Equilibrio entre Tarificaciones a priori y a posteriori: Diseño de

Equilibrio entre Tarificaciones a
priori y a posteriori:
Diseño de Sistemas Bonus
Malus.
Prof. José Luis Vilar Zanón
Universidad Complutense de Madrid
y
Actuaris Ibérica
Semana del Seguro, Madrid 13 de marzo de 2013
CONTENIDO:
1. Necesidad de implantación de un sistema Bonus Malus. Heterogeneidad residual.
2. Definición de sistema bonus malus.
3. Elementos para el diseño de un sistema bonus malus
4. Propuesta de Competencias y Habilidades en el diseño de bonus malus.
5. Planteamiento del proceso de diseño de un sistema bonus malus (SBM)
6. Ejemplo.
7. Generalización a escalas relativas
8. Referencias.
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1-Necesidad de implantación de un sistema Bonus Malus.
Tarificación a priori y tarificación a posteriori
En general se pueden aplicar dos pasos en la tarificación:
 Tarificación a priori:
Se supone que el nivel de riesgo de cada póliza λ>0 puede ser explicado solo en parte por
unos factores que son observables y cuya influencia se puede estimar por medio de una
metodología como la de los Modelos Lineales Generalizados (GLM).
Se identifican unos factores de riesgo significativos y su influencia en el nivel de riesgo de
la póliza que va a entrar a formar parte de la cartera.
Cada factor se segmenta y el producto de factores da lugar a unas celdas caracterizadas
por un nivel de riesgo λ en donde se considera que la heterogeneidad es menor que antes
de comenzado el proceso.
Sin embargo el nivel de riesgo λ también está influido por factores que no son observables
y es por ello que todavía dentro de las celdas se observa la existencia de una
heterogeneidad residual. Es por esta razón que resulta útil aplicar el segundo paso:
 Tarificación a posteriori:
Se supone que dichas características inobservables se van manifestando a lo largo del
tiempo a través de la siniestralidad de la póliza. Con la ayuda de esta siniestralidad
podemos ir corrigiendo la prima para aproximarla al nivel de riesgo verdadero de la póliza.
La metodología seguida aquí en esta presentación es la de los Sistemas Bonus Malus.
(SBM).
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1-Necesidad de implantación de un sistema Bonus Malus.
El nivel de riesgo de las pólizas
 Para una póliza extraída aleatoriamente de la cartera se supone que su nivel de riesgo
viene dado por un parámetro λ 0 que representa el número medio de siniestros por
unidad de tiempo (p.ej. año). La heterogeneidad consiste en que no podemos conocer λ,
y entonces la suponemos una variable aleatoria Λ>0/ Λ~ λ función de estructura de
la cartera
El número de siniestros de la póliza es una variable aleatoria (va) N tal que:
N Λ  λ  P  λ  : P  N  n Λ  λ   pn  λ 
N  P.Ponderada : P  N  n   E Λ  p n  λ   


0
λn  λ
e dU  λ 
n!
 Si consideramos las cuantías individuales independientes de y tomamos
la unidad monetaria, entonces la prima pura asignada a la póliza es:
como
P  E  N E X  E  N  E Λ
Esto es lo que llamaremos de ahora en adelante la prima colectiva de la cartera o conjunto
de pólizas
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1-Necesidad de implantación de un sistema Bonus Malus.
La estructura de la cartera: un ejemplo.
λ
Λ
Estructura de una cartera de 2.870.682 pólizas con 12 meses de exposición al riesgo y características
muestrales de N: ∗ 0,078857, ∗ 0,084722, ∗ 3,981568 (Fuente: Vilar, Gil, Heras (2004): Estudio
de la estructura de una cartera de pólizas y de la eficiencia de un SBM, Cuadernos de la Fundación nº84,
Editorial Mapfret)
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1-Necesidad de implantación de un sistema Bonus Malus.
Dos situaciones límite: prima colectiva y credibilidad exacta
 Podemos comparar el caso en que no imponemos ningún SBM y el caso en que
imponemos un sistema de tarificación a posteriori teóricamente perfecto pero
comercialmente inviable: la credibilidad exacta

Cobramos la prima colectiva a todas las pólizas: la equidad de este “sistema” se puede
representar como la diferencia entre la prima y el verdadero nivel de riesgo de la póliza:
y1  λ   E  Λ   λ


En el caso de la credibilidad exacta se demuestra que asintóticamente esta diferencia es y 0  λ   0
Luego gráficamente tenemos:
El asegurado pierde
La Cía gana
y0  λ 
El asegurado gana
La Cía pierde
y1  λ 
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1-Necesidad de implantación de un sistema Bonus Malus.
A la búsqueda de una situación intermedia
 Al implantar un SBM nos gustaría obtener una situación intermedia entre la de la
credibilidad exacta (imposible en el mercado) y la de la prima colectiva que es
mala porque:


Los asegurados buenos pueden querer marcharse: Λ
λ
λ
Los asegurados malos pueden querer quedarse: Λ
 Nos gustaría poder representar la equidad del nuevo sistema(BM) y que esta se
representase a ser posible lo más cerca posible de la gráfica azul:
y0  λ 
y1  λ 
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2-Definición de sistema bonus malus.
Definición
 Un SBM está vigente cuando las siguientes condiciones se dan:



Existen un número finito de clases
,…,
, tales que cada póliza permanece en una
clase en cada periodo.
La prima de cada póliza depende únicamente de la clase en que está la póliza.
La clase para un periodo está determinada por la clase en el periodo anterior y el
número de siniestros declarado durante ese periodo. (Propiedad markoviana)
 Un SBM queda determinado por tres elementos, que conforman su DISEÑO

Las reglas de transición: son las reglas que permiten transferir una póliza desde la clase
a la clase en el siguiente periodo


La clase inicial para las nuevas pólizas.
,…,
en donde es la prima para las pólizas en la clase i.
La escala de primas
consideramos a clase como la de mayor descuento.
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2-Definición de sistema bonus malus.
Modelo matemático para SBM: cadenas de Markov
Los SBM se pueden expresar como cadenas de Markov:
 La matriz de transición condicional (dada una póliza con parámetro de riesgo
Λ λ
M      pij    
i , j 1,..., n
en donde
λ es la probabilidad de pasar de la case a i a la j para una póliza de
parámetro Λ λ.
Se supone que la cadena reúne una serie de propiedades: homogeneidad,
ergodicidad, no existencia de ciclos⇒ adena regular. Para cadenas regulares:
 Dada la distribución de las póliza de parámetro Λ λ, a través de la clases de BM,
en el periodo t
 t    t  ,...,  t 
 
  
 t 1      t    M    ,
 
que se calcula así:
1
n
 Existe la distribución estacionaria condicionada (Λ
n
         M    , tal que   i     1
t  0,1, ,  0    fijada.
λ):
i 1
y la distribución estacionaria descondicionada
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con componentes 
i 
     dU   
i
0
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2-Definición de sistema bonus malus.
Estados transitorio y estacionario.
 El estado estacionario es el que se alcanza cuando la distribución de las pólizas a
través de la clases de BM es λ (condicionada) o (descondicionada).


El número de periodos que tarda en alcanzarse dependerá del número de Clases BM.
A lo largo de la exposición supondremos que :
 La cartera está cerrada para la cohorte de pólizas presentes en el periodo 0.
 NO estamos considerando el fenómeno del hambre de bonus de manera que los
siniestros declarados y sucedidos coinciden.
 El estado transitorio es el que precede al estado estacionario: cuando las
distribuciones de las pólizas a través de las clases de BM difieren todavía de las
estacionarias.
 A LO LARGO DE LA EXPOSICIÓN NOS SITUAMOS EN LA FASE ESTACIONARIA.

λ y
se interpretan como la proporción de pólizas (de parámetro λ o
independientemente del parámetro de riesgo) que pertenece a la clase cuando
el estado estacionario ha sido alcanzado.
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2-Definición de sistema bonus malus.
Escala de primas absolutas y escala relativa
 Hasta ahora hemos introducido la escala de primas absolutas .


Esta escala es adecuada si estamos tratando con un colectivo de pólizas (cartera) al
cual no se le ha aplicado ningún sistema de tarificación a priori. Tenemos entonces una
única función de estructura (celda=carera) y se trata entonces de calcular directamente
la prima correspondiente a cada clase de BM.
En este caso se puede considerar como prima inicial la colectiva Λ .
 Pero si se le hubiese aplicado a la cartera un sistema de tarificación a priori,
entonces la cartera estaría dividida en un conjunto de celdas, cada uno provisto
de una prima inicial λ .


En vez de calcular una escala de primas para cada celda, lo que resultaría en algo
comercialmente inpracticable…
…se trata de calcular una escala relativa, común a todas las celdas, y que representa los
niveles de recargo/bonus en porcentajes respecto de la pirma λ de la celda:
r   r1 , , rn  , ri  0
 En esta exposición nos vamos a situar en un primer momento en el primer caso
para introducir las definiciones y los ejemplos (escalas absolutas) de aplicación
de nuestra metodología
 En una segunda etapa veremos como se generaliza la metodología al segundo
caso (escalas relativas) sin ninguna dificultad.
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3- Elementos para el diseño de un sistema bonus malus
La prima media asintótica. Equidad asintótica. Equidad asintótica global del SBM.
 Para una póliza con parámetro de riesgo λ, su prima media asintótica es:
n
 b    ,
i 1

i
i
 0
Representa la prima media pagada por una póliza de parámetro λ en el estado
estacionario.
 Una medida para evaluar el principal objetivo de un SBM (acercar la prima al
riesgo de cada póliza) es la equidad asintótica del SBM:
n
y      bi i     
i 1

Una herramienta principal de diseño de SBM consitirá en calcular escalas de primas
óptimas en el sentido de que la equidad asintótica
λ esté lo más cerca posible del
caso perfecto de la credibilidad bayesiana
λ , mejorando al máximo el caso de la
prima colectiva. Es decir que la gráfica de λ esté lo más cerca posible del eje de
abcisas.
 Podemos sumar todas estas equidades “individuales” para obtener una medida
de la equidad asintótica global de un SBM APLICADO A UNA CARTERA CON
ESTRUCTURA λ : (Reglas R, Escala , colectivo o cartera u):



ER ,u b  E y     
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
0
n
 b       dU   
i 1
i
i
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3- Elementos para el diseño de un sistema bonus malus
Equidad asintótica: algunos ejemplos gráficos.
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3- Elementos para el diseño de un sistema bonus malus
Propiedades deseables de un sistema. Elementos del diseño de SBM
 Equilibrio financiero: el ingreso medio por primas debe igualar al gasto medio por
siniestralidad. Expresado matemáticamente: n

¿Y por qué no
?¿
b
Λ ?
i 1
i
i
 E 
 La escala debe satisfacer propiedades que la hagan competitiva desde el punto
de vista comercial. Por ejemplo:


Desde luego debe de ser monótona.
El rango total de la escala debe ser competitivo. Por ejemplo esto lo podemos expresar
así:
bn / b1  C (Cte a fijar por el decisor)

Los recargos (resp. bonificaciones) entre dos clases consecutivas también tienen que
poder ser controlables. Por ejemplo, esto lo podemos expresar así:
i  1,, n : bi1    cibi ,

 ci's Ctes a fijar por el decisor 
Fijar la clase inicial también define una característica comercial importante del SBM:
b i0  E  

 Naturalmente que todo ello bajo el criterio de optimizar la equidad asintótica
global del SBM, ya que este es el objetivo principal perseguido al implantar un
SBM en un colectivo de pólizas. (queremos estar lo más cerca prosible del caso
ideal de la credibilidad bayesiana).
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3- Elementos para el diseño de un sistema bonus malus
Esquema del diseño de SBM
 Dada una catera, e.d., una estructura
λ
PASO 1: Definir unas reglas de transición. Por ejemplo con respecto a la lista estandar de
reglas y a las reglas que están el uso en la competencia.
PASO 2: Restricciones que afectan a la escala de primas:
2.1- Fijar la restricción de equilibrio (¿Por qué no desequilibrio favorable?)
financiero.
2.2- Fijar todas las características comerciales de la escala de primas.
C,
’s, clase inicial
PASO 3: Optimización de la escala, cumplimiento del objetivo ideal del SBM:
3.1- Optimizar la equidad asintótica global (acercar la prima al nivel de riesgo de
las pólizas), Sujeta a las restricciones establecidas en el PASO 2.
Una vez calculada la escala óptima ∗ . Podemos:
• Variar las características pedidas en el PASO 1 o en el PASO 2 y comparar las
escalas resultantes hasta declararnos satisfechos.
Es teóricamente posible que los deseos del diseñador expresados a lo largo de los
PASOS 1, 2 resulten ser no factibles. La metodología nos avisaría de esta situación
cuando se produjera, lo que también es un elemento valioso de la misma.
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4-Competencias y habilidades del diseño de bonus malus
El diseño del SBM desde el punto de vista del cálculo de la escala óptima de
primas
1.Optimizar el objetivo principal de la implantación de un SBM (Equidad Asintótica
Global)
 Respetando el equilibrio financiero, o imponiendo un cierto desequilibrio fijado de
antemano.
 Satisfaciendo un diseño comercial: recargos, rango total de la escala, clase de
entrada.
 Opcionalmente: imponiendo o también midiendo el grado de cumplimiento de otras
propiedades establecidas en la literatura: RSAL, elasticidad
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4-Competencias y habilidades del diseño de bonus malus
Mejora de SBM
2.Mejorar un SBM existente


Midiendo previamente sus características (Equidad, recargos, equilibrio, etc…)
Para a continuación iniciar al proceso de diseño imponiendo mejores
características.
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4-Competencias y habilidades del diseño de bonus malus
Comparaciones.
3.Dada una cartera comparar el efecto de distintas reglas de transición midiendo
la equidad asintótica global y los errorres de tarificación.
4.Dada una cartera comparar, fijadas las reglas de transición, distintas escalas de
primas (por ejemplo procedentes de requerimientos comerciales variados).
5.Comparar nuestra escala con las obtenidas por otras metodologías menos elásticas
(Bayes, escalas lineales,etc…)
6.Dado un SBM, comparar su efecto sobre distintas carteras, e.d., sobre distintas
funciones de estructura
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λ .
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4-Competencias y habilidades del diseño de bonus malus
Conclusiones
Todas esta variedad de análisis se hace posible gracias a nuestra metodología,
• De una forma objetiva, científica, y orientada al mejoramiento de nuestro sistema
de tarificación a posteriori,



tanto desde le punto de vista de la razón principal de un tal sistema (acercar las primas a
los distintos niveles de riesgo de las pólizas),
como desde los puntos de vista de la competencia en el mercado…
…y el de la solvencia del negocio.
Pero……
¿Cómo es matemáticamente posible realizar todo esto?
Esto es lo que explicamos a continuación…
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5-Planteamiento del proceso de diseño de un sistema bomus malus
El proceso de optimización
Podemos expresar todo lo dicho hasta ahora en forma de un programa matemático, con
una función objetivo a optimizar con las variables sujetas a unas restricciones:
Fijada una cartera (estructura) y dadas unas reglas de transición, se trata de:



Opt ER ,u b  Min E y     Min
b
s.a :
n
b
n
  b       dU   
0
i 1
i
i
 b    E   
 Restricción de equilibrio financiero 
bi 1     ci bi , i  1, , n,
 ci 's Ctes a fijar por el decisor 
bn / b1  C
(Cte a fijar por el decisor)
i 1
•
•
b

i
i
bi0  E   
 i0
a fijar por el decisor 
Obsérvese que todas las restricciones son lineales respecto de .
Pero parece que la función objetivo es muy complicada….
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5-Planteamiento del proceso de diseño de un sistema bomus malus
La programación por metas
…Sin embargo podemos expresar ese objetivo linealmente respecto de
técnica de programación por metas. Veamos como:
gracias a la
•
Para poder hacer cualquier cálculo,
la estructura debe ser sometida a un proceso de
, y nos queda:
discretización de manera que: λ
,…,
•
Equidad asintótica global:


   b      u
ER ,u b  E y    
•
n
j 1 i 1
i
i
j
j
j
Si la prima asintóticanfuese ideal, igualaría al parámetro de riesgo de la póliza:
 b      ,
i 1
•
m
i
i
j
j
j  1,..., m
Pero como esto solo es un ideal imposible de cumplir, vamos a sumar dos
variables de desviación (por defecto y por exceso), para poder seguir escribiendo
la igualdad: n




b



y

y


,
y
,
y


 i i j j j j j j  0, j  1,..., m
i 1
•
A continuación las incorporamos a nuestro conjunto de restricciones.
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5-Planteamiento del proceso de diseño de un sistema bomus malus
La programación por metas
•
Pues bien, minimizar la equidad asintótica global equivale entonces a minimizar la
suma de las variables de desviación incorporando las anteriores restricciones:
Opt ER ,u
b
•
m



Min
y
y

j uj
 b , y    j

j 1
b 
n
 b    y   y    , y  , y   0, j  1,..., m
i i j
j
j
j
j
j

i 1

Y de esta forma ya estamos en condiciones de escribir un PROGRAMA LINEAL
resoluble por ejemplo mediante el algorítmo del simplex
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5-Planteamiento del proceso de diseño de un sistema bomus malus
La optimización del SBM

Opt ER ,u b  Min   y j  y j  u j
b
s.a :
m
b , y 
j 1
 n


b

y

y




 i i j
j
j  j ,
 i 1
 y  , y   0,
 j j
n
m
 b      u
i 1
i
i
j 1
j
j
j  1,..., m
,
 Restricciones de equidad 
j  1,..., m
 Restricción de equilibrio financiero 
bi 1     ci bi , i  1, , n,
 ci 's Ctes a fijar por el decisor 
bn / b1  C
(Cte a fijar por el decisor)
bi0  E   
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 i0
a fijar por el decisor 
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6-Ejemplo
La estructura (cartera)
En este ejemplo tomamos una inversa Gaussiana IG(mu=0.10108, beta=0.062979)
con lo que tenemos:
 1     2 
u   
exp  
,   0
3


2
 2  

E     0.101081, Var     0.006044
E  N   0.101081, Var  N   0.1074470
Para discretizar se elije el siguiente soporte:
 
j
48
j 1
 i  i  0.05 : i  1,...,32  i  0.16  i  0.05 : i  1,...,16
con las siguientes masas
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,
,…,
:
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6-Ejemplo
La estructura discretizada
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6-Ejemplo
Las reglas de transición
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26
6-Ejemplo
La distribución estacionaria descondicionada
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6-Ejemplo
Un primer diseño
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28
6-Ejemplo
Un segundo diseño
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6-Ejemplo
Las escalas de primas óptimas.
Comparaciones con otras escalas
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6-Ejemplo
Satisfacción de los
criterios comerciales
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6-Ejemplo
Equidad asintótica global: valores óptimos
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6-Ejemplo
Equidad asintótica del SBM: representaciones gráficas
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6-Ejemplo
Salida de los errores de
tarificación.
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6-Ejemplo
Salida de los errores de
tarificación óptimos
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7-Generalización a escalas relativas
Hipótesis que incluyen a la tarificación a priori
•
v.a. parámetro de Poisson a priori de una póliza seleccionada aleatoriamente (se
determina por la tarificación a priori dando lugar a un conjunto de valores
) . Se
tiene que como resultado de la tarifa a priori y también las siguientes probabilidades:
•
v.a. heterogeneidad residual debida a los factores inobservables que no han sido
incluidos en la tarifa. Se supone independiente de Λ . Su función de distribución o
función de estructura la llamamos F
•
L= Clases de Bonus Malus= 1,…,s
•
La escala relativa
rL   r1 , , rs  , rl  0
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7-Generalización a escalas relativas
Distribuciones significativas. Equilibrio financiero
La probabilidad para la clase l=1,…,L en el estado estacionario viene dada por (*)

P  L  l    wk   l  k dF  
0
k
La misma probabilidad condicionada a una póliza con heterogeneidad residual θ :
P  L  l       wk  l  k 
k
Esta expresión se interpreta como la proporción de pólizas en la clase de BM l=1,…,L una vez
que se ha alcanzado el estado estacionario. En el caso en que discreticemos F mediante
P     j   p j  j  1,..., q  , la expresión (*) se convierte en:
 L  l    wk   l  k j  p j
q
P
q
k
j 1
Finalmente el equilibrio financiero se expresa ahora así:


E  rL   E E   L   E     1
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7-Generalización a escalas relativas
Equidad asintótica para escalas relativas
Para las pólizas con heterogeneidad residual θ, la equidad asintótica de la escala relativa es:
 r P  L  l     
l
l
Y la equidad asintótica global:

 
E   rl P  L  l         
 l
 0
 r P  L  l       dF  

l
l
Si consideramos una versión discretizada de Θ:

q

q
r
P
  l L  l    j  j p j
j 1
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l
38
7-Generalización a escalas relativas
Las restricciones
Para la restricción de equilibrio financiero escribimos:
 r P  L  l       E   1
l
j
l
Para las restricciones comerciales escribimos:
dlmin  rl 1  rl  dlmax
0  rs  r1  D
rl0  1
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FIN
MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN
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