EJERCICIOS DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS I

EJERCICIOS DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS I
ASIGNATURA:
GRADO:
GRUPO
CURSO ACADÉMICO:
TÉCNICAS CUANTITATIVAS I
ADE + DERECHO
B
2014 / 2015
________________________________________________________________________
Relación 5: Probabilidad y Variables Aleatorias (Temas 5, 6 y 7)
________________________________________________________________________
Tema 5. Probabilidad
1.- Dados dos sucesos A y B, siendo p( A)  3 ; p( B)  1 ; p( A  B)  1 :
8
2
4
a) Calcule la probabilidad de A unión B.
b) Calcule la probabilidad del complementario de A.
c)
p( A  B ) .
d) p( A  B ) .
e)
Sol.: a)
p( A  B ) .
5/8, b) 5/8, c) 3/8, d) 3/4, e) 1/8
2.- La probabilidad de que un hombre viva dentro de 30 años es 3 , y la de que su mujer viva dentro de
5
30 años es 2 . Hallar:
3
a) La probabilidad de que ambos vivan dentro de 30 años.
b) La probabilidad de que sólo viva el hombre dentro de 30 años.
c) La probabilidad de que viva al menos uno de los dos.
Sol.: a)
2/5, b) 1/5, c) 13/15
3.- Sean A, B, C tres sucesos tales que:
p( A)  0.4; p( B)  0.2; p(C )  0.3;
p( AB)  0.1; p( AC )  0.2; p( BC )  0.1;
p( ABC )  0.08
a) Calcule la probabilidad de que ocurra un suceso por lo menos. Sol.: 0.58
b) Obtenga la probabilidad de que ocurran Ay B pero no C. Sol.: 0.02
4.- Se extrae una carta de una baraja española de 48 cartas. Comprobar cuales de los siguientes pares de
sucesos son independientes:
a) A = ”sacar un rey” y B = “sacar espadas”.
b) A = ”sacar una figura” y B = “sacar espadas”.
Sol.: a)
Independientes, b) Independientes
Relación 5 de ejercicios (Temas 5, 6 y 7). Doble Grado ADE + Derecho. Grupo B
1
5.- Se tienen tres urnas con la siguiente composición: la 1ª urna contiene una bola blanca, 2 negras y
tres rojas. La 2ª, dos blancas, 3 negras y cuatro rojas. La 3ª contiene 4 blancas, 7 negras y 5 rojas.
Se elige una urna al azar y se toma una bola.
a) Calcule la probabilidad de que la bola sea roja.
b) La bola que sale es blanca. Calcule la probabilidad de que proceda de la tercera urna.
Sol.: a)
0.419, b) 0.3
6.- Una empresa compra una pieza suministrada por 3 proveedores. Al primero le compra el 45% de las
piezas, resultando defectuosas el 1% de las mismas. Al segundo le compra el 30% de las piezas, siendo
defectuosas el 2%. El resto lo suministra el proveedor tres, y de ellas son defectuosas el 3%. En un
control se selecciona una pieza al azar y es defectuosa. Calcule la probabilidad de que venga del
segundo proveedor.
Sol.:
0.333
7.- La probabilidad de que suban las acciones de una empresa es 0,8 si el índice de la bolsa sube, y 0,15
si la bolsa no aumenta el índice. Un estudio revela que la probabilidad de que aumente el índice de la
bolsa es 0,7. Calcule la probabilidad de que las acciones hayan aumentado su valor. Se ha detectado que
las acciones de la empresa no han subido. Calcule la probabilidad de que, sin embargo, el índice de la
bolsa sí haya aumentado.
Sol.: 0.605
8.- La producción de una factoría se realiza en cuatro máquinas M1, M2, M3 y M4. La primera máquina
produce diariamente 600 unidades; la segunda 500; la tercera máquina produce 350 y la última 250.
Además sabemos que los porcentajes de piezas defectuosas producidas por cada una de las máquinas es
del 4% para M1, 3,5% para M2; 4,6% para M3 y 2% para M4.
a) Si las piezas se almacenan juntas, ¿cuál es la probabilidad de que al extraer una pieza al azar
sea defectuosa?
b) Se ha extraído una pieza que resulta defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido
producida por la máquina dos?
Sol.: a)
0.037, b) 0.279
9.- En una universidad terminan la carrera el 5% de los estudiantes de arquitectura, el 10% de los de
ciencias y el 20% de los de letras. El 20% de los estudiantes estudian arquitectura, el 30% ciencias y el
resto letras. Se elige un estudiante al azar:
a) Calcule la probabilidad de que sea de arquitectura y haya terminado la carrera.
b) Se escoge un estudiante al azar y nos dice que ha terminado la carrera. Calcule la
probabilidad de que sea de arquitectura.
Sol.: a)
0.01, b) 0.0714
Relación 5 de ejercicios (Temas 5, 6 y 7). Doble Grado ADE + Derecho. Grupo B
2
10.- Se dispone de dos urnas, una con 3 bolas blancas y dos rojas y otra con 4 blancas y dos rojas. Se
escoge una urna al azar y se extrae una bola al azar. Calcule la probabilidad de que la bola sea blanca.
Sol.: 19/30
11.- En una empresa el 8% de los hombres y el 4,3% de las mujeres ganan más de 20.000 euros al año.
Se sabe que el porcentaje de mujeres es del 47%. Se selecciona al azar un empleado y resulta que gana
menos de 20.000 euros al año. Calcule la probabilidad de que sea mujer. Sol.: 0.063
12.- En un campus universitario hay 3 carreras; el 50% estudian derecho, el 30% empresariales y el resto
Economía. Finalizan sus estudios el 20%, el 10% y el 5% respectivamente. Seleccionado un estudiante
al azar,
a) Halle la probabilidad de que haya finalizado sus estudios.
b) Nos dice que ha finalizado los estudios. Calcule la probabilidad de que no sea de Derecho.
Sol.: a)
0.71, b) 0.29
13.-En una caja hay 15 piezas de la fábrica A, 10 de la B, y 25 de la C. La probabilidad de que la pieza
de la fábrica A sea de calidad excelente es 0,6; de la fábrica B es 0,9 y de la C es 0,7.
a) Calcule la probabilidad de que extraída una pieza al azar, ésta resulte de calidad excelente.
b) Se extrae una pieza al azar y resulta de calidad excelente. ¿Cuál es la probabilidad de que sea
de la fábrica B?
Sol.: a)
0.71, b) 0.25
14.-Una compañía eléctrica estudia la comercialización de un producto que desea sea superior al de su
competidor. Un estudio asigna una probabilidad del 50% de que el producto sea superior al del
competidor, un 30% de que sea de igual calidad y un 20% de que sea de calidad inferior. Teniendo en
cuenta la experiencia de las encuestas de mercado se sabe que si un producto es realmente superior al del
competidor, la encuesta dice que es superior con una probabilidad de 0,7. Si el producto tiene la misma
calidad que la del competidor, la probabilidad de que la encuesta diga que es superior es de 0.4, y si el
producto tiene calidad inferior a la del competidor, la probabilidad de que la encuesta diga que es
superior es de 0.2. La encuesta dice que el producto es superior. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un
producto superior al del competidor? Sol.: 0.69
15.- Una compañía clasifica las formaciones geológicas de acuerdo a la posibilidad de obtener petróleo
en tres tipos. La compañía pretende perforar un pozo al que se le asignan las probabilidades de 0,35; 0,4
y 0,25 para los tres tipos de formaciones, respectivamente. Se sabe que el petróleo se encuentra en el
40% de las formaciones tipo 1, en el 20% de las formaciones tipo 2 y en el 30% de las tipo 3. Calcular la
probabilidad de que al perforar no se encuentre petróleo, y si se perfora y no se encuentra petróleo,
determine la probabilidad de que exista una formación tipo 2.
Sol.: a)
0.705, b) 0.454
Relación 5 de ejercicios (Temas 5, 6 y 7). Doble Grado ADE + Derecho. Grupo B
3
Tema 6. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
(Variables aleatorias discretas)
16.- Considere el experimento tirar una moneda dos veces y la variable aleatoria X que mide el número
de cruces en dos tiradas. Obtenga la distribución o Ley de probabilidades.
Sol.:
X
P[X=x]
0
1/4
1/4
1
1/2
3/4
2
1/4
1
F ( x)  P( X  x)
17.- Considere el experimento tirar una moneda tres veces y la variable aleatoria X que mide el número
de cruces en tres tiradas. Obtenga la distribución o Ley de probabilidades.
Sol.:
X
P[X=x]
0
1/8
1/8
1
3/8
1/2
2
3/8
7/8
3
1/8
1
F ( x)  P( X  x)
18.- Hay seis maceteros. En cada uno germinan 3, 1, 1, 0, 0, y 1 semillas respectivamente. Considere la
variable aleatoria X: “número de semillas que germinan”, y calcule la ley de probabilidad, su media y
varianza.
Sol.:
X
pi = P[X=x]
F ( x)  P( X  x)
xi pi
xi2 pi
0
1/3
1/3
0
0
1
1/2
5/6
0,5
0,5
3
1/6
1
0,5
1,5
Sumas
1
1
2
E(X) = 1; Var(X) = 2 - 12 = 1
19.- La demanda de cierto artículo viene dado por la siguiente ley de probabilidad:
xi
0
1
2
pi  p[ X  xi ]
0,1
0,15
3
4
5
6
0,25 0,15 0,1
0,05
a) Halle la función de distribución.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda sea menor que 2?
c) ¿Para qué valor de la variable se tendrá p[ X  x]  0,55 ?
d) Obtenga su media y su varianza.
e) Moda y mediana.
Sol.:
xi
0
pi  p[ X  xi ]
0,1
F ( x)  P( X  x) 0,1
xi pi
xi2 pi
0
0
1
2
3
4
5
0,15
0,2
0,25
0,15 0,1
0,25
0,15
0,15
0,45 0,7
0,4 0,75
0,8 2,25
6
Suma
0,05
1
0,85 0,95 1
0,6 0,5 0,3
2,4 2,5 1,8
2,7
9,9
b) P(X<2) = 0,1 + 0,15 =0,25; c) Para el 2; d) E(X) = 2,7; Var(X) = 2,61 e)Moda 3; Mediana 3.
Relación 5 de ejercicios (Temas 5, 6 y 7). Doble Grado ADE + Derecho. Grupo B
4
20.- Sea una variable aleatoria discreta con distribución:
xi
1
2
3
4
pi  p[ X  xi ]
0,07
0,1
0,3
5
6
0,23 0,15 0,15
a) Obtenga el coeficiente de variación.
b) Obtenga la función de distribución.
c) Calcule la mediana y la moda.
Sol.:
xi
1
pi  p[ X  xi ]
0,07
F ( x)  P( X  x) 0,07
2
3
4
0,1
0,3
0,23 0,15 0,15
0,17 0,47
a) CV = 0,3793; b) véase la tabla; c) Mediana 4; Moda 3.
5
0,7
6
0,85 1
21.- Sea una variable aleatoria discreta con distribución:
xi
0
2
4
pi  p[ X  xi ]
0,5
0,1
0,4
a) Obtenga el coeficiente de variación.
b) Obtenga la función de distribución.
c) Calcule la moda.
d) Obtenga el coeficiente de curtosis.
Sol.:
xi
0
pi  p[ X  xi ]
0,5
F ( x)  P( X  x) 0,5
2
4
0,1
0,4
06
1
CV = 1,0482; Moda = 0; Mediana 1; Coeficiente de curtosis 1,1535.
22.- Sea una variable aleatoria discreta con distribución:
xi
1
2
3
pi  p[ X  xi ]
0,03
0,2
0,3
4
5
0,27 0,2
a) Obtenga el coeficiente de asimetría.
b) Obtenga la función de distribución.
Sol.:
xi
1
pi  p[ X  xi ]
0,03
F ( x)  P( X  x) 0,03
2
3
4
0,2
0,3
0,27 0,2
0,23 0,53
0,8
5
1
Coeficiente de asimetría de Fisher -0,1050
Relación 5 de ejercicios (Temas 5, 6 y 7). Doble Grado ADE + Derecho. Grupo B
5
23.- Sea una variable aleatoria discreta con distribución:
xi
0
3
5
7
pi  p[ X  xi ]
0,07
0,1
0,3
9
11
0,23 0,15 0,15
a) Obtenga la media y la varianza.
b) Obtenga la función de distribución.
Sol.:
xi
0
pi  p[ X  xi ]
0,07
F ( x)  P( X  x) 0,07
3
5
7
0,1
0,3
0,23 0,15 0,15
0,17 0,47
9
0,7
11
0,85 1
Media 4,91; Varianza 18,3619
24.- Sea una variable aleatoria discreta con distribución:
xi
2
3
5
6
pi  p[ X  xi ]
0,2
0,6
0,1
0,1
a) Obtenga el coeficiente de variación.
b) Obtenga la función de distribución.
c) Calcule la moda, mediana, coeficiente de asimetría y el de curtosis.
Sol.:
xi
2
3
5
6
pi  p[ X  xi ]
F ( x)  P( X  x)
0,2
0,6
0,1
0,1
0,2
0,8
0,9
1
CV = 0,4; Moda 3; Mediana 3; C de asimetría 1,1969; coef. de curtosis 3,3839
25.- Sea una variable aleatoria discreta con distribución:
xi
0
1
2
pi  p[ X  xi ]
0,25
0,5
0,25
a) Obtenga el coeficiente de variación.
b) Obtenga la función de distribución.
c) Calcule la moda y el coeficiente de asimetría.
Sol.:
xi
0
1
2
pi  p[ X  xi ]
F ( x)  P( X  x)
0,25
0,5
0,25
0,25
0,75
1
CV = 0,7071; Moda 1; Coeficiente de asimetría 0.
Relación 5 de ejercicios (Temas 5, 6 y 7). Doble Grado ADE + Derecho. Grupo B
6
Tema 6. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
(Variables aleatorias continuas)
26.- Dada una variable con la siguiente función de distribución:
0 x  0;

F ( x)   x 3 0  x  1;
1 x  1

a) Obtenga la función de densidad.
b) P[X > 0,5].
3x 2 0  x  1
Sol.: a) f ( x)  
; b) 0,875
resto
 0
27.- Dada la siguiente función de densidad:
kx 0  x  1

f ( x )  2  x 1  x  2
0 resto

a) Obtenga k.
b) Función de distribución.
c) P[X < 2].
d) P[0 < X <1,5].
0
x0


x2
0  x 1

2
Sol.: a) k = 1; b) F ( x)  
; c) 1; d) 0,8750
 x 2  4x  2

1 x  2
2


1
x2
28.- Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad:
1
 xk 0 x3
f ( x)   6

resto
 0
a) Determinar el valor de k.
b) Calcular la función de distribución.
c) Calcular P[0<X<1,5].
d) Calcular su esperanza y varianza.
0 x  0
 2
x  x
0  x  3 ; c) 0,3125; d) E(X) = 15/8; Var(X) = 39/64
Sol.: a) k = 1/12; b) F ( x)  
12

1 x  3
Relación 5 de ejercicios (Temas 5, 6 y 7). Doble Grado ADE + Derecho. Grupo B
7
29.- La función de distribución de la variable aleatoria X es:
1  e 2 x x  0
F ( x)  
x0
 0
a) Determine la función de densidad.
b) Calcule la probabilidad de que X sea superior a 4.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que X esté comprendida entre 0 y 3?
2e 2 x x  0
Sol.: a) f ( x)  
; b) e 8  0,000335463 ; c) 1  e 6  0,0,997521248
resto
 0
30.- Dada una variable con la siguiente función de densidad:
k (1  x) 0  x  1
f ( x)  
resto
 0
a)
b)
c)
d)
Obtenga el valor de k para que sea función de densidad.
Calcule su esperanza y su varianza.
Determine el coeficiente de asimetría y la mediana.
P[X  - 2]; P[0 < X < 0,5]; P[0,5 < X < 1,5].
Sol.:
a) k = 2;
b) E(X) = 1/3; Var(X) =1/18;
c) Coeficiente de asimetría: 1  1 3;  2  1 6;  3  1 10;  2  1 18;  3  1 135; luego
1 
2 2
 0,56568542 ;
5
 0

c) Mediana: puesto que F ( x)  2 x  x 2
 1

x0
0  x  1 , entonces de la ecuación 2 x  x 2  0,5 se obtiene la
1 x
mediana. La única solución válida, puesto que es la única que está comprendida en el rango de variación de la
variable es
2 2
 0,29289322
2
d) uno; 0,75 y 0,25 respectivamente.
31.- La demanda de un producto tiene la siguiente función de distribución:
0
x0

5 4

x
0  x 1

12

1

1 x  2
F ( x)   0,25 x 
6

3
1 x 2  x  1 2  x  4
8
48 3

1
x4
Obtenga: a) el primer cuartil; b) la mediana.
Sol.: a) 0.880; b) 4/3
Relación 5 de ejercicios (Temas 5, 6 y 7). Doble Grado ADE + Derecho. Grupo B
8
32.- Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad:
1

0 x8
f ( x)   8
 0
resto
a) Calcular la función de distribución.
b) Obtenga su media y varianza.
Sol.:
0
x
F ( x)  
8
1
x0
0 x8
8 x
b. Media = 4; Varianza = 5.333.
33.- Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad:
kx 0  x  5
f ( x)  
resto
0
a) Calcular la función de distribución.
b) Obtenga su media, varianza y mediana.
c) Calcule P[0  X  1];
Sol.:
k
2
;
25
0
 x2
F ( x)  
 25
1
x0
0  x  5;
E( X ) 
5 x
Me( X )  12,5  3,53553391 ; P(0  X  1)  F (1)  F (0) 

10
 3,3 ;
3
Var ( X ) 

25
 1,38 ;
18
1
 0,04
25
34.- Dada la variable aleatoria con la siguiente función de densidad:
x 1


1  x  1
f ( x)   2

resto
 0
a) Obtenga su función de distribución;
b) Obtenga mediana y media.
0
x  1

2
 x  2x  1
1
Sol: a) F ( x)  
 1  x  1 ; b) Me( X )  1  2  0,414213562 ; E ( X ) 
3
4

1
1 x

35.- Dada la variable aleatoria con la siguiente función de densidad:
x


0 x5
f ( x)  12

resto
0
Determine su varianza y el coeficiente de curtosis.
Sol.: La función anterior no corresponde a ninguna distribución de probabilidad, puesto que

5
x
25
,
dx 
24
0 12
distinto de uno y, por tanto, no se trata de una función de densidad. No ha lugar a ningún otro cálculo.
Relación 5 de ejercicios (Temas 5, 6 y 7). Doble Grado ADE + Derecho. Grupo B
9
36.- Dada la variable aleatoria con la siguiente función de densidad:
1
3
 x
0 x2
f ( x)   8
8

resto
 0
a) Determine media y varianza.
b) Obtenga la función de distribución.
0

2

3x  2 x
5
13
Sol.: E ( X )   1,25 ; Var ( X ) 
 0,270833 ; F ( x)  
4
48
 16
1

x0
0 x2
2 x
37.- Dada la variable aleatoria con la siguiente función de densidad:
2 x 0  x  1
f ( x)  
resto
0
a) Calcule la función de distribución.
b) Calcule esperanza y la varianza.
0

Sol.: a) F ( x)   x 2
1

x0
0  x  1 ; b) E(X) = 2/3; Var(X) =1/18
1 x
38.- Dada la variable aleatoria con la siguiente función de distribución:
x0
 0
 x2  x
F ( x)  
0  x 1
 2
1 x
 1
a) Calcule la esperanza.
b) Calcule la mediana.
Sol.:
Para
calcular
cualquier
momento
es
necesario
obtener
antes
la
función
de
densidad,
2x  1


1 5
7

0  x 1
, E( X ) 
 0,618033
 0,583 ; Me( X ) 
f ( x)   2
2
12

resto
 0
39.- A un escritor le pagan 3.000 euros más 7 euros por cada libro que venda. El número de ejemplares
que se venderán es una variable aleatoria de media 20.000 y desviación típica 4.000. Obtenga los
ingresos medios y la desviación típica de los ingresos del autor.
Sol.:
Sea X la variable aleatoria que indica el número de ejemplares que se venden. Se sabe que E ( X )  20.000 y
DT(X) = 4.000.
Sea Y la variable aleatoria que indica las ganancias del autor medidas en euros. Se sabe que Y  3.000  7 X ,
entonces
E(Y )  3.000  7 E( X )  3000  7  20.000  143.000 euros
DT (Y )  7  DT ( X )  7  4.000  28.000 euros
Relación 5 de ejercicios (Temas 5, 6 y 7). Doble Grado ADE + Derecho. Grupo B
10
Tema 6. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
(Variables aleatorias bidimensionales)
40.- Sea la variable X el número de caras que salen en dos lanzamientos de una moneda y la variable Y
el número de caras en el primer lanzamiento.
Obtenga:
a) La función de cuantía.
Sol.:
P[ X  0, Y  0]  1 / 4 ; P[ X  1, Y  0]  1 / 4 ; P[ X  1, Y  1]  1 / 4 ; P[ X  2, Y  1]  1 / 4
b) Las funciones de distribución marginales.
x0
0
1 / 4 0  x  1

Sol.: F1 ( x)  
3 / 4 1  x  2
1
x2
;
y0
0

F2 ( y )  2 / 4 0  y  1
1
y 1

c) La función de distribución de X condicionada a que Y tome el valor 0.
x0
0
1 / 2 0  x  1

Sol.: F ( x / Y  0)  
1 x  2
1
1
x2
d) ¿Son independientes las dos variables?. Sol.: No
41.- Dada la siguiente distribución bidimensional:
X/Y 5
10
15
1
0.25 0.15 0.32
2
0.10 0.05 0.13
Se pide:
a) Media marginal de X e Y. Sol.: E[ X ]  1.28 ; E[Y]  10.5
b) Varianza de Y condicionada a X=2. Sol.: V [Y / X  2]  20.79
42.- Un agente inmobiliario está interesado en averiguar cuál es la relación entre el número de líneas de
un anuncio en prensa sobre un apartamento y el volumen de demanda de información por parte de
posibles inquilinos. Representemos el volumen de demanda mediante la variable aleatoria X, que toma
el valor 0 si despierta poco interés, 1 para un interés moderado y 2 si despierta fuerte interés. El agente
estima que la función de probabilidad conjunta es la que aparece en la tabla:
Relación 5 de ejercicios (Temas 5, 6 y 7). Doble Grado ADE + Derecho. Grupo B
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Volumen de demandas (X)
Nº de líneas (Y) 0
1
2
3
0.09
0.14
0.07
4
0.07
0.23
0.16
5
0.03
0.10
0.11
Hallar:
a) Distribución marginal del número de líneas y del volumen de demanda.
b) Número medio de líneas si se despertó fuerte interés. Sol.: E[Y / X  2]  4.118
43.- Dada la siguiente distribución bidimensional:
Y/X 1
2
3
2
0.14 0.08 0.21
3
0.10 0.12 0.10
4
0.09 0.11 0.05
Obtener la esperanza matemática y la varianza de cada una de las variables.
Sol.:
E[ X ]  2.03 ; E[Y ]  2.82 ; V[X]  0.6891 ; V[Y]  0.6476.
44.- La función de densidad conjunta de una variable bidimensional viene dada por:
kxy 0  x  4 1  y  5
f ( x, y) 
0 otro caso
a) Determine k para que sea función de densidad. Sol.: k  1 / 96
b) Obtenga las funciones de densidad marginales.
1
 x 0 x4
Sol.: f 1 ( x)   8

En otro caso
0
;
1
 y 1 y  5
f 2 ( y )  12

En otro caso
0
c) Obtenga las funciones de distribución marginales.
x0
0
1

2
Sol.: F1 ( x)   x
0 x4
16

x4

1
;
y 1
0
1

F2 ( y )   ( y 2  1) 1  y  5
 24
y5

1
d) ¿Son independientes las variables? Sol.: Si.
e) Calcule las medias marginales. Sol.: E[ X ]  2.667 ; E[Y ]  3.444
f) Calcule la E(XY). Sol.: E[ XY ]  9.185
Relación 5 de ejercicios (Temas 5, 6 y 7). Doble Grado ADE + Derecho. Grupo B
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45.- Sea una variable aleatoria bidimensional con la siguiente función de densidad:
f ( x, y) 
6 x y
0  x  2, 2  y  4
8
0 otro caso
a) ¿Son independientes las variables? Sol.: No.
b) Obtenga las funciones de densidad condicionadas.
6  x  y
0 x2

f ( x / y )   10  2 y
0
En otro caso

;
6  x  y
2 y4

f ( y / x)   6  2 x

En otro caso
0
c) Calcule la varianza marginal de Y. Sol.: V (Y )  0.33
46.- La función de densidad conjunta de una variable bidimensional viene dada por:
3 2
xy
64
0 x4 0 y2
f ( x, y) 
0 otro caso
¿Son independientes las variables? Sol.: Si, f1 ( x) f 2 ( x) 
1 3 2
x y  f ( x, y)
8 8
47.- Sea una variable aleatoria bidimensional con la siguiente función de densidad:
4
( x  xy ) 0  x  1 0  y  1
3
f ( x, y) 
0 otro caso
Obtenga las funciones de densidad condicionadas.
 2 x  2 xy

Sol.: f ( x / y )   y  1
0

0  x 1
En otro caso
;
2  2y

f ( y / x)   3

0
0  y 1
En otro caso
48.- Dada la siguiente función de densidad de una variable aleatoria bidimensional:
k (x  y2 ) 0  x  2 0  y  1
f ( x, y) 
0 otro caso
a) Obtenga las medias marginales de X e Y. Sol.: E[ X ]  1.25 ; E[Y ]  0.5625
b) Calcule las varianzas marginales de X e Y. Sol.: V [ X ]  0.2705 ; V[Y ]  0.0836
Relación 5 de ejercicios (Temas 5, 6 y 7). Doble Grado ADE + Derecho. Grupo B
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Tema 7. Algunas distribuciones discretas de probabilidad
49.- Se tira una moneda tres veces. Calcule la probabilidad de que salgan dos caras.
Sol.: 0.375
50.- Se lanza 4 veces una moneda. Calcule la probabilidad de obtener:
a) Dos caras;
b) Como mínimo dos caras.
c) A lo sumo una cara.
Sol.:
a) 0.375, b) 0.6875, c) 0.3125
51.- Un alumno responde un test de 10 preguntas. Cada una tiene 4 respuestas posibles, de las cuales
sólo una es correcta. Como no sabe nada, responde al azar. Halle la probabilidad de que acierte:
a) 4 preguntas.
b) Ninguna;
c) Todas;
d) Al menos 8.
e) A lo sumo tres.
Sol.: a)
0.146, b) 0.0563, c) 0, d)0.001 , e) 0.7759
52.- Una prueba falla el 1% de las veces. Halle la probabilidad de que falle 10 veces en 1000 pruebas.
Sol.: 0.1251
53.- En una centralita, por término medio se reciben 4 llamadas por minuto. Halle la probabilidad de que
en un determinado minuto no se reciban llamadas.
Sol.: 0.01831
54.- El número de fallos por hora en un mecanismo sigue una distribución de Poisson de parámetro 10.
Calcule la probabilidad:
a) De que se presente un fallo.
b) De que halla más de un fallo.
Sol.: a)
0.0005, b) 0.9995
55.- La probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 104 . La producción en un año es 36.000 piezas.
Calcule:
a) La probabilidad de que haya 2 piezas defectuosas.
b) La probabilidad de que haya como mínimo 2 piezas defectuosas.
Sol.:
a) 0.1771, b) 0.0743
56.- En una fábrica hay 3.000 bujías de las cuales 400 son defectuosas. Se escogen al azar 10 bujías, con
reemplazamiento. Determinar la probabilidad de que todas estén en buen estado.
10
Sol.: 0.86
Relación 5 de ejercicios (Temas 5, 6 y 7). Doble Grado ADE + Derecho. Grupo B
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57.- En cierto barrio se sabe que el número de individuos por vivienda sigue una distribución de
Poisson, siendo la probabilidad de las viviendas con dos individuos el doble que las que tienen sólo uno.
Calcule la probabilidad de que una vivienda esté desocupada.
-4
Sol.: e
58.- En un hospital se ha detectado que la probabilidad de contraer una determinada enfermedad es del
1%. Si en una habitación hay 6 enfermos:
a) Calcule la probabilidad de que hayan contraído la enfermedad menos de dos personas.
b) Con la aplicación de un fármaco, la probabilidad de contraer la enfermedad se ha reducido al
uno por mil. Si en el hospital hay 1200 enfermos:
b1) Calcule la probabilidad de que en el hospital haya más de tres personas con dicha
enfermedad.
b2) Calcule la probabilidad de que en el hospital hay más de dos y menos de seis personas
que hayan contraído la enfermedad.
Sol.: a)
0.9986, b1) 0.0338, b2) 0.119
59.- En las máquinas de un taller se producen dos averías por término medio a la semana. Calcule la
probabilidad:
a) De que no haya ninguna avería en una semana.
b) De que haya menos de cinco averías en una semana.
c) De que haya menos de 6 en cuatro semanas.
Sol.: a)
0.1353, b) 0.9473, c) 0.1912
60.- En la centralita telefónica de una empresa se producen un promedio de 12 llamadas por hora.
Calcule:
a) La probabilidad de que en una hora, cogida al azar, haya 3 llamadas.
b) La probabilidad de que en un período de 10 minutos se produzcan de 3 a 5 llamadas.
Sol.: a) 0.017,
b) 0.3064
61.- El porcentaje de personas en una localidad con una renta superior a 2000 euros al mes es 0,0005%.
Determinar la probabilidad de que de 5000 individuos consultados, haya dos con ese nivel de renta.
Sol.: 0.024.
Relación 5 de ejercicios (Temas 5, 6 y 7). Doble Grado ADE + Derecho. Grupo B
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