1. Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas

1. Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si
son partidarias o no de consumir un determinado producto.
a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando la letra "s" para las
respuestas afirmativas y "n" para las negativas.
E={ sss , ssn , sns , nss , snn , nsn , nns , nnn }
b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso " al menos dos de las
personas son partidarias de consumir el producto"?
E={ sss , ssn , sns , nss }
c) Describe el suceso contrario de "más de una persona es partidaria de consumir el
producto"
{snn , nsn , nns , nnn }
2. Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:
a) Lanzar tres monedas.
E={,c ,c, c,cc , cc , cc, ccc }
b) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos
E={3,4 ,5,6 ,7 ,8,9 ,10 ,11,12 ,13,14 ,15 ,16,17 ,18 }
c) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.
E={ BB , BN , NB , NN }
d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.
E={ L L L , L L L , L L L , L L L , L L L , L L L , L L L , L L L }
3. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que
consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos
los siguientes sucesos: A="salir un número primo" y B="salir un número cuadrado".
Responde a las cuestiones siguientes:
a) Calcula los sucesos A∩ B y A∪ B .
A={1,2 ,3,5 ,7}
A∩ B={1}
B={1,4 ,9 }
B={1,2,3 ,4 ,5,7 ,9 }
b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?.
Son compatibles, ya que A∩ B≠∅
c) Encuentra los sucesos contrarios de A y B.
A={4,6 ,8 ,9 }
B={2,3 ,5,6 ,7,8 }
1
4. Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se
pide:
a) Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea
múltiplo de tres.
Si resumimos en una tabla como la de la
derecha todas las posibilidades, es muy
fácil calcular las probabilidades que se
piden.
D1
1 2 3 4
5
6
1 2 3 4 5
6
7
2 3 4 5 6
7
8
3 4 5 6 7
8
9
4 5 6 7 8
9 10
D2
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Llamaremos M3 al suceso correspondiente a obtener una suma que sea múltiplo de 3.
P  M3=
12 1
=
36 3
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de
dos?
Llamaremos D+2 al suceso “se obtiene una diferencia de más de dos puntos”
D1
D2
P  D2=
1 2 3 4
5
6
1 x x x √
√ √
2 x x x x
√ √
3 x x x x
x
√
4 √ x x x
x
x
5 √ √ x x
x
x
6 √ √ √ x
x
x
12 1
=
36 3
5. Se lanzan dos dados:
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?
b) Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados
haya salido un tres?
Idéntico al anterior, haciendo una tabla.
En el apartado b) se debe utilizar la definición de probabilidad condicionada.
2
6. Si A y B son dos sucesos tales que:
3
1
P  A= ; P  B= ;
8
2
Calcular
Como
P  A∩B=
1
4
P  A∩B
5 3
A∩B= A∪B ⇒ P  A∩B=P  A∪B=1−P  A∪ B=∗ 1− =
8 8
3 1 1 5
P  A∪ B=P  AP  B−P  A∩B=  − =
8 2 4 8
7. Sean A y B dos sucesos tales que P  A∪ B=0,9 , P  A=0,4 donde A denota el
suceso contrario o complementario del suceso A, y P  A∩ B=0,2 . Calcula las
probabilidades siguientes:
•
P  A∣B , P  A∩ B , P  A∪B
Como P  A∪ B=P  AP  B−P  A∩B ⇒
⇒
•
P  B ,
0,9=0,6P  B−0,2
P  B=0,5
P  A∣B=
P  A∩ B 0,2 2
=
=
P  B
0,5 5
•
Como puede apreciarse en la
imagen
A=  A∩B  ∪ A∩B  , así que
P  A=P   A∩ B  ∪ A∩B   y como
 A∩B  y  A∩B  son
incompatibles:
0,6= P  A=P   A∩B  ∪ A∩ B  =
P  A∩B  P  A∩ B  =0,2 P  A∩B 
Así que
•
P  A∩ B=0,4
Por último, como P  A∪B=P  A∩ B=1−P  A∩B=1−0,2=0,8
3
8. Sean A y B los sucesos tales que: P  A=0,4 , P  A∩B=0,4 , P  A∩ B=0,1
Calcula P  A∪B y P  B .
Al igual que en el ejercicio anterior,
P  B=P  A∩BP  A∩ B=0,10,4=0,5
P  A∪ B=P  AP  B−P  A∩B=
=0,40,5−0,1=0,8
9. Dos sucesos tienen probabilidades 0,4 y 0,5. Sabiendo que son independientes, calcula la
probabilidad de que no suceda ninguno de los dos.
Sabemos que P  A=0,4
P  B=0,5 . Además, como son independientes,
P  A∩ B=P  A⋅P  B=0,2
La probabilidad de que no suceda ninguno de los dos es:
P  A∩B=P  A∪B=1−P  A∪B=1−0,7=0,3
P  A∪B=0,50,5−0,2=0,7
10. Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que:
P  A=0,6 , P  B=0,3 , P  A∪B=0,9
a) ¿Son independientes A y B?
P  A∣B=
P  A∩ B 0,1 1
=
= Así que, como P  A∣B≠P  A no son
P  B
0,3 3
independientes.
0,9=P  A∪ B=P  A∩ B ⇒ P  A∩ B=0,1
b) Calcula
P  A∣B .
4
11.Sabiendo que P  A∩B=0,2 , P  B=0,7 , P  A∩B=0,5
Calcula P  A∪B y P  A .
Este ejercicio es idéntico al nº 8.
Sólo indicaré los resultados
P  A=0,7
P  A∪B=0,8
11.De dos sucesos A y B sabemos que: P  A=0,48 , P  A∪B=0,82 , P  B=0,42
Ejercicio idéntico al nº 10. Sólo indico resultados.
a) ¿Son A y B independientes?
No lo son.
b) ¿Cuánto vale P  A∣B ?
P  A∣B=
12 2
=
42 7
12. Sean A y B dos sucesos aleatorios con P  A=
1
1
1
, P  B= , P  A∩B= .
2
3
4
Determinar:
a)
P  A∣B=
3
4
b)
P  B∣A=
d)
P  A∣B=
5
8
e)
P  A∩B=
13. Sean A y B dos sucesos aleatorios con P  A=
1
2
c)
P  A∪B=
7
12
5
12
1
1
1
, P  B= , P  A∩B= .
3
4
5
Determinar:
a)
P  A∣B=
4
5
b)
P  B∣A=
3
5
c)
P  A∪B=
23
60
d)
P  A∣B=
1
5
e)
P  A∣B=
37
45
f)
P  A∩B=
37
60
5
14. En un supermercado el 70% de las compras las realizan las mujeres; de las compras
realizadas por estas, el 80% supera los 20 €, mientras que de las compras realizadas por
hombres sólo el 30% supera esa cantidad.
a) Elegido un ticket de compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 20 €?
b) Si se sabe que el ticket de compra no supera los 20 € ¿ cuál es la probabilidad de que la
compra haya sido hecha por una mujer?
Llamemos
◦ M=”Compra hecha por una mujer”
◦ H=”Compra hecha por un hombre”
◦ +20=”LA compra supera los 20 €”,
◦ -20=”La compra no supera los 20 €”
P 20=P  M ⋅P 20∣M P  H ⋅P 20∣H =0,7⋅0,80,3⋅0,3=0,560,09=0,65
a)
b)
P  M∣−20=
P  M ∩−20
P  M ⋅P −20∣M 
0,7⋅0,2
0,14 2
=
=
=
=
P −20
P M ⋅P −20∣M P  H ⋅P −20∣H  0,7⋅0,20,3⋅0,7 0,35 5
15. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Si la carta extraída es un rey, nos
dirigimos a la urna I; en caso contrario a la urna II. A continuación, extraemos una bola. El
contenido de la urna I es de 7 bolas blancas y 5 negras y el de la urna II es de 6 bolas
blancas y 4 negras. Halla:
a) La probabilidad de que la bola extraída sea blanca y de la urna II
b) La probabilidad de que la bola extraída sea negra.
Llamaremos:
•
•
REY=”extraer rey de la baraja” y REY a su
suceso contrario.
B y N representan los sucesos “sacar una bola
blanca” y “sacar una bola negra”
respectivamente.
6
a)
6
P  B∩REY =P  REY ⋅P  B∣REY =0 ' 9⋅ =0 ' 54
10
b)
P  N =P [ N ∩ REY ∪ N ∩ REY ]=P  N ∩REY P  N ∩ REY =
5
4 241
=P  REY ⋅P  N∣REY P  REY ⋅P  N∣REY =0' 1⋅ 0 ' 9⋅ =
=0' 40166
12
10 600
16. Se estima que sólo un 20% de los que compran acciones en Bolsa tienen conocimientos
bursátiles. De ellos el 80% obtienen beneficios. De los que compran acciones sin
conocimientos bursátiles, sólo un 10% obtienen beneficios. Se desea saber:
a) El tanto por ciento de los que compran acciones en Bolsa que obtienen beneficios.
b) Si se elige al azar una persona que ha comprado acciones en Bolsa y resulta que ha
obtenido beneficios, ¿cuál es la probabilidad de que tenga conocimientos bursátiles?
Llamaremos:
•
•
a)
CB=”tenerr conocimientos bursátiles” y
CB a su suceso contrario, osea, no
tener dichos conocimientos.
OB representa el suceso “tener
beneficios” y OB el contrario, es
decir, no tenerlos.
P OB= P[OB ∩CB∪OB∩CB]=P OB∩CB P OB∩CB=
=P CB⋅P OB∣CB P CB⋅P OB∣CB=0' 2⋅0 ' 80 ' 8⋅0 ' 1=0 ' 24
Es decir, el 24% de los inversores bursátiles obtienen benefícios.
b)
P CB∣OB =
P CB ∩OB PCB ⋅P OB∣CB  0 ' 8⋅0 ' 2 2
=
=
=
P OB 
P OB
0 ' 24
3
17. En una Universidad existen tres facultades: A, B y C. En A hay matriculadas 150 chicas y
50 chicos; en B, 300 chicas y 200 chicos; y en C, 150 chicas y 150 chicos.
a) Calcula la probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, sea chico.
b) Si un estudiante elegido al azar resultara ser chico, ¿cuál es su facultad más probable
7
Llamaremos:
•
•
a)
A, B o C a elegir cada una de las
facultades.
H y M representan los sucesos “elegir un
chico (hombre)” y “elegir una chica
(mujer)”
P  H =P   H ∩ A∪ H ∩B∪ H ∩C  = P  H ∩AP  H ∩BP  H ∩C =
1 1 1 2 1 1 23
=P  A⋅P  H∣AP  B⋅P  H∣BP C ⋅P  H∣C = ⋅  ⋅  ⋅ = ≈0 ' 383
3 4 3 5 3 2 60
b) Para saber cuál es la facultad más probable sabiendo que es un chico calcularemos las
probabilidades P  A∣H  , P  B∣H  y P C∣H  .
1 1
⋅
P  A∩H  P  A⋅P  H∣A 3 4 5
P  A∣H =
=
=
= ≃0 ' 2174
PH
PH
23 23
60
1 2
⋅
P  B∩H  P  B⋅P  H∣B 3 5 8
P  B∣H =
=
=
= ≃0' 3478
PH
PH 
23 23
60
1 1
⋅
P C∩ H  P C ⋅P  H∣C  3 2 10
P C∣H =
=
=
= ≃0 ' 4348
PH
PH 
23 23
60
Así que, si el alumno era un chico, lo más probable es que procediera de la facultad C.1
1 Notar que las 3 probabilidades calculada suman 1.
8
18. El 12% de los habitantes de un país padece cierta enfermedad. Para el diagnóstico de esta,
se dispone de un procedimiento que no es completamente fiable ya que da positivo en el
90% de los casos de personas realmente enfermas, pero también da positivo en el 5% de
personas sanas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que el
procedimiento le ha dado positivo?
Llamaremos
• E al suceso “la persona está enferma” y
E al suceso contrario (“la persona está
sana”).
•
Usaremos también el símbolo + para
representar el suceso “la prueba da
positivo” y – para el suceso “la prueba da
negativo”.
P  E∣ =
P  E∩  
P  E ⋅P  ∣E 
0 ' 88⋅0 ' 05
=
=
≈0 ' 2895
P 
P  E⋅P  ∣E P  E ⋅P  ∣E  0 ' 12⋅0 ' 90 ' 88⋅0 ' 05
19. Se tienen 3 urnas numeradas del uno al tres, con 2 bolas blancas y tres negras cada una de
ellas. Se extrae una bola de la primera urna y se deposita en la segunda. Acto seguido, se
extrae una bola de la segunda urna y se deposita en la tercera. Finalmente, se extrae una bola
de la tercera urna. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.
P  B=P  BBB∪BNB∪ NBB∪NNB  =
P  BBB  P  BNBP  NBB P  NNB=
2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 4 2 16
⋅ ⋅  ⋅ ⋅  ⋅ ⋅  ⋅ ⋅ = ≈0 ' 356
5 6 6 5 6 6 5 6 6 5 6 6 45
9
20. Tenemos dos urnas A y B. La urna A contiene 2 bolas negras, 3 bolas rojas y 1 bola verde.
La urna B contiene 3 bolas negras, 3 bolas rojas y 2 bolas verdes. Lanzamos un dado al aire
y si sale un número menor que 3 sacamos una bola de la urna A y si sale 3, 4, 5 ó 6 sacamos
una bola de la urna B.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea verde?
P V =P   3∩V ∪ 3∩V  = P  3∩V P  3∩V =
2 1 4 2 2
8
2
=P  3⋅P V∣3P  3⋅P V∣ 3= ⋅  ⋅ =  =
6 6 6 8 36 48 9
(b) Sabiendo que ha salido la urna A ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea
verde?
1
P V∣A=
6
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga la urna A y la bola sea verde?
2 1 1
P  3∩V =P  3⋅P V∣3= ⋅ =
6 6 18
(d) Sabiendo que la bola obtenida es verde ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la urna A?
P  3⋅P V∣3
P  3∣V =P  3∩V ⋅P V =
=
P  3⋅P V∣3P  3⋅P V∣3
2 1
1
⋅
6 6
18 1
=
= =
2 1 4 2
2 4
⋅  ⋅
6 6 6 8
9
10
21. En un aparato de radio hay presintonizadas tres emisoras A, B y C que emiten durante todo
el día. La emisora A siempre ofrece música, mientras que la B y la C lo hacen la mitad del
tiempo de emisión. Al encender la radio se sintoniza indistintamente cualquiera de las tres
emisoras.
(a) Obtener de forma razonada la probabilidad de que al encender la radio escuchemos
música.
(b) Si al poner la radio no escuchamos música, calcula de forma razonada cuál es la
probabilidad de que esté sintonizada en la emisora B.
22. El 60 % de los alumnos de bachillerato de un Instituto son chicas y el 40 % chicos. La
mitad de los chicos lee asiduamente la revista COMIC, mientras que sólo el 30 % de las
chicas la lee.
(a) Obtener de forma razonada la probabilidad de que un alumno elegido al azar lea esta
revista,
(b) Si un alumno elegido al azar nos dice que no lee la revista, obtener de forma razonada
probabilidad de que sea chica.
23. En una pequeña ciudad hay dos bibliotecas. En la primera, el 50 % de los libros son novelas
mientras que en la segunda lo son el 70 %. Un lector elige al azar una biblioteca siguiendo
un método que implica que la probabilidad de elegir la primera biblioteca es el triple que la
de elegir la segunda. Una vez llega a la biblioteca seleccionada, elige al azar un libro, novela
o no.
(a) Calcular razonadamente la probabilidad de que elija una novela.
(b) Sabiendo que el libro seleccionado es una novela, obtener razonadamente la
probabilidad de que haya acudido a la primera biblioteca.
24. El 60 % de las personas que visitaron un museo durante el mes de mayo eran españoles. De
estos, el 40 % eran menores de 20 años. En cambio, de los que no eran españoles, tenían
menos de 20 años el 30 %. Calcular:
(a) La probabilidad de que un visitante elegido al azar tenga menos de 20 años.
(b) Si se escoge un visitante al azar, la probabilidad de que no sea español y tenga 20 años o
más.
25. En una población hay el doble de mujeres que de hombres. El 25 % de las mujeres son
rubias y el 10 % de los hombres también son rubios. Calcular:
(a) Si se elige al azar una persona y resulta ser rubia, ¿cuál es la probabilidad de que sea
mujer?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre y no sea rubio?
26. En un conjunto de estudiantes el 15% estudia alemán, el 30% estudia francés y el 10%
ambas materias.
(a) ¿Son independientes los sucesos estudiar alemán y estudiar francés?
(b) Si se elige un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que no estudie francés ni
alemán.
27. Un ladrón, al huir de un policía, puede hacerlo por las calles A, B o C, con probabilidades
p(A)=0,25 , p(B)=0,6 y p(C)=0,15 respectivamente. La probabilidad de ser alcanzado por la
calle es 0,4 , si huye por la calle B es 0,5 y si huye por la calle C es 0,6.
11
(a) Calcule la probabilidad de que la policía alcance al ladrón
(b) Si el ladrón ha sido alcanzado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en la calle A?
12