Tema 7. Aplicaciones abiertas y cerradas Hasta ahora nos hemos

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3. POSICIÓN DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN CONJUNTO
Tema 7.
Aplicaciones abiertas y cerradas
Hasta ahora nos hemos centrado en propiedades de puntos con respecto a conjuntos, y las únicas propiedades de aplicaciones que conocemos (aparte de la continuidad) no tienen que ver con espacios topológicos, sino con conjuntos, como
son la inyectividad y la sobreyectividad. Vamos a dedicar este capı́tulo a estudiar
propiedades de otras aplicaciones que tienen que ver con espacios topológicos, es
decir, enunciadas en términos de abiertos.
Definición 3.7.1. Consideremos (X, TX ) e (Y, TY ) e.t. y una aplicación f :
X → Y . Diremos que f es abierta (resp. cerrada) si ∀A ∈ TX (resp. A ∈ CTX ),
se tiene que f (A) ∈ TY (resp. f (A) ∈ CTY ).
La siguiente es una caracterización del concepto de aplicación abierta en términos de entornos:
Proposición 3.7.2. Sea f : X → Y aplicación. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. ∀x ∈ X y ∀V x entorno de x ∈ X, se tiene que f (V x ) es entorno de f (x) ∈ Y ,
2. La aplicación f es abierta.
Ejercicio 3.33. ♠ Sea f : X → Y una aplicación y X un espacio pseudométrico (X, d). Demuestra que f es abierta si y sólo si para todo x 0 ∈ X existe
ε > 0 tal que f (Bd (x0 ; δ)) es un entorno de f (x0 ) para cualquier 0 < δ ≤ ε.
Observaciones 3.7.3.
1. Todo homeomorfismo es abierto y cerrado. (La demostración aparece en
la Proposición 3.7.4).
2. Si el punto y0 ∈ Y es cerrado en Y , entonces la aplicación constante
fy0 : X → Y definida por fy0 (x) := y0 ∀x ∈ X es cerrada ya que

∅
si C = ∅
fy0 (C) =
{y0 } si C 6= ∅
que en ambos casos son conjuntos cerrados en Y .
3. Utilizando aplicaciones afines es fácil comprobar que existen aplicaciones
continuas que son abiertas y no cerradas (en general si es sobreyectiva y
la dimensión del espacio final es menor que la del inicial) y cerradas que
no son abiertas (en general siempre que la dimensión del espacio final es
mayor que la del inicial). Por ejemplo:
TEMA 7. APLICACIONES ABIERTAS Y CERRADAS
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a) La aplicación entre espacios topológicos usuales f1 : R2 → R definida
por f1 (x, y) = x es abierta pero no es cerrada:
Abierta. Usemos el Ejercicio 3.33. Para ello sea ε > 0 cualquiera
y definamos U := Bd∞ ((x, y); ε) = (x − ε, x + ε) × (y − ε, y + ε)
(Ejemplo 2.2.26). Observa que f1 (U ) = (x − ε, x + ε) es un
entorno de x = f1 (x, y). Ası́ pues f1 es aplicación abierta.
No cerrada. Consideremos C := {(x, x1 ) | x ∈ R \ {0}}, que un
cerrado por ser grafo de la aplicación continua g : R \ {0} → R
definida por g(x) = x1 con ası́ntota vertical en 0 (Ejercicio 3.4).
Como f1 (C) = R \ {0} no es cerrado (ya que su complementario {0} no es abierto) hemos probado que f no es aplicación
cerrada.
Obsérvese que la misma demostración del apartado 3a prueba que la
proyección fi : Rn → R, f( x1 , ..., xn ) := xi es abierta.
b) La aplicación f2 : R → R2 definida por f2 (x) = (x, 0) no es abierta
ya que f2 (R) = R × {0} no es abierto en R2 . En cambio sı́ es cerrada
ya que, si C es un cerrado de R, entonces f2 (C) es el grafo de la
aplicación continua f : (C, Tu ) → (R, Tu ), definida por f (x) := 0.
Ası́ pues f2 (C) es un cerrado de C × R (Ejercicio 3.15), pero como
C y R son cerrados en R entonces f2 (C) es de hecho cerrado en R2
(Observación 3.3.6).
4. La composición de aplicaciones abiertas (resp. cerradas) es abierta (resp.
cerrada). Esto es inmediato ya que, si f : X → Y y g : Y → Z son
abiertas y U ⊂ X es abierto en X, entonces f (U ) ⊂ Y es abierto en Y y
por tanto g ◦ f (U ) = g(f (U )) ⊂ Z es abierto en Z (análogamente para
aplicaciones cerradas).
5. Si las aplicaciones f1 : A → B1 y f2 : A → B2 (A ⊂ Rn , B1 ⊂ Rn1
y B2 ⊂ Rn2 ) son abiertas, entonces f : A → B := B1 × B2 es una
aplicación abierta. Para ver esto basta tomar un abierto U ⊂ A, entonces
f (U ) = f1 (U ) × f2 (U ) que es abierto en B (Ejercicio 2.27).
6. La suma de aplicaciones abiertas definidas en subconjuntos de Rn es una
aplicación abierta. Es decir, supongamos que f1 : A → B y f2 : A → B
son aplicaciones abiertas (A ⊂ Rn , B ⊂ Rm ) y que B + B ⊂ B (es decir,
que si b1 , b2 ∈ B, entonces b1 +b2 ∈ B, por ejemplo si B = Rm ) entonces la
aplicación suma f : A → B, está bien definida como f (x) := f1 (x)+f2 (x),
y es una aplicación abierta. El motivo es el siguiente: si U ⊂ A es abierto
en A, entonces f (U ) = f1 (U ) + f2 (U ) es abierto en Rm (Ejercicio 1.5).
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3. POSICIÓN DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN CONJUNTO
Ejercicio 3.34. ♠ Demuestra que una aplicación biyectiva entre espacios topológicos es cerrada si y solo si es abierta
Ejercicio 3.35. ♠ Demuestra que la aplicación f3 de la Figura 1(a) no es
abierta ni cerrada, mientras que f4 , de la Figura 1(b), es tanto abierta como
cerrada.
x=0
x=0
y=1
y=0
y=0
x = −1
x=1
(a)
f3 : R \ {±1} → R
2
x
7→ x2x−1
(b)
Figura 1.
f4 : R → R
x 7→ x3
Ejercicio 3.36. ♠ Sean (X, TX ) e (Y, TY ) e.t. y sea f : X → Y una aplicación. Supongamos que A ⊂ X es abierto (resp. cerrado). Demuestra que si f es
abierta (resp. cerrada), entonces f |A es abierta (resp. cerrada).
Ejercicio 3.37. ♠ El hecho de que una aplicación sea abierta depende no sólo
de la fórmula que define la aplicación sino también de los conjuntos inicial y final.
Por ejemplo, demuestra que la aplicación f1 : R → R f1 (x) := x2 no es abierta,
mientras que f2 : R → R≥0 f2 (x) := x2 sı́ lo es.
Ejercicio 3.38. ♠ Sean (X, TX ) e (Y, TY ) e.t. y sea f : X → Y una aplicación. Supongamos que la familia {Aλ }λ∈Λ de subconjuntos recubre X (es decir,
S
λ∈Λ Aλ = X). Denotemos por fλ := f |Aλ : Aλ → Y a la restricción. Demuestra
que:
1. Si fλ es abierta ∀λ ∈ Λ, entonces f es abierta.
2. Si Λ finito y fλ es cerrada ∀λ ∈ Λ, entonces f es cerrada.
Ejercicio 3.39. ♠ Sea f : X → Y una aplicación continua y abierta entre
espacios topológicos. Demuestra que si B ⊂ Y , entonces f −1 (B) = f −1 (B).
TEMA 7. APLICACIONES ABIERTAS Y CERRADAS
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Ejercicio 3.40. ♠ Denotemos por d := d2n la distancia euclı́dea en Rn y sea
dx0 : Rn → R≥0 la aplicación distancia a x0 ∈ Rn (definida en el Ejercicio 2.20).
Demuestra que dx0 es abierta.
Ejercicio 3.41. ♠ Utiliza los Ejercicios 3.39 y 3.40 para probar que
Bd (x0 ; ε) = Dd (x0 ; ε),
donde d := d2n es la distancia euclı́dea en Rn (ver Observación 3.4.5).
Veamos la relación entre las aplicaciones abiertas, las cerradas y los homeomorfismos.
tes:
Proposición 3.7.4. Sea f : X → Y una aplicación biyectiva. Son equivalen-
a) f es homeomorfismo.
b) f es continua y abierta.
c) f es continua y cerrada.
Los homeomorfismos sobre la imagen se caracterizan también con aplicaciones
abiertas.
Proposición 3.7.5. La aplicación f es un homeomorfismo sobre la imagen si
se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. f es inyectiva;
2. f es continua;
3. f es abierta sobre la imagen, es decir, ∀U ⊂ X abierto, f (U ) es abierto
en f (X).
Ejercicio 3.42. ♠ Demuestra que la aplicación f : R → R2 definida por
f (x) = (x, 0) es un homeomorfismo sobre la imagen.
Ejercicio 3.43. ♠ Sea f : X → Y homeomorfismo y A ⊂ X, demuestra que
f¯|A : A → f (A) (Ejercicio A.13) es también homeomorfismo.
Ejercicio 3.44. ♠ Considera el conjunto S de la Figura 2.
Formalmente podemos ver esta figura de dos formas distintas. Una, como imagen de la siguiente aplicación definida a trozos:


si x ∈ [− π1 , π1 ]

(2πx, 0)
f (x) := (1 − cos x1 , sen x1 )
si x ∈ [ π1 , +∞)



(−1 + cos x1 , − sen x1 ) si x ∈ (−∞, − π1 ]
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3. POSICIÓN DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN CONJUNTO
(−2, 0)
(2, 0)
Figura 2. Figura ocho
y otra, como subconjunto de R2 . En cada caso obtenemos una topologı́a: a la de
S como subespacio de R2 la denotaremos por Tu |S , mientras que a la de S como
imagen de f la denotaremos por f Tu . Comprueba que Tu |S 6= f Tu .