Condición suficiente sobre Ω para la existencia de primitivas

Condición suficiente sobre Ω para la existencia de primitivas
(condición cohomológica)
Nicolás S. Botbol, 31-10-05
Motivados por generalizar el teorema de Cuachy (1), se verá a continuación una condición suficiente sobre la topologı́a de Ω para la existencia de
primitivas para f , donde f es cualquier función holomorfa sobre Ω.
Es decir, se busca caracterizar los dominios Ω tales que para toda f ∈
O(Ω) existe F : Ω → C holomorfa tal que F 0 = f
(1) Teorema: Sea Ω := D(z0 , r) ⊂ C (el disco abierto de radio r con
centro en z0 ). Entonces toda f ∈ O(Ω) admite primitiva.
Se puede probar que la condición que se hallará da una caracterización
completa de los dominios con tal propiedad, o sea, esta condición es suficiente
y necesaria.
Primero serán dadas algunas definiciones necesarias.
Sea Ω un subconjunto abierto de C, y sea U = {Ui }i∈I un cubrimiento
por abiertos de Ω.
Consideremos ahora I 0 ⊂ I × I, donde
I 0 := {(i, j) tales que Ui ∩ Uj 6= ∅}
Sea V ⊂ C abierto, y se define
C(V ) := {f : V → C tal que f es localmente constante},
Q
C 1 (U, C) := (i,j)∈I 0 C(Ui ∪ Uj ),
Z 1 (U, C) := {(cij )(i,j)∈I 0 ∈ C 1 (U, C) tales que cij + cjk + cki = 0 en
Ui ∪ Uj ∪ Uk donde Ui ∪ Uj ∪ Uk 6= ∅} y
Q
C 0 (U, C) := i∈I C(Ui ).
Se llamará 1-cocadena y 0-cocadena de U a valores en C a los elementos
de C 1 (U, C) y C 0 (U, C) respectivamente. Y 1-cociclo de U a valores en C a
los elementos de Z 1 (U, C).
1
Es fácil ver que los tres conjuntos, C 0 (U, C), C 1 (U, C) y Z 1 (U, C) son
espacios vectoriales sobre C. Además, Z 1 (U, C) ⊂ C 1 (U, C) por definición.
A esta altura resulta natural querer definir C 2 (U, C), cuyos elementos se
llamarán 2-cocadena de U a valores en C, para ello definiremos previamente
I 0 := {(i, j, k) tales que Ui ∩ Uj ∩ Uk 6= ∅}
Q
C 2 (U, C) := (i,j,k)∈I 00 C(Ui ∪ Uj ∪ Uk ),
Consideremos entonces la siguiente estructura:
C 0 (U, C) →d0 C 1 (U, C) →d1 C 2 (U, C)
Como observamos antes, estos objetos son C-espacios vectoriales, las aplicaciones d0 y d1 serán morfismos de C-espacios vectoriales, definidas como
sigue:
d0 : C 0 (U, C) → C 1 (U, C)
Sea (ci )i∈I un elemento de C 0 (U, C), definimos d0 ((ci )i∈I ) = (ci −cj )(i,j)∈I 0
donde ci y cj representan las restricciones de ci y cj (respectivamente) a Ui ∪Uj
d1 : C 1 (U, C) → C 2 (U, C)
Sea (cij )(i,j)∈I 0 un elemento de C 1 (U, C), definimos d1 ((cij )(i,j)∈I 0 ) = (cij +
cjk + cki )(i,j,k)∈I 00 donde cij , cjk y cki representan las restricciones de cij , cjk y
cki (respectivamente) a Ui ∪ Uj ∪ Uk
Observar que ahora se podrı́a definir Z 1 (U, C) como el núcleo de d1 .
Una sucesión de espacios vectoriales con morfismo de espacios vectoriales tales que la composición de dos consecutivos da cero se la definida se
denomina complejo de cocadenas de U.
Veamos ahora que d1 d0 = 0. Para ello tomamos un elemento (cij )(i,j)∈I ∈
C (U, C) y calculamos d1 d0 ((cij )(i,j)∈I ):
Se escribirá (cij ) = (cij )(i,j)∈I para alivianar la notaci0́n.
d1 d0 (cij ) = d1 (ci − cj ) = (ci − cj ) + (cj − ck ) + (ck − ci ) = 0
0
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Esto además dice que Im(d0 ) ⊂ Ker(d1 ). Recordando la definición de
Z (U, C) y definiendo
1
B 1 (U, C) := Im(d0 )
Un elemento de B 1 (U, C) := Im(d0 ) se llamará un 1-coborde de U a
valores en C.
Escribimos que B 1 (U, C) ⊂ Z 1 (U, C). Ahora, como d0 es un morfismo
de espacios vectoriales, se tiene que B 1 (U, C) := Im(d0 ) es un subespacio
vectorial de Z 1 (U, C) := Im(d0 )
Esto permite definir el el espacio vectorial cociente:
H 1 (U, C) := Z 1 (U, C)/B 1 (U, C).
Se dirá que H 1 (U, C) es el primer grupo de cohomologı́a asociado a U a
valores en C.
Con todas las definiciones anteriores ya se está en condiciones de enunciar
el teorema esperado (generalización del teorema de Cauchy (1))
Teorema: Sea Ω ⊂ C abierto. Sea U = {Ui }i∈I un cubrimiento por discos
abiertos de Ω, es decir, cada Ui es un disco abierto de C. Supongamos que
H 1 (U, C) = 0, entonces toda f ∈ O(Ω) admite primitiva.
Dem: Se quiere ver que toda f ∈ O(Ω) admite primitiva. Como todo Ui
es un disco abierto de C, se sabe, por el teorema de Cauchy (1) sobre Ui , que
f admite primitiva en Ui , que se denominará Fi .
Se verá que se puede definir una primitiva global F sobre todo Ω.
Para ello, sea (i, j) ∈ I 0 , se define cij = Fi − Fj sobre el abierto Ui ∩ Uj .
Como Ui ∩ Uj es conexo y Fi y Fj son dos primitivas de f en ese abierto,
entonces difieren en una constante, entonces cij es constante en Ui ∩ Uj .
Sea ahora (i, j, k) ∈ I 00 , se tiene que d1 ((cij )(i,j)∈I 0 ) = cij + cjk + cki =
(Fi − Fj ) + (Fj − Fk ) + (Fk − Fi ) = 0
Por lo tanto, (cij )(i,j)∈I 0 ∈ Ker(d1 ) = Z 1 (U, C), pero como H 1 (U, C) =
0, esto dice que Z 1 (U, C) = B 1 (U, C), entonces (cij )(i,j)∈I 0 ∈ Im(d0 ) =
B 1 (U, C).
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Sea ς = (cij )(i,j)∈I 0 , se vió que existe c ∈ C 0 (U, C) tal que d0 (c) = ς,
donde c = (ci )i∈I y cada ci ∈ C(Ui ) tal que al aplicar d0 :
Fi − Fj = ci − cj en Ui ∩ Uj para cada (i, j) ∈ I 0 .
Esto además dice que Fi − ci = Fj − cj en Ui ∩ Uj para cada (i, j) ∈ I 0 .
Defı́nase ahora F sobre todo Ω tal que F |Ui = Fi − ci y como Fi − ci =
Fj − cj en Ui ∩ Uj para cada (i, j) ∈ I 0 , esta definición tiene sentido.
Como cada ci es constante, entonces F |Ui = Fi − ci es una primitiva de
f en cada Ui . Y como U = {Ui }i∈I un cubrimiento por discos abiertos de Ω,
entonces F es una primitiva de f en Ω. Además se puede probar que esta propiedad caracteriza a los espacios Ω
tales que toda f ∈ O(Ω) admite primitiva.
También se puede probar que estos espacios son aquellos para los cuales
Π1 (Ω) = 0, es decir, los espacios simplemente conexos.
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