Ejemplos de Integrales triples extendidas a regiones mas

Ejemplos de Integrales triples extendidas a regiones mas generales
Ejemplo 1.- La figura siguiente muestra la región de integración para la integral
Z 1 Z 1 Z 1−y
dzdydx
√
0
x
0
Vuelva a escribirla como una integral iterada equivalente en los otros cinco ordenes.
Solucion.-Para esto nos vamos a fijar en la proyección de la superfı́cie en el plano XY
Vista como una región tipo II tenemos
0≤y≤1 y
0 ≤ x ≤ y2
1
y
0≤z ≤1−y
∴ La integral
R 1 R 1 R 1−y
0
√
x
0
dzdydx con cambio de orden de integración en XY queda asi:
1
Z
Z
y2
1−y
Z
dzdxdy
0
0
0
Vamos a fijarnos ahora en la proyección de la superfı́cie en el plano XZ
Vista como una región tipo I tenemos
0≤z≤1 y
0 ≤ x ≤ (1 − z)2
y
√
x≤y ≤1−z
∴ La integral con cambio de orden de integración en XZ queda asi:
1
Z
(1−z)2
Z
0
Z
1−z
√
0
dydxdz
x
Vista como una región tipo II tenemos
0≤x≤1 y
√
0≤z ≤1−
x y
√
x≤y ≤1−z
∴ La integral con cambio de orden de integración en XZ queda asi:
Z
0
1
Z
0
√
1− x
Z
1−z
√
dydzdx
x
Vamos a fijarnos ahora en la proyección de la superfı́cie en el plano YZ
2
Vista como una región tipo I tenemos
0≤y≤1 y
0≤z ≤1−y
y
0 ≤ x ≤ y2
∴ La integral con cambio de orden de integración en XZ queda asi:
1
Z
1−y
Z
Z
y2
dxdzdy
0
0
0
Vista como una región tipo II tenemos
0≤z≤1 y
0≤y ≤1−z
y
0 ≤ x ≤ y2
∴ La integral con cambio de orden de integración en XZ queda asi:
Z
1
Z
1−z
Z
y2
dxdydz
0
0
0
3