1. factor comun monomio : factorización

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GU
-PA-01
V01
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FACTORIZACION
NOCION:
FACTORIZACIÓN
Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores.
Ejemplo: Factoriza 20 en dos de sus divisores : 4 · 5, es decir 20 = 4 5
¿Y en álgebra, qué será factorizar una expresión algebraica?
Cuando realizamos las multiplicaciones:
i)
ii)
2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x
(x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35
entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son
las expresiones a factorizar, es decir , la factorización es el proceso inverso de la
multiplicación. La factorización es de extrema importancia en la Matemática, así es que
debes tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar.
Existen varios casos de factorización:
FACTOR
COMUN
MONOMIO
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DEMO
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Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del polinomio:
Utilizando la propiedad distributiva, como puede observar a continuación, transforma
productos en sumas y restas, como:
o
Vamos a hacer la operación al revés. Transformar sumas o diferencias en productos. ¡NO
CUALQUIER SUMA O CUALQUIER DIFERENCIA SE PUEDE TRANSFORMAR EN
PRODUCTO!
Observa las siguientes expresiones y completa la tabla:
Número de términos
¿Existe algo en común en cada
expresión?
Una expresión algebraica se puede factorizar empleando la técnica del factor común, si
todos los términos que la conforman poseen una parte común, ya sea numérica o literal.
Ejemplo N 1: ¿Cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z?
Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z)
Ejemplo N 2: ¿Cuál es el factor común monomio en: 5a2 - 15ab - 10ac?
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El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto
5a2 - 15ab - 10ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c)
Ejemplo N 3: ¿Cuál es el factor común en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2?
El factor común es “6xy” porque
6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy)
Realiza los siguientes ejercicios:
EJERCICIOS.
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
Halla el factor común de los siguientes ejercicios:
6x - 12 =
24a - 12ab =
14m2n + 7mn =
8a3 - 6a2 =
b4-b3 =
14a - 21b + 35 =
20x - 12xy + 4xz =
10x2y - 15xy2 + 25xy =
2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 =
m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =
2.
4.
6.
8.
10.
12.
14.
16.
18.
4x - 8y =
10x - 15x2 =
4m2 -20 am =
ax + bx + cx =
4a3bx - 4bx =
3ab + 6ac - 9ad =
6x4 - 30x3 + 2x2 =
12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =
10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
3 2
8
x y
xy 2
4
9
1
1 3 4
1 2 5
1 4 2
2
3
21.
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VERSION
ofaCAD-KAS
a b
b
a PDF-Editor
b
a (http://www.cadkas.com).
b
2
4
8
16
4
12
8
16 3
22.
a 2b
ab
a 2b 3
a b
35
5
15
25
20.
EJEMPLO N 1.
Factoriza
Existe un factor común que es (a + b)
x( a + b ) + y( a + b ) =
= x(a + b ) + y( a + b ) =
= (a + b )( x + y )
EJEMPLO N 2.
Factoriza
2a(m - 2n) - b (m - 2n ) =
= 2a(m - 2n) - b (m - 2n )
= (m - 2n )( 2a - b )
EJERCICIOS.
23.
25.
27.
29.
31.
a(x + 1) + b ( x + 1 ) =
x2 ( p + q ) + y 2 ( p + q ) =
( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =
(x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =
(a( a + b ) - b ( a + b ) =
24.
26.
28.
30.
32.
m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =
a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
(a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
(2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
3. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO.
Se trata de extraer un doble factor común.
EJEMPLO N 1.
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Factoriza
ap + bp + aq + bq
Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos
p(a + b) + q( a + b )
Se saca factor común polinomio
(a+b)(p+q)
EJERCICIOS:
33.
35.
37.
39.
41.
a2 + ab + ax + bx =
ab - 2a - 5b + 10 =
am - bm + an - bn =
3x2 - 3bx + xy - by =
3a - b2 + 2b2x - 6ax =
43.
44.
45.
46.
47.
ac - a - bc + b + c2 - c =
6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =
ax - ay - bx + by - cx + cy =
3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
15 2 21
10
143
x
xz
xy
yz 5x 7z
4
4
3
3
48.
49.
34.
36.
38.
40.
42.
ab + 3a + 2b + 6 =
2ab + 2a - b - 1 =
3x3 - 9ax2 - x + 3a =
6ab + 4a - 15b - 10 =
a3 + a2 + a + 1 =
2
8
4
16
am
am
bm
bn
3
3
5
5
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4. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
El trinomio de la forma x2 + bx + c se puede descomponer en dos factores binomiales
mediante el siguiente proceso:
EJEMPLO N 1.
Descomponer
x2 + 6x + 5
1 Hallar dos factores que den el primer término
x ·x
2 Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”
1 ·5
ó -1 ·-5
pero la suma debe ser +6 luego serán
(x + 1 )( x + 5 )
EJEMPLO Nº 2 :
Factorizar
x2 + 4xy - 12y2
1º Hallar dos factores del primer término, o sea x2:
2º Hallar los divisores de 12y2, estos pueden ser:
x ·x
6y · -2y
ó
-6y · 2y
ó 4y · -3y
ó
-4y · 3y
ó 12y · -y
ó -12y · y
pero la suma debe ser +4 , luego servirán
6y y -2y, es decir
2
2
x + 4xy - 12y = ( x + 6y )( x - 2y )
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EJERCICIOS:
Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios :
50. x2 + 4x + 3 =
51.
2
52. b + 8b + 15 =
53.
54. r2 - 12r + 27 =
55.
2
56.
h - 27h + 50 =
57.
2
2
58. x + 14xy + 24y =
59.
60. x2 + 5x + 4 =
61.
a2 + 7a + 10 =
x2 - x - 2 =
s2 - 14s + 33 =
y2 - 3y - 4 =
m2 + 19m + 48 =
x2 - 12x + 35 =
5. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA AX2+ BX + C
EJEMPLO
Factoriza 2x2 - 11x + 5
1º El primer término se descompone en dos factores
2º Se buscan los divisores del tercer término
3º Parcialmente la factorización sería
pero no sirve pues da :
se reemplaza por
y en este caso nos da :
2x · x
5 ·1
ó
-5 · -1
( 2x + 5 )( x + 1 )
2x + 7x + 5
( 2x - 1 )( x - 5 )
2x 2 - 11x + 5
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2
EJERCICIOS:
62.
64.
66.
68.
70.
72.
5x2 + 11x + 2 =
4x2 + 7x + 3 =
5 + 7b + 2b2 =
5c2 + 11cd + 2d2 =
6x2 + 7x - 5 =
3m2 - 7m - 20 =
63.
65.
67.
69.
71.
73.
3a2 + 10ab + 7b2 =
4h2 + 5h + 1 =
7x2 - 15x + 2 =
2x2 + 5x - 12 =
6a2 + 23ab - 4b2 =
8x2 - 14x + 3 =
74.
76.
78.
5x2 + 3xy - 2y2 =
6a2 - 5a - 21 =
2a2 - 13a + 15 =
75.
77.
7p2 + 13p - 2 =
2x2 - 17xy + 15y2 =
6. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS:
EJEMPLO:
Factorizar
9x2 - 16y2 =
Para el primer término 9x2 se factoriza en 3x · 3x
Y el segundo término - 16y2 se factoriza en +4y · -4y
Luego la factorización de 9x2 - 16y2 = ( 3x + 4y )( 3x - 4y )
EJERCICIOS:
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79.
81.
83.
85.
87.
89.
91.
93.
9a2 - 25b2 =
4x2 - 1 =
36m2n2 - 25 =
169m2 - 196 n2 =
9 2 49 2
a
b
25
36
3x2 - 12 =
8y2 - 18 =
45m3n - 20mn =
80.
82.
84.
86.
88.
90.
92.
94.
16x2 - 100 =
9p2 - 40q2 =
49x2 - 64t2 =
121 x2 - 144 k2 =
1 4 9 4
x
y
25
16
5 - 180f2 =
3x2 - 75y2 =
2a5 - 162 a3 =
7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
Ejemplo:
Factorizar
9x2 - 30x + 25 =
1 Halla la raiz principal del primer término 9x2 :
3x · 3x
2 Halla la raiz principal del tercer término 25
con el signo del segundo término
-5 · -5
2
luego la factorización de 9x - 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )2
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EJERCICIOS:
95. b2 - 12b + 36 =
97. m2 - 2m + 1 =
99. 16m2 - 40mn + 25n2 =
101. 36x2 - 84xy + 49y2 =
103.
1 + 6ª + 9a2 =
105.
25a2c2 + 20acd + 4d2 =
107.
16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =
96. 25x2 + 70xy + 49y2 =
98. x2 + 10x + 25 =
100.
49x2 - 14x + 1 =
102.
4a2 + 4a + 1 =
104.
25m2 - 70 mn + 49n2 =
106.
289a2 + 68abc + 4b2c2 =
EJERCICIOS DIVERSOS:
108.
2ab + 4a2b - 6ab2 =
110. b2 - 3b - 28 =
112. 5a + 25ab =
114. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab =
116. 8x2 - 128 =
118. x4 - y2 =
120.
(a + b )2 - ( c + d)2 =
122.
36m2 - 12mn + n2 =
109.
2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =
111. a2 + 6a + 8 =
113. bx - ab + x2 - ax =
115. ax + ay + x + y =
117. 4 - 12y + 9y2 =
119. x2 + 2x + 1 - y2 =
121. a2 + 12ab + 36b2 =
123.
x16 - y16 =
8. FACTORIZACIÓN PARA LOS FUTUROS MATEMÁTICOS.
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a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
1. DIFERENCIA DE CUBOS:
Ejemplo:
8 – x3 = (2 – x)(4 + 2x + x2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
2. SUMA DE CUBOS:
Ejemplo:
27a3 + 1 = (3a + 1)(9a2 – 3a + 1)
125.
127.
64 – x3 =
27m3 + 6n6 =
126.
128.
8a3b3 + 27 =
x6 – y6 =
129.
1 3
x
8
130.
x3
8
=
27
1
=
64
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9. UNA APLICACIÓN DE LA FACTORIZACIÓN:
SIMPLIFICACIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS .
1 Simplificación de monomios:
8a 2 b 5
2ab 3
2
4ab 2
Simplificación de polinomios:
Ejemplo 1
x2
7x 10
x
Ejemplo 2
2
25
x 2 16
2x
2
8x
x 2 x 5
x 5 x 5
x 4 x 4
2x x 4
x 2
x 5
x 4
2x
no te olvides : PRIMERO FACTORIZAR
....... LUEGO SIMPLIFICAR.
EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN :
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131.
133.
135.
137.
12a2b7
x 2y3
132.
2x 2 y 2x 2 y 2
60a3b5c
a2
x 2 1 xy 3y
3x 9 x2y y
134.
a 20
a2 16
x2 6x 8
x2 7x 10 x2
136.
x2 7x 12
x2
4x 21 x2 3x 4
2x 3 x2 9x 20 x2 5x 14
36x 2
60x 25 a2 11a 30 a 5 6x 5
6x 5 a 6
a2 25
36x 2 25
PERO
SIGO
SIENDO
EL
REEEYY...DE LA
Y DEL CARRETE
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10. ECUACIONES CON DENOMINADORES ALGEBRAICOS
EJEMPLO :
3x 1
2x 3
x 9
4x 6
3x 1
2x 3
se factoriza el 2º denominador
1
x 9
2(2x 3)
1
/ 2(2x-3)
2(3x-1)-(x+9) = 2(2x-3)
6x - 2 - x - 9 = 4x - 6
x
EJERCICIOS.
5
7
138.
x 3 2x 3
140.
x
5
x 1 8
5
2x 1
3
4
= 5
139.
x
2
x 1 x 1
1
3
4
141.
5
2x 1
4
x 1
12 x 6
2x 2 x 1
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4
3
x 2
x 1
144.
x 1
x 3
x 3
x 1
146.
5x
2x 2
2x 3
3x 3
3x 2
4x 4
148.
8x 1
x 1
4 7x
x 1
x2 1
x2 1
150.
x a
b
152.
7a bx
2a
154.
x a
2b
142.
x b
a
8
x 1 x 2
143.
5
2x 3
2
145.
2x 2 5x 12
2x 3
147.
2
4x 5
149.
x 7
1
2x 3
151.
ax
bc
153.
x a
x b
155.
ax
0
2
5b cx
3b
x 3b
3a
4x 1
5x 5
11c ax
6c
0
3a 13b
6b
2
3x 8
4x 6
a
6x 1
10 x 15
3x 4
7
6x 5
16 x 2 25
bx
ac
b2
7
9
44
4x 2 9
cx
ab
1
x b
x a
2
ab x
b
6x 2
21
3
4x 5
2x 7
4x 6
b2
a
a
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11. PROBLEMAS CON ENUNCIADO.
156. ¿De qué número hay que restar 5
1
para obtener la sexta parte de ese número?
4
157. De un estanque lleno de parafina se consumió una cantidad equivalente a los
capacidad. Reponiendo 38 litros, la parafina sólo llega a las
7
de su
8
3
partes. ¿Cuál es su
5
capacidad?
158. Un depósito de agua puede llenarse por una llave en 2 horas y por otra en 6 horas. ¿En
cuánto tiempo se llenará el depósito abriendo las dos llaves a la vez?
159. La suma de dos números es 200. Dividiendo el primero por 16 y el segundo por 10, la
diferencia de los cocientes es 6. ¿cuáles son los números?
160. Hallar tres números enteros consecutivos tales que la suma de los
los
3
del menor con
5
5
del mayor exceda en 31 al número del medio.
6
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161. Dividir 260 en dos partes de modo que el doble de la mayor dividido por el triple de la
menor da 2 como cociente y 40 de resto.
3
2
de lo que tiene Alicia, y Mónica tiene
de lo que tiene Jorge. Si
3
5
juntos tienen $ 24.800. ¿Cuánto tiene cada uno?
162. Jorge tiene
163. Marcela tiene 18 años más que Karla. Hace 18 años, la edad de Marcela equivalía a los
5
de la edad de Karla. Hallar las edades actuales.
2
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