Algebra Lineal XXV: Determinación del Rango de una Matriz Mediante Determinantes. José Marı́a Rico Martı́nez Departamento de Ingenierı́a Mecánica Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email: jrico@salamanca.ugto.mx En estas notas mostraremos como determinar el rango de una matriz mediante determinantes, además probaremos que el rango fila de una matriz es igual al rango columna de la misma matriz. Teorema. Sea M ∈ M m×m una matriz de rango columna ρc (M ) = ρ(M ) = ρ. Sea r el orden, es decir el número de filas o el número de columnas de la submatriz, cuadrada, de M mas grande, cuyo determinante es diferente de 0. Entonces ρ = r. Prueba: Si M es la matriz 0, entonces, el orden de la submatriz mas grande cuyo determinante es diferente de 0 es r = 0, además el número de columnas linealmente independientes es 0,1 por lo tanto ρ = 0 = r. Supondremos ahora que M es diferente de 0 y sea N una submatriz, de orden r, de M tal que m11 m12 · · · m1r m21 m22 · · · m2r N = . .. .. .. .. . . . mr1 mr2 · · · mrr además suponga que det N 6= 0 pero que para todas las submatrices, de M , de orden r + 1 su determinante es 0. Note que N contiene las primeras r columnas de M , esta suposición no afecta la generalidad pues el intercambio de columnas, o de filas, de la matriz M no afecta la independencia lineal de las columnas o de las filas. Suponga que M1 , M2 , . . . , Mr son las columnas de M y sean N1 , N2 , . . . , Nr las columnas de N . Entonces {M1 , M2 , . . . , Mr } es linealmente independiente pues si no lo fueran, entonces {N1 , N2 , . . . , Nr } serı́an linealmente dependientes y det N = 0 una contradicción. Entonces ρ ≥ r. Si r = m; es decir si la submatriz N es igual a M , entonces m = r ≤ ρ ≤ m implica que ρ = r = m y el resultado final se obtiene. Entonces, el único caso que queda analizar r ≤ m. Para analizar este caso, crearemos una submatriz de M de orden r + 1 aumentando a N otros elementos de M , de manera mas especı́fica se añadirán los elementos asociados a la s−ésima fila de M y la t−ésima columna de M , de esa manera se determina m11 m12 · · · m1r m1t m21 m22 · · · m2r m2t .. .. .. .. N [s, t] = ... . . . . mr1 mr2 · · · mrr mrt ms1 ms2 · · · msr mst 1 Esta expresión es un abuso del lenguaje, la frase deberı́a decir, la cardinalidad del conjunto mas grande cuyos elementos son las columnas de M linealmente independientes es 0. 1 Impondremos las siguientes condiciones, la s−ésima fila debe satisfacer la condición 1 ≤ s ≤ m y la t−ésima columna debe satisfacer la condición r + 1 ≤ t ≤ m. Entonces det N [s, t] = 0 Existen dos posibles situaciones: 1. Si s > r, entonces N [s, t] es una submatriz de orden r + 1 y por la suposición, todos los determinantes de las submatrices de M , de orden mayor a r son 0. 2. Si s ≤ r entonces N [s, t] tiene dos filas iguales y, por lo tanto, su determinante es igual a 0. Expandiendo el det N [s, t], en base a la s−ésima fila y denominando N si para 1 ≤ i ≤ r e i = t, se tiene que det N [s, t] = 0 = ms1 N s1 + ms2 N s2 + · · · + msr N sr + mst N st Note que puesto que los cofactores, N sj ∀1 ≤ j ≤ r o j = t eliminan la s−ésima fila, la ecuación anterior es independiente de s, por lo tanto pueden denominarse c1 , c2 , . . . , cr , ct y la relación puede escribirse como c1 ms1 + c2 ms2 + · · · + cr msr + ct mst = 0 ∀ 1 ≤ s ≤ m ∀r + 1 ≤ t ≤ m Por lo tanto esta ecuación puede escribirse como c1 M1 + c2 M2 + · · · + cr Mr + ct Mt = ~0 ∀r + 1 ≤ t ≤ m Por lo tanto ρ ≤ r. Combinando los dos resultados, se tiene que ρ=r A partir de este resultado, se probará que el rango fila de una matriz es igual al rango columna de la misma matriz. Teorema. Sea M ∈ M m×m entonces el rango columna de la matriz, ρc (M ), es igual al rango fila de la matriz, ρf (M ); es decir ρc (M ) = ρ(M ) = ρf (M ). Prueba: Sea ρc (M ) el rango columna de la matriz M , entonces existe una submatriz N de M de orden ρc (M ) tal que det N 6= 0 pero todas las submatrices de M de orden mayor a ρc (M ) tienen todas determinante igual a 0. Considere ahora la matriz M T las columnas de M T son las filas de M . Además N T es una submatriz de orden ρc (M ) tal que det N T 6= 0 pero el determinante de todas las submatrices de M T de orden mayor que ρc (M ) son todos iguales a 0, pues en caso contrario la transpuesta de esa submatriz seria una submatriz de M de orden mayor a ρc (M ) contradiciendo la suposición que el rango columna de la matriz M es igual a ρc (M ). Por lo tanto, el rango fila de la matriz M, denotado por ρf (M ) es igual al rango columna de la matriz M T y por lo tanto igual al rango columna de la matriz M ; es decir ρf (M ) = ρc (M T ) = ρf (M ) = ρ(M ) 1. Problemas resueltos Problema 1. Considere la siguiente matriz 1 3 2 −1 M = −1 2 0 5 2 −1 1 3 −2 −3 2 −4 3 Determine, empleando determinantes, el rango de la matriz. Solución. Empecemos con un determinante de orden 1. Seleccione cualquier elemento de la matriz, diferente de 0, digamos m11 , y denomine a esa submatriz M1 , cualquier matriz de orden 1 cuyo elemento es diferente de 0 sirve para este propósito, entonces |M1 | = |m11 | = |1| = 1 6= 0 Por lo tanto, el rango de la matriz M es ρ(M ) ≥ 1. Considere ahora una submatriz, de M , de orden 2, denote esta submatriz como M2 y seleccione m11 m12 M2 = m12 m22 existen muchas otras submatrices de orden 2 que podrı́an emplearse en vez de esta, entonces m m12 1 3 |M2 | = 11 = −7 6= 0 = m12 m22 2 −1 Por lo tanto, el rango de la matriz M es ρ(M ) ≥ 2. Considere ahora una submatriz, de M , de orden 3, denote esta submatriz como M3 y seleccione m11 m12 m13 M3 = m12 m22 m23 m31 m32 m33 existen otras submatrices de orden m11 |M3 | = m12 m31 3 que podrı́an emplearse en 3 m12 m13 1 m22 m23 = 2 −1 m32 m33 −1 2 vez de esta, entonces −1 3 = 3 6= 0 −3 Por lo tanto, el rango de la matriz M es ρ(M ) ≥ 3. Finalmente, considere ahora una submatriz, de M , de orden 4, denote esta submatriz como M4 . Sin embargo, la única submatriz de orden 4 es la propia matriz M por lo tanto m11 m12 m13 m14 1 3 −1 1 m m22 m23 m24 2 −1 3 −2 |M4 | = |M | = 12 = 3 6= 0 = m31 m32 m33 m34 −1 2 −3 2 m41 m42 m43 m44 0 5 −4 3 Vamos a calcular el valor del determinante por la expansión de Laplace en base a la cuarta fila, otra selección razonable, es calcular el valor del determinante por la expansión de Laplace en base a la primera columna. En este caso se tiene que 1 −1 1 3 −1 1 3 −2 |M4 | = |M | = (−1)4+1 (0) −1 3 −2 + (−1)4+2 (5) 2 −1 −3 2 2 −3 2 1 1 3 −1 3 1 +(−1)4+3 (−4) 2 −1 −2 + (−1)4+4 (3) 2 −1 3 −1 2 −3 −1 2 2 = 5(−1) + 4(−1) + 3(3) = −5 − 4 + 9 = 0 Por lo tanto, el rango de la matriz M es ρ(M ) ≤ 4. De aquı́ que ρ(M ) = 3. 3 2. Problemas Propuestos. Problema 1. Considere las dos matrices del problema 1 de las notas Álgebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa. Determine, empleando determinantes, el rango de las matrices 1 −2 2 1 0 1 −1 3 1 1 0 5 2 , M2 = 3 2 0 −1 M1 = 3 −1 2 1 −1 3 0 1 2 1 4