Recta que pasa por dos puntos

Departamento de Matemáticas
Recta que pasa por dos puntos. Pendiente de la recta.
Dados dos puntos de una recta A(x1, y1) y B(x2, y2) la ecuación de la recta que pasa por A y B
y −y
es r : y − y1 = m ( x − x1 ) , siendo m la pendiente de la recta m = 2 1 .
x 2 − x1
y
r
B
y2
A
y1
x
x1
x2
6 − ( −2 ) 8
= = 2 ⇒ y + 2 = 3(x − 1) ⇔ y = 2x − 4
5 −1
4
La 1ª forma se llama punto-pendiente y la 2ª explícita. De ésta última es como más
acostumbrado estás a escribir la recta, y de hecho, es como sabías hacerlo (recuerda la
interpolación lineal). Mira:
r : y = mx + n,
Ejemplo: A(1, −2), B(5, 6) ⇒ m =
A (1, −2 ) ∈ r ⇒ −2 = m ⋅1 + n ⎫⎪
m + n = −2 ⎪⎫
⎬⇔
⎬
5m + n = 6 ⎪⎭
B ( 5, 6 ) ∈ r ⇒ 6 = m ⋅ 5 + n ⎪⎭
Resolviendo el sistema: se obtiene m = 2, n = −4 ⇒ y = 2x − 4 .
La pendiente de una recta mide su grado de inclinación.
α
α
.
m=0
α=0º
m>0
0º<α<90º
m<0
90º< α<180º
La pendiente de la recta se define como la tangente del ángulo que forma la recta con
el eje de abscisas.
Recuerda que la tangente de un ángulo agudo es el cociente del cateto opuesto y el
cateto contiguo.
c
b
α
tgα =
b
a
a
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La trigonometría establece que
si 0º < α < 90º ⇒ tgα > 0
⇒ tgα = 0
si α = 0º
si 90º < α < 180º ⇒ tgα < 0
Pendiente de una carretera.
En las carreteras la inclinación se mide en %. ¿Qué significa? Pues una pendiente del 12%
significa que si recorrieras 100 metros en horizontal ascenderías 12 metros. Es otra forma de
medir la inclinación de la carretera.
¿Cómo se relacionan ambas: % y ángulo?
• Conocida la pendiente en %, calcula el ángulo
12
α
12
= 0,12 ⇒
100
α = arctg0,12 ≈ 6,8º
tgα =
100
• Conocido el ángulo, calcula la inclinación en %.
Si el ángulo que forma la carretera con la horizontal fuera de α = 12º , ¿Qué % de
inclinación tendría?
p
12º
p
⇒ p = 100 ⋅ tg12º ⇒
100
p ≈ 21,3%
tg12 =
100
Resumiendo: si α es el ángulo que forma la carretera con la horizontal y p es la pendiente de
p
.
la carretera, medida en %, ambas magnitudes se relacionan mediante la fórmula tgα =
100
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TASA DE VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN.
Considera el ejemplo que dimos en clase y luego el caso general de un función y=f(x).
La evolución de los precios de cierto producto a lo largo de una serie de años es la siguiente:
Precio (€)
10 18 24 28 30 30 28 24
Años transcurridos
1
2
3
4
5
6
7
8
Tasa de variación en el intervalo [1,4]: 28-10=18 €
Tasa de variación en el intervalo [2,6]: 30-18=12 €
Tasa de variación de y=f(x) en [a,b]: f(b)-f(a)
TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN
28 − 10 18
= = 6 €/año
4 −1
3
30 − 18 12
= = 3 €/año.
Tasa de variación media en el intervalo [2,6]:
6−2
4
Tasa de variación media en el intervalo [1,4]:
f (b) − f (a)
.
b−a
Se interpreta como la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)).
Tasa de variación media de y=f(x) en [a,b]:
y=f(x)
s
B
f(b)
A
f(a)
α
a
b
Si en vez de b escribimos a+h,
la tasa de variación media de y=f(x) en [a, a+h] será
y=f(x)
s
B
f(a+h)
A
f(a)
α
a
a+h
3
f (a + h) − f (a)
h
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TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA DE UNA FUNCIÓN.
Si reducimos el intervalo [a, a+h] tanto como queramos ⇔ h → 0 , la tasa de variación media
pasa a ser tasa de variación instantánea.
f (a + h) − f (a)
’ y a este límite se le denomina
lim
h →0
h
derivada de la función y=f(x) en el punto de abscisa x=a. y
f (a + h) − f (a)
se escribe f '(a) = lim
h →0
h
¿Cómo se interpreta?
Interpretación geométrica
Como la pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto A(a,f(a)).
y=f(x)
s
B
t : y − f (a) = f '(a)(x − a)
f(a+h)-f(a)
α
t
A
h
α
Interpretación cinemática.
Sea f (x) = 5x 2 , la función que representa el espacio recorrido (medido en metros) f(x) al
cabo de x segundos.
Tabla:
x
1
2
3
4
5
6
7
Tiempo
Espacio
f(x)
5
20 45 80 125 180 245
La tasa de variación en [2,4] es 80-20=60 metros
80 − 20
La tasa de variación media en [2,4] será
= 30 metros por segundo, es la velocidad
4−2
media del móvil entre los tiempo 2’ y 4’.
La derivada de la función en x=2 ó tasa de variación instantánea en [2,2+h], con h → 0 será
f (2 + h) − f (2)
f '(2) = lim
será la velocidad del móvil en el instante x=2.
h →0
h
4