Complemento. Apéndice 5.B.5. ECUACIÓN de la ENERGÍA

ECUACIÓN de la ENERGÍA en función de TEMPERATURA-ENTALPÍA
(APÉNDICE Tema 5.B.5)
En las notas de clase, el tema 5.B.5. “TRANSFORMACIONES EN FUNCIÓN DE LA
TEMPERATURA”, demuestra como se obtienen algunas expresiones a partir de la “Ecuación de la
Energía Calorífica” expresada en función de la Energía Interna,
ρ
DÛ
= − ( ∇ ⋅ q ) − p ( ∇ ⋅ v ) − (τ : ∇v )
Dθ
(Ecuación 1)
Se podrían obtener fórmulas equivalentes a partir de la correspondiente en función de la Entalpía,
recordando que la relación termodinámica entre Energía Interna y Entalpía es la siguiente:
∧
∧
∧
H = U + PV
(Ecuación 2)
Para ello, se pueden utilizar los mismos criterios que se aplican en el tema 5.B.5.
La siguiente es una secuencia del cálculo (sin las fórmulas) que podría seguirse para obtener el
resultado buscado.
A.- Ecuación de la Energía en función de la Entalpía:
- Diferenciar la Ecuación 2 según las reglas formales, multiplicar por la densidad y obtener la
derivada sustancial.
- Introducir esa expresión en la Ecuación 1 y simplificar.
- Se obtiene la Ecuación de la Energía Calorífica en función de la Entalpía.
∧
D H DP
ρ
=
− ( ∇ ⋅ q ) − (τ : ∇v )
Dθ
Dθ
(Ecuación 3)
B.- Transformaciones de la función Entalpía:
- Diferenciar la Ecuación 2 según las reglas formales.
- Introducir el Primer Principio de la Termodinámica, debería quedar la fórmula siguiente;
dĤ = dQ + V dP (donde Q y V son por unidad de masa “^”), donde además dQ = T dŜ.
-
Luego quedará, T dŜ = dĤ - V dP (Ecuación 4)
-
Recordar que la Entalpía es función de la presión y la temperatura, Ĥ = f(P,T).
Diferenciar esa relación en función de las derivadas parciales respecto de P y T.
Introducirla en la Ecuación 4 para obtener la Ecuación 5.
Recordar que la Entropía también es función de la presión y la temperatura, Ŝ = f(P,T).
Diferenciar esa relación en función de las derivadas parciales respecto de P y T (Ecuación 6).
Comparar los términos de la Ecuación 5 con los de la Ecuación 6.
Como la Entropía es un potencial termodinámico o función de estado, es un diferencial exacto
y sus segundas derivadas cruzadas deben ser iguales, realizar esta operación.
-
Como resultado, se obtiene que, T dŜ = Ĉp dT – T (δV/ δT)P dP
(Ecuación 7)
-
Con lo cual se obtiene que, dĤ = Ĉp dT + [ V – T (δV/ δT)P ] dP
(Ecuación 8)
-
Transformarla en una derivada sustancial según las reglas formales, quedando la Ecuación 9.
C.- Expresar la Ecuación de la Energía Calorífica función de la Entalpía en otra que se encuentre
en función de las temperaturas:
- A partir de la Ecuación 3, sustituir los términos correspondientes de la Ecuación 9.
- Debería quedar la siguiente expresión,
ρ Ĉp (DT/Dθ) =- (=.q) + (T/V) (δV/ δT)P ] (DP/Dθ) + µΦν
donde, en el segundo término del segundo miembro se cumple que;
Ecuación_Energía_función_Entalpía-Temperatura.doc
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(T/V) (δV/ δT)P ] = (δlnV/ δlnT)P
siendo;
V es “volumen específico”, es decir, por unidad de masa, y
µΦν es la función de disipación viscosa, equivalente a [ – (! : =ν ) ]
y quedando entonces,
∧

DT
∂
LnV
ρ Cp
= − (∇ ⋅ q ) + 
 ∂LnT
Dθ

∧
Ecuación_Energía_función_Entalpía-Temperatura.doc
2 de 2

 Dp − (τ : ∇v )
 Dθ
p
pág.