Guía de valores extremos locales , crecimiento y concavidad

Guía de Monotonía y concavidad
1.
Sea
$
$
0 ÐBÑ œ È
ÐB# *Ñ# È
Ð%" B# Ñ#
Determine, si es posible:
a)
b)
2.
Sea 0 ÐBÑ œ B% )B$ ")B# ) Þ Determine:
a)
b)
3.
Valor(es) máximo(s) y mínimo(s) local(es) de 0 ÐBÑÞ
Valor máximo y mínimo absoluto de 0 ÐBÑ en el intervalo Ò "!ß "!Ó Þ
Sea
donde la función es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba, cóncava hacia
abajo.
máximo(s) local(es), mínimo(s) local(es) y punto(s) de inflexión.
Ú
$
Ý
#
Ý
Ý B %B #
0 ÐBÑ œ Û
Ý
Ý
$
# B
Ý$ †È
ÐB
"Ñ
$
È
Ü#
#
si & Ÿ B !
si ! Ÿ B Ÿ &
Determine el valor máximo absoluto y mínimo absoluto de 0 ÐBÑ en el intervalo
Ò &ß &Ó .
4.
Dibuje la gráfica de una función continua 0 en el intervalo Ò %ß &Ó que satisfaga todas
las condiciones establecidas.
0 Ð %Ñ œ !ß 0 Ð #Ñ œ "ß 0 Ð#Ñ œ #ß 0 Ð&Ñ œ !
0 w es creciente en Ó %ß #Ò Ó#ß &Ò
0 w es decreciente en Ó #ß #Ò
0 Ð"Ñ es un valor mínimo local.
5.
Ú B$ $B# %&B
Sea 0 ÐBÑ œ Û
Ü #B$ *B# "!)B
a)
b)
6.
si ( Ÿ B !
si ! Ÿ B Ÿ "!
Determine lo(s) valor(es) máximo(s) y mínimo(s) local(es) de 0 .
Determine el valor máximo y mínimo absoluto de 0 en el intervalo Ò (ß "!Ó.
Para cada una de las siguientes funciones determine, si es posible:
a)
Intervalo(s) donde 0 es creciente.
b)
Intervalo(s) donde 0 es decreciente
c)
Intervalo(s) donde la gráfica de 0 cóncava hacia arriba.
d)
Intervalo(s) donde la gráfica de 0 cóncava hacia abajo.
e)
Valor(es) máximo(s) local(es) de 0 Þ
f)
Valor(es) mínimo(s) local(es) de 0 Þ
g)
Punto(s) de inflexión de la gráfica de 0 Þ
h)
Gráfico aproximado de 0 Þ
i)
ii)
0 ÐBÑ œ #!B$ $B&
0 ÐBÑ œ B$ $B# %&B
1
iii)
iv)
7.
0 ÐBÑ œ #B$ *B# "!)B
0 ÐBÑ œ B% &%B# #$(
En cada caso, dibuje la gráfica de una función continua 0 en el intervalo Ò!ß 'Ó que
satisfaga todas las condiciones establecidas.
a)
0 Ð!Ñ œ 0 Ð%Ñ œ " à 0 Ð#Ñ œ #; 0 Ð'Ñ œ ! à
0 w ÐBÑ ! en Ó!ß #Ò à
0 w ÐBÑ ! en Ó#ß %Ò Ó%ß 'Ò à 0 w Ð#Ñ œ 0 w Ð%Ñ œ !
0 ww ÐBÑ ! en Ó!ß "Ò Ó$ß %Ò à
0 ww ÐBÑ ! en Ó"ß $Ò Ó%ß 'Ò
b)
0 Ð!Ñ œ 0 Ð$Ñ œ $à 0 Ð#Ñ œ %à 0 Ð%Ñ œ #à 0 Ð'Ñ œ !à
0 w ÐBÑ ! en Ó!ß #Òà
0 w ÐBÑ ! en Ó#ß %Ò Ó%ß &Òà
0 w Ð#Ñ œ 0 w Ð%Ñ œ !à
0 w ÐBÑ œ " en Ó&ß 'Òà
0 ww ÐBÑ ! en Ó!ß $Ò Ó%ß &Òà
0 ww ÐBÑ ! en Ó$ß %Ò
8.
Sea 0 ÐBÑ œ %B& &B%
a)
¿Dónde 0 w es creciente?
b)
¿Dónde la gráfica de 0 ww es cóncava hacia abajo?
c)
¿Tiene punto(s) de inflexión la gráfica de 0 w ?
9.
¿Tiene punto(s) de inflexión la gráfica de 1ÐBÑ œ lB# "l?
10.
Si 0 w ÐBÑ œ #ÐB #ÑÐB "Ñ# ÐB #Ñ% ÐB $Ñ$ ß ¿qué valor de B hace de 0 ÐBÑ un
máximo local? ¿Un mínimo local?
11.
Sea 0 una función continua y sea 0 w cuya gráfica se muestra en la figura. Trate de
esbozar una gráfica para 0 y responda las siguientes preguntas.
a)
¿Dónde 0 es creciente? ¿Decreciente?
b)
¿Dónde la gráfica de 0 es cóncava hacia arriba? ¿Cóncava hacia abajo?
c)
¿Dónde alcanza 0 un máximo local? ¿Un mínimo local?
d)
¿Dónde están los puntos de inflexión de la gráfica de 0 ?
12. Determine dos números no negativos cuya suma sea "! y cuyo producto sea
máximo.
13.
Liliana tiene #!! pies de tela de alambre con la que planea cercar un patio
rectangular para su perro. Si desea que el área sea máxima, ¿cuáles deben ser las
dimensiones?
2
14.
Determine el volumen de la caja sin tapa más grande que se pueda hacer con una
hoja cuadrada de cartón, de #% pulgadas de lado, cortando cuadrados iguales en las
esquinas y doblando.
15.
La superficie total de un cilindro recto circular es *'1 Þ Calcule el radio basal V y la
altura 2 si el volumen del cilindro es máximo.
Ayuda:
superficie de un cilindro œ #1V2 #1V #
volumen de un cilindro œ 1V # 2
16.
Determine los puntos de la parábola B œ C# que están más cercanos al punto Ð"!ß !ÑÞ
Sugerencia: Minimice el cuadrado de la distancia entre ÐBß CÑ y Ð"!ß !ÑÞ
17.
La granja Victoria tiene )! pies de tela de alambre con la que se planea cercar un
corral rectangular al lado de un granero de 100 pies de largo, como se muestra en la
figura (el lado que está junto al granero no necesita cerca). ¿Cuáles son las
dimensiones del corral de máxima
18.
Una caja con tapa, de base cuadrada, debe tener un volumen de #&! metros cúbicos. El
material para las partes inferior y superior de la caja cuesta US$# por metro cuadrado y
el marerial para los lados cuesta US$" por metro cuadrado. ¿Puede construirse la caja
por menos de US$$!!?
19.
Se require tender un cable desde una central eléctrica situada a la orilla de un río de
*!! m de ancho hasta una fábrica que dista $!!! m río abajo en la otra orilla. El costo
de tender el cable bajo el agua es US$& por metro, y el costo sobre tierra es US$% por
metro. ¿Cuál es la ruta más económica para tender el cable?
RESPUESTAS
1.
2.
a)
valores máximos locales: 0 Ð &Ñß 0 Ð!Ñß 0 Ð&Ñ
valores mínimos locales: 0 Ð È%"Ñß 0 Ð $Ñß 0 Ð$Ñß 0 ÐÈ%"Ñ
b)
valor máximo absoluto: 0 Ð "!Ñ œ 0 Ð"!Ñ ¸ $&Þ%
valor mínimo absoluto:
0 Ð È%"Ñ œ 0 Ð $Ñ œ 0 Ð$Ñ œ 0 ÐÈ%"Ñ ¸ "!Þ"
a)
0 es creciente en Ó!ß _Ò
0 es decreciente en Ó _ß !Ò
3
0 es cóncava hacia arriba en Ó _ß $Ò Ó "ß _Ò
0 es cóncava hacia abajo en Ó $ß "Ò
b)
3.
valor máximo local:
valor mínimo local:
puntos de inflexión:
valores críticos:
no hay
0 Ð!Ñ œ )
Ð $ß 0 Ð $ÑÑ œ Ð $ß "*Ñ
Ð "ß 0 Ð "ÑÑ œ Ð "ß $Ñ
B œ &ß B œ &ß B œ $ß B œ "ß B œ !
B
&
&
$
"
!
0 ÐBÑ
%'Þ&
¸ !Þ"*
!
¸ !Þ)
"Þ&
valor máximo absoluto: 0 Ð &Ñ œ %'Þ&
valor mínimo absoluto: 0 Ð"Ñ ¸ !Þ)
4.
8.
a)
b)
c)
$
Ó % ß _Ò
"
Ó _ß % Ò
"
la gráfica de 0 w tiene puntos de inflexión en B œ ! y B œ # Þ
9.
la gráfica de 1 tiene puntos de inflexión en B œ " y B œ "Þ
10.
valor mínimo local de 0 es 0 Ð$Ñ
valor máximo local de 0 es 0 Ð #Ñ
12.
cada número es &Þ
13.
50 pies por 50 pies.
14.
1024 pulgadas cúbicas.
15.
Vœ%
16.
Ð*Þ(& ß #Þ#!)Ñ
17.
20 pies por 40 pies
2œ)
Ð*Þ(& ß #Þ#!)Ñ
4
18.
como el valor mínimo del costo es US$$!! entonces no puede construirse una caja por
menos de US$$!!.
19.
GÐBÑ œ %Ð$!!! BÑ & † È*!!# B#
función costo:
&B
G w ÐBÑ œ % È # #
*!! B
G w ÐBÑ œ !
Í
&B
Í
% È # # œ!
*!! B
&B
œ%
#
#
È
Í
Í
Í
&B œ % † È*!!# B#
#&B# œ "' † *!!# "'B#
B œ "#!! ÐB !Ñ
G ww ÐBÑ œ & † Œ
*!! B
B#
È*!!# B#
*!!# B#
È*!!# B# G ww Ð"#!!Ñ !
la función de costo es mínima si B œ "#!!
la ruta es:
")!! m de cable por tierra
"&!! m de cable bajo el agua
5