Problemas para los más jóvenes 51 Cinco problemas de

Problemas para los más jóvenes 51
Cinco problemas de Olimpiadas rumanas para jóvenes
PMJ51-1
Los números reales positivos x; y; z son tales que xyz (x + y + z) = 1
a) Demostrar que
s
1
1
1
x2 + 2
y2 + 2
z 2 + 2 = (x + y) (y + z) (z + x) :
y
z
x
b) Determinar una terna de números que veri…que la hipótesis.
PMJ 51-2
x; y; z son números naturales tales que x < y < z: Si x; y; z son directamente
proporcionales a tres números naturales consecutivos, ¿de cuántas maneras distintas se puede escribir el número 180 en la forma x + y + z?
PMJ51-3
Los números naturales no nulos a; b; c cumplen la condición
a+b
b+c
c+a
=
=
:
bc
ca
ab
Demostar que a = b = c:
PMJ51-4
El triángulo isósceles ABC tiene como base AC = a y el ángulo B es de
70o . En los segmentos AB y AC se eligen puntos D y E, respectivamente, de
manera que DA+AE = a. En los segmentos AC y BC se eligen puntos F y
G, respectivamente, de modo que FC+CG=a. Los puntos E y F son distintos.
Calcular la medida del ángulo agudo que forman las rectas DF y EG.
PMJ51-5
Determinar los números enteros x; y tales que
2
x
y
= x + 3:
1