:
Estudios:
Centro:
Curso:
Cuatrimestre:
Carácter:
Créditos:
Descriptores BOE:
Nº de
alumnos:
ESTADÍSTICA ECONÓMICA
LICENCIADO EN ECONOMÍA
LICENCIADO EN ADMINISTRACIÓN
Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS
FACULTAD DE ECONOMÍA
1º
2º
TRONCAL
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Estadística descriptiva. Probabilidad.
Inferencia estadística
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Tabla 1.
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Descripción de la asignatura
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Matemáticas e Informática, tan sólo impartimos cuatro créditos que corresponde a la
parte de probabilidad y estadística inferencial.
3.2 Estadística Económica: el programa
A continuación presentamos el programa abreviado con los temas de la
asignatura.
1. Cálculo de Probabilidades.
2. Variables Aleatorias Discretas. Distribuciones Discretas de Probabilidad.
3. Variables Aleatorias Continuas. Distribuciones Continuas de Probabilidad.
4. Distribuciones Conjuntas de Probabilidad.
5. Estimación de Parámetros.
6. Contraste de Hipótesis.
3.3 Guiones para la resolución de problemas de estadística
A la hora de elaborar guiones que faciliten la tarea del alumno nos hemos
encontrado con una dificultad. No ha sido posible generar un único guión para todos los
tipos de problemas que podemos encontrar en estadística. Al final se han generado 4
guiones que complementan al esquema general para la resolución de problemas: a)
guión para la resolución de problemas de probabilidad (tema 1); b) guión para la
resolución de problemas de variable aleatoria (temas 2, 3 y 4); c) guión para la
resolución de problemas de estimación puntual y estimación por intervalo (tema 5); y d)
guión para la resolución de problemas de contraste de hipótesis (tema 6).
Nuestra experiencia nos indica que la principal dificultad con que se encuentran
los estudiantes es que no saben por dónde empezar. Por ello, lo que hemos hecho ha
sido detallar el apartado 1 del guión general de resolución de problemas para que el
alumno sepa identificar los datos significativos que le permitan resolver los problemas
de estadística. El primer apartado de los cuatro guiones viene detallado a continuación.
3.3.1 Guión para la resolución de problemas de probabilidad
1. Leer el enunciado. Apuntar todos los datos significativos que ofrece el
problema. En particular:
•
Determinar el experimento aleatorio del que nos habla el problema.
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•
Determinar los sucesos relevantes del experimento aleatorio.
•
Determinar las probabilidades asociadas a los sucesos. ¡Ojo con las
probabilidades condicionales!
3.3.2 Guión para la resolución de problemas de variable aleatoria
1. Leer el enunciado. Apuntar todos los datos significativos que ofrece el
problema. En particular:
•
Determinar la variable aleatoria del que nos habla el problema.
•
Determinar el tipo de variable aleatoria y los valores que ésta puede
tomar.
•
Determinar el tipo de distribución que sigue la variable aleatoria.
3.3.3 Guión para la resolución de problemas de estimación puntual y estimación por
intervalo
1. Leer el enunciado. Apuntar todos los datos significativos que ofrece el
problema. En particular:
•
Determinar la variable que se quiere estimar.
•
Determinar el estimador que se utiliza para estimar la variable.
•
Determinar la distribución que sigue el estimador.
3.3.4 Guión para la resolución de problemas de contraste de hipótesis
1. Leer el enunciado. Apuntar todos los datos significativos que ofrece el
problema. En particular:
•
Determinar el parámetro sobre el cual se realiza el contraste.
•
Determinar la hipótesis nula y la hipótesis alternativa para el parámetro.
•
Determinar información adicional necesaria para la resolución del
problema: tipo de población, tamaño de la muestra, ….
4. CONCLUSIONES
La resolución de problemas en general, y de problemas de estadística en
particular, es un proceso complejo para el que, desgraciada o afortunadamente (según se
mire), no hay reglas fijas ni resultados teóricos que garanticen un buen fin en todas las
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ocasiones. Si hay algo que ayuda a llevar a buen puerto la resolución de un problema es
el orden. Por ello, hay que ser metódico y habituarse a proceder de un modo ordenado
siguiendo unas cuantas fases en el desarrollo de dicha resolución.
La efectividad en la resolución no sólo depende de los conocimientos básicos,
sino también de un procedimiento adecuado que incluye la redescripción del problema
original, de tal forma que facilite la búsqueda de una solución. Para que los
conocimientos que posee el alumno le sirvan para resolver problemas exitosamente,
deben haber sido aprendidos significativamente. Además, se deben aprender
determinadas habilidades y estrategias. Sobre todo se debe entrenar a los alumnos a
relacionar conceptos e interpretar problemas.
Creemos que el desconcierto casi general, que ha generado la resolución de
problemas, se debe a la falta de costumbre del estudiante para enfrentarse con un
enunciado, como así también a un insuficiente conocimiento matemático. Para
facilitarles la tarea, ofrecemos al estudiante guiones que le encaminen hacia la solución
correcta.
5. AGRADECIMIENTOS
La autora desea agradecer al Dr. Antonio Teruel y al Sr. Javier Martín su
inestimable ayuda en la realización del proyecto. Sus comentarios, tanto positivos como
negativos, sus enormes ganas de trabajar y probar cosas nuevas me han facilitado la
tarea.
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARÁ, J y VALERO, M. (2005). “Taller de formación: Aprendizaje basado en
proyectos”. Projecte d’Ajut a la Docència Universitària (PADU).
LEE, K.L. et al. (1996). “Cognitive Variables in Problem Solving in Chemistry: a
Revisited Study”. Science Education, volume 80, number 6, pp 691-710.
POZO, J.I. et al. (1994). “La Solución de Problemas”, Aula XXI, Santillana.
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Autores
RITTLE-JOHNSON, B.; SIEGLER, R.S. y ALIBALI, M. (2001). “Developing
conceptual understanding and procedural skills in mathematics: an iterative process.
Journal of Educational Psycology, volume 93, issue 2, pp 346-362.
SANCHEZ JIMENEZ, J.M., (1995). “Comprender el enunciado. Primera dificultad en
la resolución de problemas”. Alambique. Didáctica de las ciencias experimentales,
número 5, pp 37-45.
WITTROCK, M.C. (1986). “Procesos del pensamiento de los alumnos”. La
investigación de la enseñanza III: Profesores y alumnos, pp 544-585, Paidós.
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