Números ordinales

S EC . 1. T EOR ÍA ELEMENTAL DE CONJUNTOS . N ÚMEROS ORDINALES
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Teorı́a elemental de conjuntos. Números ordinales
Dado un conjunto X una relación de orden en X es una relación binaria que verifica las
propiedades
Reflexiva. Para cada x ∈ X se tiene x x.
Transitiva. Para cada x, y, z ∈ X se tiene: si x y e y z, entonces x z.
Antisimétrica. Para cada x, y ∈ X se tiene: si x y e y x, entonces x = y.
Un conjunto X junto con una relación de orden en X se llama un conjunto parcialmente
ordenado.
Para cada conjunto parcialmente ordenado X y cada subconjunto S ⊆ X podemos definir
una relación de orden en S, por restricción de la relación en X ; en este caso resulta que S es
también un conjunto parcialmente ordenado.
Dado un conjunto parcialmente ordenado X y un subconjunto S ⊆ X , una cota superior de
S en X es un elemento x ∈ X tal que s x para cada s ∈ S. De forma análoga se define cota
inferior.
Dado un conjunto parcialmente ordenado X y un subconjunto S ⊆ X , un máximo de S es
una cota superior que pertenece a S. De forma análoga se define mı́nimo.
Dado un conjunto parcialmente ordenado X y un subconjunto S ⊆ X , un supremo de S en X
es un mı́nimo del conjunto de las cotas superiores de S. De forma análoga se define ı́nfimo.
Un conjunto parcialmente ordenado X se llama totalmente ordenado si para cada par x, y ∈
X se tiene x y o y x; se llama inductivamente ordenado si cada subconjunto S ⊆ X , que
es totalmente ordenado con el orden inducido, tiene una cota superior en X .
Lema. 1.1. (Lema de Zorn)
Cada conjunto inductivamente ordenado tiene un máximo.
D EMOSTRACI ÓN . Este resultado es equivalente al axioma de elección: el producto cartesiano
de conjuntos no vacı́os es no vacı́o, o equivalentemente cada aplicación sobreyectiva tiene
una inversa a la derecha.
Un conjunto X totalmente ordenado se dice que es bien ordenado si cada subconjunto no
vacı́o tiene un primer elemento (un mı́nimo). Observa que si X es un conjunto bien ordenado, entonces podemos escribir los elementos de X en una cadena x0 x1 x2 · · · xt P. Jara
ÁLGEBRA CONMUTATIVA
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· · · Además, si X es un conjunto bien ordenado y x1 x2 x3 es una cadena, existe un
ı́ndice n tal que xm = xn para cada m ≥ n.
Dos conjuntos bien ordenados X e Y son isomorfos si existe una aplicación biyectiva f : X →
Y que es un homomorfismo para el orden, esto es, si x1 x2 , entonces f (x1 ) f (x2 ) para
cada x1 , x2 ∈ X . Observa que si f : X → Y es un isomorfismo de conjuntos bien ordenados,
entonces f −1 es también un isomorfismo. Dado un conjunto bien ordenado X un segmento
de X es un subconjunto S ⊆ X que verifica: si s ∈ S y x s, entonces x ∈ S.
Lema. 1.2.
Sea X un conjunto bien ordenado.
(1) X es un segmento de X .
(2) La unión de una familia de segmentos de X es un segmento de X .
(3) La intersección de una familia de segmentos de X es un segmento de X .
(4) Dados dos segmentos S1 y S2 se tiene S1 ⊆ S2 o S2 ⊆ S1 .
(5) Para cada segmento S ⊆ X existe x ∈ X tal que S = {s ∈ X | s ≺ x}.
(6) El conjunto de los segmentos propios de X es un conjunto bien ordenado isomorfo a X .
Proposición. 1.3.
Cada conjunto X admite un orden de forma que es un conjunto bien ordenado.
D EMOSTRACI ÓN . Si X = ∅ el resultado es cierto. Si X 6= ∅, consideramos el conjunto Y
de todos los subconjuntos bien ordenados S de X . En Y definimos una relación de orden
mediante: S1 S2 si S1 es un segmento de S2 y el orden en S1 es el orden inducido por S2 .
Dada una familia totalmente ordenada F ⊆ Y , definimos Z = ∪{S | S ∈ F}, y en Z un orden
de forma que el orden inducido en cada S sea el orden original en S; basta, dados z1 , z2 ∈ Z,
considerar zi ∈ Si , si S1 S2 , entonces definimos z1 Z z2 si z1 S2 z2 y z2 z1 si z2 S2 z1 .
Tenemos que Z es un conjunto bien ordenado; dado ∅T ⊆ Z, existe S ∈ F tal que T ∩ S 6= ∅,
y existe mı́n(T ∩ S), entonces mı́n(T ∩ S) = mı́n(T ). Además cada S es un segmento de Z. En
consecuencia Z ∈ Y y F tiene una cota superior en Y . Por el Lema de Zorn existen elementos
maximales en Y . Si un elemento maximal S verifica S 6= X , existe x ∈ X \ S, y podemos definir
en S ∪ {x} un orden mediante s x para cada s ∈ S. Como S ∪ {x} es bien ordenado y S es un
segmento de S ∪ {x}, entonces S on serı́a maximal, lo que es una contradicción. Por lo tanto
S = X y X es un conjunto bien ordenado.
Teorema. 1.4.
Sea S un segmento de un conjunto bien ordenado X y f : X → S un isomorfismo, entonces
S = X y f = idX .
15 de octubre de 2009
Curso 2008–2009. NOTAS DE TRABAJO, 6
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D EMOSTRACI ÓN . Supongamos que existe x ∈ X tal que f (x) 6= x; sea x el primer elemento
que verifica esta condición. Si f (x) ≺ x, entonces ff (x) ≺ f (x), lo que es una contradicción.
Tenemos entonces x ≺ f (x), y por lo tanto x ∈ S, y existe y ∈ X tal que x = f (y). De la relación
f (y) ≺ f (x) se tiene y ≺ x, y por tanto f (y) = y, lo que es una contradicción.
Como consecuencia tenemos:
Corolario. 1.5.
Dados dos conjuntos bien ordenados X e Y , como máximo existe un isomorfismo f : X → Y .
D EMOSTRACI ÓN . Dados f1 , f2 : X → Y isomorfismos, tenemos que f1−1 ◦ f2 = idX , y por tanto
f1 = f2 .
Teorema. 1.6.
Dados dos conjuntos bien ordenados X e Y , se verifica una de las siguientes propiedades:
(I) X e Y son isomorfos.
(II) X es isomorfo a un segmento propio de Y .
(III) Y es isomorfo a un segmento propio de X .
D EMOSTRACI ÓN . Definimos un conjunto {(S, T ) | S ⊆ X , T ⊆ Y son segmentos isomorfos}
y definimos una relación de orden S1 , T1 ) (S2 , Ts ) si S1 ⊆ S2 y T1 ⊆ T2 . Como los isomorfismos son únicos se tiene f2 | S1 = f1 . En efecto, tenemos el siguiente diagrama
f1
S1
S1 
T1 /
/
S2

/
f2
/
T2
T2
Como el conjunto de los segmentos de un conjunto bien ordenado está bien ordenado, y
como existe un isomorfismo entre f1 (S1 ) y f2 (S1 ), resulta f1 (S1 ) ∼
= f2 (S1 ), que está dado por la
identidad, esto es, f1 (s) 7→ f2 (s) es la identidad y por lo tanto f2 |S1 = f1 .
Dado un conjunto inductivo de estos pares (S, T ) la unión es una cota superior, y como al
menos existe un par, el par (∅, ∅), aplicando el lema de Zorn existe un par (S, T ) que es maximal. Si S 6= X y T 6= Y , consideramos x0 ∈ X \ S e y0 ∈ Y \ T , y podemos definir el par
(S ∪ {x0 }, T ∪ {y0 }). Como (s, t) ≺ (S ∪ {x0 }, T ∪ {y0 }), llegamos a una contradicción. Por lo
tanto las única posibilidades que quedan son:
(1) S = X y T = Y ; en este caso X e Y son isomorfos.
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(2) S = X y T 6= Y ; en este caso X es isomorfo a un segmento de Y .
(3) S 6= X y T = Y ; en este caso Y es isomorfo a un segmento de X .
Como consecuencia de este resultado, en la clase de todos los conjuntos bien ordenados
podemos define una relación de equivalencia: X ≈ Y si existe un isomorfismo (de conjuntos
bien ordenados) de X a Y . La clase del conjunto bien ordenado X se representa por Ord(X ).
Cada clase Ord(X ) se llama un número ordinal.
Si en la clase cociente definimos Ord(X ) ≺ Ord(Y ) si X es isomorfo a un segmento propio de
Y , entonces esta clase es totalmente ordenada.
Se puede hacer una aritmética de ordinales en el siguiente sentido: Dados Ord(X ) y Ord(Y )
•
se define Ord(X ) + Ord(Y ) como la clase del conjunto bien ordenado X ∪ Y completando
con x ≺ y si x ∈ X e y ∈ Y . Para cada ordinal Ord(X ) definimos Ord(X ) + 1 como Ord(X ) +
Ord({∅}).
Cuando se considera el conjunto N de los números naturales, con el orden usual, el ordinal
se representa por ω. Observa que ω + 1 6= 1 + ω = ω.
Un ordinal α se llama un número ordinal lı́mite si no existe un ordinal β tal que α = β + 1.
Por ejemplo ω es un ordinal lı́mite.
Teorema. 1.7.
La clase {Ord(X ) | X es un conjunto} es una clase bien ordenada.
D EMOSTRACI ÓN . Tenemos que probar que cada subconjunto no vacı́o tiene un primer elemento, o equivalentemente, que dada una familia no vacı́a de conjuntos bien ordenados
{Xi | i ∈ I}, que existe un ı́ndice j tal que Xj es isomorfo a un segmento de Xi para cada
ı́ndice i ∈ I.
Dado un ı́ndice i0 , si i0 no es el j que estamos buscando, existe un ı́ndice i1 tal que Xi0 es
isomorfo a un segmento S1 de Xi1 . Si i1 no es el j que estamos buscando, existe un ı́ndice i2
tal que Xi2 es isomorfo a un segmento S2 de Xi2 . De esta forma, si no encontramos el ı́ndice j,
construimos una sucesión de segmentos de Xi0 :
S1 % S2 % S3 % · · ·
Esto es imposible, ya que los segmentos de un conjunto bien ordenado forman un conjunto
bien ordenado.
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