ESTADISTICA ESPAÑOLA núm. 103, 1984, págs. 109 a 122 Ap roxi macion es a l a d istribucib n fin ita de criterio s J i-cuad rado : u na nota i ntrod ucto ria par 1GNAC10 MA^ ULEQN Servicio de Estudios Banoo de España RESUMEN E^te tr^ih^iju e^ unri ^ntruciuCCll)n ^^ la^ ^^^ru^^mac^^ane^ en mue^tr^^^ finitas de criterios econométricos que están distribuidos asintóticamente como una Ji-cuadrado. Sin desarrollar todos los detalles se presenta el modo de probar un teorema de validez de la aproximación y la técnica de obtención de la misma. Se discuten algunos resultados obtenidos con la mis^na y la aplicabilidad de la aproximación. Palahrus c•la^^e: Ji-cuadrado, muestras finitas, Edgeworth, funciones características, polinomios Hermite, momentos muestrales. I. I N ^I^KOUl!(..'C'ION * En Estadística y en Econometría, en particular, uno de los campos más inexplorados es el de las distribuciones en muestras finitas. Los resultados asintóticos están muy desarrollados y se dispone de ellos con facilidad para casi todas las situaciones. Sin embargo, cualquier simulación con datos artificiales, por ingenud que sea, muestra los errores a veces muy considerables, cometidos por las aproximaciones asintáticas . Estos * EI trabajo a que aquí se hace referencia es la tesis doctoral del autor, realizada bajo la supervisión de J. D. Sargan. 110 ESTADIST7CA ESPAÑOLA errores a veces se atenúan considerablemente mediante la introducción de factores de corrección, pero generalmente no es asi. En los últimos años, una c^rriente sustancial de investigación se ha centrado en este campo (por ejemplo, Sargan, Phillips, Rothenberg, por citar sólo algunos nombres, han publicado numerosos trabajos sobre este tema). Aunque los resultados no están todavía t©talmente dispo^ nibles para su aplicación en general, en muchos casos los resultados de estas investigaciones empiezan a ser fructíferos. Esta nota recoge los puntos esenciales de una contribución a este campo, realizada por el autor. La nota es un resumen de la prueba de un teorema, de la obtención de la correspondiente aproximación, y de un planteamiento general del problema. La aproximación que se obtiene es del tipo P[Te(q) ^ r^^ _ ^(r2) + ,j^(r2)W(r) + O(T-3i2) donde Te{q) es e! criterio cuya distribución finita se trata de aproximar, ^(.) y f^(.) son, respe^tivamente, las funciones de distribución y densidad de una distríbución Jicuadrada (Xk) de k grados de libertad, y W(.) es un polinomio finito cuyos coeficientes dependen de las derivádas de e(.) y de !os cumulantes del vector q. !l. DERIVACI41'^i DE LA APR(JXIMACION E1 método rnás conocido para obtener aproximaciones a funciones de distribución de probabilidad desconocidas es, probablemente, el de Edgeworth. Este método puede ser resumido brevemente del modo siguiente y está basado en la inversión de la función característica aproximada, de la variable cuya distribución se quiere aproximar ( puede verse también [ l0i). Llamando a esta variable v y a su función de densidad h( y), su función caracteristica está definida, como de costumbre, por +x e ^sVh ( ,, ) dy ^ts)-x que también puede ser escrita como ^ ^, ^ (s) _ ^° ^^ I Kr r^ donde _ d' r lLW (s}^s-O Kr dsr ^s decir, el cumulante de orden r, y donde hemos supuesto que todos ellos existen. (^) APRC)XIMAC'[C)IYFS A LA DISTRIBUCION FINITA [)^: C'R[Tf:RIC)s 11-CUAURAUC) 111 C'on^icieremo^ ahora otra variable .r, con funcione^ de dentiidad y función cardcterítitica ^^(.^-) y c^(.,^), respectivamente, y definamos su^ cumulantes, ,,^r, de modo que X sr ^ ^ (.s^ ) - e r^i Yr ^i tz) De (1) y(2) obtenemos ahora fácilmente X ^ = (^r= 1 (Kr-Yr)sr/r! `i' (S^) • ^ (s ) (3) Supongamos que _r ha sido escogida adecuadamente de modo que ^ Kr - y,^ = 0 (T^12r) (ver también [S^). Por ejemplo, si }^ es asintóticamente normal, K, -^ 0, dr > 3, cuando T--♦ r_ , puesto que la función característica de una normal sólo tiene primeros y segundos cumulantes distintos de cero, ya que es igual a P rs'rn +^'s'Esi2 1.^^, prrmer^^^ c:r,n^r^l^tnte, ^^^n I.r^ n^tdr^t^ y I^^, ^egr^n^i^^^ I^r m^itrir de CO^t^rl^inl^^ti. En este sentido, los cumulantes de orden mayor que e! segundo, distintos de cero, pueden ser considerados como un relajamiento del supuesto de normalidad. En este ejemplo si y es ^sintóticamente normal, una elección adecuada para .x es, precisamente, la distribución normal. Fxpandiendo el exponente de (3) es fácil ver que puede obtenerse la expresión del tipo Qr(,,,} ^---1 /2r y ( .+ 1 = 1 I + \ ^ (S } -^ (T-1/2(k+^)) (4) r= donde Qr(.s' ) es un polinomio en (is } con coeiicientes de orden uno en T. Ahora, invirtiendo la aproximación de (4) obtendremos una aproximación a la función de densidad de v, es decir ( 1 2^ +X -x E^ -^^ y k 1 + ^ Q r ( s. } -I- - [ /z r ^ ( s^ ) citi^ r=1 El problema que queda es ccimo obtener explícitamente esta integral. Para ello consideremos la inversa de c^ (s^> + X. P -,s^x ^ ( .s• ) c^s = ( 2 n ) ^' ( x ) -x ESTADISTICA ESPAÑULA y tc^memos derivadas con respecto a.ti', r veces, con lo que obtenemos +a ^, -rsx(!.1 ^r^ (.^^ ^^t' = (2 ^ ) ( ^ ^ ^r^ d'k (-x ) ^ (5 bis) _x lo que nos dice directamente que (i.^^ )'c^ (s) es la función característica de {--1)'D ^k (^r ) Pero la aproximación de (d) es precisamente una suma de términos del tipo [(is )'c^ (.s )], con lo que ya hemos obtenido una expresión para (S), es decir, para la densidad aproximada de v, en t^rminos de D'k (x ). Ahora, a no ser que ^j (.z ) tenga una forma especial, ^uele ser posible escribir (ó) D'k (-z ) = P,(x }^,' (x ) dc^nde P,(.^ ) es un polinomio en x de orden r. Sustituyendo finalmente (6) en (5 bis) y éste en (4) obtenemos la expresión explícita rt^r^^ l^^ tunc^^^n ^íe den^^^i^^J ^^pr^^^^m^^^i^^ c^^mc^ k ^(v) ^ ) ^ ^ N ^(v).j,-r^^, x(y) ^ 0 {T--I^^x+Ir ._ ^ donde ahora N,(y> es un polinomio en y, cuyos coefcientes dependen de los cumulantes de ^^. Es decir, requerimos un conocimiento explícito de los cumulantes de v para poder evaluar (7) (los de x se supone que son fácilmente deducibles). La apraximacicín a la función de distribución de y puede ser obtenida de un modo similar, o simplemente integrando (7), lo que nos da k F(vÍ - `f'(v^ ^ + \' ^r(v)•^.-1/2r + O (-I--r12(/^+1I) (g) r=l donde ^(y) es la función de distribución conocida de x. Es decir, la distribución finita de y puede ser aproximada por un primer término que es la distribución asíntótica rnás una suma de términos de orden decreciente en T, con la prapiedad de que el orden del término de error es el mismo que el del último término no considerado en la aproximación. En este sentido se puede decir que la distribución de v para T finito posee una expansíón asintótíca váiida. Alternativamente y como a los polinomios ^.,(y) hemos Ilegado después de realizar la sustitución D`^ (y) = P,{y )X ( y), se puede expresar (8) del modo siguiente F(Y) _ ^(Y) + 8(Y>S ^ _ ^*(y)T-r/z. + ^ (.^.-r/Z^x+») (9) APROXIMACIONES A LA DISTRIBUCION FTNITA DE C'RITERIOS J1-CUADRADO ^^3 yuc,' c.'^ rin trp^^ ^1t^ t^^^re^r^ ^ n m^i^ ^rmrl^iC^ ^iI ^^ht^enr^^^ ri^u^ilr^^ente t^n I^i Irtt^r^it^ir^t cc^^n^ ^ ntétrica (ver, por ejemplo, [3], [2]). Si la «función de desarrollo» en (3}, es decir, c^ (s>, es la función característica de una distribución normal obtenemos la expansión clásica de Edgeworth. Pero esta metodología puede ser utilizada con atras distribuciones, y así, si utilizamos las distribuciones Y o R, los polinomiso de (6) serían los de Laguerre y Jacobi, respectivamente, mientras que en el caso de la distri bución normal corresponden a los bie n conocidos polinomios de Hermite. Estos polinomios están discutidos en [8]. En el ca5a •, que nos ocup•a padríamos utilizar una Y 1 K . 2, 2 para aproxrmar la dis- tribución de v si su límite asintótico es Xk. Sin embargo, debido a consideraciones de tipo fundamentalmente algebraico, la expansión en este caso es más sencillo obtenerla por otros métodos. Más concretamente, lo que tenemos es una expresión del tipo y= = Ietqi. ^ie^n^ie q e^ un^^ ^^^rr^^hle ^^le^turra rnultrti^rr^inte cun una den^r^l^^^f t^^nrt^i ^ie^cunucr^i^^, ^^eru yue ^^^imrte un^s etpan^rón ^^^int^ít^ca ^iel trt^c^ indica^i^^ en (7). 1.^^ ^arr^ihie v e^t^ir^i ^ir^tnhur^i^i ti^^nt^^trcamente cumu una Xk y par^i ^ipru^rmar ^u drtitrrh^acr^^ n c^^n^r^ler^iremc^^ prrmeru una ^i^ru^rmacrún ^^ I^, ^ientii^i^^^1 t^rnita ^ie q y, pc^titeriurrnente, una ^i^re^^rm^^cr^^n ^ie I^etq r c.^umu un rulrnumiu en y. Es interesante ver a través de un ejemplo c^ ^ m^^ un test Xk puede ser escrito de esta forma. Consideremos el madelo E, - N(0, 6^ ) Yt = aYr_ i+ X;^3 + E^ (10) _ ^ fy + ^, E(E^T ) _ () t ^ t donde los x`s son no estocásticos (o alternativamente, el análisis es condicional a sus valores observados, lo que no quita generalidad al planteamiento). E1 test de a= 0 puede escribirse camo 4 A C_(R - a^ ^^x' ^ Yx> (^ -- R) Ax^ ^^ k a donde á 2=(E'^E / T- K) M,, _{I - Y_i(Y' ^ Y_ -^Y^ ^ -r o alternati vamente C - (E'^yX)(X'M.rX) k^ A2 ^^(X'MyE ) _Ax2 Q FS?ADIS77CA ESPAÑOLA Consideremos ahora los siguientes momentos muestrales y ^ = (Y'Y)^T y2 = (Y ` IY_^)IT q; = (Y' IY)/T (12) = f?^'Y)/T yk+S IX'i^ -1)^ ^ ^2ik+ 4 Parece claro ahora que podernos escribir q = fq^, ..., q^ ♦ a) C = Te(q) es decir, que C puede, de hecho, definirse como una función de estos momentas. En general, los tests standard en Econometría van a depender de este tipo de momentos, así que e! planteamiento es genera! [4j. Sin embargo, un requerimiento importante que no siempre es cumplido es que la dimensión de q sea independiente de T(por ejemplo, falla en modelos de medias móviles). Consideremos ahora Z'E Z `Y Z'Zy T T T y como E(Z'E )= 0, puede obtenerse con faciiidad Z'E A fq -- µ ) (13) donde µ = Eq y A es una matriz cuyos elementos son funciones del vector de parámetros del modelo. Definiendo la matriz de seiección S=(0, [^) y 1'1 .I ^ p l^m M = M = M podemos escribir A A ^ = SM^^Z'y^/T A - a + sM -' A(q - µ ) {14) APROXIMACIONES A LA DISTRIBUCI()N FINTTA DE CR(TER10S JI-CL'ADRADn l IS ^ Y :i,í , e, c:l^ir^^ ^ yr^e ^3 = ^31y ^ y ytrt^ ^i1µ ^ = ^3. ^)t^ r^t^^^l^^ :in:ilc^^;i^ ^^ t^t^^it^ ^ t'r^,t yut^ c^^(µ )= a2, cuando no se corrige por grados de libertad, y que será el estimacior que consideraremos en lo sucesivo. _ Ue e,te rn^^d^^ e, t^icrl ^ er que I^i ^^^rr^^nl^i it,rlltlitlC:a ^1e ^ e, A ti'1 ^a -^3 r^, 1 1= = n lírn c^ Z 1^.M -^^^ ^ . Y a,í el te,t X 2 puede e,crrhrr,e ^fe un rnc^^i^^ ma, c^^nL enrente µ:ir^i nrre^tr^^, pr^^p^^^rt^^, c^^mc^ C - {y - µ)`A'M-^S'[SM-^s,^-rSM-^A(y _ µ) • (15) ^^ihem^^, y^^e ty - µ i^ ^^^U. SZ r^^^r re,ult^i^i^^, ^tnerale^ de e,t^i^ií,trc^i. A,í. t1e ( l3) es evidente que 6^M = AS3A' (16) De hecho, si lim S2T = S2, puede verse para este casv que T-+ x „ M(µ ) = AS2fA' Escribiendo ahora ( 15) en la forma C _ (X,L-^,A,(62M)_^s,^s(a2M)-^S,^-iS(^2M)_rAL-iX)-I- (l^) donde X= L(y - µ) y S2 T^ = L'L, vemos que X^ N(o, i). Además, utilizando ta propiedad (16) es fácil ver que la matriz de (17) evaluada en Eq = µ, es idempotente y de rango K. Es evidente que C(y = µ)= 0 s C/Sq Q^r, = 0, y escribiendo S2C - C^ - ^qsq' q^^ obtenemos expandiendo C(q ) alrededor de µ C(q ) = X'C^ X + 0(1 !^/rT ) = S T -^- 4(1 ^) (18) Como C^ es idempotente, X'C^X = Y'Y, donde Y es de dimensi©n K. Y ahora podemos definir ó=+(Y'Y)^^2, µ= Y/b . Así, sT^'xk y el término de 0(l ^T) será una funcián de b y de µ. 116 ESTADISTICA E:sPA2^1C)L.A E sta va a ser, en lineas generales, la forma de apraximar T^ (y ) como función de las variab[es y. A,ntes de obtener,la expansión pdra T^(y) requerimos la aproximación del tipo Edgeworth para la densidad finita de y. La expansión asintótica par•a y la obtendremos basándonos en la función de desarrollo normal (ver (7}), puesto que y es asintóticamente normal. Para ello requerimos [os cumulantes de q y la función característica para obtenertos por derivación ( ver 9 ^ , Definienda las matrices H, , r= 1, 2, 3 del modo y, =(Y;Y/T) = Y°'H=Y° (19) donde Y°' _ (YT, ..., Y,, Ya) _ 1 H, = - (H^ + H; ) 2 L ^J ( y simi larmente H 2 y H,), y los vectores GQ , a= 4, ..., K + 4, qa +4 = GQY° G^; _ (X^T, ..., X^,, 0). etc. la función característica de los momentos muestrales q, es ^ +a B^H^ Y° + ,^ ^ ^aG^,Y° a^s (2C1) Corno Y° tiene una distribucián normal, esta esperanza puede ser obtenida fácilmente. En particular, requerimos las medias de Y° y su matriz de covarianzas, lo que puede ser obienido como sigue: Y, = m ^ + V, , m, _ «m, _, + X,^3 (21) v, _ «v, _, + E, de modo que la varianza de Y° es simplemente la de un proceso autorregresi vo de orden uno. Existe un problema con las medias iniciales que no son observadas, en este caso m°. Hay diversos métodos de estimarlas, pero esto es ya un problema que excede el nivel de esta introducción. Derivando ahora (20), los cumulantes se obtienen con facilidad. La solución explicita puede verse en [1 ]. De este rnodo, puede obtenerse explicitamente la aproximación del APROXIMACIUt^TES A LA DISTRIBUCION FINITA DE CRITERIOS J1-CUADRAr^^C) 1 17 tipo Edgeworth a la distribución tinita de y, hasta el orden de error en T que se de^;ee. La función característica del criterio T^(y> puede escribirse +x t^ T^ (,S ) _ ^, ^s r^ ^q ^ uf F( T^ ) (22) e^rrcq^f'(yk,^^ (23) - . x: o equivalentemente + ,^. ^rt(s) = - x: La idea es ahora expandir Te(y) por Taylor, expandir el exponente, sustituir,^`(y) por su aproximación, e integrar término a término. La inversa de esta función característica aproximada es la función de distribución aproximada de Te(y). La prueba de que el término de error no altera su orden de magnitud en T, a través de las suce^ivas ^ntegr^^c^^^ne^, e^ c^^mpl^c^^da. ^e reyu^eren c^erta^ c:^^nd^c^une^ en la^ ^ier^^ad^^^ ^ie ^[P ^ que aseguren que puede ser aproximado por Taylor, y ciertas condiciones en la función característica de q, ^Q(s), que permitan aproxirnar su función de densidad por una expansión asintóticamente válida. Las condiciones no tienen una interpretación intuitiva sencilla y se omiten. De todas formas, una explicación intuitiva del teorema puede ser de utilidad. Supongamos que se desea aproximar P[Te(q) ^ r2 ] cuando Te(y) ,,^ x^ y q es un vector de variables escogidas adecuadamente. El teorema requiere la definición de una variable cS a partir de las variables y^ , tal que S 2 ^ X ^ . Se establece un e ntorno del origen µ, en el que (Te) es invertible respecto a S, entorno que será creciente con T. Es decir, Te(q) = Te*(S, K^) donde w incluye el resto de las variables. En el entorno en que (Te) es invertible podemos escribir P [ Te (9 ) ^ r 2 ] ^` P [S 2 ^ ^ (r, w' ) ^ = J f ^ ^r' w ^^f^{S , w )db d w ( ^4 ) donde ^r (.) es la in versa para S, es decir, la solución a r 2= Te *(b , K^ ) y donde hemos supuesto que la probabilidad de que q esté fuera de este espacio puede ser desechada. Bajo ciertas condiciones, podremos obtener una aproximación a la densidad de (S , w), ^`k(b ,»^). También es posible bajo otras condiciones aproximar ^(r , w) por un polinamio Q(r , w), de modo que ^(r, w) ^^- Q^(r, w} [7]. Entonces puede escribirse {24) ^- jj^'^w}f^{ó, w)c^.^S, dw = f h[Q(r, ^^v), wldw Es decir, integramos primero respecto a S, y obtenemos una expresión que es integrada finalmente con respecto a las variables Kmarginales» w, para obtener 1a I1K ESTADiS"i1C^A F tiPA.^lt)I_A aprc^ximación tinal. La difrcultad etitriba, pur supuesto, en probar que en cada paso el térm^no desecht.do es del orden de magnituci requerido en T. Una vez que fa validez del teorema ha sida probado es máti conveniente presentar la expansión de un modo alternativo que facilite el álgebra. Concretamente, la idea aquí e^ obtener la función característica aproximada de T^(y) ^expanciiendo todo» por Taylor, e integra.r térrnino a término. Finalmente, invirtiendo esta aproximación obtendremos una expresión explícita para la aproximación a la probabilidad hnita que buscamos. Más concretamente, consideremos la función característica de Te(y) tal como ha sido expresada en (23) +, E, es Tr (q )t ^(y ^y = W Te (-S ) -x La expansión ha sido obtenida hasta un error O{T "3'2) por razones que luego serán patentes. Bajo las condiciones del T`"", puede escribirse Te (^ , Z ) = b 2 + R , (ó , K^ ) fT + R ^ (b , K^ ) ! T + p( T -;'2) ( 26) donde R^ y R2 son términos que dependen de las derivadas de e(.) hasta el orden cuarto, y están evaluadas en Ey = µ. por otra parte, aplicando la idea descrita a1 principio se obtiene con facilidad la aproximación a la densidad de X=^%^T L(y - µ}[recordando X^(i^i{U, I)] . .j-(X) = a(X) {1 + a^(X)^,l 1 + ^32(X}!T} + Q(T-3'2} (27) y donde a(X) - N(a, I) Como (ó , ^^) es una simple transformación de X, la aproximación a su densidad es sencilla de obtener. La expansión del exponente no entraña ahora ninguna dificultad especial. Finalmente, se desechan todos los términos cruzados de orden inferior a t^(T ^^'2) antes de integrar la expansión. La expansión en sí misma es muy complicada y costosa de obtener. AI final , ^^htc.^nc.=r^i^^^ un^i et^re^^^^n yue e^ tuncr^^n ^fe I^^^ ^ier-r^^^c1t^, ^ie ^ I e^ h^^^t^^ el ^^r^ien cuartu, y de los cumulantes, también hasta orden cuarto, de y. Hay problemas adicionales en la obtención de una matriz 4, tal que 1 C ,- 6 = U(l,j T) 2 ^ (28) APROXIMAC"IOIYFS A L.A DISTRIBUCIO^I I"ZNITA DE C'RITF.RIOS Jl-('t'ADRAIX) 119 y que IS21'^)S21 2) sea idempotente y de rangu h. E^^t^^ cundición, en el c^^su visto arriha y en hastanteti situaciones reales, tie va a cumplir cc^n i,^ualdad. Pero, en general , es un prohlema el obtener esas derivadas. Finalmente, la expresión para 1a aprc^ximación es de la forma + p(T --^^^) P[Te(y) <_ r2] = ^a2(rz) + ,/^^z(r2)*W(r) (^9) W(r ) = n(r),^ T + ^i(r)iT n(r ) _ ^. ^r _ I + a^ zr ^3(r) = S ^ h rtz -s ^ ^ ^ ^=I donde^;^=(.) es la función de distribución de una X ^ , y ,/i2^.) la correspondiente función de densidad. Los coeficientes (^;, h;) dependen de las derivadas y curnulantes mencionados más arriba. Existen transformaciones d^ esta aproximación diseñados para asegu; ar un comportamiento mejor en muestras finitas, pero la expresión ( 29) es, por así decirlo, la «generadorrd de aproximaciones» y por ésto la clave. La aproximación ha sido obtenida hasta un orden O(T -3'2) por dos razones: primero, obtener un arden T^^ requería evaluar términos demasiado complicados, y, segundo, el término A(r ) depende de ^(µ ), eQ y ^ e^- - H, pero estos términos son con frecuencia nulos, de modo que el error de las aproximaciones asintóticas no es de orden ( l y` T), sino de orden (1 /T) en muchas ocasiones . Las derivadas del criterio pueden ser evaluadas numéricamente, la que plantea otra serie de interesantes problemas de tipo numérico que están discutidos en [ 1]. La aproximación puede ser utilizada con parámetros estimados, obteniéndose un error O(T -3'2) si n(r )= 0. Tarnbién puede utilizarse sencillamente para estimar el intervalo correspondiente a una probabilidad dada, manteniéndose el orden de error T!3'2 La expansión obtenida en [I ] ha sido desarrollada bajo una serie de supuestos de derivabilidad en la función Te(.) que no son restrictivos. E1 más importante es que el número de momentos no dependa de T(no cumplido por procesos de medias móviles). E-;I i^eyuer-Im^ent^j h^^^^c:^^ par^^ la^ ^^lrl^^hle^ y e^ yue ^^, tunc:^ein de den^^d^^^J ^e^^ aproximable por una expansión de Edgeworth y que sea asintóticamente normal, consecuentemente. Esta condición parece bastante general y en principio no requiere la normalidad del componente de error en el modelo original (10). De todas formas, la investigación empírica realizada se ha Ilevado a cabo en modelos autorregresivos (uni y biecuacionales) comprobando restriccianes lineales y no lineales, y suponiendo que los errores del modelo son normales, con lo que se pueden ^^STAI^IST7(_^A ESPANC)I.A 12U uhtener expretiione^ algehráicas explícitati para lo^ cumulantes de N hasta el c^rden cie^et^du. Una cie !a^ conclu^iones empíricds ohtenidas sistemáticamente en lo^+ experimentos de Mc^nte Carlo es que la aproximación asintótica tiene unas colas demasiado delg,adas. La forma general de las distribuciones parece ser: I 1 - Asintótica. 11 - 1~inita (cierta). l i l- Aproximación a la finita. Este resultado, para T alto también puede derivarse teóricamente requiriendo b^ > 0 ( ver [29 ]). Esta condición, por otra parte, se requiere para la validez misma de la aproximación, y empíricamente siempre se ha cumplido, EI probiema entonces es que los tests de hipótesis se llevan a cabo en las colas. Una pequeña diferencia de probabilidad supone una variación porcentual de a veces el cien por cien en el intervalo de confianza. Las aproximaciones a la verdadera distribución derivadas en (I ], por otra parte, cometen errores mucho menores y en muchos casos prácticamente nu I^^^. 111. CONCLUSION La aproximación obtenida es muy ajustada a ia distribución finita, de acuerdo a todas las pruebas realizadas. Además, es de aplicabilidad bastante general, pues la APROXIMAC'IO:YI:S A LA D[STRIBUCION 1^T1^TTA DE: CRI7FRi()5 ll•CL'ADRACK) I't~'^trll'^It^rt 121 ^t' n^^l•t11^t^t^^^i^ t'n ^t^^ t'rl^t^l^t'^ rUC't^t' ^t't' I^tt~IIt11t'nIt' I^t'l^t.^.i^^i. 1't^r t)tt•ai ^^trtt'. en aplicaciones práctic•as suele ser más importante determinar ei orden de la correlación serial que su forma. Es decir, que un MA(1) puede ser apruximado pur un AR(11, a nu ser que la raíz sea cercana al círculo unidad. La implicación de este hec ho es que las aproximaciones aquí resumidas pueden ser aplicables también en estos casos. Excepto en casos sencillos es difícil obtener resultados analíticos de la compardción de las expansiones correspondientes a diferentes criterios con igual distribución asintótica. Sin embargo, en algunos casos de relevancia práctica, la comparación puede ser Ilevada a cabo, y el autor está actualmente trabajando en ello. La aproximación puede ser calculada sin dificultad para criterios generales, mediante un programa escrito como parte de esta investigación, y que pronto estará disponible para su uso público. EI programa no es excesivamente caro en términos de tiempo de ordenador y, actualmente, J. D. Sargan está trabajando en la simplificación de las partes más costosas de la evaluación de las aproxirnaciones de Edgeworth en general. En resumen, es probable que en un plazo relativamente corto, las aproximaciones a I^t^ ^1t,trthuctt^nt'^ I^n^t^i, ^it' este ttpt^ p^^^en a e,t^ir dtspe^nthle^ p^ir^i st.i ^^^^^ genNr^iltf^id^^ c.'n c^^^^lyu^et^ ttp^^ de rrt^hletl1^is. REFERENCIAS [ 1] MAUt.EON, l.: Approximations to the frnite surnple distrrhutions of Pconornetric chi-syuured c^ritcariu. l.undun Schuu) c^t^ Ecunorntc^. ^Test^ ^luctur^il nu puhltcada, ly^i^. [2] PNILLIPS, P. C. 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