ω β γ β γ β γω ω

Serie 1 Fundamentos de Espectroscopia
1) Un resorte se estira 3 cm cuando se le cuelga una masa de 10 kg. A continuación se hace oscilar la
masa con una amplitud de 5 cm. Determinar: (a) la constante de rigidez del resorte; (b) la energía
de la masa oscilando; (c) la posición de la masa cuando pasa por el punto de equilibrio y (d) la
frecuencia natural del oscilador.
2) Una ciruela de masa m = 200 g que se mueve en un medio viscoso atado al extremo de una fibra
elàstica con una constante de fuerza de 320 N/m, tiene un desplazamiento inicial de 30 cm. La
fuerza viscosa de amortiguamiento dada por F = -bv (donde b es una constante de amortiguamiento
y v la velocidad de la ciruela) actúa sobre la ciruela, de modo que la amplitud de su movimiento
decrece 10 cm en 5 seg. Calcule la magnitud de la constante de amortiguamiento.
3) Una liana se estira 9.81 cm cuando un animal estando en reposo, se cuelga de ella. El animal, al
darse un impulso, efectúa oscilaciones libres siguiendo la expresión y = 2 sen(ωt). (a) ¿cuál es la
constante de rigidez de la liana? (b) ¿cuál es la frecuencia de oscilación si la masa del animal es de
un kg ? (c) ¿cuál es la velocidad máxima que alcanza el animal en su movimiento oscilatorio? (d)
¿cuál es la aceleración máxima? (e) ¿cuál es la energía cinética máxima?
4) Un cuerpo de masa M = 4 kg extiende un resorte 16 cm cuando se cuelga de él. Si se agrega una
masa adicional m = 0.5 kg y se suelta, ¿cuál es el periodo de oscilación?
5) (a) Demuestre que la ecuación diferencial:
m
d 2x
dx

  x  F0 cos( t )
2
dt
dt
(1)
resulta de considerar la parte real de la ecuación diferencial:
m
d 2z
dz

  z  F0 e i  t
2
dt
dt
(2)
donde z  x  iy (sustituya el valor de z y separe la parte real y la parte imaginaria). Todas las
demás constantes que figuran en las ecuaciones diferenciales anteriores tienen valores que son
números reales.
(b) Demuestre que z  Ae i  t , es solución de la ecuación diferencial (2), donde el valor de A
(número complejo) está dado por:
F0
A
2
 m  i  
(c) Demuestre que la solución de la ecuación (1) está dada por la parte real de z  Ae
i t
.
6) Una partícula de masa m se encuentra bajo la acción de un potencial V(x) = Vo cosh(x/a) donde a y
Vo son constantes.
(a) Encuentre la posición del punto de equilibrio (estable).
(b) Mediante un desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto de equilibrio, demuestre que se
puede llegar a la siguiente expresión cuadrática para oscilaciones suficientemente pequeñas de m
en torno al punto de equilibrio:
V ( x)  Vo 
1  Vo

2  a 2
 2
x


(c) Considerando que la expresión cuadrática es tipo oscilador armónico (i.e. V(x) = ½ β(x - xo)2
donde xo es el punto de equilibrio y β la constante de rigidez del resorte asociado al oscilador
armónico), encuentre una expresión para la rigidez del resorte y muestre que para oscilaciones
pequeñas, la frecuencia natural de oscilación está dada por:
o 
1 Vo
a m
7) Para las siguientes ecuaciones diferenciales, separe primero, aquellas que podrían corresponder a un
oscilador armónico con movimiento amortiguado. Para las ecuaciones seleccionadas ¿cuáles se
podrían asignar la movimiento del oscilador dentro de un líquido: (i) poco viscoso, (ii) muy viscoso?
Considere su respuesta en términos de la solución de la ecuación diferencial (si hay términos
oscilatorios, o si sólo se tienen términos que son funciones exponenciales con exponentes reales).
Justifique sus respuestas.
(a) 2x  5 x  8 x  0
(b) 3x  4 x  9 x  0
(c) 2x  6 x  8x  0
(d) 6x  2 x  7 x  0
(e) 2x  12x  8 x  0
8) Una liga se estira 2 mm cuando se le cuelga una masa de 4 g. A continuación se hace oscilar a la
masa con una amplitud de 3 mm. Determinar: (a) la constante de rigidez de la liga; (b) la energía de
la masa oscilando y (c) la posición de la masa cuando pasa por la posición de equilibrio.
9) De las constantes de fuerza (constantes de rigidez) para los enlaces C–H (460 N/m), C–C (440 N/m),
y C=O (1300 N/m), calcular las correspondientes frecuencias armónicas y periodos (en
femtosegundos) usando el modelo del oscilador armónico.
10) Si f1(x, t) y f2(x, t) son soluciones de la ecuación de onda en una dimensión:
2 f
x 2

1 2 f
v 2 t 2
donde v es una constante igual a la velocidad de propagación de la perturbación, muestre que la
función f(x, t) = α f1(x, t) + β f2(x, t) también es solución (α y β son constantes reales).
11) ¿Cuáles de las siguientes funciones satisfacen la ecuación de onda?
(a) f ( x, t )  3 cos(2 x  6t )
2
(b) f ( x, t )  5 cos(3x  4t )
(c) f ( x, t )  2sen (5 x  3t   )
(d) f ( x, t )  4sen (2 x  3   / 2)
12) Una onda está descrita por la expresión y = A sen(4x –2t + /2). Cuando t = 0 y x = 0 el valor de la
perturbación es y = 10 m. Calcular: (a) la velocidad y sentido de la propagación, (b) la frecuencia y
periodo de vibración, (c) la longitud de onda y número de onda, y (d) la amplitud y la constante de
fase.
13) Una onda de presión está descrita por la expresión p = p0cos(2x + ωt + /2). Cuando t = 0 y x = 0
dp
dp
 12 MPa  m 1 ,
 2 Pa / seg . Calcular: (a) la velocidad y sentido de la
se tiene que
dx
dt
propagación, (b) la frecuencia y periodo de vibración, (c) la longitud de onda y número de onda, y
(d) la amplitud y la constante de fase.
14) La pata de una cucaracha puede considerarse como una fibra elástica de aproximadamente 0.1 mm
de diámetro. Esta pata se estira un 3% de su longitud inicial cuando se aplica una fuerza de 1 gramo
fuerza. Con esta información, calcúlese el módulo de Young de la fibra elástica.
15) La velocidad del sonido en el agua dulce, en función de la temperatura (para presiones que oscilan
entre 0 y 200 atm; y temperaturas entre 0 y 100°C), está dada por:
v  1402 .7  4.88T  0.0482 T 2  0.000135 T 3 
15,900  28T  0.24T 2
 0.101325 p
10,000
Donde :
T = temperatura en °C
0 ≤ T ≤ 100°C
p = presión en atmósferas
0 ≤ p ≤ 200 atm.
(1 atm = 760 mmHg = 1.01325×105 Pa = 0.101325 MPa)
La expresión anterior da buenos resultados y es exacta dentro de un 0.05% para los intervalos
mencionados.
(a) Calcule el valor de la velocidad del sonido en el agua dulce para T = 20°C y la presión igual a 1
atm. Si la densidad del agua dulce a 20°C es de 1 g/cm3, calcule el módulo volumétrico
adiabático del agua a esa temperatura (el módulo volumétrico adiabático B se relaciona con la
B
velocidad del sonido v mediante la expresión: v =
, donde ρ es la densidad del agua).

(b) Grafique la velocidad del sonido del agua dulce vs. T, dentro del intervalo 0 ≤ T ≤ 100°C, con
p = 1 atm.
(c) Grafique la velocidad del sonido del agua dulce vs. p, dentro del intervalo 0 ≤ p ≤ 200 atm.,
con T = 20°C.
16) Calcule la velocidad del sonido en el aire (donde: γ = cp/cv ≈ 1.401, ρ0 ≈ 1.21 Kg/m3, p0 = 1 atm).
17) La corteza terrestre puede considerarse como compuesta principalmente por silicatos y metales, con
una densidad aproximada de 4 g/cm3. Los dos tipos principales de ondas sísmicas que se propagan
por la corteza terrestre tienen velocidades dadas por:
vp 
  2

(onda P)
vs 


(onda S)
Donde λ y μ son los parámetros de Lamé y ρ es la densidad. Para la corteza terrestre, λ = 45 GPa y
μ = 36 GPa.
(a) ¿cuáles son las velocidades de las ondas P y S? ¿cuál onda llega primero?
(b) Si se produce un temblor y llega a una región que se encuentra a 200 km del epicentro, ¿cuál es
la diferencia de tiempo en que llegan la onda P y la S?
18) En los años 30, Charles F. Richter desarrolló una escala de magnitud para terremotos, a fin de
representar adecuadamente las diferencias entre los terremotos pequeños y medianos que él observó
en el sur de California, y los terremotos grandes que registró alrededor del mundo. El decidió cuál
sería la pequeña cantidad de energía a la que se le asignaría la magnitud cero, y escribió una
ecuación semejante a la siguiente:
MW 
2
3
log(M 0 )  16
Donde se utiliza el logaritmo en base diez de la energía M0 (en dinas-cm) estimada para el
terremoto con escala Richter MW (sin unidades). (a) ¿cuál es la energía correspondiente a una
escala Richter de cero? (b) Si la magnitud Richter correspondiente al terremoto de Double Spring
Flat fue de MW = 6.1, cuál es la energía M0 determinada en dinas-cm? (c) Calcular las energías
anteriores en joules.
19) En un sismómetro Wood-Anderson, se puede medir la amplitud A de una onda sísmica (en mm)
directamente del registro en papel, y el tiempo transcurrido entre la llegada de la onda P y la onda S
(en segundos), como se muestra en la siguiente gráfica:
La magnitud Richter MW (sin unidades) se calcula mediante la expresión:
M W  log( A)  3 log(8t )  2.92
Donde A es la amplitud (en mm) y Δt es el tiempo transcurrido entre la llegada de la onda P y la
onda S (en segundos). El 19 de febrero del 2007 se registró un terremoto de 5.5 en la escala
Richter en la estación IU.DAV en Davao, Filipinas, ubicada a 190 km del epicentro, en Mindanao,
Filipinas. Si se pueden considerar los valores de 3 y 5.4 km/seg para la velocidad de la ondas S y P
respectivamente, ¿cuál hubiera sido la amplitud A (en mm) registrada por un sismómetro WoodAnderson?
20) La velocidad de propagación de un tsunami, depende principalmente de la profundidad del mar por
donde se propaga. La fórmula está dada aproximadamente por:
v  gH
donde v es la velocidad de propagación, g es la aceleración de la gravedad, y H es la profundidad del
mar. Calcule las profundidades para que la velocidad sea: (a) la de un avión de pasajeros (800
km/h); (b) la de un tren de alta velocidad (350 km/h); (c) la de un automóvil en carretera (110 km/h).
21) La velocidad de las olas del mar, se puede representar por medio de la fórmula:
v
g
tanh( 2 H )
2
donde g es la aceleración de la gravedad, λ la longitud de onda de las olas, y H la profundidad del
mar. La expresión tanh( ) es la tangente hiperbólica de la expresión encerrada entre paréntesis.
Calcule la velocidad para olas que se propagan por la superficie de mar con una profundidad de 3 m,
y una longitud de onda de 5 m.
22) Una flauta se debe considerar como un tubo con los dos extremos abiertos (antinodos). Si la
frecuencia fundamental es la nota C4 (261.63 Hz) cuando todos los agujeros de la flauta están
tapados, ¿cuál debe ser la longitud del tubo? (considerar la velocidad del sonido en el aire dentro de
la flauta como v = 335 m/seg debido a una mayor temperatura proporcionada porque el aire sale de
la boca del flautista). ¿Cuáles son las frecuencias posibles para los armónicos?
23) Una cuerda de nylon para guitarra tiene 65 cm de longitud. Cada metro de esta cuerda tiene una
masa de 0.83 g. Al colocarse en la guitarra, la cuerda se tensa con una fuerza de 56 N, ¿cuál es la
frecuencia del armónico fundamental?
24) La trompa de un elefante es un tubo de aproximadamente L = 1.5 m. Si se transmiten ondas
acústicas dentro de la trompa, calcule la frecuencia del armónico fundamental, así como de los dos
siguientes armónicos. ¿Cuál es la expresión general para todas las frecuencias posibles?
25) Un clarinete se debe considerar como un tubo con un extremo cerrado y otro abierto (donde se tiene
un nodo y un antinodo respectivamente). Si la frecuencia fundamental es la nota E3 (164.81 Hz)
cuando todos los agujeros del clarinete están tapados, ¿cuál debe ser la longitud del tubo?
(considerar la velocidad del sonido en el aire dentro del clarinete como v = 350 m/seg debido a una
mayor temperatura proporcionada porque el aire sale de la boca del clarinetista). ¿Cuáles son las
frecuencias posibles para los armónicos?
26) Un tubo largo, vertical, abierto; está parcialmente sumergido en una palangana con agua (la porción
de tubo no sumergida en el agua es L). Si se hace sonar un diapasón y se acerca al extremo del tubo
(que no está sumergido), y luego se mueve el tubo hasta que la intensidad el sonido del diapasón se
refuerza notablemente (efecto de resonancia) ¿cuál es el valor más pequeño de L para el cual
ocurrirá la resonancia si la frecuencia de las ondas acústicas emitidas por el diapasón es 440 Hz? La
velocidad del sonido dentro del tubo (con aire), es de 335 m/seg (ver figura).
diapasón
L
27) Considere que el oído externo de un ser humano, es un canal (tubo) cilíndrico de 3 cm de largo,
cerrado en un extremo por la membrana timpánica. Calcule la frecuencia fundamental de resonancia
para este tubito (ver figura).
28) Calcular las tres primeras frecuencias de resonancia para un tubo de 11 cm de largo (la longitud
aproximada para el tracto vocal de un niño). El tubo se puede considerar abierto por un lado (donde
se ubican los labios de la boca) y cerrado por el otro (la glotis). Compare estos valores con las
frecuencias resonantes importantes (llamadas formantes) del aparato vocal (ver la tabla siguiente).
29) Una onda esta descrita por la formula:
y ( t )  2 cos( 25 t )  4 cos( 75 t )  2 cos( 125 t )  cos( 175 t )  3 cos( 200 t )
a) ¿Cuáles son las frecuencias de los armónicos y sus respectivas amplitudes?
b) ¿Cuál es la frecuencia del armónico fundamental?
c) Si la onda se propaga en el aire (donde la velocidad del sonido es de 334 m/seg) ¿Cuál es la
longitud de onda correspondiente al armónico fundamental?
30) Obtener la serie de Fourier de la función periódica dada por
f(t)
8
2
t
6
31) Obtener la serie de Fourier de la función periódica dada por
f(t)
8
6
t