Visualización de puntos óptimos factibles en superficies

REVISTA NATURALEZA Y TECNOLOGIA
UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO
NO 1, MAYO DEL 2013
04-2013-050913451000-20
Visualización de puntos óptimos factibles en superficies tridimensionales
usando funciones difusas
Visualization of optimal feasible values in a three dimensional set, by
fuzzy functions
Héctor Ismael Olmos Castillo
Departamento de Ingeniería Química, Universidad de Guanajuato, Col. Noria Alta S/N, Guanajuato, Gto.
México 36050 olmoshi@ugto.mx
Abstract
A fuzzy switch type activation function is employed on two variable constrained optimization
problems in order to discriminate feasible from unfeasible constrained regions; Fuzzy switch
defines boundaries of the constrained sets. The tasks are performed in order to visualize for
educative purposes, a 3 dimensional surface and their optimal values. Operations are performed for
linear or non linear two variable constrained optimization problems, convex or non convex sets as
well for pattern generation that are useful in procedures of graphic identification (for instance
characters or smiling).
Resumen
Se emplea una función de activación tipo conmutador difuso, para discriminar en problemas
de optimización constreñida de dos variables, la región factible de la inviable. Las tareas se realizan
con propósitos educativos, a fin de que el estudiante visualice en una superficie de 3 dimensiones,
los valores óptimos tanto numéricos como gráficos. Esto se aplicaría de manera general para
problemas lineales como no lineales, convexos o no convexos y para la generación de patrones de
utilidad en las tareas de identificación gráfica.
Introducción
La solución de los problemas de optimización
constreñida es de gran utilidad pues
prácticamente todos los sistemas en la vida
real
tienen
limitaciones
físicas
u
operacionales. La representación gráfica de
las funciones es una herramienta de apoyo
didáctico, pero solo puede efectuarse en dos y
tres dimensiones, para el caso de
optimización restringida se usarían la
representación en tres dimensiones. La lógica
difusa propuesta por (Zadeth Lofti, 1965) es
una estrategia de cómputo que permitiría
hacer conjuntos de funciones con zonas de
transición y a partir de ella definir zonas
factibles de solución de problemas de
optimización, conviene entonces definir las
operaciones lógicas básicas de los conjuntos
difusos que ayudaran a construir dichas
zonas. Cada uno de los conjuntos difusos para
las operaciones lógicas tiene solo valores
entre cero y uno.
* Operaciones lógicas difusas
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De acuerdo con Wesley 1997, Las
operaciones lógicas de conjuntos difusos son
AND OR y NOT y se definen de la siguiente
manera. La operación AND es el valor
mínimo entre varias funciones lógicas que se
comparan. La operación OR es el valor
máximo entre varias funciones que se
comparan y la operación NOT es 1 menos la
función original.
Operación AND difusa
Operación OR difusa
Operación NOT difusa
*Funciones de activación
De acuerdo con Wesley Hines. Las funciones
de activación más comunes son
al valor de uno, en el límite de comparación
la función vale 0,
a) El switch lógico.- es aquella función que
inmediatamente en el límite de comparación
la salida pasa de cero lógico a uno lógico o
viceversa,
c) el switch lógico difuso es aquella función
que paulatinamente pasa del valor de cero
lógico al uno lógico, en el límite de
comparación la función vale 0.5; en este
artículo nos referiremos a esta última
únicamente, en las referencias se le nombra
como función logística.
b) función sigmoidal.- es una función que
paulatinamente pasa del valor de menos uno
Función logística
La función logística tiene dos parámetros
importantes el valor de referencia x y el
factor de difusión s, entre más pequeño sea el
factor de difusión s más se parecerá la
función logística a una función switch lógico,
esta aseveración se ilustra con la figura 2.
1.5
1
Salida
1
Salida
0.8
0.6
X<3
X>3
0.5
X<3
X>3
0
0.4
0.2
s=0.1
0
-0.2
-10
-0.5
-10
s=1
-5
0
X
X
-5
0
5
10
s=0.01
5
10
Figura 2: El factor de difusión influye en la
suavidad de la curva
Figura 3 En la función logística 40
cuando el
valor es mayor de 0.5 X es mayor que el
valor de referencia, en este caso x de
referencia es 3
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La función de activación se puede manejar
como un elemento indicativo de restricción,
cuando los valores de la función de activación
son mayores de 0.5 la variable independiente
es mayor de la x de referencia, y si los valores
de la función de activación son menores a 0.5
la variable independiente es menor x de
referencia, como también se ilustra en las
figura 2, con un valor de s=0.001.
Restricciones de dos variables
La desigualdad
Figura 5.- La negación difusa de fL, tiene como
significado un cambio en el sentido de la
desigualdad original.
Convergencia de restricciones
Figura 4, Una f(x,y)>3, es la porción de la
función logística fL en color rojo y verde.
La convergencia de varios restricciones en el
problema de restricción constreñida se logra
con la operación AND difusa, por ejemplo si
x1+x2>3 x1-x2<8, x1>5 y x1+x2<30;
F1=1./(1+exp(-(x1+x2-3)/0.001));
La desigualdad
F2=1-1./(1+exp(-(x1-x2-8)/0.001));
F3=1./(1+exp(-(x1-5)/0.001));
Es la negación de la función original o sea.
F4=1-1./(1+exp(-(x1+x2-30)/0.001));
% La operación lógica AND de todas las
restricciones
A1=min(F1,F2);
A2=min(F3,F4);
S=min(A1,A2);
% Gráfico en superficie
mesh(x1,x2,S)
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Figura 6.- Area donde convergen todas las
restricciones
% Gráfico en curvas de nivel
contour(x1,x2,S)
Figura 7.- Area restringida en curvas de nivel
Es posible también usar campos difusos para
identificación de patrones, por ejemplo las
cámaras fotográficas los usan para identificar
rostros y cuando esos rostros están sonriendo.
Los sistemas OCR los usan para identificar
caracteres y poder tener la posibilidad de
poder transformar un texto escrito a mano, a
un documento de texto en formato
electrónico.
Casos de estudio
Los siguientes casos de estudio son basados
en la plataforma de MATLAB
a) Problema de optimización.
graficarían los valores, hay dos
posibilidades de graficación. 1.- En una
superficie de tres dimensiones y 2.- En
una gráfica donde se indiquen las curvas
de nivel. El color rojo indica el nivel más
alto y el azul el más bajo.
La función objetivo multiplicaría a la
función restricción resultante y se
x=[0:0.1:20]
y=x'
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X=ones(size(y))*x
Y=y*ones(size(x));
Z=8*X.*sin(X)+tan(Y)+cos(X.*Y)
%gráfica de la función sin restricciones
mesh(X,Y,Z)
Figura 9.- Gráfica del espacio constreñido
% Graficación de la función a optimizar
dentro del espacio constreñido
Figura 8 Función no linear sin restricciones
mesh(X,Y,R.*Z);
% Construcción de las restricciones
S=0.0001;
R1=1-1./(1+exp(-(X+5*x+8*x*y-80)./s));
R2=1./(1+exp(-(X-3*Y+X.*Y+40)./s));
R3=1-1./(1+exp(-(2*X+5*Y+X.*Y35)./s));
% La restricción de X,Y>0 se contempló
en la definición de X eY
Figura 10.- Superficie de la función
dentro del espacio constreñido
R=min(R1,R2);
R=min(R,R3);
%Graficación del espacio constreñido
mesh(X,Y,R)
%Graficación de la función a optimizar
dentro del espacio contreñido en curvas
de nivel
Con áreas de niveles coloreados
contourf(X,Y,R.*Z);
curvas de nivel
contour(X,Y,R.*Z);
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Figura 11.- Curvas de nivel de la función dentro del espacio constreñido
En las gráficas de nivel se puede hacer
acercamiento a donde según el color da el
menor valor y comparar con el valor
numérico que se calcula por los siguientes
comandos.
[S,Ix]=min(min(R.*Z));
[S,Iy]=min(min((R.*Z)’);
S es -62.14
Se encuentra en Ix=27 e Iy=43; o bien el
mínimo valor de -62.14 se encuentra en
X(Ix,1)=2.6, Y(1,Iy)=4.2, como puede
visualizarse también en la figura 11.
b) Generación de un patrón de carácter.
Se puede representar por cuatro
conjuntos que se limitan según las
siguientes desigualdades.
Usando las ecuaciones de interruptor difuso, haciendo la operación and entre los
límites.
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La unión de todos los conjuntos es
la operación OR entre ellos.
contourf(X,Y,Z)
S=max(Sa1,Sa2)
% La graficación del patrón
mesh(X,Y,S)
Figura 13.- Areas coloreadas según el
valor del espacio constreñido.
Figura 12.- Espacio
formando el carácter A.
constreñido
Conclusiones
Aunque el presente artículo estuvo limitado a
la visualización de sistemas y optimización
de dos variables, se recomendaría utilizar las
funciones difusas para la resolución numérica
por aproximaciones sucesivas, usando el
factor de difusión como elemento de enfoque
sucesivo en sistemas multi-variables, tema
que discutiremos en un artículo posterior.
Referencias
Wesley Hines J. Matlab Supplement to Fuzzy
and Neural approaches in engineering, 1997
John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-471-19247-3
Fuzzy sets based Heuristics for Optimization.
Springer Verlag Heidelberg 2003
Blanco Armando, David Pelta, Verdegay
José, Fuzzy Adaptive Neighborhood Search:
Examples of Application, Fuzzy sets based
Heuristics for Optimization. Springer Verlag
Heidelberg 2003
LA Zadeth Fuzzy Sets, Information and
control, 8, pp 338-353, 1965
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