A los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no

Instituto Raúl Scalabrini Ortiz
Matemática 4º Año
Números Irracionales
Los griegos eran conocedores de los números naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5,....
Estos números son los que se utilizan para numerar o contar, pero no nos
sirven si queremos expresar cantidades no exactas, como "la mitad de una
cosa", "la cuarta parte", etc, es decir, fracciones de cosas.
No obstante, también eran capaces de expresar ese tipo de cantidades,
utilizando un cociente o razón entre dos números naturales,
4 8 3 23
, , , , etc.
5 6 2 7
Eran los llamados números racionales, únicos cuya existencia era razonable.
Además, cualquier número natural se puede escribir como si fuera racional:
4=
4
5
7
, 5= , 7=
1
1
1
y así con cualquier número.
Por lo tanto, si todos los números son racionales, todos los números se
tendrían que poder expresar como un cociente entre otros dos.
Pero entonces, encontraron el número de oro. Y fueron incapaces de encontrar
dos números que al dividirlos de el valor exacto de Phi. Se podían aproximar
mucho, muchísimo, pero nunca llegar exactamente al valor de Phi.
¿Por qué? Es sencillo. Al dividir dos números naturales, llega un momento,
antes o después, que la división acaba, aunque obtengas muchos decimales.
Ahora bien, existen números que no es que tengan muchos decimales, ¡es que
tienen infinitos!, nunca se acaban sus decimales, así que no se pueden
expresar como cociente de dos números naturales. Los pitagóricos habían
encontrado uno de ellos, nuestro Phi. Los llamaron números irracionales.
Al final de estos números se suelen colocar puntos suspensivos (...) para
indicar que nunca puedes encontrar el último decimal, siempre hay otro detrás.
Observa varios ejemplos:
3,010011000111000011110000011111...
23,12345678910111213141516171819...
3,14159265359... ¿Te suena? Este irracional se llama Phi.
4,101101110111101111101111110...
Otro ejemplo, es el número que aparece al querer resolver la raíz cuadrada de
2 por ejemplo:
, encontraremos una respuesta decimal
1,4142135623730950488016...... que como vemos será infinita y en la cual no
encontramos ninguna relación ni periodo definido. Por lo tanto
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no es un número racional, es decir no se puede expresar como cociente
de dos números enteros ni por tanto como decimal exacto o periódico, es un
ejemplo de número irracional.
Además de esta, todas las raíces cuadradas que no sean exactas son también
números irracionales: la de 3, la de 5, etc.
Si representamos los números en un diagrama tendríamos:
Los números racionales y los irracionales forman el conjunto de los números
reales y se designa con la letra R. Los números reales se representan todos
sobre una recta y la llenan por completo, por eso se le denomina recta real.
R=QUI
El Conjunto Q de los números racionales es el conjunto de los enteros, más los
fraccionarios y los decimales periódicos.
El Conjunto I de los irracionales es el conjunto de los números decimales de
infinitas cifras no periódicas.
Ejercicio:
Indicar V o F y justificar
a) La longitud de la diagonal de un rectángulo de lados 3 y 4 es un número
racional.
b)
= 1,41
c) π < 3,1416
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d) Las raíces de índice par de números naturales impares son números
irracionales
e) La ecuación x2 – 4 = 0 tiene raíces reales.
Ubicación en la recta numérica
Para ubicar los números irracionales en la recta numérica debemos utilizar el
teorema de Pitágoras.
Por ejemplo para ubicar 2 , se construye un triángulo rectángulo cuyos
catetos sean la unidad, así obtendremos como hipotenusa del triángulo 2 ,
x2 = 12 +12
x = 12 + 12
x =
2
Luego con el compás haciendo centro en 0 y como radio la hipotenusa del
triángulo, marcamos sobre la recta
Para ubicar
2.
3 tomamos un triángulo rectángulo cuyos catetos sean
2 y 1, y
por Pitágoras:
x2 = ( 2 )2 +12
x=
x =
( 2)
2
+ 12 = 2 + 1
3
Luego con el compás haciendo centro en 0 y como radio la hipotenusa del
triángulo, marcamos sobre la recta
3.
El conjunto de los números racionales e irracionales se llama conjunto de
números reales y se lo designa con la letra R
El conjunto de los números reales:
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•
Es un conjunto infinito, no tiene ni primero, ni último elemento.
•
Es un conjunto totalmente ordenado, dados dos números reales
distintos, siempre se puede establecer entre ellos una relación de menor
a mayor.
•
Los números reales completan la recta, esto significa que a cada
número real le corresponde un punto en la recta numérica y a cada
punto de la recta numérica le corresponde un número real.
Ejercicio:
Indicar V o F y justificar
f) La longitud de la diagonal de un rectángulo de lados 3 y 4 es un número
racional.
g)
= 1,41
h) π < 3,1416
i) Las raíces de índice par de números naturales impares son números
irracionales
j) La ecuación x2 – 4 = 0 tiene raíces reales.
Resolver los
ejercicios (1) al (4)
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RADICALES
Se llama así a las expresiones formadas por el signo radical y una expresión
numérica o literal debajo del mismo.
Ejemplo: -
1
a
2
5x 2
Radical:
5x 2
Coeficiente: -
1
a
2
Simplificación de radicales:
Trabajaremos solo con números reales positivos; pues si consideramos
(−5) 2 = -5
es una contradicción pues
(−5) 2 =
25 = 5
Entonces aclarado esto diremos que trabajando con reales positivos; los
radicales se pueden simplificar cuando:
a) el exponente y el índice son iguales
b) el exponente y el índice son múltiplos de un mismo número
Ejercicios: Simplificar los siguientes radicales
a)6 52 = 3 5
b)3 2 6 = 2 2
c)11 c 22 = c 2
d ) − 6 36 = −3
e )8 7 8 = 7
f )35 87 = 5 8
Extracción de factores del radical:
Para extraer términos de un radical tenemos que tener en cuenta que, solo
pueden salir fuera del radical aquellos términos que el exponente sea igual o
mayor que el índice de la raíz (tener en cuenta que los números enteros a
veces se pueden factorizar y sacar del radical después de factorizarlos).
Ejemplos:
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1) a 5 = a 2 .a 2 .a = a 2 . a 2 . a = a.a. a = a 2 . a
2)3 81 = 3 3 4 = 3 33.3 = 3 33 .3 3 = 3.3 3
3)5 b18 .c 29 = 5 b 5 .b 5 .b 5 .b 3 .c 5 c 5 c 5 .c 5 .c 5 .c 4 = b 3 .c 5 .5 c 4
c17 4 c 4 .c 4 .c 4 .c 4 .c
c4 4 c
4) 21 =
.
=
d
d 4 .d 4 .d 4 .d 4 .d 4 .d d 5 d
4
5)5 486.b 9 = 5 2.35.b 5 .b 4 = 3.b.5 2.b 4
REGLA PRÁCTICA:
Para sacar un término de un radical se DIVIDE el exponente del radicando
por el índice de la raíz y se saca fuera elevado al cociente y queda dentro
elevado al resto.
Introducción de factores al radical:
Como su nombre indica, es el proceso inverso a la extracción y para ello basta
MULTIPLICAR el exponente de cada factor de fuera de la raíz por el índice de
la raíz y sumarle el exponente de los factores de dentro de la raíz si los
hubiera.
Ejemplos:
a)4. 3 = 42.3 = 16.3 = 48
b)3.a 2 .5 a 2 = 5 35.a10 .a 2 = 5 35.a12
Resolvé los
ejercicios (5) y (6)
Raíz de otra raíz
Pasos a seguir:
1. Se multiplican los índices.
2. Se introducen los radicales si es necesario.
3. Se factorizan los números.
4. Se extraen los factores que se puede.
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Operaciones con Radicales:
Adición y Sustracción de Radicales
Podemos sumar y restar números irracionales solamente cuando el radical que
tengamos sea el mismo en los términos que me dispongo a sumar y restar; es
decir que sean semejantes.
Lo explicaremos mejor mediante ejemplos:
Suma y resta de radicales
Recordar que: en todo radical tenemos que tener en cuenta el número que va
delante de la raíz que se llama COEFICIENTE, lo que hay después del
coeficiente se llama PARTE RADICAL y para sumar o restar basta sumar o
restar los coeficientes y poner la misma parte radical (semejantes).
Ejemplos:
a) 3 2 +5 2 -
2 =
En este caso se me pide realizar una operación combinada de suma y resta
3 2 +5 2-
b) 3.
c) −
3
7 -8
3
2 = (3 + 5 – 1)
7+4
2
6 = ( 3 – 8)
3
7 + (4 –7)
6=-5
3
7 -3
6
14
3
3
3
5.b + 4 3.b − 4 5.b + 1 = − 2.4 5.b + 4 3.b + 1
2
4
2
4
d) 6.5 7.c 2 − 83 7.c 2 +
e)
6 -7
2 =7
33
13
7.c 2 − 7 = 6.5 7.c 2 − 3 7.c 2 − 7
2
2
48 + 20 − 147 + 320 =
2 4 .3 + 2 2 .5 − 7 2 .3 + 2 6 .5 =
= 2 2. 3 + 2. 5 − 7. 3 + 2 3 5 = 4. 3 + 2. 5 − 7. 3 + 8 5 = − 3. 3 + 10. 5
Resolver los
ejercicios (7) y (8)
Multiplicación y División de Radicales:
Pueden presentarse dos casos:
I) Los radicales tienen el mismo índice:
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Pasos a seguir:
1. Se multiplican los signos.
2. Se multiplican los coeficientes.
3. Se multiplica la parte radical, colocando todo bajo un mismo radical.
4. Se multiplican los radicandos como potencias de la misma base, es
decir sumando los exponentes.
5. Se extrae lo que se pueda del radical.
Ejemplos:
a ) 2.x . xy =
2.x.x. y = 2.x 2 . y = x. 2. y
b)3 5.b 2 .3 5.b .3 5.c 2 = 3 5.b 2 .5.b.5.c 2 = 3 53.b 3 .c 2 = 5.b.3 c 2
c)3 64.c 7 : 3 16.c 2 = 3 64.c 7 : (16.c 2 ) =
3
3
64.c 7 : (16.c 2 ) =
4.c 5 = c.3 4.c 2
d ) 4 x 2 .z 3 : 4 z =
4
x 2 .z 3 : z =
4
x 2 .z 2 =
x .z
II) Los radicales tienen diferente índice:
Pasos a seguir:
1. Se halla el m.c.m. de los índices y se pone el común.
2. Este índice se divide entre cada índice de la raíz y el resultado lo
elevamos al radicando.
3. Se resuelven los radicandos como potencia de otra potencia, es decir
multiplicando los exponentes.
4. Se multiplican los radicandos como potencias de la misma base, es
decir sumando los exponentes.
5. Se extrae lo que se pueda del radical.
Ejemplos:
a ) 3.5 2.a 2 .4 3.a 3 =
m.c.m. (2;5;4) = 20
3 ⇒ 20 : 2 = 10 ⇒ 20 310
5
2.a 2 ⇒ 20 : 5 = 4 ⇒ 20 2 4.(a 2 ) 4 = 20 2 4.a 8
4
3.a 3 ⇒ 20 : 4 = 5 ⇒ 20 35.(a 3 ) 5 = 20 35.a15
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3.5 2.a 2 .4 3.a 3 =
20
310
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.
20
2 4.a 8
.
20
35.a15 = 20 310.2 4.a 8 .35.a15
= 20 315.2 4.a 23 = a.20 315.2 4.a 3
b) 6.b.x : 7 b 3 .x =
m.c.m. (2;7) = 14
6.b.x ⇒ 14 : 2 = 7 ⇒ 14 6 7.b 7 .x 7
7
b 3 .x ⇒ 14 : 7 = 2 ⇒ 14 (b 3 ) 2 .x 2 = 14 b 6 .x 2
6.b.x : 7 b 3 .x =
= 14 6 7.b .x 5
14
6 7.b 7 .x 7 : 14 b 6 .x 2 = 14 67.b 7 .x 7 : (b 6 .x 2 )
Resolver el
ejercicio (9)
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RACIONALIZAR
Se llama así al proceso por el cual se convierte un denominador irracional en
otro racional. Es decir, consiste en hacer desaparecer la raíz del denominador.
Se presentan diferentes casos:
I) Racionalización de radicales con un solo radical en el denominador
a) Una raíz cuadrática
Procedimiento:
Se debe multiplicar ambos elementos de la razón (numerador y denominador)
por la raíz que figura en el denominador:
Ejemplo:
3
7
3
=
7
.
7
7
=
3. 7
( 7)2
=
3. 7
7
b) Una raíz no cuadrática:
Procedimiento:
Se deben multiplicar ambos elementos de la razón (numerador y denominador)
por una raíz del mismo índice que la del denominador y tal que su radicando
sea el más conveniente para poder simplificar la raíz y obtener el número
racional deseado.
Ejemplo:
a)
b)
c)
5
3
b2
=
2.a 2 .t
5
4
a .t
1
5
a
6
2
=
3
5
3
=
b2
b 5.3 b 5.3 b 5.3 b
=
=
=
2
3
3
3
b
b
b .b
b
2.a 2 .t
5
4
a .t
2
.
5
a.t 3
5
3
a.t
2.a 2 .t.5 a.t 3
=
5
a 5 .t 5
2.a 2 .t.5 a.t 3
=
= 2.a.5 a.t 3
a.t
a4
= 5 .
=
=
= 2
5
4
4
5
5
5
5
a
a
a
a .a
a
a. a.a
a a
1
5
.3
1
5
a4
5
a4
5
a4
5
II) Racionalización de denominadores con dos radicales
Pueden ser un radical cuadrático y un término independiente o dos radicales
de índice 2.
Pasos a seguir:
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1. Se multiplica el numerador y el denominador por el binomio
CONJUGADO, del denominador. El conjugado es el denominador con
el segundo término cambiado de signo. ( Deben tener iguales los
primeros términos y opuestos los segundos)
2. El numerador se resuelve con aplicando la propiedad distributiva.
3. El denominador al multiplicar por el conjugado siempre nos da el
producto de la suma por la diferencia o lo que es lo mismo el cuadrado
del primero menos el cuadrado del segundo, que es una diferencia de
cuadrados.
Ejemplo:
5.a 2 .c
5.a 2 .c ( 7 + a) 5.a 2 .c.( 7 + a) 5.a 2 .c.( 7 + a)
=
= 2 2
a)
=
.
2
7 − a2
7 − a ( 7 − a) ( 7 + a)
( 7) − a
b)
4 .b 3 .t
=
b+ t
4 .b 3 .t
.
b+ t
(
(
b−
b−
)
(
)
) ( ) ( )
(
t
4 .b 3 .t b − t
4 .b 3 .t b −
=
=
2
2
b−t
t
b − t
t
Resolver los
ejercicios (10) al (18)
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)