Examen Ejemplo 1er Trimestre con Soluciones.

Matemáticas Aplicadas II 1ªEvaluación
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que
a) Determínese si son compatibles o incompatibles los sucesos A y B.
b) Determínese si son dependientes o independientes los sucesos A y B.
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Un opositor debe contestar correctamente al menos dos de tres temas sacados al azar. El 1º
de un grupo de 40 temas, el 2º de un grupo de 50 y el 3º de un grupo de 60. Sabiendo que
el opositor no se ha preparado 10 temas de cada grupo, calcular la probabilidad de que
apruebe.
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos)
En un tribunal de la prueba de acceso a las enseñanzas universitarias oficiales de grado se
han examinado 80 alumnos del colegio A, 70 alumnos del colegio B y 50 alumnos del
colegio C. La prueba ha sido superada por el 80 % de los alumnos del colegio A, el 90 %
de los del colegio B y por el 82 % de los del colegio C.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya superado la prueba?
(b) Un alumno elegido al azar no ha superado la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que
pertenezca al colegio B?
Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)
Para estimar la media de una población con distribución normal de desviación típica igual
a 5, se ha extraído una muestra aleatoria simple de tamaño 100, con la que se ha obtenido
el intervalo de confianza (173,42 ; 175,56) para dicha media poblacional.
a) Calcúlese la media de la muestra seleccionada, y el nivel de confianza del intervalo
obtenido.
b) Calcúlese la probabilidad de que la media de la muestra este comprendida entre 173 y
175,98.
Ejercicio 5. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Se ha tomado una muestra aleatoria simple de diez pacientes y se ha anotado el número de
días que han recibido tratamiento para los trastornos del sueño que sufren. Los resultados
han sido:
290; 275; 290; 325; 285; 365; 375; 310; 290; 300.
Se sabe que la duración, en días, del tratamiento se puede aproximar por una variable
aleatoria con distribución normal de media μ desconocida y desviación típica 34,5 días.
a) Determínese un intervalo de confianza con un nivel del 95% para μ.
b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para que el error máximo cometido en la
estimación de la media sea menor de 10 días, con un nivel de confianza del 98%?
Soluciones:
Ejercicio 1.
a) p (A∩B) = 1/12 por tanto al ser distinta de 0 son sucesos compatibles
b) p(A)*p(B) = !/2 * 1/4 = 1/8
es distinta de p (A∩B) por tanto son sucesos
independientes.
Ejercicio 2.
S1= saberse el tema del bloque 1
p(S1) = 30/40
N1=no saberse el tema del bloque 1 p(N1) = 10/40
S2= saberse el tema del bloque 2
p(S1) = 40/50
N2=no saberse el tema del bloque 2 p(N1) = 10/50
S3= saberse el tema del bloque 3
p(S1) = 50/60
N3=no saberse el tema del bloque 3 p(N1) = 10/60
Para aprobar tienen que saberse al menos 2 temas:
p(aprobar) = p(S1S2S3) + p(S1S2N3)+p(S1N2S3)+p(N1S2S3) =
= 30/40*40/50*50/60+30/40*40/50*10/60+30/40*10/50*50/60+10/40*40/50*50/60 = 0,89
Ejercicio 3.
a) Teorema de la Probabilidad total:
p(A) = 80/200 = 0,4
p(B) = 70/200 = 0,35
p(C) = 50/200 = 0,25
p(S) = p(A)*p(S/A) + p(B)*p(S/B) + p(C)*p(S/C) = 0,4*0,8 + 0,35*0,9 + 0,25*0,82 = 0,84
b) Teorema de Bayes
p(N) = 1 – 0,84 = 0,16
p(B/N) = (p(N/B)*p(B) ) / p(N) = 0,22
Ejercicio 4.
a) media = media del IC = (173,42 + 175,56) / 2 = 174,49
para el nivel de confianza necesitamos el error E = Amplitud/2 = 1,07
s
, despejamos el valor crítico Zα/2 = 2,14
√n
De la fórmula del error Error =Z α⋅
2
miramos en la tabla = 0,9838. Sabiendo que
p Zα =
( )
2
( 1−α ) + 1
por tanto el nivel de
2
confianza es de 0,9677
b)
P(173  X  175,98) tipificando la variable
σ=
z= X σ− μ
donde
s
5
=
=0,5
√ n √ 100
P( -2,98  Z  2,98) = 0,9972
Ejercicio 5
a) la media la calculamos con la muestra = 310,5
al 95% corresponde un valor crítico Zα/2 = 1,96
s
34,5
=1,96⋅
=21,38 IC (289,12 ; 331,88)
√n
√ 10
Error =Z α⋅
2
b) al 98% corresponde un valor crítico Zα/2 = 2,33
2
2
s
34,5
n= Z α⋅
= 2,33⋅
=65
Error
10
2
(
) (
)