98-98(8) (Curvas de índice...)

CURVAS DE ÍNDICE DE SITIO DE FORMA Y ESCALA VARIABLES EN
INVESTIGACIÓN FORESTAL
VARIABLE FORM AND SCALE SITE INDEX CURVES IN FOREST RESEARCH
Juan M. Torres-Rojo
Centro de Investigación y Docencia Económicas. División de Economía. Carr. México-Toluca Núm.
3655 Col. Lomas de Santa Fé. 01210, México D. F. (juanmanuel.torres@cide.edu)
RESUMEN
ABSTRACT
Las curvas de índice de sitio pueden ser anamórficas o polimórficas
y ambas tienen propiedades complementarias. De aquí que las
curvas de índice de sitio que presenten las propiedades de ambos
tipos de curvas se convierten en una herramienta importante para
mejorar las estimaciones de altura del rodal y productividad forestal. Este artículo presenta un procedimiento para generar curvas de índice de sitio compuestas, con parámetros de forma y escala variables. Tal estimación incorpora efectos de cambio de forma
y escala en las curvas de índice de sitio. Estas curvas se generan al
suponer cambios discretos o continuos en la relación altura-edad
para el intervalo de interés. En ambos casos las funciones presentan las ventajas tradicionalmente asociadas a las funciones
anamórficas y polimórficas. El análisis de datos empíricos mostró
que la bondad de ajuste de estos modelos es similar a los ajustes
obtenidos con las formas anamórficas o polimórficas derivadas de
modelos con mayor número de parámetros. Una prueba de validación mostró que las curvas de índice de sitio compuestas proporcionan mejores predicciones sólo en el caso de tener diferencias de edad muy pequeñas.
Usual site index curves are either anamorphic or polimorphic and
both have complementary properties. Hence, site index curves
having properties from both types of curves become an important
tool for the improvement of height and productivity estimates. A
procedure to generate composed site index curves with variable
shape and scale parameters is presented in this paper. Such an
estimation incorporates effects of shape and scale changes in the
site index curves. These curves are generated by assuming either
discrete or continuous changes for the height-age relationship
within the interval of interest. In both cases the composed curves
present advantages traditionally attached to polimorphic and
anamorphic curves. Analysis of empirical data showed that the
goodness of fit of these models is similar to fits obtained from
anamorphic or polimorphic forms derived from models with a
larger number of parameters. A validation test showed that
composed site index curves yield better predictions for site index
than traditional models only when there are very small age
differences.
Key words: Ana-polimorphic curves, poli-anamorphic curves,
validation test, dominant height-age relationship.
Palabras clave: Curvas ana-polimórficas, curvas poli-anamórficas,
prueba de validación, relación altura dominante-edad.
INTRODUCTION
INTRODUCCIÓN
I
n recent years site indexes have become the most
popular and practical method to evaluate forest
productivity. This method consists on evaluating the
height that dominant or co-dominant and healthy trees
would attain at a predetermined age, frequently referred
to as base age or index age (Payandeh and Wang, 1994).
Such evaluation requires the assumption of a model that
represents the height-age relationship, as well as the
assumption for the behavior of the family of curves
generated under the same model.
The form of the family of site index curves has been
divided into two types: anamorphic and polymorphic
(Clutter et al., 1983). The first one is characterized because
the height keeps the same proportion at different ages,
and for that reason the curves seem to have the same shape.
On the contrary, polymorphic curves can be of two
different kinds: disjoint and nondisjoint; in both cases
E
n años recientes los índices de sitio se han convertido en el método más popular y práctico para
evaluar la productividad forestal. Este método
consiste en evaluar la altura que lograrían los árboles
dominantes o codominantes y sanos a una edad predeterminada, frecuentemente referida como edad base o edad
índice (Payandeh y Wang, 1994). Tal evaluación requiere la suposición tanto de un modelo que represente la
relación altura-edad, como de un comportamiento de la
familia de curvas generadas bajo el mismo modelo.
La forma de la familia de curvas de índice de sitio se
ha dividido en dos clases: anamórfica y polimórfica
(Clutter et al., 1983). Las primeras se caracterizan por
Recibido: Septiembre, 1998. Aprobado: Agosto, 2000.
Publicado como ENSAYO en Agrociencia 35: 87-98. 2001.
87
88
AGROCIENCIA VOLUMEN 35, NÚMERO 1, ENERO-FEBRERO 2001
que la altura guarda la misma proporción a diferentes
edades, por lo que las curvas aparentan tener la misma
forma. Por el contrario, las curvas polimórficas pueden
ser de dos tipos: con intersecciones y sin intersecciones;
en ambos casos la proporción que guarda la altura es diferente entre curvas, y por tanto éstas aparentan diferente
forma en cualquiera de sus dos variantes.
Desde que se inició el uso de los índices de sitio como
medidas de productividad de terrenos forestales, también
empezó la polémica entre el uso de curvas anamórficas o
polimórficas. A la fecha nadie puede argumentar sobre la
superioridad real de alguna de ellas, dado que su uso prácticamente depende de la especie en cuestión (Payandeh,
1977; Hahn y Carmean, 1982), detectándose que algunas ventajas de un tipo de curva se convierten en desventajas para el otro tipo y viceversa. Se ha planteado la hipótesis de que la integración de variaciones tanto en forma como en escala de las curvas de índice de sitio podría
dar por resultado un tipo de curva que mezcle las ventajas de ambas. Así, se ha señalado que las curvas
anamórficas asemejan el comportamiento teórico esperado de curvas de índice de sitio; sin embargo, en años
recientes se ha descubierto que varias especies presentan
el tipo de curva polimórfico en su relación altura-edad
(Newnham, 1988; Ker y Bowling, 1991; Stansfield et al.,
1991; Goelz y Burk, 1992; Payandeh y Wang, 1994).
Dado este marco de referencia, convendría integrar
tanto el componente anamórfico como el polimórfico en
una función de índice de sitio, la cual podría llamarse
ana-polimórfica o poli-anamórfica. Tal integración consistiría en combinar los cambios en forma y escala de
una función cualquiera que relacione las variables altura-edad. La derivación de una función o una metodología que proporcione funciones con tales características,
sería útil en los estudios de productividad y crecimiento,
pues mejoraría la calidad de las estimaciones de crecimiento en altura.
Este trabajo presenta una alternativa metodológica
para desarrollar curvas ana-polimórficas o polianamórficas, mismas que en lo sucesivo se denominarán
“Curvas compuestas”.
the height proportion is different among curves, and
therefore they show different shapes in any of its two
variants.
Since site indexes have been used as a productivity
measure for forestlands, the controversy over using
anamorphic or polymorphic curves began. Even now,
nobody can argue the superiority of either of them, since
their use depends basically on the species (Payandeh,
1977; Hahn and Carmean, 1982), noticing that some
advantages of one type of curve become disadvantages
for the other type and viceversa. The hypothesis of how
the integration of variations in shape and scale on site
index curves could result in a type of curve that
encompasses the advantages of both has been proposed.
In this way, it has been pointed out that anamorphic curves
have a similar theoretical behavior to the expected one
from site index curves; however, in recent years it has
been found that a variety of species have the polymorphic
curve height-age relation type (Newnham, 1988; Ker and
Bowling, 1991; Stansfield et al., 1991; Goelz and Burk,
1992; Payandeh and Wang, 1994).
Given this framework, it would be convenient to
integrate the anamorphic component and polymorphic
component in a single site index function, which could
be named ana-polymorphic or poly-anamorphic. Such
integration would consist on mixing the changes in shape
and scale of any function that relates the variables height
and age. The derivation of a function or methodology
that produces such functions would be helpful in
productivity and growth studies because it would improve
the quality of growth-height estimates.
This paper presents an alternate methodology to
develop ana-polymorphic or poly-anamorphic curves,
which from here on will be called “Composed curves”.
VARIABLE SHAPE AND SCALE PARAMETER MODEL
To illustrate the ana-polymorphic function derivation, assume a
simple function (Schumacher, 1939) which relates the variables height
and age
ln(h) = a + b / E
(1)
MODELO CON PARÁMETROS DE FORMA
Y ESCALA VARIABLES
Para ilustrar la derivación de la función ana-polimórfica supóngase
una función simple (Schumacher, 1939) que relacione las variables
altura-edad
ln(h) = a + b / E
(1)
donde h representa altura, E la edad, a y b son los parámetros del
modelo y ln(.) indica el logaritmo natural. Si se considera que el Indice de Sitio (IS) se define como la altura que se logra a la edad base
where h represents height, E representes age, a and b are model
parameters and ln(.) represents the natural logarithm. If we define the
Site Index (IS) as the height reached at the base age (Eb), then it is
possible to estimate the IS with the same functional form trough the
relationship:
ln(IS) = a + b / Eb
(2)
The traditional procedure to develop site index curves from Model
2, initially requires an assumption on the shape of the family of curves.
Assume that the site index form we wish to obtain is of the anamorphic
TORRES-ROJO: CURVAS COMPUESTAS DE ÍNDICE DE SITIO EN INVESTIGACIÓN FORESTAL
(Eb), entonces es posible estimar el IS con la misma forma funcional a
través de la relación:
ln(IS) = a + b / Eb
(2)
El procedimiento tradicional para construir familias de curvas de
índice de sitio a partir del Modelo 2, inicialmente requiere de la suposición de la forma de la familia de curvas. Supóngase que la forma de
índice de sitio que se desea obtener es del tipo anamórfico, lo que
implica que las curvas deben tener la misma forma, por lo que el
parámetro de escala a se supondrá variable, mientras que el parámetro
de forma (b ) permanecerá constante (lo que garantiza la misma forma). Al despejar a de (1), se obtiene la función que muestra la variación de a con cambios en edad y altura:
a = ln (h) - b / E
(3)
Al sustituir (3) en (2) se obtiene la siguiente función anamórfica
de índice de sitio para el Modelo 1:
ln(IS) = ln(h) + b (1 / Eb - 1 / E)
(4)
En esta función el parámetro de forma b es constante; sin embargo sería posible suponer una variación de este parámetro dentro del
intervalo de estimación del índice de sitio, al considerar el cambio
incremental de b. Este cambio podría integrarse a (4) como:
ln(IS) = ln(h) + b (1 / Eb - 1 / E) + db (1 / Eb - 1 / E)
89
type, which implies that the curves must have the same shape, hence
we assume that the scale parameter a is variable, and that the shape
parameter (b) remains constant (which ensures the same shape). From
(1), we obtain a function that shows how a changes when age and
height change:
a = ln (h) - b / E
(3)
Substituting (3) into (2) we obtain the following anamorphic site
index function for Model 1:
ln(IS) = ln(h) + b (1 / Eb - 1 / E)
(4)
In this function the shape parameter b holds constant; however, it
would be possible to suppose a variation in this parameter within the
site index estimation interval by considering an incremental change
on b. This change could be integrated into (4) yielding:
ln(IS) = ln(h) + b (1 / Eb - 1 / E) + db (1 / Eb - 1 / E)
(5)
where db shows the change in the shape parameter within the age
interval (E - Eb ) and the height interval (h - IS ), that is, db is the
total differential of b with respect to height and age variables.
Solving Model 1 for b it is possible to obtain the total differential
db, which yields:
af
af
db = Ed ln h + ln h - a dE
(5)
donde db muestra el cambio en el parámetro de forma dentro del intervalo de edades (E - Eb ) y el intervalo de alturas (h - IS ), esto es,
db es la derivada total de b con respecto a las variables altura y edad.
Substituting the d[ln(h)] and dE values by the ones we would
obtain considering the differences within the estimation interval, db
could be re-written as:
Al despejar b del Modelo 1 es posible obtener el valor de db por
una simple derivada total, la cual tomaría la siguiente forma:
db = E ln IS - ln h + ln h - a Eb - E
af
Al sustituir los valores de d[ln(h)] y dE, por los que se obtendrían
al considerar las diferencias en el intervalo de estimación, db se puede
reescribir como:
af
b
b
a f RS 2EE- E UV{lnahf + b- Elnahf+ lnahf - a
T
W
1
/
1
/ Eq
E
l
ln IS =
b
b
Eb - E
}
(7)
(6)
Al sustituir (6) en (5) y rearreglando se obtiene la siguiente función de índice de sitio:
a f RS 2EE- E UV{lnahf+ b- Elnahf + lnahf- a
T
W
l1 / E -1 / Eq
(6)
b
db = E ln IS - ln h + ln h - a Eb - E
ln IS =
af
Substituting (6) into (5) and rearranging, we obtain the following
site index function:
af
db = Ed ln h + ln h - a dE
a f af
a f af
Eb - E
}
(7)
b
Function (7) was derived from an site index anamorphic function;
however, adding the db component makes it also variable in shape
within the age and height interval of interest, so it can be considered
as a site index ana-polymorphic function. This function has some
desirable features, such as the fact that when E = Eb then ln(h) =
LM
N
Eb
ln(IS). There is a general weight 2E - E
b
OP
Q
in (7) which is the inverse
of the difference between Eb and its proportion with E. As shown, the
La Función 7 se derivó a partir de una función anamórfica de
índice de sitio, sin embargo, al incorporar el componente db, la hace
también variable en forma dentro del intervalo de interés de edades y
weight is undefined when the age is twice or more than the base age
(E³2Eb), which would be very rare in practice. The result of such a
weight is to change the function’s shape as E gets farther from Eb in
90
AGROCIENCIA VOLUMEN 35, NÚMERO 1, ENERO-FEBRERO 2001
alturas, por lo que puede considerarse como una función anapolimórfica de índice de sitio. Esta función tiene algunas características
deseables en su estructura, como el hecho de que cuando E = Eb, en-
both directions. Another feature of Model 7 is that the term
1 / Eb - 1 / E
af
n
af
is weighted by -Eln h + ln h - a Eb - E
s , this
tonces ln(h) = ln(IS). En (7) existe un ponderador general
value reflects the site index curve’s scale change within the interval of
LM E OP
N 2E - E Q que es el inverso de la diferencia entre E y su proporción
interest, being equal to zero when E=Eb.
con E. Como se puede apreciar, el ponderador queda indefinido cuan-
interval. However, the change in (db) could be considered in its discrete
do la edad es mayor o igual al doble de la edad base (E³2Eb), caso
form (Db). To illustrate this strategy, assume the same Function 1 for
que en la práctica sería muy raro. El efecto de tal ponderación es cam-
the height-age relationship. If the (h, E) and (IS, Eb ) pairs are two
biar la forma de la función conforme E se aleja de Eb en ambos senti-
points within the curve, and from (1) it is known that b = [ln(h)-a]E,
dos. Una característica más del Modelo 7 es que el término
1 / Eb - 1 / E está ponderado por -Eln h + ln h - a Eb - E ,
then Db can be defined as:
b
b
b
n
af
af
s
The site index model defined in (7) assumes that the shape
parameter b continuously changes (db) within the age and height
c a f h
valor que refleja el cambio en la escala de la curva de índice de sitio
c af h
Db = bEb - bE = ln IS - a Eb - ln h - a E
dentro del intervalo de interés, siendo nulo cuando E=Eb.
(8)
El modelo de índice de sitio definido en (7) supone que el
parámetro de forma b cambia continuamente (db) dentro del intervalo
de alturas y edades. Sin embargo, el cambio (db) también podría considerarse en forma discreta (Db). Para ilustrar esta estrategia supóngase
la misma Función 1 para la relación altura-edad. Si los pares (h, E) y
(IS, Eb ) son dos puntos dentro de la curva, y de (1) se sabe que b =
where bE is the value of b at age Eb (and height IS) and bE is the value
b
of b at age E (and height h). Substituting (8) into (5) and changing db
by Db, it is possible to obtain an ana-polymorphic function, under the
assumption of discrete changes in the shape parameter b, within the
interval of interest. The resulting function has the form:
[ln(h)-a]E, entonces Db se puede definir como:
c a f h
a f LM EE OP lnahf + a1 / E -1 / E f
N Q
cb - aE - lnahfE + aE h
ln IS =
c af h
Db = bEb - bE = ln IS - a Eb - ln h - a E
b
b
(8)
(9)
b
donde bE es el valor de b a la edad Eb (y altura IS) y bE es el valor de
b
b a la edad E (y altura h). Al sustituir (8) en (5) y cambiar db por Db,
es posible obtener una función ana-polimórfica, bajo la suposición de
cambios discretos en el parámetro de forma b, dentro del intervalo de
interés. La función resultante tiene la forma:
The procedure used to define an ana-polymorphic function can
be repeated to define a poly-anamorphic. This is a function that adds a
variation of the scale parameter (a) to a polymorphic function. The
a f LM EE OP lnahf + a1 / E -1 / E f
N Q
cb- aE - lnahfE + aE h
ln IS =
Functions 7 and 9 are similar and the main difference between
them is the weight.
reader can verify that for Model 1 and assuming a continus change in
the scale parameter (da), the poly-anamorphic curve that can be derived
b
b
(9)
has the following expression:
b
a f LMN EE -1OPQ LMNa+ Eb aE - E fOPQ +lnahfLMN2- EE OPQ
ln IS =
Las Funciones 7 y 9 son similares y la diferencia básica entre
b
2
b
b
(10)
ellas es el ponderador.
El procedimiento seguido para definir una función ana-polimórfica
se puede repetir para definir una poli-anamórfica, esto es, una en la
On the other hand, if the change is discrete (Da), then the
expression is:
que a partir de una función polimórfica se incorpore una variación del
a f LMN EE OPQ a - lnahf + ba1 / E -1 / E f + 2 lnahf
- a + ba1 / E - 1 / E f
parámetro de escala (a). El lector puede comprobar que para el Mode-
ln IS =
lo 1 y al suponer un cambio continuo en el parámetro de escala (da),
la curva poli-anamórfica que se puede derivar tiene la siguiente ex-
b
b
(11)
b
presión:
a f LMN EE -1OPQ LMNa+ Eb aE - E fOPQ +lnahfLMN2- EE OPQ
ln IS =
b
2
b
b
Using equation (4) it is possible to rearrange terms and rewrite
(10)
mientras que si el cambio es discreto Da adoptará la siguiente expresión:
(11) as:
a f
ln IS = LISA +
LM E -1OP a- lnahf + ba1 / E -1 / E fFG E IJ (12)
HEK
NE Q
b
b
b
TORRES-ROJO: CURVAS COMPUESTAS DE ÍNDICE DE SITIO EN INVESTIGACIÓN FORESTAL
a f LMN EE OPQ a- lnahf + ba1 / E -1 / E f + 2 lnahf
- a + ba1 / E - 1 / E f
ln IS =
b
b
(11)
b
Con la Ecuación 4 es posible reacomodar términos y reescribir
(11) como:
a f
ln IS = LISA +
LM E -1OP a- lnahf + ba1 / E -1 / E fFG E IJ (12)
HEK
NE Q
b
b
b
donde LISA representa el valor del logaritmo del índice de sitio
anamórfico (lado derecho de la Expresión 4). En (12) se observa que
la nueva expresión de IS considera el modelo anamórfico, más una
ponderación que incluye el cambio de escala (segundo término del
lado derecho) y un factor adicional que considera la forma de la curva,
propocional a la diferencia entre la edad base y la edad de referencia
(tercer término del lado derecho).
Resulta obvio que las expresiones ana-polimórficas y las polianamórficas siempre serán diferentes a menos que la relación alturaedad sea una relación directa (h=E), en la que el parámetro de escala
y de forma son iguales a la unidad; sin embargo, éste es un caso poco
atractivo porque la relación altura: edad no es lineal. Adicionalmente,
es claro que al existir siempre una diferencia entre ambas formas se
vuelve a la disyuntiva original: ¿Qué es mejor: iniciar con una función anamórfica o con una polimórfica? Teóricamente las expresiones
finales incorporan tanto la variación en escala como en forma; sin
embargo, como se mostrará posteriormente, existen diferencias en su
comportamiento.
COMPARACIÓN DE FUNCIONES
DE ÍNDICE DE SITIO
La base de datos para las variables altura y edad se integró con
información proveniente de análisis troncales. La elección del arbolado no incluyó solamente arbolado dominante o codominante en un
rodal, aunque fue requisito que el arbolado fuese de varias edades y
que creciera libre de competencia y sobre diferentes condiciones de
sitio. Así se asegura que la información refleje el crecimiento real en
altura en una amplia gama de edades, evitando el sesgo de usar sólo
arbolado maduro. La muestra consistió de 164 árboles de diferentes
especies clasificados en tres grupos (Cuadro 1). El muestreo fue selectivo y se efectuó a lo largo de la región denominada Guanacevi-Tecuan,
localizada al Noreste del Edo. de Durango. Los análisis troncales se
hicieron de acuerdo con la metodología definida por Kiessling (1978),
mientras que la estimación de alturas derivada de tales análisis se hizo
de acuerdo con el método ISSA (Fabbio et al., 1994).
Los datos se dividieron aleatoriamente en dos grupos. El primero
se integró con 127 árboles, cuya información se utilizó para los ajustes de modelos. El segundo (37 árboles) se utilizó para validar los
modelos de índice de sitio probados (Cuadro 1). Adicionalmente, las
especies se dividieron en tres grupos de acuerdo con sus tasas de crecimiento en la zona de estudio. El análisis se realizó para cada grupo
de especies.
91
where LISA represents the logarithmic value of the anamorphic index
site (right hand side in expression 4). Equation (12) shows that the
new IS expression considers the anamorphic model, plus a weight that
includes scale change (right hand side, second term) and an additional
factor considering the curve’s shape, proportional to the difference
between base age and reference age (right hand side, third term).
It becomes obvious that ana-polymorphic and poly-anamorphic
expressions will be always different, unless the height-age relationship
is a direct one (h = E), for which the shape and scale parameters equal
the unit; however, this is not an attractive case because the height-age
relation is not linear. Additionally, it becomes clear that since there is
always a difference between these two forms, we return to the original
question: Is it better to start with an anamorphic or with a polymorphic
function? Theoretically, the final expressions incorporate variations
in scale and shape; however, as will be shown later, there are differences
in its behaviour.
SITE INDEX FUNCTIONS COMPARISONS
The database for height and age variables was integrated with
information from stem analyses. The choice of trees did not only
include the dominant or co-dominant trees in a stand, even though it
was required that trees had different ages and were growing free of
competition and on different site conditions. In this way it is certain
that the information reflects real height growth in a wide range of
ages, avoiding bias derived of using only mature trees. The sample
was made out of 164 trees of different species arranged in 3 different
groups (Table 1). The sampling was selective and was obtained along
the Guanaceví-Tecuan region, located to the northeast of Durango State.
The stem analyses were made following the methodology defined by
Kiessling (1978), while the height estimates derived from such analyses
were made following the ISSA methodology (Fabbio et al., 1994).
Data were randomly divided in two groups. The first one was made
out of 127 trees, whose information was used for model fitting. The
Cuadro 1. Número de análisis troncales por especie.
Table 1. Number of stem analysis per specie.
Especie
Pinus arizonica
Engelm.
Pinus duranguensis
Martínez
Pinus ayacahuite
K Ehrenb. ex Schltdl.
Pinus leiophylla
Schltdl. et Cham.
Pinus lumholtzii
Robinson & Fern.
Pinus herrerai Martínez
Pinus engelmanii Carr.
Pinus teocote
Schltdl. et Cham.
Total
Grupo de
especies
Núm. de árboles analizados
Núm. de árboles usados en
la validación
1
44
9
1
17
4
2
39
8
3
14
3
3
3
3
10
16
10
3
4
3
3
14
3
164
37
92
AGROCIENCIA VOLUMEN 35, NÚMERO 1, ENERO-FEBRERO 2001
Dada la disponibilidad de análisis troncales, se decidió utilizar la
metodología de la diferencia algebraica (Clutter et al., 1983) para estimar las funciones de índice de sitio. A fin de ampliar la muestra y
mejorar la calidad de la información, se tomaron varias diferencias de
los análisis troncales, esto es, en lugar de tomar sólo las alturas de una
década para definir edad y altura, inicial y final respectivamente, se
tomaron alturas con diferencias de 20, 30, 40 y 50 años cuando fuese
posible. De esta forma la información se enriqueció y se aumentó de
1659 a un total de 5038 observaciones. Otra ventaja de esta estrategia
es que permite agregar información para intervalos de proyección grandes de índice de sitio, con lo que es posible detectar polimorfismos en
las trayectorias. Los ajustes se realizaron por mínimos cuadrados ordinarios (lineales o no lineales de acuerdo con el modelo), usando los
procedimientos REG y NLIN del sistema SAS (1996).
Los Modelos ana-polimórficos 7 y 9 y poli-anamórficos 10 y 11
se compararon contra los modelos anamórficos y polimórficos derivados del modelo de Schumacher (1939) y del modelo de Richards
(Richards, 1959). En años recientes, este último modelo se ha modificado para mejorar los ajustes (Ker y Bowling, 1991) y para definir
índices de sitio polimórficos (Payandeh y Wang, 1994). También se
ha usado para evaluar nuevos modelos de crecimiento en altura
(Newnham, 1988; Ker y Bowling, 1991; Goelz y Burk, 1992; Payandeh
y Wang, 1994; Meng et al., 1997) de gran eficiencia. Para completar
la comparación e incluir modelos más eficientes se usaron también las
formas de tres parámetros del modelo de Richards definidas por Goelz
y Burk (1992) y la de Payandeh y Wang (1994). A continuación se
muestran los modelos utilizados:
second group (37 trees) was used to validate the site index models
tested (Table 1). Additionally, the species were divided in three groups
according to their growth rates within the studied area. The analysis
was made for each group of species.
Given the availability of stem analyses, it was was decided to use
the algebraic difference methodology (Clutter et al., 1983) to estimate
the site index functions. In order to enlarge the sample, and to improve
the quality of information, several differences of the stem analyses
were used; that is, rather than just taking the height of a decade to
define age and height, initial and final respectively, heights with
differences of 20, 30, 40 and 50 years were taken when possible. In
this way information was enriched and the number of observations
rose from 1659 to 5038. Another advantage of this strategy is that
allows to add information to large site index projection intervals, which
enables to detect polymorphisms in the trajectories. Adjustments were
made by ordinary least squares (linear or non-linear according to the
model), using the REG and NLIN procedures of the SAS system (1996).
The ana-polymorphic models 7 and 9 and the poly-anamorphic
models 10 and 11 were compared to the anamorphic and polymorphic
derived from the Schumacher model (1939), and from the Richards
model (Richards, 1959). In recent years the later model has been
modified to improve the fits (Ker and Bowling, 1991) and to define
polymorphic site index curves (Payandeh and Wang, 1994). It has also
been used to evaluate new height growth models (Newnham, 1988;
Ker and Bowling, 1991; Goelz and Burk, 1992; Payandeh and Wang,
1994; Meng et al., 1997) of great efficiency. To complete the
comparison and in order to include more efficient models the three
parameter form from the Richards model defined by Goelz and Burk
(1992) and Payandeh and Wang (1994) were used. The models are
shown below:
Modelo anamórfico (Schumacher):
ma f
h2 = exp ln h1 + b 1 / Eb - 1 / E
r
Anamorphic model (Scumacher):
ma f
h2 = exp ln h1 + b 1 / Eb -1 / E
Modelo polimórfico (Schumacher):
Polymorphic model (Schumacher):
RS
T
af
E
Eb
h2 = exp a + ln h - a
UV
W
RS
T
af
E
Eb
h2 = exp a + ln h - a
Modelo anamórfico (Richards):
Anamorphic model (Richards):
h2 = h1
LM 1- e
MN 1- e
b 2 E2
b 2 E1
OP
PQ
b3
Modelo polimórfico (Richards):
d
h2 = b1 1- e bE2
LM F h I OP
MM GH b JK PP
N
Q
1
-1
donde b = E1 ln 1-
1
1
b3
h2 = h1
LM 1- e OP
MN 1- e PQ
b 2 E2
b3
b 2 E1
Polymorphic model (Richards):
i
b3
d
h2 = b1 1- e bE2
LM F h I OP
MM GH b JK PP
N
Q
1
where b = E1 1ln 1-
1
1
b3
i
b3
UV
W
r
TORRES-ROJO: CURVAS COMPUESTAS DE ÍNDICE DE SITIO EN INVESTIGACIÓN FORESTAL
Modelo polimórfico de Goelz y Burk (1992):
Goelz and Burk’s polymorphic model (1992):
L Fh I
O
1- expM- b G J E E P
MN H E K
PQ
h =h
L Fh I
O
1- expM- b G J E E P
MN H E K
PQ
b4
b2
1
1- exp - b1
1
2
1
b2
1
h2 = h1
b3
1
1
1
b
d
i
h2 = b1h1 2 1- e b 3E2
1
b2
b3
1
1
1
1
Payandeh and Wang’s polimorphic model (1994):
v
donde
b4
b3
2
1
1
1
1
Modelo polimórfico de Payandeh y Wang (1994):
LM F h I
O
E E P
G
J
MN H E K
PQ
L Fh I
O
1- expM- b G J E E P
E
MN H K
PQ
b2
b3
2
1
1
93
b
d
i
h2 = b1h1 2 1- e b 3E2
v
where
F h I
GH b h JK
ln
v=
d
1
b2
1 1
- b 3E1
ln 1- e
i
v=
En estos modelos h1 y h2 representan respectivamente la altura
inicial y final, mientras que E1 y E2 representan las edades inicial y
final.
Una vez ajustados los diferentes modelos se procedió a su validación. El análisis consistió en calcular valores de los estadísticos R²
tanto para toda la muestra como para varias diferencias de edad. Este
segundo análisis se realizó con el fin de identificar el efecto de la
diferencia de edad en la predicción de la altura. El estadístico R² se
calculó con la fórmula:
R2 = 1-
F h I
GH b h JK
ln
ådhi - h$i i
åchi - h h
2
2
donde hi = Altura real a la edad de proyección para la i-ésima observación; h$i = Altura predicha a la edad de proyección para la i-ésima
observación; y h = Altura real promedio.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
El Cuadro 2 muestra los resultados de los ajustes obtenidos para el primer grupo de especies, mientras que
los Cuadros 3 y 4 presentan los de los Grupos 2 y 3.
Obsérvese que en los tres cuadros las varianzas son
aproximadamente de la misma escala, pues los modelos
de escala y forma variable se ajustaron en su forma no
lineal usando como variable dependiente la altura y no el
logaritmo de esta variable, que es como lo muestran las
Ecuaciones 3, 5, 6 y 9. Adicionalmente es importante
hacer notar que el modelo denominado curva guía corresponde al Modelo 1 igualmente ajustado en su forma
d
1
b2
1 1
- b 3E1
ln 1- e
i
In these models h1 and h2 represent the initial and final height
respectively, while and represent initial and final age respectively.
Once all different models were fitted, a validation process was
carried out. The analysis consisted in calculating the values of the R2
statistics for the whole sample and for several age differences. The
purpose of this second analysis was to identify the effect of the age
difference on forecasting height. The R2 statistic was calculated
according to the formulae:
R2 = 1-
ådhi - h$i i
åchi - h h
2
2
where hi = Current height at projection age for the i-th observation;
h$i = Forecasted height at projection age for the i-th observation; h =
Average current height.
RESULTS AND DISCUSSION
Table 2 shows the results of the fits obtained for the
first group of species, while tables 3 and 4 present the
results from groups 2 and 3.
Notice that in these three tables the variances are
approximately of the same scale, this is because the
variable shape and scale models were adjusted in their
non-linear form, using height rather than the variable’s
logarithm as dependent variable, as shown in equations
3, 5, 6 and 9. Additionally it is important to point out that
the model denominated guide curve corresponds to Model
1 also fitted in its non-linear form. The later model was
94
AGROCIENCIA VOLUMEN 35, NÚMERO 1, ENERO-FEBRERO 2001
Cuadro 2. Estadísticos de bondad de ajuste para diferentes formas de las curvas de índice de sitio para el Grupo 1.
Table 2. Goodness of fit statistics for different shapes of index site curves for Group 1.
Estimador de a
Modelo
Curva guía
Anamórfica (Schumacher)
Polimórfica (Shumacher)
Ana-polimórfica con cambio continuo
Ana-polimórfica con cambio discreto
Poli-anamórfica con cambio continuo
Poli-anamórfica con cambio discreto
Anamórfica (Richards)
Polimórfica (Richards)
Goelz y Burk (1992)
Payandeh y Wang (1994)
†
R²†
0.723
0.792
0.823
0.830
0.841
0.846
0.866
0.834
0.885
0.490
0.843
Valor
Estimador de b
Significancia
3.233
**
Estimador
Significancia
-45.182
**
**
-44.493
3.493
2.122
3.831
3.390
3.5383
b2 = -0.017
b1 = 27.010
**
**
**
**
**
**
**
-50.600
**
**
**
**
**
**
-37.817
-21.997
-59.037
b3 = 1.725
b3 = 2.009
Varianza
del
modelo
6.123
5.564
3.267
3.167
3.005
2.927
2.598
3.445
2.068
11.94
2.72
Para todos los modelos el estadístico R² corresponde al valor de R² ajustada.
Cuadro 3. Estadísticos de bondad de ajuste para diferentes formas de las curvas de índice de sitio para el Grupo 2.
Table 3. Goodness of fit statistics for different shapes of index site curves for Group 2.
Estimador de a
Modelo
Curva guía
Anamórfica (Schumacher)
Polimórfica (Shumacher)
Ana-polimórfica con cambio continuo
Ana-polimórfica con cambio discreto
Poli-anamórfica con cambio continuo
Poli-anamórfica con cambio discreto
Anamórfica (Richards)
Polimórfica (Richards)
Goelz y Burk (1992)
Payandeh y Wang (1994)
†
R²†
0.654
0.634
0.824
0.647
0.734
0.718
0.758
0.707
0.825
0.4486
0.848
Valor
Estimador de b
Significancia
3.080
**
Estimador
Significancia
-41.010
**
**
-38.981
3.400
2.040
3.559
3.242
3.422
b2 = -0.014
b1 = 20.960
**
**
**
**
**
**
**
-50.384
**
**
**
**
**
**
-37.614
-18.475
-49.717
b3 = 1.448
b3 = 2.531
Varianza
del
modelo
7.134
6.883
3.319
6.670
5.025
5.32
4.560
5.53
3.318
9.135
3.168
Para todos los modelos el estadístico R² corresponde al valor de R² ajustada.
Cuadro 4. Estadísticos de bondad de ajuste para diferentes formas de las curvas de índice de sitio para el Grupo 3.
Table 4. Goodness of fit statistics for different shapes of index site curves for Group 3.
Estimador de a
Modelo
Curva guía
Anamórfica (Schumacher)
Polimórfica (Shumacher)
Ana-polimórfica con cambio continuo
Ana-polimórfica con cambio discreto
Poli-anamórfica con cambio continuo
Poli-anamórfica con cambio discreto
Anamórfica (Richards)
Polimórfica (Richards)
Goelz y Burk (1992)
Payandeh y Wang (1994)
†
R²†
0.589
0.650
0.834
0.719
0.761
0.793
0.750
0.673
0.806
0.643
0.712
Valor
3.083
Estimador de b
Significancia
**
Estimador
-40.685
-40.317
3.454
2.034
3.415
3.260
3.439
b2 = -0.023
b1 = 23.300
Para todos los modelos el estadístico R² corresponde al valor de R² ajustada.
**
**
**
**
**
**
**
-54.816
-44.279
-17.983
-48.853
b3 = 1.824
b3 = 2.409
Significancia
**
**
**
**
**
**
**
**
Varianza
del
modelo
8.192
7.427
3.562
5.973
5.090
5.465
5.323
6.973
4.123
8.311
5.870
TORRES-ROJO: CURVAS COMPUESTAS DE ÍNDICE DE SITIO EN INVESTIGACIÓN FORESTAL
adjusted with the purpose of comparing the a and b
estimated values obtained from different forms of site
index.
The use of several age differences within each group
makes the curves’ trajectories show more clearly the shape
differences caused by site variations. Doubtless, this is
amplified by the use of various species in each group,
since for the same initial height-age pair (base age) several
projection values are given (projection age).
For the fist group of species, the composed anapolymorphic and poly-anamorphic models yield better
fits than the simple model (anamorphic or polymorphic)
and even than the improved models of Goelz and Burk
(1992) or Payandeh and Wang (1994), which include more
parameters. The best model for this group was the
polymorphic form derived from Richards. It also can be
noticed that for this group of species, and even for the
other groups, the poly-anamorphic forms had better
performance than the ana-polymorphic.
Results obtained for Group 2 and Group 3 are similar
to those obtained for Group 1; even though for these
groups the polymorphic form derived from the
Schumacher model had better adjustment than the
composed forms and even than the polymorphic form
derived from the Richards’ model.
Stands out the fact that the estimates of composed
models were similar to the ones obtained with the guide
curve, this means that these are estimates that resemble
the model’s original form, which relates height-age.
Figure 1 shows the form that two composed models adopts
for the first group of species using 80 years as base age.
Here we can notice an important difference between the
ana-polymorphic and the poly-anamorphic curves. The
first maintain the trajectory of a growth function because
of their anamorphic base, while the shape change happens
25
Polimórfica
Ana-polimórfica
Poli-anamórfica
20
Altura (m)
no lineal. Este último modelo se ajustó a fin de comparar
los valores de los estimadores de a y b obtenidos con
diferentes formas de índice de sitio.
El uso de varias diferencias de edad en cada grupo
hace que las tendencias de las curvas muestren más claramente las diferencias en forma ocasionadas por variaciones en sitio. Ello sin duda se ve amplificado por el uso
de varias especies en cada grupo, dado que para una misma dupla de altura-edad iniciales (edad base) se proporcionan diferentes valores de proyección (edad de proyección).
Para el primer grupo de especies, los modelos compuestos ana-polimórfico y poli-anamórfico proporcionaron mejor ajuste que el modelo simple (anamórfico o
polimórfico) e incluso que los modelos mejorados como
el de Goelz y Burk (1992) o el de Payandeh y Wang
(1994), mismos que tienen mayor cantidad de parámetros. Para este grupo el mejor modelo fue la forma
polimórfica derivada de Richards. Asimismo, se puede
observar que para este grupo de especies, e incluso para
los demás grupos, las formas poli-anamórficas tuvieron
mejor desempeño que las ana-polimórficas.
Los resultados, tanto para el Grupo 2 como para el
Grupo 3, fueron similares a los obtenidos para el Grupo
1; aunque para estos grupos la forma polimórfica derivada del modelo de Schumacher resultó con mejor ajuste
que las formas compuestas e incluso mejor que la forma
polimórfica derivada del modelo de Richards.
Destaca que los estimadores de los modelos compuestos fueron similares a los obtenidos con la curva guía,
esto es, son estimadores que se asemejan a la forma original del modelo que relaciona altura-edad. La Figura 1
muestra la forma que adoptan dos modelos compuestos
para el primer grupo de especies usando como edad base
80 años. Aquí se puede apreciar una diferencia notable
entre las curvas ana-polimórficas y las poli-anamórficas.
Las primeras conservan la tendencia de una función de
crecimiento dado que su base es anamórfica, mientras
que el cambio en forma es en el largo plazo (intervalos
grandes). Por el contrario, las curvas poli-anamórficas
tienen un cambio en forma en el corto plazo (intervalos
pequeños) y adoptan la forma genérica de la función; en
este caso, una función no decreciente (modelo de
Shumacher).
La Figura 2 muestra la tendencia de las curvas polianamórficas (discretas) para tres índices de sitio. Como
se puede apreciar, son curvas que muestran la tendencia
general del modelo de Schumacher, sin embargo dan la
impresión de tener un comportamiento discontinuo (mucha variación entre una y otra edad) al considerar la variación de forma y escala a la vez.
El desempeño de las diferentes formas de curvas en
la predicción de índices de sitio, se midió con una prueba
de validación utilizando la base de datos previamente
95
15
10
5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Edad (años)
Figura 1. Comparación entre curvas compuestas y una curva
polimórfica.
Figure 1. Comparison between composite curves and a
polimorphic curve.
AGROCIENCIA VOLUMEN 35, NÚMERO 1, ENERO-FEBRERO 2001
35
IS = 15
IS = 20
IS = 25
30
Altura (m)
25
20
15
10
5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Edad (años)
Figura 2. Comportamiento de tres curvas poli-anamórficas para
el Grupo 1.
Figure 2. Behavior of three poly-anamorphic curves for group 1.
separada. El Cuadro 5 muestra los resultados indicando
sólo el estadístico R² y para el primer grupo de especies.
En este cuadro la primera columna de cifras ha sido denominada promedio para indicar que la prueba de validación se realizó con toda la muestra, esto es, con todas
las diferencias de edad. Los encabezados 10, 30 y 50 indican que la prueba sólo se efectuó para aquellos pares
de datos (altura-edad) con 10, 30 y 50 años de diferencia.
Como se puede apreciar, los modelos compuestos son
bastante competitivos en términos de ajuste con respecto
a los modelos tradicionales anamórficos o polimórficos
especialmente cuando éstos tienen el mismo número de
parámetros. En la prueba es notable el buen desempeño
que tienen los modelos mejorados de Goelz y Burk (1992)
y el de Payandeh y Wang (1994), probablemente debido
al mayor número de parámetros. Es importante notar que
cuando las diferencias de edad son pequeñas, el modelo
poli-anamórfico es muy eficiente, probablemente debido
a que como se señaló, identifica las diferencias de forma
en altura en intervalos pequeños de edad. Una observación detenida del modelo ana-polimórfico muestra que
este modelo mejora con respecto al poli-anamórfico en
la medida que la diferencia de edad aumenta, lo cual corrobora lo que ya se había señalado.
Payandeh y Wang (1994) mostraron que es importante aplicar pruebas de validación de los modelos de índice de sitio considerando datos con varias diferencias
de edad. El Cuadro 5 muestra que no sólo es necesario
incluir varias diferencias de edad, sino que también es
importante evaluar los modelos por rangos de tales diferencias. De lo contrario se puede llegar a seleccionar un
modelo poco eficiente. Por ejemplo, si la prueba de validación no hubiese incluido varias diferencias de edad, la
in the long run (large size intervals). On the contrary, on
the poly-anamorphic curves the shape change happens
in the short run (small size intervals) and acquire the
function’s generic form, in this case, a non-decreasing
function (Schumacher Model).
Figure 2 shows the tendency of poly-anamorphic
curves (discrete) for three site index. As can be seen, these
are curves that show the general trajectory of the
Schumacher model, however they seem to have a
discontinuous behavior (large variations between ages),
considering the scale and shape variation at the same time.
The performance of different curve forms to forecast
site index, was measured with a validation test using the
previously selected database. Table 5 shows first
numerical column the results indicating only the R2
statistic and for the first group of species. In this Table
the first numerical column has been denominated average
to indicate that the validation test was made with the whole
sample, that is, with all the age differences. The headings
10, 30 and 50 indicate that the test was made only for the
pairs of data (height-age) with 10, 30 and 50 years of
difference.
As can be noticed, the composed models are fairly
competitive in terms of fit compared to the traditional
anamorphic and polymorphic models, particularly when
these have the same number of parameters. In the test is
remarkable the good performance attained by the improved
models of Goelz and Burk (1992) and of Payandeh and
Wang (1994), probably due to the larger number of
parameters. It is important to notice that when the age
differences are small, the poly-anamorphic model is very
efficient, probably, as was previously indicated, because it
identifies height form differences in small age intervals.
Cuadro 5. Valores de R² para la prueba de validación de proyecciones de altura para el Grupo 1.
2
Table
25 5. R values in the validation test for height projections in
GroupPolimórfica
1.
Ana-polimórfica
Poli-anamórfica Diferencia promedio en edades
20
de proyección (años)
Modelo
15
Promedio
10
30
50
Altura (m)
96
Anamórfica (Schumacher)
10
Polimórfica
(Shumacher)
Ana-polimórfica con
cambio
continuo
5
Ana-polimórfica con
cambio discreto
Poli-anamórfica
con
0
cambio
0 continuo
20
40
Poli-anamórfica con
cambio discreto
Anamórfica (Richards)
Polimórfica (Richards)
Goelz y Burk (1992)
Payandeh y Wang (1994)
0.537
0.643
0.853
0.880
0.238
0.522
0.084
0.359
0.552
0.857
0.360
0.218
0.590
0.859
0.409
0.362
0.613
60
800.876100 0.235
120
Edad
0.646(años)0.889
0.537
0.853
0.626
0.873
0.506
0.825
0.694
0.889
0.231
0.290
0.476
0.400
0.518
0.134
140
0.155
0.071
0.310
0.377
0.402
TORRES-ROJO: CURVAS COMPUESTAS DE ÍNDICE DE SITIO EN INVESTIGACIÓN FORESTAL
forma poli-anamórfica hubiese sido una buena selección;
sin embargo, considerando diferencias más amplias de
edad, es evidente que tal selección resulta inapropiada.
La información del Cuadro 5 también orienta acerca
de la conveniencia de usar cada tipo de curvas. Se observa que en la medida en que la diferencia de edad es más
pequeña las curvas poli-anamórficas son consistentemente
más eficientes. Por el contrario, a medida que tal diferencia aumenta, las funciones ana-polimórficas son más eficientes. Esto sólo indica que cuando el intervalo de predicción de índices de sitio es pequeño son más importantes los cambios en forma que la tendencia general de la
curva y viceversa, cuando el intervalo es grande, resulta
de mayor importancia la tendencia general de la curva.
Este resultado, no sólo es lógico, sino que ha sido usado
empíricamente. Es común encontrar en la bibliografía
recomendaciones sobre el uso de formas polimórficas para
evaluar índices de sitio en plantaciones (Bailey y Clutter,
1974; Winston y Demaerschalk, 1981; Payandeh y Wang,
1994) y el uso de formas anamórficas para evaluar poblaciones naturales (Hann, 1995).
CONCLUSIONES
La integración del gradiente instantáneo, o cambio
diferencial del parámetro que permanece constante al derivar una forma anamófica o polimórfica de índice de sitio, permite derivar una función ana-polimórfica o polianamórfica dependiendo del gradiente o cambio que se
incluya. Estas funciones son eficientes para estimar índices de sitio, comparadas con las que tienen el mismo
número de parámetros. La prueba empírica mostró que
las diferencias en R² no son superiores a 10% del mejor
ajuste. Las formas poli-anamórficas predicen eficientemente índices de sitio cuando las diferencias de edad son
pequeñas (menos de 20 años), mientras que las formas
ana-polimórficas son eficientes sólo si la diferencia de
edad es mayor. Ambas formas compuestas permiten modificar en escala y forma la trayectoria típica de la función, logrando más detalle en la evaluación. La selección
de modelos de índice de sitio debe basarse en una prueba
de validación. Es importante que en esta prueba se analicen varias diferencias de edad a fin de evaluar el desempeño de los modelos con diferentes intervalos de proyección.
LITERATURA CITADA
Bailey, R. L., and J. L. Clutter. 1974. Base-age invariant polymorphic
site curves. For. Sci. 20: 155-159.
Clutter, J. L., J. C. Fortson, J. C. Piennar, L. V. Brister, and R. L. Bailey.
1983. Timber Management: A Quantitative Approach. Wiley. New
York. 333 p.
Fabbio, G., M. Frattegiani, and M. CH. Manetti. 1994. Height
estimation in stem analysis using second differences. For. Sci. 40:
329-340.
97
A deeper observation of the ana-polymorphic model
shows that as age differences get larger this model
improves compared with the poly-anamorphic model.
This corroborates what had been previously pointed out.
Payandeh and Wang (1994) showed that it is important
to apply validation tests of site index models using data
with several age differences. Table 5 shows that is not
only necessary to include several age differences, but is
also important to evaluate models for ranges of such
differences. Otherwise, a model with less efficiency could
be chosen. For example, if the validation test would not
had included several age differences, the ana-polymorphic
form would have been a good choice, however, it is clear
that if wider age differences are included, it is an
inappropriate choice.
Information on table 5 gives directions on how to use
each type of curve. It shows that as age differences get
smaller, poly-anamorphic curves are consistently more
efficient. On the other hand, as age differences get bigger
the ana-polymorphic functions are more efficient. This
only shows that when the forecast interval of site index is
small, the form changes are more important than the
general tendency of the curve and, viceversa, when the
interval is large, the general trajectory of the curve is more
important. This result is not only logical, but it has also
been used empirically. It is common to find bibliographic
recomendation about the use of polymorphic forms to
evaluate site index plantations (Bailey and Clutter, 1974;
Winston and Demaerschalk, 1981; Payandeh and Wang,
1994) and the use of anamorphic forms to evaluate natural
populations (Hann, 1995).
CONCLUSIONS
The integration of the instant gradient, or differential
change in the parameter that remains constant when
deriving a site index anamorphic or polymorphic form,
allows to derive an ana-polymorphic or a polyanamorphic form depending on the gradient or change to
be included. These functions are efficient to estimate site
index, compared to others that have the same number of
parameters. The empirical test showed that the
R2 differences are not larger than a 10% from the best fit.
Poly-anamorphic forms efficiently forecast site index
when age differences are small (less than 20 years), while
ana-polymorphic forms are efficient only if the difference
is larger. Both composed forms allow modifying in shape
and scale the typical function trajectory, attaining greater
detail in the evaluation process. Selection of site index
models should be based on a validation test. For this test
it is important to analyze several age differences in order
to evaluate the performance of models with different
projection intervals.
—End of the English version—
pppvPPP
98
AGROCIENCIA VOLUMEN 35, NÚMERO 1, ENERO-FEBRERO 2001
Goelz, J. C. G., and T. E. Burk. 1992. Development of a well-behaved
site index equation: Jack pine in north central Ontario. Can. J.
For. Res. 22: 776-784.
Hahn, T., and W. H. Carmean. 1982. Lake states site index curves
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