Departamento de Matemáticas FORMAS DE EXPRESAR UNA RECTA EN EL PLANO. Una recta es el conjunto de puntos del plano alineados con dos dados. FORMA VECTORIAL → → → → → Puntos dados A y B, P es un punto de la recta r si AP = k ⋅ AB, k ∈ R ⇔ AP = k ⋅ v , a v se le llamará el vector director. FORMA PARAMÉTRICA Se expresan A, B y P en coordenadas cartesianas: A = ( a1 , a 2 ) ⎫ ⎪ B = ( b1 , b 2 ) ⎪ → → x = a1 + k ⋅ v1 ⎫ ⎪ ⇒ AP = k ⋅ AB, k ∈ R ⇔ ⎬ ⎬ P = ( x, y ) y = a 2 + k ⋅ v2 ⎭ ⎪ → ⎪ AB = ( v1 , v 2 ) ⎪⎭ → x = 3 − 7k ⎫ Ejemplo: ⎬ ⇒ A = ( 3, 2 ) y v = ( −7,5 ) y = 2 + 5k ⎭ FORMA CONTINUA Despejando k de las dos igualdades de la forma paramétrica e igualando. x − a1 y − a 2 = v1 v2 → x + 2 y−3 = ⇒ A = ( −2,3) y v = ( −4, 0 ) −4 0 Observación: el cero del denominador NO ESTÁ DIVIDIENDO, indica la ordenada del vector director. Ejemplo: FORMA PUNTO-PENDIENTE De la igualdad de las fracciones en la forma continua se sigue x − a1 y − a 2 v = ⇒ ( y − a 2 ) ⋅ v1 = ( x − a1 ) ⋅ v 2 ⇔ y − a 2 = 2 ⋅ ( x − a1 ) ⇔ y − a 2 = m ⋅ ( x − a1 ) v1 v2 v1 v Al cociente 2 se le llama pendiente de la recta y se denota con la letra m. Representa la v1 tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas. Si se conoce la pendiente se conoce un vector director y viceversa. → 7 si v = (2, 7) ⇒ m = 2 → ⎛ 3⎞ si m = 3 ⎜ = ⎟ ⇒ v = (1,3) ⎝ 1⎠ Ejemplo: y + 2 = 4(x + 3) ⇒ A = ( −2, −3) y m = 4 1 Departamento de Matemáticas FORMA EXPLÍCITA Reordenando la forma punto-pendiente y − a 2 = m ⋅ ( x − a1 ) ⇔ y = m ⋅ ( x − a1 ) + a 2 ⇔ y = m ⋅ x + ( m ⋅ a1 + a 2 ) ⇒ y = mx + n Al número n se le llama ORDENADA EN EL ORIGEN, y representa la ordenada del punto de corte de la recta con el eje de ordenadas, es decir, la recta pasa por el punto (0,n) Ejemplo: ⎧m = −1 y = −x + 3 ⇒ ⎨ ⎩n = 3 ⇒ A = (0,3) FORMA IMPLÍCITA O GENERAL → → Si n es un vector PERPENDICULAR a v , la forma vectorial de la recta se puede expresar → → → → como AP ⊥ n ⇒ AP⋅ n = 0 , expresando esta igualdad en coordenadas (x − a1 , y − a 2 ) ⋅ (− v 2 , v1 ) = 0 ⇔ − v 2 ⋅ ( x − a1 ) + v1 ⋅ ( y − a 2 ) = 0 ⇔ − v 2 ⋅ x + v1 ⋅ y + ( v 2 ⋅ a1 − v1 ⋅ a 2 ) = 0 ⇔ Ax + By + C = 0 Los coeficientes A y B se interpretan como las coordenadas de un vector normal a la recta → → Ejemplo: 2x − 3y + 12 = 0 ⇒ n = (2, −3) ⇒ v = (3, 2) Un punto se obtiene dando valores a x ó y: x = 0 ⇒ −3y + 12 = 0 ⇒ y = 4 ⇒ A = (0, 4) . FORMA SEGMENTARIA Partiendo de la forma general Ax + By −C = −C −C x y =1⇔ + =1 p q Ax + By + C = 0 ⇔ Ax + By = −C ⇔ ⇔ Ax By x + =1⇔ −C − C −C + A y −C B p y q se interpretan como coordenadas de los puntos de la recta con los ejes de coordenadas: (p, 0) y (q, 0) Ejemplo: → → ⎧A = (2, 0) x y + =1⇒ ⎨ ⇒ v = AB = (−2, −5) 2 −5 ⎩B = (0, −5) 2 Departamento de Matemáticas Ejercicio: De las siguientes rectas calcula dos puntos, un vector director, un vector normal, la pendiente de la recta y el ángulo que forma con el eje de abscisas. Haz un dibujo de las mismas. A B m n α r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r1 : x + y = 0 r5 : y = 6 . r2 : x = y r6 : y = 0 r3 : x = −3 r7 : x + 1 = 0 3 r4 : x = 0 r8 : y = x → → v n