Una recta es el conjunto de puntos del plano alineados con dos dados

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Departamento de Matemáticas
FORMAS DE EXPRESAR UNA RECTA EN EL PLANO.
Una recta es el conjunto de puntos del plano alineados con dos dados.
FORMA VECTORIAL
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→
→
→
Puntos dados A y B, P es un punto de la recta r si AP = k ⋅ AB, k ∈ R ⇔ AP = k ⋅ v , a v se
le llamará el vector director.
FORMA PARAMÉTRICA
Se expresan A, B y P en coordenadas cartesianas:
A = ( a1 , a 2 ) ⎫
⎪
B = ( b1 , b 2 ) ⎪
→
→
x = a1 + k ⋅ v1 ⎫
⎪
⇒ AP = k ⋅ AB, k ∈ R ⇔
⎬
⎬
P = ( x, y )
y = a 2 + k ⋅ v2 ⎭
⎪
→
⎪
AB = ( v1 , v 2 ) ⎪⎭
→
x = 3 − 7k ⎫
Ejemplo:
⎬ ⇒ A = ( 3, 2 ) y v = ( −7,5 )
y = 2 + 5k ⎭
FORMA CONTINUA
Despejando k de las dos igualdades de la forma paramétrica e igualando.
x − a1 y − a 2
=
v1
v2
→
x + 2 y−3
=
⇒ A = ( −2,3) y v = ( −4, 0 )
−4
0
Observación: el cero del denominador NO ESTÁ DIVIDIENDO, indica la ordenada del
vector director.
Ejemplo:
FORMA PUNTO-PENDIENTE
De la igualdad de las fracciones en la forma continua se sigue
x − a1 y − a 2
v
=
⇒ ( y − a 2 ) ⋅ v1 = ( x − a1 ) ⋅ v 2 ⇔ y − a 2 = 2 ⋅ ( x − a1 ) ⇔ y − a 2 = m ⋅ ( x − a1 )
v1
v2
v1
v
Al cociente 2
se le llama pendiente de la recta y se denota con la letra m. Representa la
v1
tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas. Si se conoce la pendiente se
conoce un vector director y viceversa.
→
7
si v = (2, 7) ⇒ m =
2
→
⎛ 3⎞
si m = 3 ⎜ = ⎟ ⇒ v = (1,3)
⎝ 1⎠
Ejemplo: y + 2 = 4(x + 3) ⇒ A = ( −2, −3) y m = 4
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FORMA EXPLÍCITA
Reordenando la forma punto-pendiente
y − a 2 = m ⋅ ( x − a1 ) ⇔ y = m ⋅ ( x − a1 ) + a 2 ⇔ y = m ⋅ x + ( m ⋅ a1 + a 2 ) ⇒ y = mx + n
Al número n se le llama ORDENADA EN EL ORIGEN, y representa la ordenada del punto
de corte de la recta con el eje de ordenadas, es decir, la recta pasa por el punto (0,n)
Ejemplo:
⎧m = −1
y = −x + 3 ⇒ ⎨
⎩n = 3 ⇒ A = (0,3)
FORMA IMPLÍCITA O GENERAL
→
→
Si n es un vector PERPENDICULAR a v , la forma vectorial de la recta se puede expresar
→
→
→ →
como AP ⊥ n ⇒ AP⋅ n = 0 , expresando esta igualdad en coordenadas
(x − a1 , y − a 2 ) ⋅ (− v 2 , v1 ) = 0 ⇔ − v 2 ⋅ ( x − a1 ) + v1 ⋅ ( y − a 2 ) = 0
⇔ − v 2 ⋅ x + v1 ⋅ y + ( v 2 ⋅ a1 − v1 ⋅ a 2 ) = 0
⇔ Ax + By + C = 0
Los coeficientes A y B se interpretan como las coordenadas de un vector normal a la recta
→
→
Ejemplo: 2x − 3y + 12 = 0 ⇒ n = (2, −3) ⇒ v = (3, 2)
Un punto se obtiene dando valores a x ó y: x = 0 ⇒ −3y + 12 = 0 ⇒ y = 4 ⇒ A = (0, 4) .
FORMA SEGMENTARIA
Partiendo de la forma general
Ax + By −C
=
−C
−C
x y
=1⇔ + =1
p q
Ax + By + C = 0 ⇔ Ax + By = −C ⇔
⇔
Ax By
x
+
=1⇔
−C
− C −C
+
A
y
−C
B
p y q se interpretan como coordenadas de los puntos de la recta con los ejes de coordenadas:
(p, 0) y (q, 0)
Ejemplo:
→
→
⎧A = (2, 0)
x y
+
=1⇒ ⎨
⇒ v = AB = (−2, −5)
2 −5
⎩B = (0, −5)
2
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Ejercicio:
De las siguientes rectas calcula dos puntos, un vector director, un vector normal, la
pendiente de la recta y el ángulo que forma con el eje de abscisas. Haz un dibujo de las
mismas.
A
B
m
n
α
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
r8
r1 : x + y = 0
r5 : y = 6 .
r2 : x = y
r6 : y = 0
r3 : x = −3
r7 : x + 1 = 0
3
r4 : x = 0
r8 : y = x
→
→
v
n
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