Solucionario Guía Desafíos matemáticos 2016

Programa Egresados
EM-33
SGUICEG044EM33-A16V1
SOLUCIONARIO
Guía de desafíos
matemáticos
1. Se pueden contar los quince cuadrados pequeños, más seis cuadrados formados cada
uno por cuatro cuadrados pequeños, más un cuadrado formado por nueve cuadrados
pequeños.
Por lo tanto, en la figura se pueden contar 22 cuadrados en total.
2. Al pintar el cubo completamente y luego cortarlo, los cubitos resultantes tendrán
algunas caras pintadas (las que estaban originalmente en el exterior del cubo mayor)
y algunas caras sin pintar (las que estaban originalmente en el interior del cubo
mayor).
Los cubitos que originalmente estaban en el medio de cada borde (aparecen
oscurecidos en la figura) quedarán con dos de sus caras pintadas y las otras cuatro
sin pintar.
Como los bordes (o aristas) de un cubo son doce, y hay un cubito en el medio de
cada una, entonces doce cubitos tienen solo dos de sus caras pintadas de azul.
3. Si llamamos A al punto ubicado en el centro del cuadrado 1,
al dividirlo en cuatro cuadrados iguales (como muestra la
figura), entonces el triángulo 1 siempre será congruente al
triángulo 2. Esto es independiente del tamaño de los
cuadrados 1 y 2 y del ángulo entre ellos.
Luego, al reemplazar el triángulo 1 en el triángulo 2, se
forma un cuadrado que es igual a la cuarta parte del
cuadrado 1.
Cuadrado 1
A
2
1
Cuadrado 2
Por lo tanto, la fracción del cuadrado 1 que se encuentra también en el cuadrado 2 es
un cuarto.
4. Los números del reloj suman 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78.
Entonces, si se quiere dividir esa suma en tres partes iguales, cada una de ellas debe
sumar 78 : 3 = 26
Una forma lógica de pensarlo, para que las sumas sean
iguales, es agrupar los números mayores con los menores (1
+ 2 + 11 + 12) y luego aumentar los primeros y disminuir
los segundos para ir compensando (3 + 4 + 9 + 10 y 5 + 6 +
7 + 8).
11
10
9
8
7
12
1
2
3
4
6
5
Por lo tanto, la forma de dibujar dos líneas rectas, de manera que en las tres partes la
suma de los números sea la misma, es la que indica la figura.
5. Una solución es que, como cada fósforo forma parte de varios
cuadrados, al sacar dos fósforos perpendiculares en el interior de la
configuración original quedan solo dos cuadrados, uno grande y uno
pequeño en su interior, como muestra la figura.
6. La tercera figura de cada fila tiene la forma de la primera figura de la fila y el color
de la segunda figura de la fila.
Por lo tanto, como la primera figura de la última fila es un círculo, y el color de la
segunda figura es negro, entonces la figura que continua la última serie es un círculo
negro, o sea
7. En cada figura, el número superior se forma de la multiplicación de los dos números
del medio. Sin embargo, en la tercera figura, esta lógica no es suficiente para
determinar el valor de A, ya que A·1 = A para cualquier valor de A.
Por otra parte, es posible notar que, en cada figura, el número inferior se forma de la
suma de los dos números del medio. De esta manera es posible determinar el valor
de A, ya que si A + 1 = 5, entonces A es igual a 4.
8. Para determinar los lugares, se puede proceder por partes, ubicando la inicial de la
letra dependiendo de la descripción:
Antonia llegó después de Bernardo, quien llegó después de Carmen: C – B – A.
David llegó antes que Antonia, pero después de Esteban, quien llegó después de
Fabiola, la que llegó entre Bernardo y Esteban: B – F – E – D – A.
Luego, respetando el orden establecido, la única combinación posible es
C - B – F - E – D – A.
Por lo tanto, el orden de llegada, desde el primero hasta el último, es Carmen,
Bernardo, Fabiola, Esteban, David, Antonia.
9. Las posibles combinaciones son:
C
C
A
A
A
A
R
R
R
R
R
R
T
T
T
T
A
A
C
C
A
A
A
A
R
R
R
R
R
R
T
T
T
T
A
A
C
C
A
A
A
A
R
R
R
R
R
R
T
T
T
T
A
A
Por lo tanto, la palabra CARTA se puede formar de seis maneras distintas.
10. Según lo que indica la serie, la figura 1 está formada de un cuadrado gris rodeado de
cuadrados blancos, la figura 2 está formada de dos cuadrados grises rodeados de
cuadrados blancos y la figura 3 está formada de tres cuadrados grises rodeados de
cuadrados blancos. Luego, si se continúa la misma lógica de las figuras adjuntas, la
figura 15 estará formada de quince cuadrados grises rodeados de cuadrados blancos.
17
3
Figura 15
En total, la figura está formada de 17·3 = 51 cuadrados, de los cuales 15 son grises y
el resto son blancos.
Por lo tanto, la figura 15 estará formada por (51 – 15) = 36 cuadrados blancos.
11. Los números del 1 al 100 que contienen al 7 son 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71,
72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 87 y 97.
Por lo tanto, hay veinte 7 en los números del 1 al 100.
12. El cuatro se forma con cuatro líneas.
El cinco se forma con cinco líneas.
El seis se forma con seis líneas.
13. La operación IV + I = II en números romanos quiere decir 4 + 1 = 2, lo que es
incorrecto.
Si se traslada la línea vertical del signo (+) al lado derecho del signo (=), resulta
IV – I = III, que en números romanos quiere decir 4 – 1 = 3, lo que es correcto.
Otra solución posible es trasladar la línea vertical del signo (+) al lado de (I),
resultando 4 – 2 = 2, lo que también es correcto.
14. (2  7) = 63 = (2 + 7)·7
(4  5) = 45 = (4 + 5)·5
(6  3) = 27 = (6 + 3)·3
Por lo tanto, el procedimiento corresponde a sumar los números, y el resultado
multiplicarlo por el segundo número.
15. La descomposición es 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1.000.
16. El primer día se corta 1,5 metros, por lo que queda (9 – 1,5) = 7,5 metros.
El segundo día se corta 1,5 metros, por lo que queda (7,5 – 1,5) = 6 metros.
El tercer día se corta 1,5 metros, por lo que queda (6 – 1,5) = 4,5 metros.
El cuarto día se corta 1,5 metros, por lo que queda (4,5 – 1,5) = 3 metros.
El quinto día se corta 1,5 metros, por lo que queda (3 – 1,5) = 1,5 metros, por lo
cual ya no es necesario cortar más.
Por lo tanto, el explorador tardará cinco días en cortar toda la cuerda.
17. Con nueve frascos llenos de mermelada se pueden rellenar nueve pasteles,
quedando nueve frascos con restos. Al juntar tres de ellos se puede completar el
contenido de un frasco, por lo cual al juntar los nueve frascos con restos se puede
completar el contenido de tres frascos.
Con los tres frascos llenos de mermelada se pueden rellenar tres pasteles, quedando
tres frascos con restos. Al juntarlos se puede completar el contenido de un frasco,
con el que se puede rellenar otro pastel.
Por lo tanto, con nueve frascos llenos de mermelada se pueden rellenar trece
pasteles.
18. Una cierta cantidad de las personas le da $ 500 de propina al acomodador y, del
resto, la mitad le da $ 1.000 y el resto no le da nada. Eso significa que las personas
que dan $ 1.000 son la misma cantidad que las personas que no dan nada. Entonces,
todo ese grupo da en promedio $ 500 cada uno.
Al sumar ese monto a los que realmente dieron $ 500, se puede considerar que todas
las personas que fueron a la ópera dieron $ 500, independiente de la cantidad de
personas que haya en cada grupo.
Por lo tanto, el acomodador juntó 500·100 = $ 50.000 de propina.
19. Mónica y José tienen N juguetes cada uno, y se quiere que tengan 10 de diferencia,
quitando una cierta cantidad a José y agregándolo a Mónica. Esto se puede realizar
dividiendo en partes iguales la diferencia que se quiere lograr.
Entonces, se necesita que Mónica tenga (N + 5) juguetes y José tenga (N – 5)
juguetes. Por lo tanto, José tiene que darle cinco juguetes a Mónica para que ella
tenga diez juguetes más que él.
20. En la primera división, de una bacteria se producen dos. Luego, si se ponen dos
bacterias, entonces se necesitará una división menos para llenar el frasco, es decir,
el proceso tardará un minuto menos en llenarse.
Como llenar el frasco completo tarda una hora (60 minutos), entonces llenar el
frasco a partir de dos bacterias tardará 59 minutos.