Realimentación y osciladores

Realimentación y
osciladores
Funcionamento y aplicaciones
Ana Maria Escudero Quesada
PID_00170128
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Realimentación y osciladores
Índice
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.
Circuitos con realimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.
Concepto de realimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.
Realimentación positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.
Realimentación negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4.
Funcionamiento básico de un circuito con realimentación . . .
14
1.5.
Configuración de los circuitos realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.5.1.
Red de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.5.2.
Red de comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.5.3.
Tipos de realimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.5.4.
Modelos de amplificador y red de realimentación . . . .
27
1.6.
Efectos de la realimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
1.6.1.
Efectos de la realimentación sobre la ganancia . . . . . . .
53
1.6.2.
Problemas de estabilidad de la ganancia asociados
a la realimentación positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3.
Mejora de la distorsión no lineal introducida
por la etapa amplificadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
53
54
1.6.4.
Aumento del ancho de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.6.5.
Disminución del ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.6.6.
Adaptación de las impedancias de entrada y de salida
56
1.7.
Redes prácticas de realimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
1.8.
Diseño de un amplificador con realimentación . . . . . . . . . . . . . . .
62
1.9.
Resumen del apartado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Osciladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.1.
Concepto de oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.2.
Modelo de oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2.3.
Análisis de los circuitos osciladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.4.
2.3.1.
Osciladores LC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.3.2.
Oscilador RC por desplazamiento de fase . . . . . . . . . . . . .
82
2.3.3.
Oscilador RC en puente de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Los osciladores en el mundo real: el cristal de cuarzo . . . . . . . . .
90
2.4.1.
El efecto piezoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
2.4.2.
Modelo eléctrico del cristal de cuarzo. . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2.4.3.
Configuración práctica de un oscilador de cristal
de cuarzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.4.4.
Limitaciones de los osciladores de cristal de cuarzo:
el efecto deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
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2.5.
3.
Resumen del apartado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.1.
Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.
Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Ejercicios de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
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Introducción
La realimentación es un concepto ampliamente utilizado en el mundo de la
ingeniería y, en particular, en el ámbito de la ingeniería electrónica. A grandes
rasgos podemos decir que la realimentación consiste en tomar la información
o la señal procedente de un circuito electrónico y volverla a introducir en el
mismo sistema. Este hecho nos proporciona un doble beneficio:
•
•
En primer lugar, comprender mejor cómo funciona el sistema.
En segundo lugar, nos permite controlar la señal de salida.
Para conseguir este doble objetivo, podemos medir la señal de salida real de un
circuito y compararla con la señal de salida que queremos. Esto es lo que hace
precisamente la realimentación. De esta manera, obtenemos información de
la diferencia entre las dos señales y podemos saber cómo corregir la señal
de entrada para que la señal de salida sea la que queremos obtener.
Imaginad, por ejemplo, que disponemos de un sistema electrónico que es capaz de generar una cierta temperatura. Una opción para mantener una habitación a la temperatura que deseamos sería fijar manualmente cuál es la
temperatura que queremos que genere el sistema en función de si tenemos
frío o calor. La realimentación nos permite olvidarnos de esta tarea. ¿Cómo?
Pues encargándose ella misma de medir la temperatura existente y llevando a
cabo las acciones necesarias para generar de manera automatizada la respuesta. Así, los dos conceptos clave que nos proporciona la realimentación son,
por un lado, la automatización y, por otro, el control del propio sistema.
En este módulo veremos con detalle en qué consiste el concepto de realimentación y qué aplicaciones tiene en el campo de la electrónica. Dado que el de
realimentación es un concepto muy amplio, se ha dividido el módulo en dos
partes.
La primera parte del módulo está dedicada a definir el concepto de realimentación. Veremos en qué consiste y que existen dos tipos básicos de realimentación: la positiva y la negativa. Cada tipo de realimentación tiene unas características determinadas y veremos cómo podemos utilizar una u otra en función
de la aplicación que necesitamos implementar. A continuación analizaremos
un circuito genérico con realimentación, aunque distinguiendo y analizando cada una de sus partes y cómo las podemos interconectar para conseguir
el tipo de realimentación que nos interesa. También veremos cuáles son los
beneficios que nos aportan los circuitos realimentados respecto a los que no
tienen esta característica. Para acabar esta parte, veremos una serie de circuitos
prácticos con realimentación y sus aplicaciones principales.
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La segunda parte del módulo la dedicaremos a estudiar un ejemplo particular
de sistema con realimentación: los circuitos osciladores. Estos circuitos, como
veremos, nos permiten obtener una señal periódica con una frecuencia determinada a partir de una pequeña señal en la entrada. Una de las aplicaciones
más importantes de los osciladores es la generación de señales de sincronización y de reloj. En esta parte del módulo comenzaremos definiendo qué entendemos por oscilador y estudiaremos un modelo genérico. A continuación
veremos circuitos osciladores elaborados con elementos pasivos, como las resistencias, las bobinas y los condensadores. Dado que este tipo de osciladores
presenta una serie de limitaciones estudiaremos, para acabar con esta parte
del módulo, los circuitos osciladores que se fabrican con cristales de cuarzo.
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Objetivos
Los objetivos principales de este módulo son los siguientes:
1. Entender el concepto de realimentación.
2. Entender los beneficios que nos aportan los circuitos con realimentación.
3. Identificar los dos tipos básicos de realimentación: la realimentación positiva y la realimentación negativa.
4. Analizar y diseñar circuitos con realimentación negativa.
5. Entender qué es un oscilador a partir del concepto de realimentación positiva.
6. Estudiar y analizar los osciladores más comunes.
7. Analizar un tipo de oscilador empleado en el mundo real: el oscilador de
cristal de cuarzo.
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1. Circuitos con realimentación
.
Este primer apartado del módulo lo dedicaremos al estudio de la realimentación. Estudiaremos los puntos siguientes:
•
Descubriremos qué es la realimentación.
•
Veremos que existen dos tipos de realimentación: la realimentación posi-
•
Analizaremos el funcionamiento de un circuito genérico con realimenta-
•
Modelizaremos los circuitos realimentados mediante cuadripolos y obten-
tiva y la realimentación negativa.
ción.
dremos los parámetros que los caracterizan: modelo de circuito, impedancia de entrada e impedancia de salida.
•
•
Analizaremos los efectos positivos y negativos que tiene la realimentación.
Veremos ejemplos prácticos y reales de circuitos realimentados y las pautas
para diseñar uno según unos requisitos de partida.
1.1. Concepto de realimentación
Comencemos definiendo qué es la realimentación. En términos genéricos, los
sistemas electrónicos están formados por una señal de entrada, xi , un circuito
que transforma esta señal y una señal de salida, xo . La realimentación consiste
en tomar la señal de salida y volverla a introducir, junto a la señal de entrada,
en el circuito. En la figura 1 podéis ver un ejemplo.
Figura 1. Modelo genérico de circuito: sin realimentación (a) y con realimentación (b)
a)
xi
Figura 1
b)
Circuito sin
realimentación
xo
+
–
xi
x’i
Amplificador
A
xo
xr
Red de
realimentación
β
El circuito de la figura 1a no está realimentado porque la salida, xo , no se
vuelve a introducir en el circuito. El circuito de la figura 1b es, en cambio, un
circuito realimentado porque tomamos las señal de salida, xo , y la volvemos a
introducir en el circuito.
En el primer caso hablamos de circuitos en lazo abierto, ya que no hay realimentación. Los sistemas que incorporan realimentación (como es el caso del
La realimentación consiste en
tomar la señal de salida, xo , y
reintroducirla de nuevo en el
circuito.
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circuito b), se denominan sistemas en lazo cerrado porque se establece un
camino físico cerrado entre las señales de entrada y de salida. Fijaos en la diferencia entre los dos sistemas. En el circuito de la figura 1b hemos introducido
dos cambios:
•
•
Hemos denominado amplificador A al circuito original.
Hemos introducido un nuevo bloque denominado red de realimentación.
.
La realimentación en un circuito consiste en tomar la señal de salida y
reintroducirla en el circuito de manera que se forme un lazo o camino
físico cerrado.
Vamos a ver con detalle qué partes tiene un circuito con realimentación. Este
tipo de circuitos, como podéis ver en la figura 2, está formado por tres etapas
o bloques básicos. Estos bloques son los siguientes:
•
Amplificador
•
Bloque comparador
•
Denominamos etapa o bloque
dentro de un circuito
electrónico a una “caja negra”
que toma una señal de
entrada, xi , la procesa y
proporciona una señal de
salida xo . Los diagramas de
bloques de los circuitos nos
permiten describirlos de
manera genérica sin la
necesidad de especificar
todos los componentes
reales.
Red de realimentación
Figura 2. Etapas de un circuito con realimentación
Comparador
+
–
xi
x’i
Amplificador
A
xo
Figura 2
xr
Red de
realimentación
β
Comos podéis ver en la figura 2, introducimos una señal de entrada, denominada xi , en el circuito. Esta señal entra en el amplificador como x′i y obtenemos
la señala de salida, xo . Dado que se trata de un circuito con realimentación,
tomamos la señal de salida, xo , y la hacemos pasar por el bloque de realimentación. Este bloque procesa la señal xo y nos devuelve una señal, que denominaremos señal realimentada, xr . A continuación la señal realimentada entra en
el bloque comparador. Este bloque recibe la señal de entrada y le suma o resta
la señal realimentada, de manera que la nueva señal en la etapa amplificadora
es x′i = xi + xr si el bloque comparador suma las señales o x′i = xi – xr si el bloque
comparador realiza la resta de las señales. Enumeremos con detalle las partes
del circuito realimentado:
•
Etapa o bloque en un
circuito electrónico
Amplificador. Es un bloque que toma la señal que tiene en la entrada y la
amplifica según el valor que tenga la ganancia A. Es decir, xo = Ax′i .
Los circuitos con
realimentación están
formados por tres etapas o
bloques: amplificador, red de
realimentación y
comparador.
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.
Entendemos por ganancia la relación entre la señal de salida de un
circuito, xo , y la señal de entrada xi , es decir,
ganancia =
•
señal de salida
señal de entrada
(1)
Etapa amplificadora
Aunque hablamos de etapa
amplificadora como
dispositivo que amplifica una
señal de entrada
multiplicándola por el valor
A, este parámetro puede
tener cualquier valor, y no
necesariamente debe ser
mayor que 1.
Red de realimentación. Este bloque toma la señal de salida, xo , la multiplica por el factor β (beta) y proporciona la señal realimentada xr = βxo que
aparece en la entrada del bloque comparador.
•
Bloque comparador. Este bloque toma la señal que sale del bloque de
realimentación, xr , y la suma o resta a la señal de entrada xi .
– Si la señal reintroduicida en el circuito, x′i , es la suma de xi y xr (es decir,
x′i = xi + xr ), hablaremos de realimentación positiva.
– Si x′i es la resta de xi y xr (es decir, x′i = xi –xr ), hablaremos de realimentación
negativa.
.
Véase también
En los subapartados 1.2 y 1.3
de este módulo veremos con
más detalle cada tipo de
realimentación.
Bloque comparador
La realimentación positiva consiste en sumar la señal realimentada a
la señal de entrada y reintroducir esta suma al bloque amplificador. Es
decir, x′i = xi + xr .
La realimentación negativa consiste en restar la señal realimentada a
la señal de entrada y reintroducir esta resta en el bloque amplificador.
Es decir, x′i = xi – xr .
Hablaremos de comparación
de señales para referirnos a la
suma (en el caso de la
realimentación positiva) o
resta (en el caso de
realimentación negativa) de
las señales de entrada al
circuito, xi , y de la señal que
sale del bloque o red de
realimentación, xr . Por esta
razón, este bloque también
se denomina sumador o
mezclador.
Hemos visto hasta ahora qué entendemos por realimentación y que esta puede ser positiva o negativa. A continuación veremos con más detalle en qué
Ganancias A y β
consisten estos dos tipos de realimentación y veremos ejemplos de cada uno
de ellos.
1.2. Realimentación positiva
.
La realimentación positiva en un circuito consiste en sumar la señal
que sale de la red de realimentación, denominada xr en la figura 2, con
la señal de entrada xi , de manera que x′i , que es la señal de entrada en
la etapa amplificadora, es igual a xi + xr .
Las ganancias de
amplificación, A, y de
realimentación, β, en general
son funciones que dependen
de la frecuencia y de variable
compleja, es decir, dependen
de j ω. En este caso, estos
factores se denominan
funciones de transferencia y
se representan como A(j ω) y
β(j ω). De momento
supondremos que son
constantes reales que afectan
únicamente a la amplitud de
las señales.
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En la figura 3 podéis ver cómo funciona la realimentación positiva. La señal x′i
que encontramos en la entrada de la etapa amplificadora tiende a incrementarse como resultado de la suma de la señal de entrada y de la señal que sale
del bloque de realimentación. Dado que esta suma se reintroduce en el circuito, la señal que sale del bloque de realimentación tiende también a crecer, y
también la señal de salida, xo . Veamos un ejemplo.
Figura 3. Configuración de un circuito con realimentación positiva
Comparador
xi
+
x’i
Amplificador
A
xr
Red de
realimentación
β
+
xo
x’i = xi + xr
Si alguna vez habéis acercado un micrófono a un altavoz, seguramente habréis
oído un pitido. Analizemos por qué sucede esto. Suponed que tenéis un micrófono conectado a un altavoz. La señal de entrada xi es la voz y la señal de
salida xo es la voz amplificada por el altavoz. Si nos ponemos muy cerca del
altavoz, la señal de salida se realimenta, ya que se vuelve a introducir en el
sistema por el micrófono y se añade a la señal de entrada, que es nuestra voz.
Como resultado aparece una señal de entrada en el altavoz, x′i . Esta señal es
la suma de xi y xr . Ahora la salida del altavoz será esta suma multiplicada por
el factor A, es decir, xo = A(xi + xr ). La señal de salida, pues, tiende a crecer
indefinidamente.
En la práctica, los circuitos reales no nos pueden dar señales que crecen indefinidamente; por tanto, la señal de salida del altavoz crecerá hasta llegar a un
valor máximo, que corresponde a la saturación del amplificador, momento en
el que oiremos el característico pitido de acoplamiento entre el micrófono y
el altavoz.
En la figura 4 podéis ver un ejemplo de cómo podría ser la señal de salida de
un circuito con realimentación positiva.
La señal de salida de nuestro circuito realimentado será en general una tensión
o una corriente, dependiendo del tipo de señales con el que trabaje el circuito.
El ejemplo que acabamos de ver es un ejemplo de realimentación positiva
no deseada, pero, como veremos en el apartado 2, hay casos en los que nos
interesará tener este tipo de realimentación. Por ejemplo, para implementar
circuitos osciladores utilizaremos este principio de realimentación positiva, ya
que estos sistemas son capaces de generar una señal periódica a partir de una
pequeña señal de entrada aplicada durante uns instantes.
Figura 3
En la realimentación positiva,
la señal reintroducida en el
circuito, xi′ , es igual a xi + xr .
Es decir, a la suma de la señal
de entrada y de la señal de
realimentación.
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Figura 4. Ejemplo de señal realimentada positivamente
9
Figura 4
Saturación
7,2
Por efecto de la
realimentación positiva la
señal de salida del circuito
realimentado tiende a crecer
indefinidamente.
5,4
3,6
1,8
0
-1,8
-3,6
-5,4
-7,2
Saturació
-9
0,0 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,0 27,0 30,0
1.3. Realimentación negativa
La figura 5 muestra el funcionamiento de un circuito con realimentación negativa.
Figura 5. Ejemplo de señal realimentada negativamente
Figura 5
Comparador
xi
+
x’i
Amplificador
A
xr
Red de
realimentación
β
–
xo
x’i = xi – xr
.
La realimentación negativa, a diferencia de la realimentación positiva,
consiste en restar la señal que sale de la red de realimentación (xr ) a la
señal de entrada (xi ), de manera que la señal reintroducida al circuito x′i
se puede expresar como x′i = xi – xr .
Un ejemplo de realimentación negativa lo encontramos en los termostatos.
Imaginad que queremos una temperatura ambiente de 20 grados. El termostato mide la temperatura del medio (xi ) y le resta esta temperatura que hemos
fijado como temperatura deseada. En función de este valor (xi – 20), el termostato realiza las acciones necesarias generando frío o calor de manera que
obtenemos la temperatura deseada cuando x′i = xi – 20 ≃ 0.
Para el caso de la
realimentación negativa
obtenemos la señal de
entrada al amplificador, xi′ ,
como la resta de la señal de
entrada y de la señal de
realimentación. Es decir,
xi′ = xi – xr .
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El concepto de realimentación es un concepto genérico. Hasta ahora hemos
visto ejemplos de realimentación que se aplican a circuitos. Ahora veremos un
ejemplo más cotidiano.
Imaginad que vamos conduciendo por una carretera con una velocidad recomendada de 60 km/h. La velocidad de circulación es nuestra señal de entrada
xi e iremos levantando o no el pie del acelerador del coche para lograr que la
velocidad de circulación sea la recomendada, es decir, x′i = xi – 60 ≃ 0.
Una vez visto el concepto de realimentación, qué es y cómo son los circuitos
realimentados, pasaremos a ver cómo funcionan estos circuitos.
1.4. Funcionamiento básico de un circuito con realimentación
Acabamos de ver el concepto de realimentación y los dos tipos básicos de
realimentación: la realimentación positiva y la realimentación negativa. En
este subapartado estudiaremos con más detalle cómo se comporta un circuito
con realimentación negativa, aunque el análisis sería el mismo para el caso de
la realimentación positiva considerando la suma en lugar de la resta de señales
en el bloque comparador.
Fijaos en el modelo de circuito de la figura 6. Como se ha explicado en el
subapartado 1.1, un circuito con realimentación consta de un bloque amplificador que introduce una ganancia igual a A, una red de realimentación, con
una ganancia igual a β y un bloque comparador que suma (realimentación
positiva) o resta (realimentación negativa) la señal de salida de la red de realimentación, xr , a la señal de entrada xi . En la figura, al tratarse del modelo
genérico, dentro del bloque comparador se indican los dos signos para representar que la realimentación puede ser positiva o negativa.
Figura 6. Diagrama de bloques de un circuito con realimentación
+
–
xi
x’i
Amplificador
A
Figura 6
Los circuitos con
realimentación están
formados por tres bloques o
etapas básicas: amplificador,
red de realimentación y
comparador.
xo
xr
Red de
realimentación
β
La señal de salida se puede expresar como:
xo = Ax′i
(2)
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donde x′i es la señal en la entrada de la etapa amplificadora y A es la ganancia
que introduce esta etapa. Pero esta señal es el resultado de sumar o restar
(según si la realimentación es positiva o negativa) la señal xr a la señal de
entrada. Por tanto:
x′i = xi ± xr
(3)
Vamos a analizar el caso de la realimentación negativa, es decir, el caso en
el que restamos las señales. La señal de entrada al circuito realimentado se
expresa entonces como:
x′i = xi – xr
(4)
Recordad que para el caso de realimentación positiva, deberíais sumar en lugar
de restar las señales xi y xr .
La señal xr es la que sale del bloque de realimentación, que tiene una ganancia β; por tanto, se puede expresar como:
xr = β xo
(5)
La señal de salida del circuito realimentado es, por tanto:
xo = Ax′i = A(xi – xr ) = A(xi – βxo )
(6)
Reordenemos la expresión 6 en la que aparece xo para ponerla en función
de xi :
xo =
A
x
1 + Aβ i
(7)
La ganancia de un circuito es la señal de salida dividida entre la señal de
entrada, es decir, xo /xi . Si tomamos la expresión de xo que hemos encontrado
en la ecuación 7 y la dividimos por xi , llegamos a calcular esta ganancia, que
denominamos Ar (ganancia de realimentación) como:
Ar =
xo
A
=
xi 1 + Aβ
.
A partir de la expresión 8 definimos las ganancias siguientes:
•
Ganancia A: es la ganancia original de la etapa amplificadora. También se denomina ganancia de lazo abierto porque es la ganancia
que tendría el circuito si no hubiese ningua red de realimentación
conectada.
•
Ganancia β (beta): es la ganancia de la red de realimentación.
(8)
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.
•
Ganancia del circuito realimentado Ar : corresponde a la ganancia
que hemos encontrado en la ecuación 8.
Ar =
A
1 + Aβ
(9)
También se denomina ganancia de lazo cerrado porque es la ganancia global del circuito cuando el bucle realimentación está cerrado.
•
Ganancia de lazo: corresponde al factor Aβ.
•
Ganancia de retorno: da una idea del grado de realimentación del
circuito y corresponde al factor
(1 + Aβ)
(10)
Recordad, como se ha indicado en el subapartado 1.1, que los parámetros A y
β que caracterizan el bloque amplificador y la red de realimentación pueden
ser funciones dependientes de la frecuencia y de variable compleja, es decir, de
la variable jω. Supongamos, de momento, que son valores reales y constantes.
Veamos a continuación qué valores pueden tomar estos dos parámetros.
•
A > 0 y β > 0. ¿Qué sucede si tanto A como β son valores positivos? En este
caso, la ganancia de retorno 1+Aβ es mayor que 1 y, por tanto, la ganancia
de realimentación en lazo cerrado Ar =
A
1+Aβ
es menor que la ganancia en
lazo abierto (o del amplificador sin realimentar) A. En este caso tenemos
realimentación negativa y la señal de salida del circuito realimentado es
menor que la señal que saldría de la etapa amplificadora sin realimentar.
•
A < 0 y β < 0. Lo mismo sucede si tanto A como β son valores negativos,
ya que el producto Aβ es también positivo, y por tanto la ganancia de
retorno, 1 + Aβ, es mayor que 1.
•
A > 0 y β < 0 o A < 0 y β > 0. Si, en cambio, una de las dos ganancias,
A o β, es negativa y la otra es positiva, el denominador de la ganancia de
lazo cerrado, (1 + Aβ), es menor que la unidad. En este caso la ganancia
de lazo cerrado, Ar , queda dividida por un factor menor que 1 y, por tanto, es menor que la ganancia de la etapa amplificadora sin realimentar. En
este caso tenemos realimentación positiva. Fijaos en que aunque hemos
iniciado el análisis suponiendo realimentación negativa, el tipo de realimentación depende de los valores de los factores A y β, que nos dirán si
la señal realimentada es mayor o menor que la señal que tendríamos en el
circuito sin realimentar.
Observación
¿Qué sucede si alguna de las
dos ganancias es cero?
Observad que si la ganancia
A es cero, la ganancia de
realimentación, Ar , también
lo es. Esto es porque el
amplificador anula la señal de
salida xo . Si la ganancia β es
cero, la ganancia de
realimentación, Ar , es igual a
la ganancia del circuito sin
realimentar, es decir, es como
si no tuviésemos la red de
realimentación.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
17
.
Para comenzar el análisis del circuito hemos supuesto realimentación
negativa. Si hubiésemos realizado el análisis suponiendo realimentación positiva, habríamos llegado a la misma conclusión pero habiendo
obtenido (1 – Aβ) como ganancia de retorno.
•
Fijaos en otro caso especial por lo que respecta a la ganancia de lazo cerrado. ¿Qué sucede cuando la ganancia de lazo Aβ es igual a –1? En este
caso la ganancia de retorno (1 + Aβ) es cero y, por tanto, ¡la ganancia total
Ar es infinita! Esto significa que, matemáticamente hablando, una señal
de entrada cualquiera queda multiplicada por una ganancia infinita y nos
da una señal de salida infinita. En este caso, la señal de entrada x′i queda multiplicada por el factor A cuando pasa por la etapa amplificadora y
después es atenuada en la misma medida por el factor β de la red de realimentación. Dado que el factor Aβ tiene signo negativo, la señal queda
invertida en una de las dos etapas, pero después se vuelve a invertir en el
bloque comparador a causa de la realimentación negativa y aparece en la
entrada del amplificador la misma señal x′i que teníamos inicialmente. Este comportamiento lo aprovecharemos cuando queramos implementar un
circuito oscilador.
Véase tambien
En el apartado 2 de este
módulo veremos con detalle
el comportamiento de los
osciladores.
En la figura 7 podéis ver qué tipo de realimentación se obtiene en función de
los valores de las ganancias A y β. Recordad que en nuestro análisis hemos
supuesto que estas dos ganancias son números reales y constantes. Cuando A
y β tienen el mismo signo (Aβ > 0) tenemos realimentación negativa. Cuando
estas ganancias tienen signo diferente (Aβ < 0) tenemos realimentación positiva. El caso Aβ = –1 es un caso particular de realimentación positiva porque
se cumple que Aβ < 0.
Figura 7. Tipo de realimentación según los valores de las ganancia A y β
Observando los signos de las
ganancias A y β podemos
determinar el tipo de
realimentación que hay en el
circuito.
β
Realimentación
positiva
Realimentación
negativa
A
Realimentación
negativa
Figura 7
Realimentación
positiva
Aβ = -1
∞
Ar
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
18
.
Observad que tenemos dos maneras de determinar el tipo de realimentación de un circuito:
•
•
Mirando si la señal que sale del bloque de realimentación, xr , se
suma o se resta a la señal de entrada, xi .
Comprobando si el producto de las ganancias, Aβ, es positivo o negativo.
En la tabla 1 resumimos el tipo de realimentación obtenida en función de los
valores de los parámetros A y β que acabamos de ver.
Tabla 1. Valores de las ganancias y tipo de realimentación
Ganancia de lazo
Ganancia de retorno
Ganancia total
Realimentación
Aβ > 0
(1 + Aβ) > 1
Ar < A
Realimentación negativa
Aβ < 0
(1 + Aβ) < 1
Ar > A
Realimentación positiva
Aβ = –1
(1 + Aβ) = 0
Ar → ∞
Oscilador
Observad que, según los valores de la tabla, el caso en el que el circuito realimentado se comporta como un oscilador (Aβ = –1) es un caso particular de
realimentación positiva (Aβ < 0).
Para acabar con este subapartado de las ganancias de los circuitos realimentados se debe decir que una práctica muy habitual en el diseño de este tipo de
circuitos es hacer que la ganancia de lazo, Aβ, sea mucho mayor que 1, es decir, Aβ >> 1. De esta manera, la expresión de la ganancia total de lazo cerrado
Ar = A/(1 + Aβ) se puede aproximar a la expresión Ar ≃ 1/β y esta ganancia
depende únicamente de la red de realimentación.
.
En la práctica, en los circuitos con realimentación hacemos
Aβ >> 1
(11)
Ar ≃ 1/β
(12)
de tal manera que
Ejemplo 1
Supongamos que disponemos de una etapa amplificadora sin realimentar o en lazo abierto que tiene una ganancia A = 100 y la ganancia de la red de realimentación es β = 0,19.
Calculad cuál es la tensión de salida xo , la de realimentación xr y la de entrada al amplificador x′i si aplicamos una señal de entrada de 100 mV.
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Realimentación y osciladores
19
Solución
La ganancia del amplificador realimentado es, como hemos visto en la ecuación 9:
Ar =
A
100
=
=5
1 + Aβ 1 + 100 · 0,19
(13)
La señal de salida la podemos calcular a partir de la ganancia de lazo cerrado:
xo = Ar xi = 5 · 100 = 500 mV
(14)
La tensión a la salida de la red de realimentación es:
xr = βxo = 0,19 · 500 = 95 mV
(15)
Y, finalmente, para obtener la tensión de entrada al amplificador, x′i , debemos determinar
primero si la realimentación es positiva o negativa. En este caso la ganancia de retorno
(tal como indica la ecuación 10) (1 + Aβ) = 20 es mayor que la unidad; por tanto Ar < A
y tenemos realimentación negativa. Así, la señal de entrada a la etapa amplificadora es la
resta de la señal de entrada al circuito y de la señal que sale de la red de realimentación:
x′i = xi – xr = 100 – 95 = 5 mV
(16)
Ejemplo 2
Calculad los valores de Ar , xo , xr y xi para una etapa amplificadora con realimentación
negativa con A = 105 , β = 0,01 y xi = 5 sen(2.000πt).
Solución
Observación
Calculemos, en primer lugar, la ganancia del circuito realimentado tal com lo expresa la
ecuación 9
Ar =
A
105
=
= 99,9
1 + Aβ 1 + 105 · 0,01
(17)
A partir de la ganancia calculada podemos expresar la señal de salida como la señal de
entrada multiplicada por esta ganancia total, Ar :
xo = Ar xi = 499,5 sen(2.000πt)
(18)
La señal realimentada, xr , es el resultado de tomar la señal de salida y hacerla pasar por
la red de realimentación, que se caracteriza por la ganancia β. Esta señal es:
xr = xo β = 4,995 sen(2.000πt)
(19)
Finalmente, la señal de entrada a la etapa amplificadora la obtenemos restando la señal
que sale del bloque de realimentación, xr , de la señal de entrada, ya que nos dicen en el
enunciado que se trata de realimentación negativa:
x′i = xi – xr = 0,005 sen(2.000πt)
(20)
Observad que en el
ejemplo 2 los factores A y β
son factores multiplicativos
sin unidades.
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Realimentación y osciladores
20
Aunque nos dicen que se trata de una realimentación negativa, vamos a comprobarlo. Si
hacemos el producto de A y β obtenemos el valor siguiente:
Aβ = 105 · 0,01 = 1.000
(21)
Según lo que hemos visto en la tabla 1, si el producto Aβ, también denominado ganancia
de lazo, es mayor que 0, entonces la ganancia de retorno, 1 + Aβ, es mayor que 1. Esto
significa que la ganancia total Ar será más pequeña que la ganancia del amplificador sin
realimentar y, por tanto, dado que la señal de salida del circuito con realimentación es
más pequeña que la señal del circuito sin realimentar, tenemos realimentación negativa.
1.5. Configuración de los circuitos realimentados
Una vez visto el funcionamiento básico de un circuito realimentado, pasaremos a ver con más detalle cómo funcionan los bloques que lo componen. En
este subapartado veremos cómo podemos modelizar las etapas amplificadora
y de realimentación de los circuitos realimentados. El bloque comparador lo
representaremos mediante el signo de suma, +, para el caso de la realimentación positiva o el de resta, –, para el caso de la realimentación negativa. En los
ejemplos que veremos nos centraremos en el caso de la realimentación negativa. Para analizar un circuito con realimentación positiva, el procedimiento
sería el mismo pero utilizando la operación suma en el bloque comparador. A
partir de estos modelos estableceremos cuatro tipos básicos de realimentación
y calcularemos los parámetros más importantes para cada uno de ellos.
Para modelizar cada etapa utilizaremos cuadripolos o bipuertos.
.
Un cuadripolo o bipuerto es un circuito electrónico con dos terminales de entrada y dos terminales de salida. Este circuito queda totalmente
caracterizado cuando determinemos la tensión, la corriente y la impedancia tanto de entrada como de salida.
En la figura 8 podéis ver en qué consiste un cuadripolo y los parámetros que lo
definen. Para definir totalmente el cuadripolo nos interesará definir las magnitudes siguientes:
•
Tensión entre los terminales a la entrada y salida del cuadripolo.
•
Corriente en sentido entrante al cuadripolo a la entrada y a la salida del
•
Impedancia de entrada e impedancia de salida.
cuadripolo.
Impedancias Zi y Zo
Las impedancias de entrada y salida son, aplicando la ley de Ohm, la división entre tensión y corriente teniendo en cuenta cómo se han definido estas
magnitudes. Es decir, para la impedancia de entrada:
Zi =
vi
ii
(22)
Las impedancias de entrada y
de salida en un cuadripolo o
bipuerto se definen teniendo
en cuenta el sentido de la
corriente y de la tensión
definidas en la figura 8.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
21
Figura 8. Definición y caracterización de un cuadripolo
ii
+
Figura 8
io
+
Definición de un cuadripolo o
bipuerto y caracterización
mediante corrientes,
tensiones e impedancias a la
entrada y salida del circuito.
Cuadripolo
vi
–
vo
–
Zi
Zo
Y, de la misma manera, definimos la impedancia de salida como:
Zo =
vo
io
(23)
Fijaos muy bien en cómo se definen los sentidos de las corrientes y de las
tensiones para el cálculo de las impedancias de entrada y salida.
En nuestro modelo de circuito con realimentación utilizaremos un cuadripolo
que representará la etapa amplificadora y otro cuadripolo para la red de realimentación, tal como se ha mostrado en la figura 2 del subapartado 1.1. Según
el modo como interconectamos estos bloques, como veremos a continuación,
obtendremos un tipo de realimentación u otro.
Podéis ver el modelo que utilizaremos en la figura 9. Como podéis ver, utilizamos un cuadripolo para la etapa amplificadora y otro cuadripolo para la red de
realimentación. La conexión en la entrada del circuito se realiza mediante un
elemento que hemos denominado red de comparación. La conexión en la salida se realiza mediante un elemento que hemos denominado red de medida.
A continuación veremos con más detalle cada uno de estos elementos:
•
Red de medida. Corresponde a la parte del circuito que toma la señal de
•
Red de comparación. Corresponde a la parte del circuito que compara la
salida, xo , y la introduce en la red de realimentación.
señal de entrada con la señal de realimentación para obtener la señal de
entrada en la etapa amplificadora. Esta comparación puede ser una suma
(realimentación positiva) o una resta (realimentación negativa).
•
Cuadripolo para la etapa amplificadora. Es la etapa que toma la señal de
entrada x′i , la multiplica por una ganancia determinada y proporciona la
señal de salida xo .
•
Cuadripolo para la red de realimentación. Mide la señal de salida de la
etapa amplificadora xo , la procesa multiplicándola por su ganancia característica y proporciona la señal que hemos denominado señal realimentada xr .
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
22
Figura 9. Interconexión de los cuadripolos amplificador y de
realimentación mediante las redes de medida y de comparación
Figura 9
x’i
Cuadripolo
Amplificador
xi
xo
xr
Cuadripolo
Realimentación
Red de
comparación
Los bloques amplificador y la
red de realimentación se
interconectan mediante una
red de comparación a la
entrada del circuito y una red
de medida a la salida.
Red de
medida
Las redes de medida y de comparación nos indican cómo se conectan los
cuadripolos amplificador y de realimentación. Como podéis ver en la figura 9,
el circuito realimentado que contiene estos cuatro elementos también es un
cuadripolo o bipuerto, es decir, un circuito con dos terminales de entrada y
dos terminales de salida.
.
Véase también
La red de comparación determina cómo conectamos los bloques amplificador y de realimentación en la entrada del circuito.
La red de medida nos indica cómo realizamos la conexión entre los
bloques amplificador y de realimentación en la salida del circuito.
En los subapartados 1.5.1
y 1.5.2 veremos cómo son los
bloques de medida y de
comparación. En el
subapartado 1.5.3 veremos
diferentes tipos de
realimentación según cómo
utilizemos estas redes de
comparación y medida.
1.5.1. Red de medida
.
La red de medida es la encargada de tomar la señal de salida del circuito, que también es la señal de salida del bloque amplificador, xo , y
reintroducirla en la entrada del bloque de realimentación. Esta señal de
salida puede ser una tensión o una corriente.
Si lo que queremos es medir la tensión de salida, deberemos conectar los cuadripolos de amplificación y la red de realimentación en paralelo, de manera
que ambos estén viendo la misma tensión. Podéis ver cómo se realiza esta
conexión en la figura 10a. Observad que cuando hacemos esta conexión en
paralelo, los dos bloques ven la misma tensión.
Si lo que queremos es medir la corriente de salida del circuito, deberemos
hacer que la corriente de salida de la etapa amplificadora sea la misma que la
de entrada en el cuadripolo de realimentación. Por tanto, conectaremos los
dos cuadripolos en serie, tal como se indica en la figura 10b. Observad que
en este caso, y por encontrarse en serie, toda la corriente que sale del bloque
amplificador entra en la red de realimentación.
Medida de tensión y de
corriente
Para medir tensión debemos
interconectar, en la salida del
circuito, los bloques
amplificador y de
realimentación en paralelo.
Para medir corriente
debemos interconectar los
bloques amplificador y de
realimentación en serie.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
23
Figura 10. a. Medida de tensión. b. Medida de corriente
a)
b)
Figura 10
+
vo
A
Para medir tensión en la
salida del circuito
realimentado conectaremos
los cuadripolos de ganancia A
y β en paralelo. Para medir
corriente los conectaremos
en serie.
A
–
io
b
b
1.5.2. Red de comparación
.
En la red de comparación tomamos la señal realimentada, xr , y la sumamos o restamos a la señal de entrada xi según se trate de realimentación positiva o negativa, tal como hemos visto en el subapartado 1.1.
En este apartado trataremos la realimentación negativa; por tanto, tomaremos la resta de señales de forma que el bloque comparador se encargará de
realizar la resta de la señal realimentada, xr , a la señal de entrada, xi . Esta resta de señales, como hemos visto para el caso de la red de medida, se puede
aplicar a tensiones o a corrientes. En la figura 11 podéis ver estos dos casos.
Figura 11. a. Comparación de tensión. b. Comparación de corriente
a)
+
Para comparar (restar)
tensiones en la entrada del
circuito realimentado, hemos
de interconectar los bloques
amplificador y de
realimentación en serie. Para
comparar (restar) corrientes,
debemos interconectar los
bloques amplificador y de
realimentación en paralelo.
b)
+
–v’i
ii
i’i
A
A
ir
vi
–
Figura 11
+
v
–r
b
b
1) Para comparar una tensión se debe cumplir que la tensión en la entrada
del bloque amplificador, vi′ , sea la tensión de entrada, vi , menos la tensión que
sale del bloque de realimentación, vr .
vi = vi′ + vr
(24)
Si reordenamos la expresión 24 para dejar la tensión de entrada en el bloque
amplificador, vi′ , en función de las tensiones de entrada, vi , y de realimentación, vr , obtenemos lo siguiente:
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Realimentación y osciladores
24
vi′ = vi – vr
(25)
Sabemos que dos tensiones se suman o se restan cuando están en serie; por
tanto, para comparar tensiones conectaremos las entradas de los cuadripolos
en serie, tal como podemos ver en la figura 11a.
2) Si queremos comparar las corrientes, la corriente que entra en el bloque
amplificador, i′i , deberá ser el resultado de la corriente de entrada al circuito,
ii , menos la corriente de realimentación ir :
ii = i′i + ir
(26)
i′i = ii – ir
(27)
es decir,
Una corriente se suma o resta a lo largo de ramas diferentes cuando estas ramas se encuentran en paralelo. Por tanto, deberemos conectar las entradas de
los cuadripolos en paralelo si queremos comparar corrientes. En la figura 11b
podéis ver cómo se realiza esta conexión.
Ya hemos determinado que podemos tomar medida de tensiones o corrientes
a la salida del circuito y que podemos comparar, es decir, restar, tensiones
y corrientes. En el subapartado siguiente veremos cómo podemos combinar
cada uno de los casos y obtener un tipo de realimentación determinada.
1.5.3. Tipos de realimentación
En los subapartados 1.2 y 1.3 hemos visto que existen dos tipos de realimentación básica: la positiva y la negativa, según si el bloque comparador suma o
resta las señales de entrada y de realimentación. Hemos especificado también
que en este apartado nos centraremos en el caso particular de la realimentación negativa. Así, para los casos de realimentación que veremos a continuación consideraremos que el bloque comparador resta las señales. Si quisiésemos hacer los mismos cálculos para el caso de la realimentación positiva, solo
deberíamos considerar que x′i = xi + xr en lugar de x′i = xi – xr , pero el análisis
seguiría el mismo razonamiento.
En el subapartado 1.5.1 hemos visto que hay dos modos de medir la señal de
salida para reintroducirla en el circuito: medida de tensión y medida de corriente. En el subapartado 1.5.2 hemos visto que hay dos maneras de conectar
la salida de la red de realimentación con la entrada de la etapa amplificadora: en serie, para comparar tensiones, y en paralelo, para comparar corrientes.
Combinando estas dos variables llegamos a los cuatro tipos de realimentación
que podéis ver en la figura 12.
Observación
Recordad que en todos los
cálculos consideramos el caso
de realimentación negativa;
por tanto, xi′ = xi – xr . Si
quisiésemos analizar el caso
de la realimentación positiva,
deberíamos optar por
xi′ = xi + xr .
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
25
Figura 12. Configuraciones básicas de realimentación. a. De tensión en serie. b. De corriente
en serie. c. De tensión en paralelo. d. De corriente en paralelo
a)
Figura 12
b)
+
+
–v’i
+
vo
–
A
+
vi
–
+
v
–r
b
–
Combinando las conexiones
en serie y en paralelo en la
entrada y salida del circuito
realimentado podemos
obtener cuatro tipos básicos
de realimentación (negativa
en este caso).
A
io
vi
c)
ii
+
–v’i
+
v
–r
b
d)
i’i
+
vo
–
A
ii
ir
i’i
A
io
ir
b
b
Estos tipos de realimentación son los siguientes:
1) Realimentación de tensión en serie (figura 12a). En este caso la señal de
salida del circuito realimentado es una tensión y la red de realimentación (β)
se conecta en paralelo a la salida del bloque amplificador (A) para medir esta
tensión.
La señal de salida de la red de realimentación, vr , también es una tensión que
se resta a la señal de entrada vi , y el resultado es:
vi′ = vi – vr
(28)
vi′ es la entrada de la etapa amplificadora. Por esta razón, la conexión de la
salida de la red de realimentación y la entrada de la etapa amplificadora están
conectadas en serie.
.
En los circuitos con realimentación de tensión en serie medimos tensiones y comparamos tensiones.
2) Realimentación de corriente en serie (figura 12b). En este caso nos interesa medir la corriente de salida io de la etapa amplificadora (A). Por tanto,
deberemos conectar la entrada de la red de realimentación (β) en serie con
la salida del bloque amplificador, ya que de esta manera toda la corriente de
salida pasará igualmente por la red de realimentación.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
26
Si nuestra señal de entrada es una tensión, deberemos conectar la salida de la
red de realimentación (β) y la entrada del amplificador (A) en serie de manera
que el bloque comparador pueda trabajar con tensiones y, como en el caso de
la realimentación de tensión en serie, la señal de entrada al amplificador vi′
será el resto de vi y vr . Es decir:
vi′ = vi – vr
.
(29)
En los circuitos con realimentación de corriente en serie medimos
corrientes y comparamos tensiones.
3) Realimentación de tensión en paralelo (figura 12c). En este tipo de realimentación tomamos la tensión de salida vo que obtenemos de la etapa amplificadora (A) y la introducimos en la red de realimentación (β). Por tanto, la
conexión de estos bloques en el punto de salida la realizaremos en paralelo,
de manera que los dos bloques vean la misma tensión.
Respecto a la señal de entrada, en este caso disponemos de una fuente de
corriente; por tanto, el bloque comparador deberá trabajar con corrientes. Para
que la entrada en el bloque amplificador sea el resto de la corriente de entrada,
ii , y de la corriente realimentada, ir , es decir:
i′i = ii – ir
(30)
debemos conectar la salida de la red de realimentación (β) en paralelo con la
entrada del amplificador (A).
.
En los circuitos con realimentación de tensión en paralelo medimos
tensiones y comparamos corrientes.
4) Realimentación de corriente en paralelo (figura 12d). Finalmente, cuando nos interese medir la corriente de salida para reintroducirla en el circuito,
conectaremos la salida del amplificador (A) con la entrada de la red de realimentación (β) en serie.
Si la señal de entrada es una fuente de corriente, conectaremos la entrada del
amplificador (A) y la salida de la red de realimentación (β) en paralelo, de
manera que el bloque comparador pueda realizar la operación:
i′i = ii – ir
(31)
CC-BY-SA • PID_00170128
27
.
En los circuitos con realimentación de corriente en paralelo medimos
corrientes y comparamos corrientes.
Observad en la nomenclatura que hemos empleado para especificar los cuatro
tipos de realimentación negativa que acabamos de ver. Cuando decimos, por
ejemplo, realimentación de corriente en serie, la primera parte del nombre nos
dice que queremos realimentar corriente y que, por tanto, debemos conectar
los bloques en la salida en serie. Con la segunda parte del nombre, cuando
decimos en serie, nos estamos refiriendo al modo como conectamos la entrada
del circuito, y sabemos entonces que nos estamos refiriendo a tensiones.
Acabamos de ver los cuatro tipos básicos de realimentación según cómo hacemos la conexión de la etapa amplificadora (A) y de la red de realimentación
(β). Son los siguientes:
•
Realimentación de tensión en serie.
•
Realimentación de tensión en paralelo.
•
Realimentación de corriente en serie.
•
Realimentación de corriente en paralelo
En el subapartado 1.5.4 continuaremos ampliando nuestro modelo de circuito
realimentado y veremos qué hay dentro de las cajas que hemos denominado
A y β.
1.5.4. Modelos de amplificador y red de realimentación
Ya hemos visto las etapas que forman un circuito realimentado y según el modo en que las interconectamos podemos trabajar con tensiones o corrientes.
Ahora daremos un paso más en el análisis de los circuitos realimentados y
veremos con más detalle qué hay dentro de cada una de estas etapas o bloques. Esto dependerá del tipo de realimentación que utilizemos, ya que, como
hemos visto en los subapartados 1.5.1 y 1.5.2, las señales de entrada y salida
pueden ser corrientes o tensiones.
En la figura 13 podéis ver cómo modelizamos las etapas amplificadora y de
realimentación según el tipo de realimentación utilizado. En la salida del circuito se ha añadido una resistencia de carga RL que nos servirá para medir las
tensiones y corrientes del circuito.
Analicemos con detalle cada uno de los cuatro casos en los subapartados siguientes. Para cada tipo de realimentación veremos los puntos siguientes:
•
Modelo de circuito.
•
Cálculo de la impedancia de salida.
•
Cálculo de la impedancia de entrada.
Realimentación y osciladores
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
28
Figura 13. a. Realimentación de tensión en serie. b. Realimentación de corriente en serie.
c. Realimentación de tensión en paralelo. d. Realimentación de corriente en paralelo
a)
Figura 13
b)
+
v’i
–
+
vo
–
A=Av
+
v’i
–
RL
vi +
–
A=Gm
io
vi +
–
+
vr
–
+
–
RL
+
vr
–
bvo
c)
+
–
Para cada tipo de
realimentación podemos
modelizar el circuito con
fuentes de corriente y de
tensión y en función de las
ganacias A y β.
bio
d)
i’i
i’i
+
vo
–
A=Rm
ii
A=Ai
ii
RL
io
RL
ir
ir
bio
bvo
Realimentación de tensión en serie
Comencemos este subapartado viendo con detalle la realimentación de tensión en serie.
1) Modelo de circuito. Fijaos en la figura 14, que representa el modelo de la
realimentación de tensión en serie. La señal de entrada en la etapa amplificadora, vi′ , es una tensión, y la señal de salida, vo , también lo es.
Figura 14. Realimentación de tensión en serie
+
v’i
–
vi
A=Av
+
vo
–
Figura 14
Para la realimentación de
tensión en serie modelizamos
el amplificador como un
bloque que introduce una
ganacia Av y la red de
realimentación como un
circuito abierto a su entrada y
una fuente de tensión de
valor βvo en la salida.
RL
+
–
+
vr
–
+
–
bvo
.
Modelizaremos nuestro amplificador mediante una caja negra que introduce una ganacia Av , donde
Av = vo /vi′
(32)
y la denominaremos amplificador de tensión. Este parámetro, dado
que es la relación entre dos tensiones, no tiene unidades, es decir, es
adimensional.
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Realimentación y osciladores
29
La ganacia Av nos dice cuál es la ganacia de la etapa amplificadora en lazo
abierto, es decir, la ganacia del amplificador si no tenemos la red de realimentación conectada. Recordad que hacíamos referencia a esta ganacia en el
subapartado 1.4. En este subapartado la denominamos Av para indicar que nos
estamos refiriendo al caso particular de un amplificador de tensión.
Modelizaremos la red de realimentación mediante un circuito abierto en la entrada. Este circuito abierto traslada la tensión medida a la salida del circuito,
vo , y la reintroduce en el circuito. La tensión de salida de la red de realimentación, vr , será esta tensión de entrada, vo , multiplicada por la ganacia β. De esta
manera:
vr = β vo
(33)
La ganacia β = vr /vo es también en este caso adimensional, ya que es la relación entre dos tensiones. Si tomamos la ecuación de la ganacia total de realimentación que vimos en la ecuación 9, obtenemos la expresión de la ganacia
de realimentación para este caso de realimentación de tensión en serie.
.
La ganacia del circuito realimentado es la siguiente:
Avr =
Av
1 + Av β
(34)
Recordad que en el subapartado 1.4 habíamos definido la ganacia genérica de
realimentación como:
Ar =
A
1 + Aβ
(35)
Con la denominación Avr nos referimos a la ganacia del circuito realimentado
para el caso específico de realimentación de tensión en serie.
Ya hemos visto cuál es la ganacia total de los circuitos con realimentación de
tensión en serie. Para acabar de caracterizar nuestro circuito, debemos calcular
las impedancias de entrada y de salida de nuestro modelo.
.
Cuando conectamos una serie de circuitos uno detrás del otro, necesitamos que las impedancias de entrada y salida de nuestro circuito estén
adaptadas, es decir, sean iguales o parecidas a las impedancias de los
bloques que conectamos a este. Esto nos permite transferir un máximo
de potencia de un circuito a otro y minimizar las pérdidas de señal.
Véase también
Podéis encontrar información
complementaria sobre las
impedancias en el anexo I. El
cálculo de las impedancias es
fundamental, ya que muy a
menudo necesitaremos
conectar nuestro circuito
realimentado a otros
circuitos.
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Realimentación y osciladores
30
Adaptación de impedancias
La adaptación de impedancias consiste en hacer que la impedancia de salida de un circuito sea igual o lo más parecido posible a la impedancia de entrada del circuito que se
conecta a continuación. Esto se hace para conseguir una máxima transferencia de potencia entre los dos circuitos y para minimizar las pérdidas de potencia. Este principio se
aplica únicamente en sistemas lineales.
2) Cálculo de la impedancia de entrada. Fijaos en la figura 15. La señal de
salida vo se mide y entra en la red de realimentación. La tensión vr es la tensión
con la que modelizamos la salida de la red de realimentación, vr = βvo , y esta
tensión está en serie con la tensión de entrada, vi , y la tensión que entra en
el amplificador, vi′ . La etapa amplificadora se caracteriza con el parámetro Ri ,
que es la resistencia de entrada del amplificador en lazo abierto. A partir de
estos datos calcularemos la impedancia de entrada del circuito realimentado,
que denominaremos Rir , y que será la relación entre la tensión de entrada vi y
la corriente de entrada ii .
Rir =
vi
ii
(36)
Figura 15. Cálculo de la impedancia de entrada para la
realimentación de tensión en serie
Rir
vi +
–
+
v’i
–
+
vr
–
Ri
+
–
La impedancia, Z, es la
relación entre una corriente y
una tensión. En términos
genéricos, la impedancia es
una magnitud compleja
formada por una parte real
(resistencia R) y una parte
imaginaria (reactancia X). La
impedancia se expresa pues
como Z = R + jX. En los
ejemplos que estamos viendo
hablamos de impedancias de
entrada y salida, Zi y Zo pero
empleamos la notación Ri y
Ro . Esto se debe a que en
estos ejemplos tratamos con
magnitudes reales sin parte
imaginaria y en este caso
impedancia y resistencia son
equivalentes.
vo = Av v’i
Av
ii
Impedancia y resistencia
+
vo
–
Figura 15
RL
Calcularemos la impedancia
de entrada, Rir , a partir de la
corriente ii y de la tensión
medidas en la entrada del
circuito.
bvo
Calculemos en primer lugar la tensión de entrada. Dado que los bloques amplificador y de realimentación en la entrada del circuito están en serie, la tensión vi se puede calcular como la suma de las otras dos tensiones vi′ y vr .
vi = vi′ + vr
(37)
Si aplicamos la ley de Ohm a la resistencia de entrada, Ri , que tenéis representada en la figura 15, obtenemos lo siguiente:
vi′ = Ri ii
(38)
Fijaos ahora en vr . Hemos modelizado la red de realimentación con una fuente
de tensión ideal porque la salida de este blocue es una tensión proporcional,
Ley de Ohm
La ley de Ohm nos dice que
la tensión en los extremos de
un conductor eléctrico (V) es
proporcional a la
resistencia (R) y a la corriente
que atraviesa el conductor
eléctrico (I), es decir, V = IR.
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Realimentación y osciladores
31
en un factor β, a la tensión de entrada de este bloque. Por tanto, podemos
expresar vr como:
vr = β vo
(39)
Ahora sustituimos estos dos términos en la ecuación 37 de partida y obtenemos lo siguiente:
vi = Ri ii + βvo
(40)
Pero ¿cuál es la tensión de salida vo ? Si os fijáis en la figura 15 podéis ver que vo
es el resultado de introducir la señal vi′ en la etapa amplificadora con ganacia
Av . Es decir:
vo = Av vi′
(41)
Hemos visto en la ecuación 38 que esta tensión de entrada en la etapa amplificadora se puede expresar como vi′ = Ri ii . Sustituyendo este término en la
ecuación 40 obtenemos lo siguiente:
vi = Ri ii + βAv Ri ii
(42)
Calculemos ahora cuál es la impedancia total de entrada del circuito realimentado, que denominaremos Rir . Por la ley de Ohm sabemos que la impedancia de entrada de un circuito es la relación entre la tensión que medimos
en la entrada y la corriente que está entrando en el circuito. Según la figura 15 estas variables de entrada son vi y ii , y por tanto la impedancia de entrada se puede calcular como Rir = vi /ii . Como hemos visto en la expresión 42,
vi = Ri ii + βAv Ri ii ; por tanto:
Rir =
vi Ri ii + βAv Ri ii
=
= Ri (1 + Av β)
ii
ii
(43)
.
La impedancia de entrada de un circuito con realimentación de tensión
en serie es:
Rir = Ri (1 + Av β)
(44)
Es decir, la impedancia de entrada del circuito realimentado, Rir , es la impedancia del amplificador en lazo abierto sin realimentación, Ri multiplicada
por el factor (1 + Av β). Recordad, tal como hemos visto en el subapartado 1.4,
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Realimentación y osciladores
32
que este factor era lo que denominábamos ganacia de retorno y nos daba
una idea del grado de realimentación del circuito. Para el caso de realimentación negativa (1 + Av β) es mayor que 1, y por tanto este tipo de realimentación
aumenta la impedancia de entrada respecto al amplificador sin realimentar.
3) Cálculo de la impedancia de salida. Vamos a calcular ahora cuál es la
impedancia de salida para esta configuración de realimentación. En general,
para encontrar la impedancia de salida de un circuito debemos llevar a cabo
las acciones siguientes: anular la señal de entrada, ya sea una tensión vi o
una corriente ii ; a continuación debemos sustituir la resistencia de carga RL
por una fuente de tensión vo , ya que la variable de salida del circuito es una
tensión; finalmente, hay que calcular la corriente, io , de salida, y a partir de
aquí la impedancia de salida con la expresión Ror =
vo
io .
Vamos a la figura 14
y hacemos las modificaciones necesarias para poder calcular la impedancia de
salida:
•
Anulamos la fuente de tensión vi que tenemos en la entrada del circuito.
Para anular una fuente de tensión y hacer que su valor sea cero, la sustituimos por un cortocircuito. Observad esta modificación en la figura 16.
•
Sustituimos la resistencia de carga RL por una fuente de tensión vo , ya que
la variable de salida del circuito es una tensión, tal com se ha hecho en la
figura 16.
•
Calcularemos la corriente, io , de salida, y a partir de esto la impedancia de
salida como:
Ror =
vo
io
(45)
En la figura 16 podéis ver el circuito resultante de aplicar estos cambios.
Figura 16. Cálculo de la impedancia de salida para la
realimentación de tensión en serie
Ro
+
v’i
–
Av v’i
+
–
vi = 0
io
+ vo
–
Ror
+
vr
–
b
Dado que la rama que entra en el bloque de realimentación es un circuito
abierto y está en paralelo con el resto del circuito, esta parte no nos afecta
Figura 16
A partir de este circuito
calcularemos la impedancia
de salida. Fijaos en que no es
necesario considerar aquí la
parte de entrada del circuito
realimentado que habíamos
modelizado en la figura 15.
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Realimentación y osciladores
33
respecto al cálculo de la impedancia de salida. Observad la figura 16. La etapa
amplificadora introduce una ganacia de Av en la señal de entrada vi′ ; por tanto, podemos modelizar esta etapa como una fuente de tensión de valor Av vi′ .
El amplificador también incluye una resistencia de salida Ro , que nos vendrá
dada. La entrada de la red de realimentación es un circuito abierto, de manera
que toda la tensión de salida, vo , es reintroducida en el bloque de realimentación.
Aplicando la ley de Kirchhoff de la tensión a lo largo de un circuito cerrado,
la tensión vo tal como la hemos definido se puede expresar como la suma
de la tensión que cae en Ro más la tensión con la que modelizamos la ganancia
introducida por el amplificador:
vo = Ro io + Av vi′
(46)
Observad que en la figura 8 del subapartado 1.5 hemos definido un cuadripolo
o bipuerto y hemos definido la corriente io como entrante al cuadripolo. Aquí
definimos la corriente io como saliente porque se trata de la salida del circuito.
Los cálculos que haremos serán coherentes con este sentido definido por la
corriente io . La tensión vi′ que entra en el amplificador, teniendo en cuenta
que estamos considerando el caso de realimentación negativa, es:
vi′ = vi – vr
(47)
Pero hemos hecho la señal de entrada nula, es decir, hemos impuesto la condición vi = 0 para poder calcular la impedancia de salida. Por tanto:
vi′ = –vr
(48)
Recordad también que la tensión que sale del bloque de realimentación en este
caso es la tensión que aparece en la entrada, vo , multiplicada por la ganancia
β, es decir, vr = βvo . Así, si sustituimos en la ecuación 48 tenemos:
vi′ = –βvo
(49)
Sustituimos esta expresión en la ecuación 46 para obtener vo :
vo = Ro io – Av βvo
(50)
Reordenamos los términos en esta expresión y queda:
vo (1 + Av β) = Ro io
(51)
Ley de Kirchhoff de las
tensiones
Esta ley nos indica que la
suma de tensiones a lo largo
de un circuito que forma un
lazo cerrado debe ser cero.
Matemáticamente se expresa
P
como n vn = 0. En el anexo
I podéis encontrar
información addicional sobre
la ley de Kirchhoff de las
tensiones.
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Realimentación y osciladores
34
Entonces aplicamos la ley de Ohm y obtenemos la impedancia de salida:
Ror =
vo
io
(52)
Finalmente, mediante la ecuación 51 calculamos esta impedancia.
.
La impedancia de salida de los circuitos con realimentación de tensión
en serie es:
Ror =
Ro
1 + Av β
(53)
Dado que estamos teniendo en cuenta un caso de realimentación negativa,
el factor (1 + Av β) es mayor que la unidad y, por tanto, la impedancia de salida del circuito con realimentación Ror es menor que la impedancia de salida
del amplificador sin realimentar o en lazo abierto, Ro , en un factor igual a la
ganancia de retorno (1 + Av β).
.
En este subapartado hemos visto los puntos siguientes:
•
Modelizamos la realimentación de tensión en serie con un amplificador de tensión respecto a la etapa amplificadora y con un circuito
abierto y una fuente de tensión βvo respecto a la red de realimentación.
•
La ganancia del circuito realimentado es la siguiente:
Avr =
•
Av
1 + Av β
La impedancia de entrada de los circuitos con realimentación de
tensión en serie es la siguiente:
Rir = Ri (1 + Av β)
•
(54)
(55)
La impedancia de salida de los circuitos con realimentación de tensión en serie es la siguiente:
Ror =
Ro
1 + Av β
(56)
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Realimentación y osciladores
35
Realimentación de corriente en serie
Veamos ahora el segundo tipo de configuración de circuito con realimentación: la realimentación de corriente en serie.
1) Modelo de circuito. Consideremos ahora el caso de la realimentación de
corriente en serie tal como se presentaba en la figura 17.
Figura 17. Realimentación de corriente en serie
+
v’i
–
vi
A=Gm
Figura 17
Para la realimentación de
corriente en serie
modelizamos el amplificador
como un bloque que
introduce una ganancia Gm y
la red de realimentación
como un cortocircuito a su
entrada y una fuente de
tensión de valor βio a la
salida.
io
+
–
RL
+
vr
–
+
–
bio
En este caso estamos midiendo la corriente de salida y la reintroducimos mediante la red de realimentación. La salida de la red de realimentación está
conectada en serie con la entrada del amplificador, es decir, estamos comparando tensiones y, por tanto, podemos aplicar la ley de Kirchhoff de tensiones
y llegar a la expresión siguiente:
vi = vi′ + vr
(57)
.
El modelo de amplificador que utilizaremos aquí es un bloque que introduce una ganancia que denominaremos Gm y que se calcula de la
manera siguiente:
Gm = io /vi′
(58)
Observad que a diferencia del caso anterior, donde la ganancia Av era la rela-
Conductancia y siemens
ción entre dos tensiones y no tenía unidades (recordad la ecuación 35), en este
caso Gm es la relación entre una corriente y una tensión y se mide en siemens
(la inversa del ohm), que es la unidad de la conductancia. Por esta razón, denominaremos a nuestro amplificador amplificador de transconductancia. Este
tipo de amplificador adquiere una tensión a la entrada y la transforma en una
corriente de salida. Gm representa la ganancia en lazo abierto del amplificador
de transconductancia, es decir, la ganancia que tiene la etapa amplificadora
cuando no está conectada la red de realimentación.
Dado que estamos midiendo corrientes en la salida del circuito nos interesará que toda la corriente io sea reintroducida en la red de realimentación.
Así, modelizaremos la entrada de la red de realimentación mediante un cor-
La conductancia eléctrica es
la inversa de la resistencia
eléctrica y se representa con
el símbolo G. La
conductancia se mide en
siemens (S). Estas unidades
representan la inversa de los
ohms (Ω). De esta manera,
G = 1R S.
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Realimentación y osciladores
36
tocircuito para que pase toda la corriente. La tensión de salida de la red de
realimentación, vr , será la corriente que tiene en la entrada io multiplicada
por la ganancia β. Lo podemos expresar de la manera siguiente:
vr = βio
(59)
La ganancia β = vr /io se mide en ohms. Observad que sus unidades son las
inversas a las de la ganancia de la etapa amplificadora, Gm , que en este caso se
mide en siemens, como acabamos de ver.
.
Si tomamos la ecuación 9 y como ganancia A tomamos la ganancia de
transconductancia Gm , podemos expresar la ganancia total del circuito
realimentado por esta configuración como:
Gmr =
Gm
1 + Gm β
(60)
donde Gm es la ganancia del amplificador de transconductancia en
lazo abierto.
Vamos, a continuación, a calcular las impedancias de entrada y salida para
esta configuración de realimentación.
2) Cálculo de la impedancia de entrada. Haremos el cálculo de la impedancia de entrada a partir del esquema presentado en la figura 18. Esta impedancia la calcularemos a partir de la ley de Ohm y considerando la tensión y la
corriente en la entrada del circuito:
Rir =
vi
ii
(61)
Figura 18. Cálculo de la impedancia de entrada para la
realimentación de corriente en serie
ii
vi +
– Rir
io=Gmv’i
+
v’i
–
Ri
RL
+
vr
–
+
–
bio
Observad que la señal de salida del circuito es una corriente, io , que entra en
la red de realimentación. La tensión vr es la tensión con la cual modelizamos
la salida de la red de realimentación vr = βio y esta tensión está conectada en
Figura 18
La impedancia de entrada es
la impedancia que vemos
desde los terminales de
entrada del cuadripolo que
representa el circuito con
realimentación. En este caso,
la impedancia es un número
real (sin parte imaginaria) y la
denominaremos resistencia de
entrada del circuito
realimentado, Rir .
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
37
serie con la tensión de entrada y la tensión que entra en el amplificador. Como en el caso de la configuración de tensión en serie, la etapa amplificadora
se caracteriza con el parámetro Ri , que es la resistencia de entrada del amplificador en lazo abierto. La impedancia de entrada al circuito realimentado se
calculará como la relación entre vi y ii , es decir:
Rir =
vi
ii
(62)
Las tensiones en la entrada son las siguientes:
vi = vi′ + vr
(63)
Aplicando la ley de Ohm podemos expresar la tensión vi′ como:
vi′ = Ri ii
(64)
Y la tensión que sale del bloque de realimentación, como podéis ver en la
figura 18, es:
vr = βio
(65)
Sustituyendo en la expresión 63 obtenemos:
vi = Ri ii + βio
(66)
De la expresión 58 deducimos que io = Gm vi′ , y vi′ = Ri ii según la expresión 64. Si
sustituimos estos términos en la ecuación 66 llegamos a la expresión siguiente:
vi = Ri ii + βGm Ri ii
(67)
Ahora sustituimos este valor de vi en la expresión inicial de la impedancia de
entrada (equació 62).
.
El valor de la resistencia de entrada de un circuito con realimentación
de corriente en serie es el siguiente:
Rir = Ri (1 + Gm β)
(68)
Es decir, la impedancia de entrada del circuito realimentado es la impedancia del amplificador en lazo abierto (sin realimentación) multiplicada por el
factor (1 + Gm β), también denominado ganancia de retorno. Observad que
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Realimentación y osciladores
38
obtenemos la misma expresión de impedancia de entrada que en el caso de
realimentación de tensión en serie. Esto se debe a que la impedancia de entrada está determinada por el modo como conectamos la salida de la red de
realimentación y la entrada de la etapa amplificadora. En este caso, aunque se
miden variables diferentes, la conexión en la entrada del circuito es en los dos
casos en serie.
Observad que, tanto en el caso de la configuración de realimentación de tensión en serie como en este caso de realimentación de corriente en serie, la
impedancia de entrada del circuito realimentado es mayor que la impedancia
de entrada del circuito sin realimentar.
3) Cálculo de la impedancia de salida. Fijémonos ahora en la impedancia
de salida. Recordad que debemos hacer las modificaciones siguientes en el
circuito para calcularla:
•
Anulamos la señal de entrada, vi . Tomamos el modelo de circuito con realimentación de corriente en serie que hemos visto en la figura 17 y anulamos
la fuente de tensión de la entrada con un cortocircuito, como podemos ver
en la figura 19. De esta manera vi = 0.
•
Sustituimos la resistencia de carga RL por una fuente de tensión ideal vo .
•
Calculamos la corriente que entra en el circuito desde la fuente de tensión
vo . Fijaos en que en nuestro modelo de la figura 17 la corriente io sale del
cuadripolo. La impedancia de salida de un cuadripolo se calcula como la
relación de tensión y corriente entrantes. Por tanto, cuando calculemos io
deberemos cambiarle el signo para calcular esta impedancia de salida.
•
Calculamos la impedancia de salida mediante la expresión siguiente:
Ror =
vo
io
(69)
En la figura 19 podéis ver el circuito resultado de aplicar estos cambios.
Figura 19. Cálculo de la impedancia de salida para la
realimentación de corriente en serie
io
+
v’i
–
vi = 0
Ro
Gmv’i
+ vo
–
Ror
+
vr
–
Figura 19
Calcularemos la impedancia
de salida del circuito con
realimentación de corriente
en serie como la relación
entre vo y la corriente que
entra en el circuito, es decir,
–io (observad que io tiene
sentido saliente).
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Realimentación y osciladores
39
Sabemos que el amplificador de la figura 19 introduce una ganancia de Gm en
la señal de entrada vi′ y que la salida es una corriente; por tanto, modelizaremos esta etapa amplificadora como una fuente de corriente de valor Gm vi′ . El
amplificador también incluye una resistencia de salida Ro . Dado que el modelo
de amplificador es una fuente de corriente y la resistencia de salida representa
pérdidas de la señal, la resistencia Ro se pone en paralelo y representa la rama
por la que se pierde parte de la corriente que da la fuente de corriente ideal.
Supondremos que la realimentación de corriente es ideal y, por tanto, la entrada de la red de realimentación se comporta como un cortocircuito, de manera
que toda la corriente de salida io se reintroduce en el circuito. En la figura 19
podéis ver que la etapa de realimentación se ha modelizado mediante un cortocircuito. Aplicamos ahora la ley de Kirchhoff de las corrientes.
La suma de corrientes que entran en el nodo (fijaos en que está indicado con
un punto negro en la figura 19) es igual a la suma de corrientes que salen; por
tanto:
Gm vi′ = io +
vo
Ro
Ley de Kirchhoff de las
corrientes
Esta ley nos indica que la
suma de corrientes que
entran en un punto de unión
de varias ramas debe ser
cero. Matemáticamente se
P
expresa como n in = 0.
(70)
Por otro lado, sabemos que la tensión que entra en el amplificador es:
vi′ = vi – vr
(71)
Pero hemos hecho la señal de entrada nula, y por tanto la señal vi′ la podemos
expresar como:
vi′ = –vr
(72)
Y la tensión, vr , que sale del bloque de realimentación, sabemos que es la
corriente de entrada al bloque, io , multiplicada por el factor β, tal como habíamos visto en la figura 17. Por tanto, la tensión de entrada en la etapa amplificadora es:
vi′ = –βio
(73)
Sustituimos en la ecuación 70 y obtenemos la expresión siguiente:
–Gm βio = io +
vo
Ro
Unidades de las
ganancias Gm y β
(74)
Recordad que para el caso de
la realimentación de corriente
en serie la ganancia Gm se
mide en siemens y la
ganancia β se mide en ohms.
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Realimentación y osciladores
40
Reordenamos los términos y llegamos a la expresión siguiente:
vo = –Ro io (1 + Gm β)
(75)
Recordad que en la figura 8 del subapartado 1.5 hemos definido la corriente io
como entrante en el cuadripolo. Aquí definimos la corriente io como saliente
por el hecho de que se trata de la salida del circuito. Asimismo, para tener
este hecho en cuenta se debe invertir el signo en la expresión 75 y, por tanto,
llegamos al resultado siguiente:
.
Ror = Ro (1 + Gm β)
(76)
Como estamos viendo un caso de realimentación negativa, el factor (1 + Gm β)
es mayor que la unidad, y por tanto la impedancia de salida del circuito con
realimentación Ror es mayor que la impedancia de salida del amplificador sin
realimentar o en lazo abierto, Ro . Esta diferencia es un factor igual a la ganancia de retorno (1 + Gm β).
Observad que para el caso de la realimentación de tensión en serie esta impedancia de salida era Ror =
Ro
1+Av β ,
según la expresión 53. Esta diferencia se
debe al hecho de que en ese caso interconectábamos la salida del circuito en
paralelo y en este caso lo hacemos en serie.
.
En este subapartado hemos visto los puntos siguientes:
•
Modelizamos la realimentación de corriente en serie con un amplificador de transconductancia respecto a la etapa amplificadora y
con un cortocircuito y una fuente de tensión βio respecto a la red de
realimentación.
•
La ganancia del circuito realimentado es la siguiente:
Gmr =
•
Gm
1 + Gm β
La impedancia de entrada de los circuitos con realimentación de
corriente en serie es la siguiente:
Rir = Ri (1 + Gm β)
•
(77)
(78)
La impedancia de salida de los circuitos con realimentación de corriente en serie es la siguiente:
Ror = Ro (1 + Gm β)
(79)
Realimentación negativa
y ganancia de retorno
Como hemos visto en el
subapartado 1.4, cuando
tenemos realimentación
negativa el producto Aβ es
positivo y, por tanto, la
ganancia de retorno, que se
expresa como (1 + Aβ) (en
este caso la ganancia A la
hemos denominado Gm ), es
mayor que la unidad.
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Realimentación y osciladores
41
Realimentación de tensión en paralelo
En este subapartado analizaremos el caso de la realimentación de tensión en
paralelo.
1) Modelo de circuito. En la figura 20 podéis ver cuál es el modelo de circuito
para este tipo de realimentación.
Figura 20. Realimentación de tensión en paralelo
Figura 20
i’i
A=Rm
ii
+
vo
–
RL
ir
bvo
Observad que para esta configuración estamos midiendo la tensión de salida
del circuito, como hemos visto para el caso de realimentación de tensión en
serie, pero en este caso nuestra señal de entrada al circuito es una corriente, es
decir, el bloque comparador trabaja con corrientes y por tanto podemos expresar la corriente de entrada como ii = i′i + ir . Esta suma de corrientes se consigue
conectando la entrada del amplificador y la salida de la red de realimentación
en paralelo.
Respecto a la salida del circuito, dado que estamos midiendo tensión, deberemos conectar la salida del bloque amplificador y la entrada de la red de
realimentación en paralelo.
.
En este caso modelizaremos nuestro amplificador mediante un cuadripolo que introduce una ganancia Rm , definiendo Rm como la relación
entre la tensión de salida vo y la corriente de entrada i′i . En este caso la
ganancia del amplificador tiene unidades medidas en ohms. Así, el amplificador que utilizamos también se denomina amplificador de transresistencia y lo que hace es tomar una corriente de entrada y transformarla en una tensión de salida vo .
Respecto al modelo de la red de realimentación, utilizaremos un circuito abierto en la entrada, ya que estamos midiendo tensión, y de esta manera nos aseguramos que toda la tensión vo entra de nuevo en el circuito. La salida de este
bloque es la corriente ir , que será igual a la ganancia β multiplicada por la señal
Para la realimentación de
tensión en paralelo
modelizamos el amplificador
como un bloque que
introduce una ganancia Rm y
la red de realimentación
como un circuito abierto a su
entrada y una fuente de
corriente de valor βvo a la
salida.
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Realimentación y osciladores
42
de entrada en este bloque, vo . El factor β = ir /vo tiene unidades de siemens. Recordad que los siemens son la inversa de los ohms y, dado que la ganancia en
la etapa amplificadora son ohms, tenemos que las unidades de la ganancia β
son la inversa.
.
La ganancia total del circuito realimentado para esta configuración la
podemos expresar como:
Rmr =
Rm
1 + Rm β
(80)
donde Rm es la ganancia del amplificador de transresistencia en lazo
abierto.
Observad que es la expresión de la ganancia de realimentación que hemos
visto en el subapartado 1.4 pero en este caso sustituyendo la ganancia del
bloque amplificador genérico A por la ganancia Rm que caracteriza un tipo de
amplificador concreto: el amplificador de transresistencia.
A continuación calcularemos las impedancias de entrada y salida para esta
configuración de realimentación.
2) Cálculo de la impedancia de entrada. Haremos el cálculo de la impedancia de entrada a partir del esquema presentado en la figura 21.
Figura 21. Cálculo de la impedancia de entrada para la
realimentación de tensión en paralelo
i’i
ii
Rir
vi
Ri
Figura 21
Para calcular la impedancia
de entrada del circuito
realimentado, Rir , debemos
encontrar la corriente ii y la
tensión vi en la entrada del
circuito. Observad que no
tenemos en cuenta cómo se
modeliza el circuito
realimentado en la salida, ya
que esta parte la tendremos
en cuenta cuando queramos
calcular la impedancia de
salida.
vo=Rmi’i
+
vo
RL
–
ir
bvo
La señal de salida vo se mide y entra en la red de realimentación. La corriente
ir es la corriente con la que modelizamos la salida de la red de realimentación
ir = βvo y esta corriente se resta a la corriente de entrada al circuito ii para
obtener la expresión siguiente:
i′i = ii – ir
(81)
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
43
La etapa amplificadora la modelizamos mediante una resistencia de entrada Ri ,
que es la resistencia de entrada del amplificador en lazo abierto. La impedencia
de entrada al circuito realimentado se calculará como la relación entre ii y vi ,
es decir:
Rir = ii /vi
(82)
Las corrientes en la entrada del circuito son las siguientes:
ii = i′i + ir =
vi
+ β vo
Ri
(83)
y sabemos que vo = Rm i′i ; por tanto:
ii =
vi
+ βRm i′i
Ri
(84)
Aplicando la ley de Ohm para calcular i′i obtenemos:
i′i =
vi
Ri
(85)
Sustituimos la expresión de i′i de la ecuación 85 en la expresión 84. De esta
manera, se obtiene el valor de ii , y es el siguiente:
ii =
vi
v
+ βRm i
Ri
Ri
(86)
Tomamos la ecuación 86, que nos da el valor de la corriente de entrada ii
en función de la tensión de entrada vi , y sustituimos este valor de ii en la
expresión 82 y obtenemos lo siguiente:
.
Rir =
Ri
1 + Rm β
(87)
Es decir, la impedancia de entrada del circuito realimentado en paralelo es la
impedancia del amplificador en lazo abierto (sin realimentación) dividida por
el factor (1 + Rm β), también denominado ganancia de retorno. En el caso de
realimentación negativa ((1 + Rm β) > 1, como hemos visto en el subapartado 1.4), la impedancia de entrada para el circuito realimentado que utiliza un
comparador de corriente es, pues, más pequeña que la impedancia de entrada
en el amplificador sin realimentar Ri .
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
44
3) Cálculo de la impedancia de salida. Calculemos ahora la impedancia de
salida:
•
Anulamos la señal de entrada. Observad que en este caso la señal de entrada es una corriente y, por tanto, la manera de hacer que esta corriente
sea cero es sustituir la fuente de corriente por un circuito abierto. De esta
manera, no hay paso de corriente. En la figura 22 podéis ver cómo se ha
realizado esta modificación en la entrada del circuito.
•
A continuación sustituimos la resistencia de carga RL por una fuente de
tensión ideal vo . En la figura 22 podéis ver cómo se ha realizado esta modificación en la salida del circuito.
•
Calculamos la corriente que entra en el circuito desde la fuente de tensión
vo . Observad que en nuestro modelo de la figura 20 la corriente io sale del
cuadripolo. La impedancia de salida de un cuadripolo se calcula como la
relación de tensión y corriente entrante. Por tanto, cuando calculemos io
deberemos cambiarle el signo para calcular esta impedancia de salida.
•
Calculamos la impedancia de salida mediante la expresión siguiente:
Ror =
vo
io
(88)
En la figura 22 podéis ver el circuito resultado de aplicar estos cambios.
Figura 22. Cálculo de la impedancia de salida para la
realimentación de tensión en paralelo
Ro
i’i
+ R i’
– m i
ii = 0
ir
io
+ vo
–
Ror
Sabemos que el amplificador de la figura 22 introduce una ganancia de Rm
en la señal de entrada i′i y que la salida es una tensión; por tanto, podemos
modelizar el amplificador como una fuente de tensión con valor Rm i′i . El amplificador también incluye una resistencia de salida Ro . Supondremos que la
realimentación de tensión es ideal y, por tanto, la entrada de la red de realimentación se comporta como un circuito abierto, de manera que toda la
tensión vo se reintroduce en el circuito.
Figura 22
Para calcular la impedancia
de salida del circuito
realimentado es necesario
encontrar las señales io y vo .
Esta impedancia de salida se
calcula como Ror = vi o .
o
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Realimentación y osciladores
45
La corriente que entra en el amplificador es:
i′i = ii – ir
(89)
Pero hemos hecho la señal de entrada nula. Y por otro lado ir = βvo ; por tanto:
i′i = –βvo
(90)
Aplicamos la ley de Kirchhoff de las tensiones a la malla donde se encuentra la
fuente señal de salida vo teniendo en cuenta el sentido entrante en el circuito
de la corriente io y llegamos a la expresión siguiente:
vo = io Ro + Rm i′i = io Ro – Rm βvo
(91)
Ahora reordenamos los términos para separar los que dependen de vo y los
que dependen de io y llegamos a la expresión siguiente:
vo (1 + Rm β) = io Ro
(92)
De esta manera, calculamos la impedancia de salida:
.
Ror = vo /io =
Ro
1 + Rm β
(93)
Si os fijáis en la expresión de la impedancia de salida, esta tiene la misma forma que el caso de la realimentación de tensión en serie, donde la impedancia
de salida se calculaba como Ror =
vo
io
=
Ro
1+Av β
(recordad la expresión 53). Esto
es porque en ambos casos estamos midiendo tensión y el cálculo de la impedancia de salida se realiza teniendo en cuenta la parte de salida del circuito
realimentado. En ambos casos la impedancia total de salida queda dividida
por la ganancia de retorno 1 + Aβ, y por tanto para el caso de la realimentación negativa (ganancia de retorno mayor que 1) esta impedancia de salida
es menor respecto a la impedancia en lazo abierto del amplificador.
.
En este subapartado hemos visto los puntos siguientes:
•
Modelizamos la realimentación de tensión en paralelo con un amplificador de transresistencia respecto a la etapa amplificadora y
con un circuito abierto y una fuente de corriente βvo respecto a la
red de realimentación.
•
La ganancia del circuito realimentado es la siguiente:
Rmr =
Rm
1 + Rm β
(94)
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Realimentación y osciladores
46
.
•
La impedancia de entrada de los circuitos con realimentación de
tensión en paralelo es la siguiente:
Rir =
•
Ri
1 + Rm β
(95)
La impedancia de salida de los circuitos con realimentación de tensión en paralelo es la siguiente:
Ror =
Ro
1 + Rm β
(96)
Realimentación de corriente en paralelo
En este subapartado analizaremos el último de los cuatro casos de realimentación negativa que nos hemos propuesto estudiar: el de realimentación de
corriente en paralelo.
1) Modelo de circuito. En esta configuración medimos la corriente de salida,
io , para reintroducirla en el circuito, y el bloque comparador trabaja con corrientes, ya que la fuente de señal de la entrada es una corriente. Podéis ver
esta configuración en la figura 23.
Figura 23. Realimentación de corriente en paralelo
Figura 23
i’i
A=Ai
ii
io
RL
ir
βio
Comenzamos modelizando el amplificador. La señal de entrada para este bloque es la corriente i′i . La señal de salida es otra corriente, io . La relación entre
estas dos señales es la ganancia del amplificador, y la denominaremos Ai . Dado
que es una relación entre corrientes, esta ganancia es adimensional.
.
Nuestro amplificador será, pues, un amplificador de corriente con ganancia Ai en el que introducimos una corriente de entrada y obtenemos
una corriente de salida.
Para la realimentación de
corriente en paralelo
modelizamos el amplificador
como un bloque que
introduce una ganancia Ai y
la red de realimentación
como un cortocircuito en su
entrada y una fuente de
corriente de valor βio en la
salida.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
47
La ganancia β, por otra parte, se calcula dividiendo la señal de salida de la red
de realimentación ir entre la señal de entrada al mismo bloque, io . Por tanto,
β = ir /io . Dado que estamos midiendo corriente, modelizaremos la red de re-
alimentación como un cortocircuito en la entrada. La salida la modelizaremos
como una fuente de corriente con el valor siguiente:
ir = βio
(97)
La ganancia total del circuito realimentado para esta configuración la podemos expresar a partir de la ecuación 9. Observad que habíamos visto que
Ar =
A
1+Aβ .
En este caso, la única diferencia es que en lugar de un amplificador
genérico consideramos un amplificador de corriente, y por tanto debemos
sustituir la ganancia genérica A por la ganancia específica Ai . Esta ganancia,
Ai , nos indica que el amplificador es de corriente y es la ganancia del amplificador de corriente en lazo abierto.
.
Air =
Ai
1 + Ai β
(98)
2) Cálculo de la impedancia de entrada. La impedancia de entrada la calcularemos a partir del esquema presentado en la figura 24.
Figura 24. Cálculo de la impedancia de entrada para la
realimentación de corriente en paralelo
i’i
ii
Rir
Figura 24
Modelizamos la parte de
entrada del circuito
realimentado para poder
calcular cuál es la impedancia
de entrada del circuito.
Recordad que el cálculo de
las impedancias es muy
importante para poder
conectar nuestro circuito con
otros bloques y poder tener
las impedancias adaptadas.
io=Aii’i
R_i
vi
RL
ir
bio
La señal de salida io se mide y entra en la red de realimentación. La corriente
ir es la corriente con la que modelizamos la salida de la red de realimentación
ir = βio y esta corriente se resta a la corriente de entrada al circuito ii para
obtener i′i . Es decir, i′i = ii – ir .
La etapa amplificadora la modelizamos mediante una resistencia de entrada Ri ,
que es la resistencia de entrada del amplificador en lazo abierto. La impedancia
de entrada al circuito realimentado se calculará como la relación entre ii y vi .
Lo expresamos de la manera siguiente:
Rir =
vi
ii
(99)
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Realimentación y osciladores
48
Las corrientes en la entrada del circuito son:
ii = i′i + ir = i′i + +βio
(100)
Sabemos que io = Ai i′i y que i′i = vi /Ri . Sustituimos estos dos términos en la
ecuación 100 y llegamos a la expresión siguiente:
ii =
vi
v
+ Ai β i
Ri
Ri
(101)
Volvemos a la expresión inicial de la impedancia de entrada del circuito (equació 99) y sustituimos el valor de ii de manera que obtenemos esta impedancia
de entrada.
.
La impedancia de entrada de un circuito con realimentación de corriente en paralelo es la siguiente:
Rir =
Ri
1 + Ai β
(102)
La impedancia de entrada del circuito realimentado en paralelo (nos estamos
fijando únicamente en la entrada del circuito) es la impedancia del amplificador en lazo abierto (sin realimentación) dividida por el factor (1+Ai β), también
denominado ganancia de retorno, tal como habíamos visto en el subapartado 1.4. En el caso de realimentación negativa (1 + Ai β > 1, podéis recordar la
tabla 1) la impedancia de entrada para el circuito realimentado que utiliza un
comparador de corriente es, por tanto, menor que la impedancia de entrada
al amplificador sin realimentar Ri .
3) Cálculo de la impedancia de salida. Calcularemos la impedancia de salida, Ror = vo /io , a partir del esquema de la figura 25. Recordad que habíamos
definido la impedancia de salida de un cuadripolo como la relación entre la
corriente io entrante al cuadripolo y la tensión vo entre los terminales de salida. Lo podéis ver en la figura 8 del subapartado 1.5. La corriente definida allí
es entrante, mientras que aquí está definida com saliente. Esta diferencia de
sentido la tendremos en cuenta cuando hagamos los cálculos, dado que io se
define, por un lado, como corriente de salida del circuito realimentado y, por
otro lado, por definición, la impedancia de salida de un circuito se mide según
la corriente entrante.
Para poder calcular la impedancia de salida del circuito debemos hacer las
modificaciones siguientes:
•
Anulamos la señal de entrada. Como estamos analizando un circuito con
realimentación de corriente en paralelo, la señal de entrada es una corrien-
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
49
te (esto nos lo indica el término en paralelo). Para ello, debemos hacer que
la corriente de entrada, ii , sea nula. Por tanto, la sustituimos por un circuito
abierto, como podéis ver en la parte de entrada del circuito de la figura 25.
Figura 25. Cálculo de la impedancia de salida para la
realimentación de corriente en paralelo
Calcularemos la impedancia
de salida del circuito a partir
de los valores de io y de vo .
io
i’i
ii=0
Ro
Aii’i
ir
•
Figura 25
+ vo
–
Ror
A continuación sustituimos la resistencia de carga RL por una fuente de
tensión ideal vo . En la figura 25 podéis ver cómo se ha llevado a cabo esta
modificación a la salida del circuito.
•
Calculamos la corriente io que entra al circuito desde la fuente de ten-
•
Calculamos la impedancia de salida mediante la expresión siguiente:
sión vo .
Ror =
vo
io
(103)
El amplificador de la figura 25 introduce una ganancia de Ai en la señal de
entrada i′i y la salida es una corriente; por tanto, podemos modelizar el amplificador como una fuente de corriente con valor Ai i′i . El amplificador también
incluye una resistencia de salida Ro . Supondremos que la realimentación de
corriente es ideal, y por ende la entrada de la red de realimentación se comporta como un cortocircuito, de manera que toda la corriente io entra de nuevo
al circuito.
La corriente que entra al amplificador es:
i′i = ii – ir
(104)
La corriente de entrada ii es nula, ya que para hacer este cálculo hemos anulado la fuente de corriente dejándola en circuito abierto. Y, por otro lado,
sabemos que la corriente que sale del bloque de realimentación es la corriente
de salida io multiplicada por la ganancia β, es decir, ir = io β, de modo que la
corriente que entra en la etapa amplificadora es:
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
50
i′i = –βio
(105)
¿Cuál es la tensión de salida vo que debemos calcular para encontrar la impedancia de salida del circuito realimentado? Observad que es la tensión que
corresponde a Ro . Esta tensión es el valor de la resistencia Ro multiplicado por
la corriente que la atraviesa, que denominaremos iRo .
Tal como hemos definido el sentido de las corrientes en la figura 25, y aplicando la ley de Kirchhoff de las corrientes al nodo donde se interconectan las
tres ramas en la salida del circuito, obtenemos lo siguiente:
Ai i′i = iRo + io
(106)
Así pues, la tensión que corresponde a Ro , que también es la tensión de salida
que buscamos, es:
vo = Ro iRo = Ro (Ai i′i – io )
(107)
Hemos visto que la corriente i′i tiene el valor –βio . Lo sustituimos en la ecuación 107 y obtenemos:
vo = Ro (–Ai βio – io ) = –Ro io (Ai β + 1)
(108)
En este punto debemos tener en cuenta que la impedancia de salida se define por una corriente entrante en el cuadripolo y aquí la hemos definido
como una corriente saliente. Por tanto, debemos cambiar el signo de la ecuación 108. En este caso y reordenando términos:
vo = Ro io (1 + Ai β)
(109)
.
De esta manera calculamos la impedancia de salida:
Ror =
vo
= Ro (1 + Ai β)
io
(110)
Para esta configuración y considerando el caso de realimentación negativa,
la impedancia de salida del circuito con realimentación aumenta respecto a la
impedancia de salida Ro del circuito amplificador sin realimentación.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
51
.
En este subapartado hemos analizado los circuitos con realimentación
de corriente en paralelo y hemos visto los puntos siguientes:
•
Modelizamos la realimentación de corriente en paralelo con un amplificador de corriente respecto a la etapa amplificadora y con un
cortocircuito y una fuente de corriente βio respecto a la red de realimentación.
•
La ganancia del circuito realimentado es la siguiente:
Air =
•
(111)
La impedancia de entrada de los circuitos con realimentación de
corriente en paralelo es la siguiente:
Rir =
•
Ai
1 + Ai β
Ri
1 + Ai β
(112)
La impedancia de salida de los circuitos con realimentación de corriente en paralelo es la siguiente:
Ror = Ro (1 + Ai β)
(113)
Tabla resumen de los cuatro tipos de realimentación negativa
En la tabla 2 podéis ver un resumen de las características de los cuatro tipos
de realimentación negativa estudiados en este subapartado.
Tabla 2. Configuraciones basicas de realimentación negativa
Ganancia
Entrada
Salida
De tensión en serie
vi
vo
Avr =
De corriente en serie
vi
io
Gmr =
Realimentación
De tensión en paralelo
ii
vo
Rmr =
De corriente en paralelo
ii
io
Air =
Av
1+Av β
Gm
1+Gm β
Rm
1+Rm β
Ai
1+Ai β
Rir
Ror
Ri (1 + Av β)
Ro
1+Av β
Ri (1 + Gm β)
Ro 1 + Gm β
Ri
1+Rm β
Ai
1+Ri β
Ro
1+Rm β
Es importante recordar cuáles son las unidades de las ganancias A y β para
cada caso. En la tabla 3 podéis ver cuáles son estas unidades para cada tipo de
realimentación.
Ro (1 + Ai β)
Amplificador
Tensión
Transconductancia
Transresistencia
Corriente
CC-BY-SA • PID_00170128
Tabla 3. Unidades de las ganancias A y β
Ganancia
Realimentación
A
De tensión en serie
Av = vvo′
De corriente en serie
De tensión en paralelo
De corriente en paralelo
Realimentación y osciladores
52
β=
Adimensional
i
vr
vo
Unidades ganancia
realimentación
Adimensional
Gm =
io
vi′
β=
vr
io
Ohms
Siemens
Rm =
vo
i′i
β=
ir
vo
Siemens
Ohm
Ai =
io
i′i
β=
ir
io
Adimensional
Adimensional
Unidades A
Adimensional
Siemens
Ohms
Adimensional
Ganancia β
Unidades β
Resumiendo este subapartado, podemos decir que hay cuatro tipos de realimentación negativa. Cada una proporciona una ganancia diferente. Según el
tipo de amplificador que utilicemos podemos fijar una ganancia determinada.
Los amplificadores que podemos utilizar son:
•
Amplificadores de tensión: una tensión en la entrada y una tensión en la
•
Amplificadores de transconductancia: una tensión en la entrada y una
•
Amplificadores de transresistencia: una corriente en la entrada y una
•
Amplificadores de corriente: una corriente en la entrada y una corriente
salida
corriente en la salida
tensión en la salida
en la salida
La realimentación en serie aumenta la impedancia de entrada, mientras que
la realimentación en paralelo la disminuye. Si la ganancia de lazo Aβ es muy
grande, esta impedancia se tiende a comportar como un circuito abierto o un
cortocircuito, respectivamente. Respecto a la impedancia de salida, en los circuitos realimentados por tensión esta es más baja que respecto a la impedancia de salida del mismo circuito sin realimentar. En los circuitos realimentados
por corriente, en cambio, esta impedancia de salida aumenta.
En este subapartado hemos visto los cuatro tipos de realimentación negativa
que podemos obtener según el modo en que interconectemos los bloques amplificador y de realimentación. A continuación veremos qué efectos tiene la
realimentación sobre los circuitos.
1.6. Efectos de la realimentación
En este subapartado veremos cuáles son los efectos cualitativos de la realimentación de circuitos. Comenzaremos con los inconvenientes. En el subapartado 1.6.1 veremos que el principal inconveniente de la realimentación negativa
es una reducción global de la ganancia. En el subapartado 1.6.2 veremos que
la realimentación puede introducir problemas de estabilidad en la ganancia
de los circuitos. A continuación pasaremos a ver qué ventajas obtenemos con
la realimentación. En el subapartado 1.6.3 veremos que la realimentación mejora la distorsión no lineal introducida por la etapa amplificadora. Posteriormente, en el subapartado 1.6.4, veremos cómo la realimentación nos permite
incrementar la amplitud de banda. Uno de los efectos más beneficiosos de la
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
53
realimentación es la reducción del ruido. Lo veremos en el subapartado 1.6.5.
Para acabar, en el subapartado 1.6.6, veremos cuál es la utilidad de poder controlar las impedancias de entrada y salida de los circuitos con realimentación.
1.6.1. Efectos de la realimentación sobre la ganancia
En el subapartado 1.4 hemos visto que la ganancia Ar para todo el circuito
realimentado se puede obtener a partir de la expresión:
Ar =
A
1 + Aβ
(114)
Si el denominador (1 + Aβ) es mayor que 1, la ganancia total del circuito es
menor que la ganancia que presenta el amplificador sin realimentar. Es decir,
en el caso de realimentación negativa la ganancia del circuito se reduce respecto a la ganancia del circuito sin realimentar. Si trabajamos con señales de
amplitud pequeña y esta reducción representa un problema para el funcionamiento del circuito, la podemos compensar agregando etapas adicionales
de amplificación a la salida de nuestro circuito realimentado. De esta manera
podemos trabajar con señales de una amplitud determinada siempre que lo
necesitemos.
1.6.2. Problemas de estabilidad de la ganancia asociados
a la realimentación positiva
Recordad la tabla 1 del subapartado 1.4. Si la ganancia de retorno 1 + Aβ es
menor que la unidad, entonces la ganancia del circuito realimentado, Ar ,
es menor que la ganancia de la etapa amplificadora sin realimentar.
El inconveniente principal de este hecho es la inestabilidad en la ganancia, ya
que una pequeña variación de la ganancia del amplificador A nos lleva a una
gran variación de Ar .
Veamos un ejemplo para dos valores habituales de A y β. Suponed que A = –10 y β =
0,0999. Con estos datos ya sabemos que se trata de realimentación positiva, tal como
habíamos mostrado en la figura 7, ya que la ganancia de lazo Aβ es menor que cero, y
por tanto la ganacia del circuito con realimentación, Ar , es mayor que la ganancia del
circuito sin realimentar, A. Esta ganancia de lazo tiene el valor siguiente:
Aβ = –10 · 0,0999 = –0,999
(115)
La ganancia total del circuito con realimentación es:
Ar =
–10
–10
A
=
=
= –104
1 + Aβ 1 – 0,999 0,001
(116)
Si ahora el parámetro A varía y pasa a tener un valor de –9,9, es decir, varía en un 1 %, la
ganancia es:
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
54
Ar =
A
–9,99
=
= –900,81
1 + Aβ 1 – 0,989
(117)
Observad que Ar ha disminuido en más de un 90 %. Así, uno de los problemas de la
realimentación positiva es la inestabilidad de la ganancia.
Otro inconveniente de la realimentación positiva es que a menudo se amplifican también señales no deseadas y ruido. Adicionalmente, cuando se da la
condición siguiente:
Aβ = –1
(118)
aparecen oscilaciones en la salida del circuito. Este puede ser un efecto deseado
cuando queremos implementar un oscilador, como veremos en el apartado 2,
pero no en otros casos.
1.6.3. Mejora de la distorsión no lineal introducida
por la etapa amplificadora
Los amplificadores son dispositivos complejos que están formados por componentes que no tienen un comportamiento ideal.
Esto provoca que, dependiendo de la señal de entrada, la señal de salida no sea
exactamente la señal de entrada multiplicada por una ganancia, A, tal como
hemos considerado a lo largo del módulo.
Como se ha comentado al final del subapartado 1.4, una de las estrategias
de diseño de los circuitos realimentados es hacer que la ganancia de lazo sea
mucho más grande que la unidad, de tal modo que si Aβ >> 1, la ganancia de
todo el circuito se puede aproximar por:
Ar ≃ 1/β
(119)
Si Aβ >> 1 → Ar ≃ 1/β
(120)
Es decir:
Considerando que las redes de realimentación se construyen con elementos
mucho más estables y lineales como pueden ser resistencias y condensadores,
la introducción de la realimentación tiende a estabilizar la ganancia de todo
el circuito, ya que esta ganancia total depende únicamente del factor β. Por
esta razón, podemos decir que la red de realimentación compensa los efectos
de distorsión no lineal introducidos por la etapa amplificadora.
Véase también
Los amplificadores se
estudian en el módulo “El
amplificador operacional” de
esta asignatura.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
55
1.6.4. Aumento del ancho de banda
Uno de los efectos de la realimentación negativa es que la ganancia total Ar
es menor que la ganancia del amplificador en lazo abierto, es decir, que el
amplificador sin realimentación. Observad la figura 26, donde se muestra la
respuesta en frecuencia de un amplificador sin realimentar y la del mismo
amplificador realimentado. En la figura, el intervalo de frecuencias f2 – f1 representa el margen de frecuencias para las que tenemos respuesta del circuito
sin realimentar, mientras que el intervalo fr2 – fr1 es el margen de frecuencias
para el que hay respuesta del amplificador realimentado. En la figura podéis
comprobar cómo el ancho de banda del amplificador realimentado fr2 – fr1 es
mayor que el ancho de banda del amplificador sin realimentación f2 – f1 .
Figura 26. Respuesta en frecuencia de un amplificador con
realimentación y sin ella
Figura 26
La respuesta en frecuencia de
un circuito nos indica cómo
responde el circuito a una
señal sinusoidal de una
determinada frecuencia.
A
Amplificador en lazo abierto
Amplificador con realimentación
ƒ
ƒ1r ƒ1
ƒ2 ƒ2r
Este efecto de aumento de ancho de banda con la realimentación negativa se
debe al hecho de que en este tipo de realimentación, dado que se introduce
una pérdida en la ganancia, la pendiente de caída de la ganancia del circuito sin realimentar queda también desvaído o suavizado por esta pérdida de
ganancia.
1.6.5. Disminución del ruido
En la realimentación negativa, tomamos la señal de salida y la restamos a
la señal de entrada. De esta manera lo que hacemos es oponer la respuesta
del circuito a la entrada y compensar todas las variaciones o perturbaciones
que se dan en la entrada. Este principio también se aplica a una señal de
entrada en la que tengamos ruido. Este se verá compensado y en parte anulado
por efecto de la realimentación negativa. Es decir, el factor (1 + Aβ) divide el
ruido de entrada al circuito cuando este está realimentado negativamente. Sin
embargo, el problema es que cuanto mayor es el factor (1 + Aβ) y más ruido
eliminemos, menor es la ganancia del circuito realimentado, ya que como
hemos visto en la ecuación 9:
Ar =
A
1 + Aβ
(121)
Deberemos llegar, pues, a una solución de compromiso y elegir unos valores de
A y β que nos proporcionen una ganancia acceptable y que a la vez reduzcan
tanto como sea posible el ruido de entrada.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
56
1.6.6. Adaptación de las impedancias de entrada y de salida
Como hemos visto en el subapartado 1.5.3, el tipo de realimentación que se
configura tiene un efecto sobre las impedancias de entrada y de salida del circuito realimentado. Según midamos tensión o corriente a la salida del circuito
o comparemos tensiones o corrientes en la entrada obtendremos un aumento o una disminución de las impedancias de entrada y salida. Dado que el
valor de las impedancias depende de los parámetros A y β, la realimentación
nos permite ajustar estas impedancias. Esta característica es muy importante, ya que cuanto más adaptadas estén las impedancias de entrada y salida
a otros bloques de un sistema más complejo, mejor será la transferencia de
potencia entre el circuito que esté conectado a la entrada de nuestro circuito
realimentado (adaptación de la impedancia de entrada) y el circuito que esté
conectado a continuación de nuestro circuito realimentado (adaptación de la
impedancia de salida).
En este punto ya hemos visto que la realimentación tiene algunos efectos
negativos y otros positivos. A continuación veremos una red práctica de realimentación para ejemplificar lo que hemos visto hasta ahora.
1.7. Redes prácticas de realimentación
Hasta ahora hemos utilizado esquemas de bloques para modelizar tanto la
etapa amplificadora como la red de realimentación. Hemos visto que estos
elementos estaban formados por fuentes controladas de corriente y tensión
y resistencias. Estos modelos nos han permitido analizar los cuatro tipos de
realimentación negativa y calcular los parámetros más relevantes de ellos.
En este subapartado os presentaremos circuitos realimentados realizados con
componentes reales.
Figura 27. Circuitos prácticos de realimentación: a. De tensión en serie. b. De corriente en
serie. c. De tensión en paralelo. d. De corriente en paralelo
a)
b)
Rs
R1
RL
c)
vs +
–
io
RL
+
vr R1
–
b
d)
ir
ii i’i
is
+
A
–
v’i
+
vo
b –
+
vr R
2
–
vs +
–
Rs
+
A
–
v’i
Rs
R1
b
ii
i’i
–
A
+
+
vo RL
–
is
–
A
+
io
R2
R1
Rs
b
ir
RL
Figura 27
En la implementación de
circuitos reales realimentados
se pueden utilizar
amplificadores operacionales
como etapa amplificadora y
resistencias para construir la
red de realimentación.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
57
En la figura 27 podéis ver los cuatro tipos de realimentación negativa que
habíamos visto en el subapartado 1.5.3. La etapa amplificadora está hecha con
un dispositivo que se denomina amplificador operacional. En la figura este
elemento está simbolizado mediante un bloque en forma de triángulo y con
una ganancia A. En la figura 28 podéis ver cómo se representa este elemento.
Véase también
Los amplificadores se
estudian en el módulo “El
amplificador operacional” de
esta asignatura.
Figura 28. Representación del amplificador
operacional
Figura 28
xi
+
A
–
Los amplificadores
operacionales multiplican la
señal de entrada, xi , por una
ganancia A, de manera que la
señal de salida es xo = AXi .
xo=A xi
Respecto a este módulo consideraremos que el amplificador operacional toma
una señal en la entrada y la multiplica por una ganancia, es decir:
xo = Axi
(122)
como habíamos visto en el subapartado 1.1. Según el tipo de amplificador del
que se trate*, este bloque convierte tensiones en corrientes y viceversa. La red
de realimentación para los cuatro casos está formada por resistencias, como
se ve en la figura 27, donde se ha indicado este bloque con un recuadro para
cada caso. La ganancia de la red de realimentación es la que se ve en la tabla 4.
Tabla 4. Ganancia β de las configuraciones de realimentación con amplificador operacional
Tipos de realimentación
De tensión en serie
β
β=
vr
vo
De corriente en serie
β=
De tensión en paralelo
β=
De corriente en paralelo
β=
ir
io
=
vr
io
ir
vo
=
R2
R1 +R2
= R1
1
R1
R1
R1 +R2
=
Los modelos de la figura 27 incluyen una resistencia Rs para las fuentes de
tensión y de corriente. En la práctica, estas fuentes no son ideales y tienen
pequeñas pérdidas. Esta resistencia Rs representa estas pérdidas.
Identifiquemos el tipo de realimentación para los cuatro circuitos de la figura.
.
Para determinar si tenemos realimentación en serie o en paralelo en la
entrada de cada circuito, debemos tener en cuenta lo siguiente:
•
Si podemos expresar la tensión de entrada en el amplificador operacional, vi′ , como resta de la tensión de entrada vi y la tensión que
sale del bloque de realimentación vr , entonces la realimentación se
hace en serie.
•
Si podemos expresar la corriente de entrada al amplificador operacional, i′i , como resta de la corriente de entrada ii y la corriente que
sale del bloque de realimentación ir , entonces la realimentación se
hace en paralelo.
* Amplificador de tensión, de
corriente, de transconductancia
o de transresistencia
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
58
.
Para determinar si el circuito se realimenta con tensión o corriente,
haremos lo siguiente:
•
Sustituimos la resistencia de carga RL por un cortocircuito. Si se anulan las señales de entrada en la red de realimentación, significa que
tenemos realimentación de tensión.
•
Sustituimos la resistencia de carga RL por un circuito abierto. Si se
anulan las señales de entrada en la red de realimentación, significa
que tenemos realimentación de corriente.
El tipo de realimentación será el siguiente:
1) Para la figura 27a:
•
La tensión en la entrada del bloque amplificador, vi′ , se puede expresar
como resta de vs y vr . En cambio, no se cumple lo mismo para las corrientes
de entrada. Este hecho nos indica que la realimentación se efectúa en serie.
•
Sustituimos la resistencia de carga, RL , por un circuito abierto y por un cortocircuito (fijaos en las figuras 29a y 30a). En el primer caso aun tenemos
tensión y corriente en la entrada del bloque de realimentación. En el segundo caso, la red de realimentación queda cortocircuitada y, por tanto,
no tenemos tensión ni corriente (ya que la corriente pasará por el cortocircuito). Este hecho nos indica que tenemos realimentación de tensión.
•
Por tanto, el circuito es un ejemplo de realimentación de tensión en serie.
Figura 29. Sustitución de la resistencia de carga por un circuito abierto
a)
b)
Rs
R1
+
A
–
v’i
+
vo
β –
+
vr R
2
–
vs +
–
Rs
+
A
–
v’i
vs +
–
c)
io
+
vr R1
–
β
d)
ir
ii i’i
is
Figura 29
Rs
R1
β
ii
–
A
+
+
vo
–
is
i’i
–
A
+
io
R2
R1
Rs
β
ir
Sustituimos la resistencia de
carga, RL , por un circuito
abierto. Si las señales de
entrada a la red de
realimentación se anulan
podemos decir que el circuito
hace realimentación de
corriente.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
59
Figura 30. Sustitución de la resistencia de carga por un cortocircuito
a)
b)
Rs
+
A
–
v’i
R1
+
vr R
2
–
vs +
–
+
A
–
v’i
+
vo
β –
vs +
–
c)
io
+
vr R1
–
β
d)
ir
ii i’i
is
Figura 30
Rs
R1
β
ii
–
A
+
Rs
+
vo
–
is
i’i
–
A
+
io
R2
R1
Rs
β
ir
2) Para la figura 27b:
•
La tensión a la entrada del bloque amplificador, vi′ , se puede expresar como
resta de vs y vr . En cambio, no se cumple lo mismo para las corrientes de
entrada. Este hecho nos indica que la realimentación se hace en serie.
•
Sustituimos la resistencia de carga, RL , por un circuito abierto y por un cortocircuito (fijaos en las figuras 29b y 30b). En el primer caso la corriente
de salida es cero y no hay ninguna conexión entre las señales de salida
del amplificador y la red de realimentación. En el segundo caso, en cambio, la corriente que sale del amplificador hace caer una tensión a R1 , y
por tanto ni tensión ni corriente son nulas. Este hecho nos indica que la
realimentación es de corriente.
•
Por tanto, este circuito es un ejemplo de realimentación de corriente en
serie.
3) Para la figura 27c:
•
La corriente de entrada del bloque amplificador, i′i , se puede expresar como
resta de is y ir . En cambio, no se cumple los mismo para las tensiones. Este
hecho nos indica que la realimentación se hace en paralelo.
•
Sustituimos la resistencia de carga, RL , por un circuito abierto y por un
cortocircuito (fijaos en las figuras 29c y 30c). En el primer caso tenemos una
tensión de salida diferente de cero y la corriente que sale del amplificador
operacional produce una tensión a R1 . En el segundo caso, si sustituimos
RL por un cortocircuito, la tensión de salida se anula y la corriente tiende
a pasar por el cortocircuito en lugar de pasar por la red de realimentación.
Este hecho nos indica que la realimentación es de tensión.
•
Por tanto, este circuito es un ejemplo de realimentación de tensión en
paralelo.
Sustituimos la resistencia de
carga, RL , por un
cortocircuito. Si las señales de
entrada a la red de
realimentación se anulan,
podemos decir que el circuito
hace realimentación de
tensión.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
60
4) Para la figura 27d:
•
La corriente de entrada del bloque amplificador, i′i , se puede expresar como
resta de is y ir . En cambio, no se cumple lo mismo para las tensiones. Este
hecho nos indica que la realimentación se hace en paralelo.
•
Sustituimos la resistencia de carga, RL , por un circuito abierto y por un
cortocircuito (fijaos en las figuras 29d y 30d). En el primer caso la salida
del amplificador operacional queda aislada de la red de realimentación. Es
decir, se anulan las señales de entrada al bloque amplificador. En cambio,
en el segundo caso continuamos teniendo tanta tensión como corriente
en el bloque de realimentación que proviene del amplificador operacional.
Este hecho nos indica que la realimentación es de corriente.
•
Por tanto, este circuito es un ejemplo de realimentación de corriente en
paralelo.
En este subapartado hemos visto cuatro configuraciones de circuitos con realimentación que se emplean en la práctica. A continuación veremos un ejemplo
numérico que nos servirá para ilustrar lo que hemos visto hasta ahora.
Ejemplo 3
Para el circuito con realimentación de la figura 31 determinad los puntos siguientes:
1) Tipos de realimentación.
2) Ganancia de la red de realimentación, β.
3) Ganancia total del circuito realimentado, Ar .
Figura 31. Ejemplo de circuito realimentado
+
v’i A = 105
–
68kW
vi +
–
+
RL vo
–
+
2,7kW vr
–
Solución
1) Comencemos por determinar qué tipo de realimentación tenemos. Si miramos la
entrada del circuito, donde está la fuente de entrada podemos ver que la tensión
de entrada al circuito, la tensión de entrada al bloque amplificador y la tensión de
realimentación, vr , están en serie, ya que encontramos la relación siguiente:
vi = vi′ + vr
(123)
Respecto a la salida del circuito, donde encontramos vo , aplicaremos el criterio que
acabamos de ver: sustituir la resistencia de carga por un circuito abierto o un cortocircuito y ver qué efecto tiene esto sobre la señal que entra en el bloque de realimentación.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
61
Vamos a sustituir la resistencia de carga RL por un circuito abierto para comprobar si
tenemos realimentación de corriente. Si hacéis esta operación sobre el circuito de la
figura 31, podéis ver que tenemos una tensión de salida en el circuito y una corriente
que entra a la red de realimentación. Tenemos, por tanto, señal de entrada al bloque
de realimentación.
Ahora sustituimos la resistencia de carga RL por un cortocircuito. En este caso estamos haciendo que la salida del amplificador sea nula, es decir, que la tensión vo , que
es la que entra en el bloque de realimentación, sea nula. ¿Qué sucede con la corriente
de salida? En este caso pasará todo por el cortocircuito.
Así, cuando sustituimos RL por un cortocircuito podemos ver que no hay señales de
entrada al bloque de realimentación, ya que este queda cortocircuitado. Esto nos indica que tenemos realimentación de tensión.
Por tanto, este caso es el de un circuito con realimentación de tensión en serie.
2) Lo siguiente que nos piden es calcular la ganancia de la red de realimentación, β.
Observad que la red de realimentación está formada por las dos resistencias. La tensión de realimentación que se reintroduce al circuito, vr , es la que corresponde a la
resistencia de 2,7 kΩ a lo largo de la rama formada por esta misma resistencia y la de
68 kΩ. Asumimos que no circula corriente adicional por la rama que entra al amplificador operacional y que está entre las dos resistencias.
En una rama de resistencias en serie la tensión de una resistencia es el valor de la tensión total entre los extremos de la rama multiplicada por el valor de esta resistencia
y dividido entre la suma total de resistencias. Es decir:
Vi Ri
vRi = P
i Ri
(124)
Estos tipos de circuitos se denominan divisores de tensión.
Aplicando esta regla a nuestro caso sabemos que la tensión que corresponde a la
resistencia de 2,7 kΩ, que es la tensión de realimentación vr , es:
vr = vo
2,7
2,7 + 68
(125)
Esto lo aplicamos suponiendo que no circula corriente por la rama del amplificador
que se encuentra entre las dos resistencias. La ganancia β se define como la división
de la señal de salida del bloque de realimentación, vr , dividido entre la señal de
entrada en este bloque, vo . Así, el valor de β es el siguiente:
β=
vr
2,7
=
= 0,038
vo
2,7 + 68
(126)
3) Finalmente, nos piden la ganancia total del circuito realimentado. Para calcular esta
ganancia de realimentación, y teniendo en cuenta que Aβ = 105 · 0,038 = 3800 >> 1,
podemos utilizar la expresión 11, que habíamos visto en el subapartado 1.4.
Ar ≃
1
= 26,31
β
(127)
Observad que si utilizáis la expresión sin aplicar esta aproximación el resultado es
muy similar:
Ar =
A
105
= 26,30
=
1 + Aβ 1 + 105 · 0,038
(128)
CC-BY-SA • PID_00170128
62
1.8. Diseño de un amplificador con realimentación
Hasta ahora hemos visto cómo podemos modelizar un circuito con realimentación y qué propiedades nos aporta este tipo de circuitos. Pero ¿qué sucede si
en lugar de analizar un circuito con realimentación lo que queremos es diseñarlo y construirlo? En este subapartado haremos precisamente esto: a partir
de unas especificaciones de partida, veremos qué tipo de realimentación nos
conviene y cómo haremos el diseño del circuito elegido.
Una manera de llevar a cabo la implementación de un circuito con realimentación es seguir el procedimiento que veremos a continuación:
1) En primer lugar, decidiremos qué tipo de realimentación queremos y fijaremos el valor de la ganancia que sea necesaria. Habrá que consultar la tabla 2
para recordar las variables de entrada y salida (tensiones y corrientes) y las
impedancias de entrada y salida para cada tipo de configuración. Debéis tener en cuenta que el valor óptimo de las impedancias dependerá de cada caso
particular y de qué conectemos a la entrada y la salida de nuestro circuito
realimentado.
2) Una vez determinada la configuración, la podemos implementar con componentes electrónicos reales según los diferentes tipos de realimentación presentados en la figura 27, donde se utilizan amplificadores operacionales y resistencias. Podemos incluir dentro de la red de realimentación alguna resistencia variable que nos permita ajustar la ganancia de la red de realimentación β.
3) El paso siguiente consiste en elegir los valores de las resistencias de la red
de realimentación. La combinación de estas resistencias nos debe dar el valor
de β que hemos fijado. Muchas veces veremos que diferentes valores de las resistencias nos dan un mismo valor de β. ¿Cómo elegimos, pues, las resistencias
más oportunas? Seguiremos el criterio siguiente:
a) Para las realimentaciones en serie intentaremos seleccionar valores de resistencias pequeños. De esta manera, conseguiremos que la red de realimentación no introduzca una resistencia grande de entrada porque esto
reduciría la amplitud de la señal de salida. Recordad los circuitos realizados
con componentes reales y con realimentación en serie que hemos visto en
las figuras 27a y 27b. Observad que si en estos circuitos hacemos las resistencias de la red de realimentación pequeñas, entonces un máximo de
tensión vo es reintroducida en la entrada de la etapa amplificadora.
b) Para las realimentaciones en paralelo, en cambio, intentaremos seleccionar
valores de resistencias grandes, ya que en este caso las señales de entrada
son corrientes y debemos intentar no cortocircuitar la entrada de la etapa
amplificadora. Observad las figuras 27c y 27d, en las que los dos circuitos
están realimentados en paralelo, es decir, trabajan con corrientes en la entrada. Si hacemos las resistencias de la red de realimentación grandes, gran
parte de la corriente de entrada ii entra en la etapa amplificadora (i′i ). Si, en
Realimentación y osciladores
CC-BY-SA • PID_00170128
63
cambio, hiciésemos estas resistencias pequeñas (un cortocircuito en el caso
más extremo), toda la corriente marcharía para la rama de realimentación.
c) Para las realimentaciones de tensión el criterio es seleccionar resistencias
grandes para obtener impedancias de salida grandes, ya que esto nos permite medir el máximo de tensión y reintroducirla así al circuito mediante
la red de realimentación. Observad las figuras 27a y 27c. En estos dos casos
tenemos realimentación de tensión. Poniendo valores de resistencias grandes en la red de realimentación conseguimos que un máximo de tensión
caiga en la resistencia de carga RL .
d) Para las realimentaciones de corriente elegiremos valores de resistencia pequeños porque la entrada a la red de realimentación está en serie con la
carga y las resistencias grandes dificultan el paso de corriente hacia a la red
de realimentación. Lo podéis comprobar en las figuras 27b y 27d, que representan dos configuraciones de realimentación de corriente. Si hacemos
pequeños los valores de las resistencias de la red de realimentación, conseguimos hacer pasar un máximo de corriente para este bloque del circuito.
En muchos casos, por ejemplo, si queremos una configuración de realimentación de tensión en serie, veremos que estos criterios se contradicen, ya que,
por un lado, debemos elegir valores de resistencias pequeños porque nos interesa que de la tensión que existe en la entrada la máxima caiga en la entrada del bloque amplificador. Pero, por otro lado, dado que realimentamos el
circuito con una tensión nos interesan resistencias grandes para transferir la
máxima tensión de salida en la entrada de la red de realimentación.
Por ejemplo, queremos configurar un circuito con realimentación de corriente en paralelo. Dado que trabajamos con corrientes en la entrada del circuito
nos interesa una resistencia de entrada muy grande de tal modo que la máxima corriente en la entrada vaya hacia el bloque amplificador. Observad el
caso extremo: si la resistencia de entrada fuese un cortocircuito, estaríamos
cortocircuitando la entrada del bloque amplificador y toda la corriente de la
fuente pasaría por este cortocircuito. Pero, por otro lado, dado que estamos
realimentando el circuito con corriente, nos interesa una resistencia pequeña.
Si esta resistencia fuese muy grande, un circuito abierto en el caso extremo,
no entraría corriente en el bloque de realimentación. En estos casos debemos
llegar a una solución intermedia y encontrar unos valores de resistencias que
nos vayan bien tanto en la entrada como en la salida del bloque de realimentación.
Observad que para los casos de realimentación en serie de corriente (valores
de resistencias bajos tanto en la entrada como en la salida del bloque de realimentación) y realimentación en paralelo de tensión (valores de resistencias
grandes tanto en la entrada como en la salida del bloque de realimentación)
no hay ningún conflicto.
4) El paso siguiente es analizar el circuito para verificar que se cumplen los
requisitos iniciales de diseño. Los valores de la tabla 2 son aproximados y
consideran que las fuentes de señal y el resto de los componentes del circuito
son ideales.
Realimentación y osciladores
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
64
Veamos todas estas consideraciones mediante un ejemplo.
Ejemplo 4
Queremos diseñar un amplificador con realimentación. Disponemos de una fuente de
señal de entrada con una resistencia interna, Rs , de 2 kΩ. La resistencia de carga RL
es de 50 Ω. Queremos que nuestro amplificador realimentado libere en la salida (en la
resistencia de carga RL ) una tensión que sea 10 veces la tensión de la fuente de entrada.
Nos dicen que el bloque amplificador tiene una resistencia de entrada Ri igual a 5 kΩ,
una resistencia de salida Ro igual a 100 Ω y una ganancia en lazo abierto (es decir, sin red
de realimentación) igual a 104 .
A partir de estos datos, diseñad la red de realimentación que nos permita obtener la
ganancia que se pide.
Solución
Dado que nos piden una tensión de salida proporcional a una tensión de entrada utilizaremos un amplificador de tensión. Recordad que vimos los tipos de amplificadores
disponibles según si las señales de entrada y salida son tensiones o corrientes en la tabla 2.
Modelizaremos nuestro circuito realimentado tal como se muestra en la figura 32.
Figura 32
Amplificador
Rs
+
v’i
–
+
vs +
–
Ro
+
–
Ri
vi
RL
+
–
vr
–
+
Av v’i
vo
R1
R2
–
Red de realimentación
Observad que en la etapa amplificadora hemos modelizado nuestro amplificador de
tensión con una resistencia de entrada, Ri , una fuente ideal de tensión que toma la
tensión en la entrada del amplificador y la multiplica por Av y una resistencia de salida Ro .
El amplificador de tensión requiere la configuración de realimentación de tensión en
serie. Observad las recomendaciones que se han hecho en el inicio de este apartado en
referencia al valor de las resistencias de la red de realimentación:
•
Por un lado, la configuración en serie (suma de tensiones en la entrada del circuito)
recomienda valores de resistancias pequeñas. De esta manera, la máxima tensión de
entrada vi va a parar a la entrada del bloque amplificador.
•
Por otro lado, la realimentación de tensión (la señal de salida vo se reintroduce en el
circuito a través del bloque de realimentación) nos recomienda valores de resistencias
grandes.
A causa de estas dos recomendaciones deberemos buscar un valor intermedio para las
resistencias de la red de realimentación.
En el enunciado se señala que se requiere una ganancia total del circuito realimentado
Avr de 10. La expresión 11 nos dice que se puede aproximar la ganancia del circuito
realimentado, Avr , para:
Avr ≃
1
β
(129)
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
65
y de ahí podemos calcular la ganancia β que debe tener la red de realimentación que
estamos buscando:
1
1
=
= 0,1
Avr
10
β=
(130)
De la tabla 2 podemos extraer los valores de las impedancias de entrada y salida del
circuito con realimentación de tensión en serie, que son las siguientes:
Rir = Ri (1 + Av β)
Ror =
Ro
(1 + Av β)
(131)
(132)
En este caso los valores concretos dados por el enunciado son Rir = 5 MΩ y Ror = 0,1 Ω.
En el subapartado 1.7 hemos visto cómo podemos implementar la red de realimentación
para cada uno de los cuatro tipos de realimentación estudiados con resistencias. En la
tabla 4 hemos visto que para el caso de realimentación de tensión en serie podemos
emplear dos resistencias y que la ganancia β se puede expresar como podéis ver en la
línea correspondiente a la realimentación de tensión en serie de la tabla 4:
β=
R2
R1 + R2
(133)
Teniendo en cuenta que la ganancia β debe ser igual a 0,1 llegaremos a la igualdad siguiente:
β=
R2
= 0,1
R1 + R2
(134)
y reordenando la ecuación 134 llegamos a la relación siguiente entre R1 y R2 :
R1 = 9R2
(135)
Acabamos de encontrar cuál es la relación entre R1 y R2 que nos da una ganancia β igual
a 0,1. Vamos a ver qué valores numéricos podemos dar a estas resistencias.
Analicemos la red de realimentación. ¿Qué sucede si elegimos unos valores extremadamente pequeños para R1 y R2 ? Imaginad el caso extremo, R1 y R2 como cortocircuitos.
En este caso no está entrando tensión en el bloque de realimentación y toda la tensión
de salida, vo , recae en la resistencia de carga RL , ya que cuanto más pequeñas son R1 y
R2 , menos tensión habrá en estas. Así, nos interesan valores de resistencias relativamente
grandes.
Pero, por otro lado, si R1 y R2 son muy grandes, pongamos el caso extremo de que
son circuitos abiertos, no caerá tensión en la entrada del bloque amplificador. Así, nos
interesan valores de resistencias relativamente pequeños.
Elegiremos, pues, un valor de R2 que sea inferior a Ri para que caiga más tensión en
la entrada del bloque amplificador. Teniendo en cuenta estas consideraciones, podemos
elegir R2 = 500 kΩ, y por tanto R1 = 4.500 kΩ.
1.9. Resumen del apartado
Acabamos este primer apartado del módulo con un resumen de lo que hemos visto hasta ahora. Hemos comenzado el apartado con el subapartado 1.1,
CC-BY-SA • PID_00170128
66
definiendo qué entendemos por realimentación. A grandes rasgos la realimentación consiste en tomar la señal de salida de un circuito y reintroducirla de
nuevo al circuito.
En los subapartados 1.2 y 1.3 hemos visto que existen dos tipos de realimentación básicos: la realimentación positiva y la realimentación negativa. El tipo
de realimentación depende de si sumamos o restamos la señal de realimentación a la señal de entrada en el circuito.
A continuación, en el subapartado 1.4, hemos analizado con detalle la realimentación negativa y hemos encontrado las ganacias que caracterizan un
circuito con realimentación:
•
la ganancia de la etapa amplificadora o en lazo abierto, A
•
la ganancia global de realimentación, Ar =
•
la ganancia de retorno 1 + Aβ
•
la ganancia de la red de realimentación β
•
la ganancia de lazo Aβ
A
1+Aβ
Aquí hemos visto que existen dos maneras de ver si un circuito tiene realimentación positiva o negativa:
•
Comprobando si la señal de realimentación, xr , se suma o se resta a la señal
•
Inspeccionando la ganancia Ar y comprobando si esta es mayor (realimen-
de entrada al circuito xi .
tación positiva) o más pequeña (realimentación negativa) que la ganancia
de lazo abierto A.
Una vez vistos los conceptos básicos sobre realimentación, en el subapartado 1.5 hemos profundizado en la configuración de los circuitos con realimentación. En particular, hemos supuesto realimentación negativa y hemos visto
que según cómo conectemos la entrada y la salida del bloque amplificador
y de la red de realimentación (que hemos considerado cuadripolos, es decir,
circuitos con dos terminales de entrada y dos terminales de salida), podemos
llegar a una de las configuraciones siguientes posibles:
•
Realimentación de tensión en serie.
•
Realimentación de tensión en paralelo.
•
Realimentación de corriente en serie.
•
Realimentación de corriente en paralelo.
Para cada configuración hemos descrito qué modelo se ha empleado para cada
bloque, la ganancia total del circuito que nos aporta y las impedancias de
entrada y de salida. La utilización de una configuración u otra dependerá del
uso que queramos hacer de ella en cada caso.
Realimentación y osciladores
CC-BY-SA • PID_00170128
67
En el subapartado 1.6 hemos visto algunos efectos, tanto positivos como negativos, que tienen los circuitos con realimentación. Finalmente, hemos acabado el apartado presentando circuitos con realimentación elaborados con
componentes electrónicos reales (en el subapartado 1.7) y proponiendo una
metodología de diseño de un circuito con realimentación a partir de unas
especificaciones (subapartado 1.8).
El apartado siguiente se dedicará a ver el tema de osciladores. A grandes rasgos,
podemos decir que un oscilador es un circuito con realimentación positiva y
que cumple ciertas condiciones.
Realimentación y osciladores
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
68
2. Osciladores
.
En el apartado 1 hemos visto cuáles son los principios de la realimentación y
hemos visto que existen dos tipos básicos de realimentación: la positiva y la
negativa. También hemos visto que bajo unas condiciones específicas un circuito realimentado se puede comportar como un oscilador. ¿Cuáles son estas
condiciones? Recordad la tabla 1. En ella hemos visto que según los valores
de las ganancias A y β nuestro circuito realimentado proporcionará realimentación negativa o positiva. Fijaos en el caso:
Aβ = –1
(136)
Este valor es un caso particular de realimentación positiva (ya que Aβ < 0) y
nos da la ganancia siguiente del circuito realimentado:
Ar =
A
=∞
1 + Aβ
(137)
Esta es la condición que debe cumplir un circuito realimentado para comportarse como un oscilador.
.
Un oscilador es un caso particular de tipo de realimentación positiva.
La condición que se debe cumplir es que la ganancia de lazo, Aβ sea
igual a –1. Esto nos da una ganancia del circuito realimentado Ar = ∞.
Recordad que A es la ganancia del bloque amplificador sin realimentar
y β es la ganancia de la red de realimentación.
En este apartado entraremos en detalle en el concepto de oscilador y veremos
algunas aplicaciones. A continuación, estudiaremos un modelo de este tipo de
circuitos y veremos diferentes implementaciones prácticas. Finalizaremos con
el estudio del oscilador de cristal de cuarzo, por ser uno de los que se utiliza
muy a menudo en la práctica.
En particular, veremos los puntos siguientes:
•
Veremos qué es un oscilador y para qué sirve. Veremos la condición de
Barkhausen, que es una condición que se debe cumplir en los circuitos
osciladores.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
69
•
Veremos un modelo genérico de oscilador que nos permitirá estudiar su
•
Analizaremos algunos de los circuitos osciladores más habituales, como los
•
Veremos los osciladores de cristal de cuarzo, que se usan cuando necesita-
funcionamiento.
osciladores LC y RC.
mos más precisión que la que nos proporcionan los osciladores LC y RC.
2.1. Concepto de oscilador
Un oscilador es un circuito que genera una señal periódica a partir de una señal continua de entrada, es decir, actúa como conversor de señal continua en
señal alterna. Las formas de onda generadas pueden ser sinusoidales, cuadradas, triangulares, etc. Así, la señal de salida de un oscilador queda caracterizada
por una amplitud, una frecuencia y una forma de onda.
¿Qué aplicaciones tiene un oscilador en el campo de la electrónica? Los receptores de televisión, por ejemplo, utilizan osciladores que generan señales
periódicas triangulares para hacer una selección de las imágenes. Los ordenadores, por otro lado, utilizan osciladores de onda cuadrada para generar
señales de sincronización. Otra aplicación de los osciladores es la generación
de señales de reloj que se pueden aplicar, por ejemplo, en la implementación
de relojes que utilizamos en la vida cotidiana o para sincronizar señales en
sistemas electrónicos más complejos.
Como hemos visto en el apartado 1, los osciladores utilizan el principio de
realimentación positiva para generar las señales periódicas de salida. La ganancia del circuito realimentado, Ar , tal como lo hemos expresado en la ecuación 9, es:
Ar =
A
1 + Aβ
(138)
Cuando la ganancia de lazo, Aβ, es menor que cero, tenemos realimentación
positiva, ya que la ganancia del circuito realimentado, Ar , es mayor que la
ganancia del circuito sin realimentar, A. Existe un caso particular de la realimentación positiva: ¿qué sucede cuando la ganancia de lazo es la siguiente?
Aβ = –1
(139)
Pues que Ar , la ganancia de realimentación vista en la ecuación 138, es matematicamenté infinita. Este hecho nos permite tomar una pequeña perturbación o pequeña señal en la entrada del circuito y hacerla crecer hasta que se
estabiliza, tal como podéis ver en la figura 33. ¿Por qué hablamos de una pequeña perturbación en la entrada? Fijaos en que hemos dicho que la ganancia
Realimentación y
osciladores
Recordad lo que hemos visto
en el subapartado 1.4. Aquí
apuntamos que un oscilador
es un caso particular de
circuito con realimentación
positiva. En efecto, la
realimentación positiva se da
cuando la ganancia de lazo,
Aβ es menor que cero. Un
circuito realimentado se
comporta como oscilador
cuando la ganancia de lazo,
Aβ, es igual a –1. Recordad
la tabla 1.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
70
de realimentación en este tipo de circuitos es infinita. Para hacer funcionar
un circuito oscilador, debemos aplicar una señal de entrada. Observad la figura 33. El circuito oscilador comienza a responder a la señal de entrada y
proporciona una señal de salida que comienza a crecer en amplitud. Si mantuviésemos la señal de entrada, la señal de salida crecería hasta el infinito. Una
vez alcanzada una determinada amplitud, podemos dejar de aplicar la señal
de entrada y la salida se mantiene estable.
Figura 33. Señal de salida generada por un oscilador
Figura 33
10,0
Transitorio
8,0
Un circuito oscilador puede
generar una señal periódica
estable a partir de un impulso
finito de entrada. La salida
del oscilador comienza
siendo nula y crece hasta
alcanzar una determinada
amplitud de salida.
Oscilador de estabilidad
6,0
4,0
2,0
0,0
-2,0
-4,0
-6,0
-8,0
38,0
36,0
34,0
32,0
30,0
28,0
26,0
24,0
22,0
20,0
18,0
16,0
14,0
12,0
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
-10,0
Según el rango de frecuencias generadas por el oscilador los podemos clasificar
en los grupos siguientes:
•
Generadores de baja frecuencia: son aquellos que proporcionan señales
entre 1 Hz y 100 kHz. El espectro de frecuencias audibles –entre 20 Hz
y 20 kHz– se encontraría dentro de este grupo. Este tipo de osciladores se
suelen implementar con circuitos RC, como veremos en el subapartado 2.3.
•
Generadores de alta frecuencia: proporcionan señales por encima de los
100 kHz y se utilizan habitualmente para sintonizar frecuencias de radio.
Circuitos RC
Un circuito RC es un circuito
eléctrico que está formado
por resistencias y
condensadores. Este tipo de
circuito se caracteriza por
proporcionar una respuesta
transitoria exponencial del
–t
tipo e RC .
Las configuraciones más habituales para estos generadores de alta frecuencia son los circuitos LC y los osciladores de cristal.
Circuitos LC
Un circuito LC es un circuito eléctrico que está formado por bobinas y condensadores.
Este tipo de circuito se caracteriza por que existe una frecuencia, que se denomina fre1
√
cuencia de resonancia, igual a f =
, que proporciona un máximo de la señal de
2π LC
sálida.
2.2. Modelo de oscilador
Acabamos de ver cuáles son los principios básicos de un oscilador. En este
subapartado veremos cómo podemos modelizar este tipo de circuitos. En la
Véase también
Podéis consultar el anexo
para más información sobre
los circuitos RC.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
71
figura 34 podéis ver un modelo genérico de oscilador. Está compuesto por las
partes siguientes:
•
Un circuito amplificador de la señal. Este bloque está formado normalmente por componentes electrónicos activos, como son amplificadores
operacionales y transistores. En este apartado consideraremos este bloque
como una caja negra que proporciona una ganancia A determinada.
•
Véase también
Los amplificadores
operacionales y los
transistores se estudian en los
módulos “El amplificador
operacional” y “El transistor”.
Un circuito de realimentación. Está formado normalmente por elementos pasivos, como bobinas, resistencias, condensadores o cristales, como
veremos en los subapartados 2.3 y 2.4.
Figura 34. Modelo genérico de oscilador con realimentación positiva
Figura 34
v’i
+
+
vi
t
Amplificador
A
vo
vr
t
Realimentación
β
Observad que las partes de nuestro circuito con realimentación son las que ya
hemos visto en el apartado 1 de este módulo. Ahora, sin embargo, como indica
el signo positivo del bloque comparador en la figura 34, estamos considerando
que la realimentación es positiva.
Veamos ahora cómo funciona un oscilador, desde que se introduce la señal de
entrada hasta que obtenemos la respuesta del circuito en forma de onda.
Considerad que las ganancias que caracterizan los bloques amplificador y de
realimentación son A y β, respectivamente.
En t = 0 introducimos una señal de entrada continua denominada vi . La señal
de salida es vo = Avi . A continuación la señal de salida llega al bloque de
realimentación, y por tanto vr = βvo .
Fijaos en las señales vi y vr . La señal de entrada en la etapa amplificadora es
vi′ = vi + vo . Las señales vi y vo se suman porque estamos considerando el caso
de realimentación positiva. Si ahora hacemos que vr sea igual a la señal inicial
de entrada vi , podemos dejar de aplicar la señal de entrada vi , ya que vr está actuando como señal de entrada. Esto significa que podemos generar una señal
de salida indefinida únicamente a partir de una señal de duración limitada en
tiempo en la entrada. Es decir, podemos elegir la fuente de señal vi y el circuito
continúa proporcionando señal de salida. ¿De dónde sale la energía necesaria
para proporcionar señal de salida si no tenemos señal de entrada? Pues sale de
los elementos activos de la etapa amplificadora, amplificadores y transistores.
El circuito oscilador genera
una señal estable a partir de
una pequeña perturbación de
entrada.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
72
Continuemos analizando el circuito oscilador. Si igualamos las señales vi y vr ,
obtenemos lo siguiente:
vr = vi
(140)
Sabemos que la tensión que proviene del bloque de realimentación, vr , es la
tensión que hay en la entrada de este bloque, vo , multiplicada por la ganancia
β. Sustituimos esta tensión vr en la expresión 140 y llegamos a:
β vo = vi
(141)
Pero la señal de salida, vo , es igual a la señal de entrada en la etapa amplificadora multiplicada por la ganancia A. Si en este momento suponemos que la
señal de entrada es únicamente la señal de realimentación vr , entonces:
vo = Avr
(142)
Y si ahora sustituimos en la expresión 141 obtenemos lo siguiente:
Aβvi = vi
(143)
A partir de aquí llegamos a la condición siguiente para que el circuito pueda continuar funcionando únicamente a partir de la señal que proviene del
bloque de realimentación:
Aβ = 1
(144)
.
El producto Aβ, como vimos en el subapartado 1.4, se denomina ganancia de lazo, y cuando este factor es igual a 1 se produce oscilación.
Esta condición se denomina criterio de Barkhausen y da lugar a las
dos condiciones siguientes:
•
El ángulo de desfase entre las señales de entrada y salida en el bloque de realimentación debe ser cero, es decir, la parte imaginaria
de la expresión Aβ debe ser igual a cero. Esto es equivalente a decir
que las señales de entrada y de salida de la red de realimentación
deben estar en fase. Observad que esta condición se aplica al bloque
de realimentación. Las señales de entrada y de salida del circuito
realimentado pueden o no estar en fase.
∠Aβ = 0
•
(145)
El módulo de la ganancia de lazo, Aβ, debe ser igual a 1.
kAβk = 1
(146)
Observación
Observad que en la
ecuación 139 hemos
establecido la condición de
oscilación como Aβ = –1. Esto
es porque la ganancia Ar de
la ecuación 138 está
calculada para el caso de
realimentación negativa. Si
hacemos los cálculos de Ar
considerando realimentación
positiva, llegaremos a
A
Ar = 1–A
y de ahí obtenemos
β
la condición Aβ = 1.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
73
¿Qué sucede si no se cumple esta condición? Fijaos en la figura 35. Imaginad
que tenemos una señal de salida sinusoidal y que de repente cambiamos la
ganancia de lazo Aβ y la hacemos menor que 1. Esta situación está representada en la figura 35a. Esto significa que cada vez que la señal de salida vuelva
a la entrada la estaremos multiplicando por un factor menor que 1. Según
vaya pasando el tiempo, nuestra señal sinusoidal se irá desvaneciendo. Esto
sucede porque estamos trabajando con sistemas dinámicos que proporcionan
una respuesta transitoria seguida de la respuesta en régimen permanente. Si
estuviésemos trabajando con sistemas estáticos, la respuesta del circuito sería
directamente la señal de entrada multiplicada por la ganancia de realimentación Ar .
Figura 35. Efectos del factor Aβ sobre la oscilación
20,0
18,0
16,0
14,0
12,0
20,0
20,0
10,0
18,0
18,0
8,0
16,0
16,0
6,0
14,0
14,0
0,0
12,0
-6,0
12,0
-6,0
10,0
-4,0
10,0
-4,0
8,0
-2,0
8,0
-2,0
6,0
0,0
6,0
0,0
4,0
2,0
4,0
2,0
2,0
4,0
2,0
4,0
0,0
Ab > 1
6,0
4,0
b)
Ab < 1
6,0
2,0
a)
c)
Ab = 1
6,0
4,0
2,0
0,0
-2,0
-6,0
0,0
-4,0
Si, por el contrario, esta ganancia Aβ es mayor que 1 (figura 35b), tendremos
el efecto contrario y la señal tenderá a incrementar su amplitud indefinidamente, ya que cada vez que se reintroduce la señal en el circuito este tiene
una amplitud mayor. En el caso de que la ganancia de lazo Aβ sea igual a 1
(figura 35c), la señal de salida se mantiene estable.
En la práctica, y a causa de diferentes efectos, tanto ambientales como de los
propios componentes electrónicos, es muy dificil hacer que el producto Aβ
sea exactamente igual a 1. Lo que se recomienda normalmente es que Aβ sea
ligeramente superior a 1. Esto nos asegura que la señal de salida se generará
Figura 35
Si el valor de Aβ es menor
que 1, la amplitud de la
oscilación tiende a
desvanecerse. Si el factor Aβ
es mayor que 1, la amplitud
de la oscilación tiende a
crecer. Con un valor de Aβ
igual a 1 conseguimos que la
oscilación sea estable.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
74
inicialmente y que no se irá desvaneciendo con el tiempo, ya que Aβ > 1. Para
asegurar que la señal generada no crezca indefinidamente, se pueden utilizar
etapas adicionales que limiten la señal de salida. Estas etapas adicionales se
denominan circuitos limitadores. Nosotros en este módulo consideraremos que
la condición de oscilación se da para el valor exacto Aβ = 1.
Una vez conocida la condición que se debe dar para obtener una señal periódica en la salida de un oscilador, en el subapartado siguiente estudiaremos
diferentes maneras de implementar un circuito oscilador y revisaremos que
esta condición se cumple.
2.3. Análisis de los circuitos osciladores
En este subapartado se presentan diferentes tipos de osciladores utilizados en
la práctica. Analizaremos cada uno de los casos y veremos cómo cumplir la
condición de Barkhausen y los parámetros más relevantes para cada uno. Comenzaremos por los osciladores más sencillos, los formados por bobinas y
condensadores, y llegaremos hasta un tipo de oscilador muy utilizado en la
práctica: el oscilador de cristal de cuarzo.
2.3.1. Osciladores LC
El primer tipo de oscilador que veremos son los de tipo LC. Los osciladores están formados por una etapa amplificadora y una red de realimentación, como
hemos visto al inicio de este apartado. Para la etapa amplificadora se utilizan
normalmente amplificadores operacionales y transistores. Respecto a la red de
realimentación, utilizaremos bobinas y condensadores, como veremos en los
subapartados 2.3.2 y 2.3.3.
Antes de comenzar con el análisis de osciladores LC, recordemos brevemente
cómo funcionan las bobinas y los condensadores:
1) Una bobina es un componente eléctrico que es capaz de almacenar energía
en forma de campo magnético. La bobina se carga cuando aumenta la corriente eléctrica que la atraviesa, mientras que se descarga devolviendo la energía
almacenada al circuito cuando la corriente disminuye. La impedancia de una
bobina recibe el nomnre de reactancia inductiva, XL , y su valor es:
.
XL = jωL
(147)
donde j es la unidad imaginaria y ω, la frecuencia de trabajo. Considerando,
según la ley de Ohm, que podemos expresar una tensión como producto de
Véase también
Podéis encontrar información
complementaria sobre
bobinas y condensadores en
el anexo de esta asignatura.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
75
corriente por impedancia, podemos obtener la tensión en los extremos de la
bobina de la manera siguiente:
V = XL · I = jωLI
(148)
Fijaos en que aparece el término j en el cálculo de la tensión. Esto significa
que la tensión medida en los extremos de la bobina está avanzada 90 grados
respecto a la corriente que la atraviesa.
¿Qué sucede cuando le aplicamos una corriente continua, es decir, cuando el
término jω es nulo porque la frecuencia de la señal, ω, es cero? En este caso
no hay variación de corriente y la impedancia de la bobina XL = jωL es igual
a cero cuando ω es cero. Entonces la tensión de salida es también cero y la
bobina se comporta como un cortocircuito.
2) Un condensador es un dispositivo en el que almacenamos energía eléctrica. El condensador se carga cuando aumenta la diferencia de potencial entre
sus extremos y se descarga cuando esta diferencia de potencial disminuye. La
impedancia de un condensador recibe el nombre de reactancia capacitiva y
su valor es:
.
XC =
1
jωC
(149)
donde j es la unidad imaginaria y ω, la frecuencia de trabajo. Aplicaremos,
com lo hemos hecho antes para el caso de la bobina, la ley de Ohm, y obtenemos la expresión siguiente para calcular la tensión en los extremos del
condensador:
V = XC · I =
1
I
jωC
(150)
Aislando la corriente medida en los extremos del condensador encontramos
la expresión siguiente para la corriente que atraviesa un condensador:
I = jωCV
(151)
es decir, la corriente que atraviesa el condensador está multiplicada por el
factor jω y, por tanto, avanzada 90 grados respecto a la tensión aplicada entre
sus extremos. Cuando aplicamos una señal constante en un condensador, es
decir, una señal con ω = 0, la impedancia se vuelve infinita y el condensador
se comporta como un circuito abierto.
Una vez repasadas las bobinas y los condensadores, pasemos a ver cómo podemos utilizar estos dos elementos para construir un oscilador de tipo LC.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
76
El oscilador ideal LC
Fijaos en la figura 36. Este circuito está formado por un bobina, un condensador, una fuente de tensión y un interruptor. Analicemos ahora cómo se comporta este circuito LC.
Figura 36. Oscilador LC
Figura 36
b)
a)
V
+
–
C
L
V
+
–
C
L
Inicialmente, como podéis ver en la parte a de la figura 36, conectamos una
fuente de alimentación continua al condensador. El condensador se va cargando hasta llegar a una tensión máxima V, que es la misma que nos da la
fuente de alimentación. El circuito se quedará en esta situación de estabilidad
hasta el momento en el que movemos el interruptor y conectamos el condensador con la bobina, por lo que queda la fuente de alimentación desconectada.
Ahora tenemos un lazo formado únicamente por el condensador y la bobina,
como podéis ver en la parte b de la figura 36.
La bobina, que está inicialmente descargada, se va cargando mediante el condensador, que ha ido acumulando energía mientras estaba conectado a la
fuente de alimentación. Ahora encontramos la bobina totalmente cargada y
el condensador descargado; por tanto, ahora es la bobina la que se descarga y
transfiere así su energía al condensador, y así sucesivamente.
.
Fijaos en que hemos conseguido generar una señal oscilante sin necesidad de mantener la fuente de alimentación conectada. La utilidad de
la fuente de tensión es la de proporcionar una tensión inicial al condensador. Una vez conseguida, esta energía se mantiene pasando de la
bobina al condensador y del condensador a la bobina indefinidamente.
Este, sin embargo, es el caso de un circuito ideal. En la práctica, sabemos que
las bobinas y los condensadores no son ideales y que disipan energía a medida que pasa el tiempo. Como veremos más adelante, los osciladores reales
incluyen elementos activos, como transistores, que son los elementos que proporcionan esta energía.
Ahora veremos cómo son las señales de entrada y salida en este oscilador.
Los podéis ver en la figura 37. En la parte superior (figura 37a) se representa
la señal de entrada, que es un impulso de tensión de duración finita y que
El oscilador LC está formado
por una fuente de tensión
que nos da la energía inicial
para poder poner en marcha
el oscilador, un condensador
y una bobina.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
77
sirve para cargar el condensador. Fijaos en que mientras hay señal de entrada (figura 37a) el condensador se va cargando según una curva exponencial
(figura 37b).
Figura 37. Señales generadas por el oscilador LC: tensión de entrada,
tensión en el condensador y corriente en la bobina
En un circuito oscilador de
tipo LC aplicamos una señal
de entrada de duración finita
y se generan, tanto en el
condensador como en la
bobina, señales sinusoidales
estables.
a)
1,2
vi
0,8
0,4
0
-0,4
18,0
16,0
14,0
12,0
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
-0,8
-1,2
b)
1,2
Vc
0,8
0,4
0
-0,4
18,0
16,0
14,0
12,0
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
-0,8
-1,2
c)
1,2
IL
0,8
0,4
0
-0,4
18,0
16,0
14,0
12,0
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
-0,8
-1,2
Figura 37
Una vez alcanzada la tensión que proporciona la fuente, podemos considerar
que el condensador está cargado. En el momento en el que desconectamos la
fuente de tensión mediante el interruptor y hacemos la conexión entre el condensador y la bobina, el circuito comienza a oscilar. Fijaos en la figura 37c. La
bobina está inicialmente descargada y la corriente que la atraviesa, IL , es nula.
Una vez conectamos el condensador y desconectamos la fuente de tensión
(momento en el que hacemos cero la señal vi ) comienza a circular corriente
por ella. Fijaos en la tensión VC y la corriente IL que circulan por el circuito
LC. Cuando la tensión VC es máxima, la corriente IL es cero y de la misma ma-
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
78
nera los máximos de la corriente coinciden con los ceros de tensión. ¿A qué
se debe este hecho? Pues al hecho de que corriente y tensión están desfasadas
90 grados.
Ahora ya sabemos cómo podemos construir un oscilador LC ideal a partir de
un condensador y de una bobina, pero ¿qué valores de L y C debemos elegir?
¿Y cómo afectarán estos valores al parámetro más importante de un oscilador, que es la frecuencia de oscilación? Recordad que lo que nos interesa
de este tipo de circuito es generar una señal periódica con una determinada
frecuencia.
Revisad las expresiones que hemos visto para las impedancias de la bobina
(ecuación 147) y el condensador (ecuación 149). Estas impedancias o reactancias dependen de la frecuencia angular ω. La impedancia de la bobina es la
siguiente:
XL = jωL
(152)
La impedancia del condensador es la siguiente:
XC =
1
jωC
(153)
Independientemente de los valores de L y C hay una frecuencia angular ω que
hace que las impedancias sean iguales y se produzca una máxima transferencia
de energía entre la bobina y el condensador. Cuando esto sucede se da el
fenómeno de la resonancia.
.
La frecuencia de resonancia provoca que la amplitud de la señal de salida sea máxima. En osciladores LC esto sucede cuando las impedancias
de la bobina y del condensador son iguales.
Para calcular cuál es esta frecuencia, haremos iguales los valores absolutos de
las impedancias de la bobina y del condensador. De esta manera, obtenemos
lo siguiente:
kXL k = kXC k
(154)
Ahora sustituimos los valores de estas impedancias y las igualamos. En este
caso obtenemos la ecuación siguiente:
kjωLk = k
1
k
jωC
(155)
Impedancia, resistencia y
reactancia
Recordad que en términos
genéricos una impedancia es
un número complejo
formado por una parte real (
resistencia) y por una parte
imaginaria reactancia. En el
caso de bobinas y
condensadores, la
impedancia tiene únicamente
parte imaginaria. Por esta
razón, podemos hablar
indistintamente de
impedancia o reactancia de
bobinas y condensadores.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
79
El valor j representa el valor unitario del eje imaginario de la impedancia. Al
trabajar con módulos, y dado que solo tenemos este componente imaginario
sin parte real, llegamos a la igualdad siguiente:
ωL =
1
ωC
(156)
Ahora debemos aislar la frecuencia angular ω de la manera siguiente:
ω2 =
1
LC
(157)
Y llegamos a la expresión siguiente:
ω=
r
1
LC
(158)
Teniendo en cuenta que la relación entre la frecuencia lineal f y la frecuencia
angular ω es la siguiente:
ω = 2πf
(159)
.
Podemos calcular la frecuencia de oscilación de un oscilador LC ideal
como sigue:
f =
1
√
2π LC
(160)
Como hemos indicado al principio de este subapartado, en la práctica las bo-
Véase también
binas y los condensadores no son ideales, y por tanto no pueden mantener la
señal de salida indefinidamente. A continuación veremos dos tipos de osciladores que incluyen elementos activos: el oscilador de Hartley y el oscilador de
Colpitts. En particular estos osciladores utilizan transistores.
Oscilador de Hartley
El oscilador de Hartley es un oscilador con una red de realimentación de tipo
LC. Lo podéis ver en la figura 38. La etapa amplificadora, señalada en la figura con este nombre, está formada por un dispositivo denominado transistor
bipolar. En este subapartado consideraremos este dispositivo como lo hemos
hecho hasta ahora, es decir, como un dispositivo que proporciona una ganancia A.
Los transistores los veremos
con detalle en el módulo “El
transistor” de esta asignatura.
Para este módulo observad
cómo está hecha la red de
realimentación y cómo
podemos calcular la
frecuencia de salida de la
señal generada.
Véase también
En el módulo “El transistor”
estudiaréis con más detalle
los transistores bipolares.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
80
Figura 38. Oscilador LC de Hartley
Etapa
amplificadora
Red de
realimentación
Figura 38
El oscilador de Hartley tiene
como etapa amplificadora un
transistor bipolar y como red
de realimentación una
bobina y un condensador.
C
L variable
La red de realimentación, también señalada en la figura con este nombre, está compuesta por un condensador y una bobina con un valor que se puede
modificar. Modificando el valor de esta bobina podemos ajustar la frecuencia
de salida. Observad que la red de realimentación contiene una bobina y un
condensador, como en el caso del oscilador LC que hemos visto en el subapartado 2.3.1. Por el mismo razonamiento que hemos hecho ahí, la frecuencia
de oscilación estará determinada por la misma expresión que ya hemos visto
(ecuación 160).
.
La frecuencia de oscilación del oscilador de Hartley es:
f =
1
√
2π LC
(161)
En este caso, la inductancia L es un parámetro que podemos variar para conseguir una determinada frecuencia de oscilación. En el caso del
oscilador LC esta frecuencia era fija una vez elegidos los componentes.
El oscilador de Hartley se utiliza para generar señales en altas frecuencias.
Oscilador de Colpitts
En este subapartado estudiaremos otro oscilador que, como en el caso del oscilador de Hartley que acabamos de ver, está formado por un transistor bipolar
como etapa amplificadora y bobinas y condensadores como red de realimentación.
El oscilador de Colpitts, tal como podéis ver en la figura 39, es similar al oscilador de Hartley. En este caso, sin embargo, la bobina tiene un valor constante
(en el oscilador de Hartley la bobina es variable) y se utiliza un divisor de ten-
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
81
sión formado por las capacidades C1 y C2 (en el oscilador de Hartley hay una
única capacidad, C, constante).
Figura 39. Oscilador LC de Colpitts
Etapa
amplificadora
Figura 39
El oscilador de Colpitts tiene
como etapa amplificadora un
transistor bipolar y como red
de realimentación una
bobina y dos condensadores.
Red de
realimentación
C1
L
C2
Este oscilador se utiliza para generar frecuencias por encima de 1 MHz y es
más estable, es decir, nos da unas frecuencias más concretas que el oscilador
de Hartley para frecuencias por encima de los 30 MHz.
.
La frecuencia de oscilación, como hemos visto para los osciladores LC
ideales y de Hartley, también es en este caso:
f =
1
√
2π LC
(162)
pero ahora la capacidad para considerar está determinada por la asociación en serie de C1 y C2 , es decir
C=
C1 C2
C1 + C2
(163)
En este subapartado hemos estudiado el oscilador ideal LC y hemos visto cómo podemos utilizar este circuito como red de realimentación para construir
los osciladores de Hartley y de Colpitts. Hemos visto que este tipo de osciladores se utiliza para generar frecuencias altas.
En los subapartados 2.3.2 y 2.3.3 veremos una segunda familia de osciladores,
los que incluyen en la red de realimentación resistencias y condensadores.
Por esta razón, este tipo de osciladores se denominan osciladores de tipo RC y
se utilizan, en general, para obtener señales de frecuencias bajas.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
82
2.3.2. Oscilador RC por desplazamiento de fase
En este subapartado veremos el primero de los dos osciladores de tipo RC más
ampliamente utilizados. En la figura 40 se muestra el diagrama de bloques del
oscilador denominado RC por desplazamiento de fase. Como podéis observar, el circuito consta de un bloque amplificador con ganancia A y una red
de realimentación formada por resistencias y condensadores. Consideraremos
la ganancia A como una constante que caracteriza el bloque amplificador. A
continuación, vamos a calcular cuál es la ganancia β que introduce la red de
realimentación. Esta ganancia es la relación entre la tensión de salida y la
tensión de entrada a la red de realimentación, es decir:
β=
vr
vi
(164)
Recordad que una ganancia siempre es la relación entre la señal de salida
dividida entre la señal de entrada y que en este caso vo y vr son las tensiones
de entrada y salida, respectivamente, de este bloque.
Figura 40. Oscilador RC para desplazamiento de fase
vr
C
R
vo
Amplificador
A
C
i3
R
C
i2
R
i1
Red de
realimentación
β
Para analizar la red de realimentación, utilizaremos la ley de Kirchhoff de las
tensiones, que nos dice que la suma de tensiones en cada malla o lazo cerrado
de la red debe ser cero.
Apliquemos, pues, la ley de Kirchhoff de las tensiones a cada una de las tres
mallas que forman el circuito de realimentación. Observad que la impedancia
del condensador se expresa como ZC . Comencemos por la primera malla, la
que contiene la corriente i1 en la figura 40. Haciendo que la suma de tensiones
a lo largo de la malla sea cero llegamos a la expresión siguiente:
i1 ZC + (i1 – i2 )R – vo = 0
(165)
Fijaos en que vo es la tensión de salida del circuito y también es la tensión
que corresponde al conjunto resistencia-condensador de esta primera malla.
Véase también
En el anexo de esta
asignatura podéis encontrar
más información sobre las
leyes de Kirchhoff.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
83
Aplicamos ahora la ley de Kirchhoff de tensiones a la segunda malla, la que
contiene i2 , y llegamos a:
(i2 – i1 )R + i2 ZC + R(i2 – i3 ) = 0
(166)
Si hacemos lo mismo para la tercera malla, llegamos a la ecuación siguiente:
R(i3 – i2 ) + i3 ZC + i3 R = 0
(167)
Podemos poner estas ecuaciones en forma matricial para poder resolver el
sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas por el método de Cramer:
2
6ZC + R
6
6
6
6 –R
6
4
–R
0
7 6 i1
76
76
76
–R 7 6 i2
76
54
2R + ZC
0
32
–R
ZC + R
i3
3
2
3
7 6 vo 7
7 6
7
7 6
7
7=6
7
7 6 0 7
7 6
7
5 4
5
(168)
0
en la etapa amplificadora y, si os fijáis en la figura 40, es también la tensión
que corresponde a la resistencia R que se encuentra en la salida de la red de
realimentación, y esta tensión es:
(169)
Por tanto, para encontrar vr deberíamos encontrar primero la corriente i3 . Si
partimos de la expresión 168 y aplicamos la regla de Cramer, podemos deducir
este valor de la manera siguiente:
i3 = ˛˛
˛
˛
˛
˛ ZC + R
˛
˛
˛
˛ –R
˛
˛
˛
˛
0
˛
˛ ZC + R
˛
˛
˛
˛ –R
˛
˛
˛
˛
0
–R
ZC + 2R
–R
–R
ZC + 2R
–R
˛
˛
˛
vo ˛
˛
˛
˛
0 ˛
˛
˛
˛
0 ˛
v R2
o
˛ =
˛ (ZC + R)[(ZC + 2R)2 – R2 ] – R2 (ZC + 2R)
˛
0
˛
˛
˛
˛
–R
˛
˛
˛
˛
ZC + 2R ˛
(170)
Y ahora ya podemos encontrar la tensión de realimentación vr a partir de la
corriente i3 según la expresión 169:
vr = i3 R =
vo R3
(ZC + R)[(ZC + 2R)2 – R2 ] – R2 (ZC + 2R)
(171)
Si ahora hacemos β = vr /vo llegamos a la expresión siguiente:
β=
R3
ZC3 + 5ZC2 + 6ZC R2 + R3
La regla de Cramer nos
permite encontrar la solución
de un sistema lineal de
ecuaciones utilizando
determinantes. La incógnita
xj se calcula como la división
de los determinantes de las
matrices Aj y A, es decir,
kA k
La tensión de salida del bloque de realimentación, vr , es la tensión que entra
vr = i3 R
Método o regla de
Cramer
(172)
j
xj = kAk
. A es la matriz de
coeficientes de las incógnitas
y Aj es la misma matriz, pero
ahora hemos sustituido la
columna j por el vector de
términos independientes.
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Realimentación y osciladores
84
Ya tenemos calculada la ganancia β de la red de realimentación. La ganancia
de la etapa amplificadora es A, como podéis ver en la figura 40.
Vamos ahora a aplicar el criterio de Barkhausen para que nuestro circuito
realimentado se comporte como un oscilador. Hemos visto este criterio en el
subapartado 2.2, y nos dice que para que el circuito con realimentación se
comporte como un oscilador la ganancia de lazo, Aβ, debe ser igual a 1.
.
Esta restricción incluye las dos condiciones siguientes:
•
El ángulo de la ganancia de lazo, Aβ, debe ser nulo. Esto significa
•
El módulo de la ganancia de lazo, kAβk, debe ser igual a 1.
que la parte imaginaria de este producto, Aβ, debe ser cero.
Vamos, pues, a aplicar estas condiciones a la ganancia de retorno. Supondremos aquí que A es un valor real y constante. La ganancia β la hemos encontrado mediante la expresión 172. La ganancia de lazo, producto Aβ, la podemos
expresar como sigue:
Aβ =
ZC3
+
5ZC2
AR3
+ 6ZC R2 + R3
(173)
La parte imaginaria de esta expresión es la que incluye términos en jω. Los
nombres reales (aquí los términos que dependen únicamente de la resistencia
R o la ganancia A) no tienen parte imaginaria. Los términos que dependen de
ZC2 tampoco tienen parte imaginaria, ya que j2 = –1. Por tanto, únicamente
tienen parte imaginaria los términos que dependen de ZC (recordad que la
impedancia de un condensador se expresa como ZC =
1
jωC ,
como hemos visto
en la ecuación 149) o de ZC elevado a un exponente impar (como ZC3 ).
Figura 41. Ejemplo de número complejo
Im(j)
A+jB
B
Re
A
Figura 41
Los números complejos
tienen la forma A + jB y están
formados por una parte real y
una parte imaginaria. La
parte real corresponde a la
proyección del número
complejo sobre el eje real, la
parte imaginaria corresponde
a la proyección del número
complejo sobre el eje
imaginario y va siempre
acompañada del término j.
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Realimentación y osciladores
85
1) Queremos que la parte imaginaria de la ecuación 173 sea cero, es decir:
Suma de números
complejos
"
AR3
Im
ZC3 + 5ZC2 R + 6ZC R2 + R3
#
=0
(174)
Teniendo en cuenta que solo los términos en Zc y en Zc3 contribuyen a la parte
imaginaria, esta ecuación se puede simplificar y queda así:
Im[ZC3 + 6ZC R2 ] = 0
(175)
La suma de dos números
complejos es otro número
complejo con parte real igual
a la suma de las partes reales
de los números complejos
por sumar y con parte
imaginaria igual a la suma de
las partes imaginarias de los
nombres complejos por
sumar. Es decir, la suma de
A + jB y C + jD es
(A + C) + j(B + D).
Sustituyendo ZC por su valor 1/(jωC) llegamos a:
–
1
6R2
+
=0
ω3 C3 ωC
(176)
Reordenando la expresión 176 llegamos a la ecuación siguiente:
Término ZC2
2
1
6R
=
ωC
ω3 C3
(177)
Si ahora invertimos las dos fracciones de la igualdad de la ecuación 177 obtenemos la expresión siguiente:
ω3 C3
ωC
=
1
6R2
(178)
En la expresión 178 podemos simplificar una ω y una C, ya que aparece multiplicando a los dos lados de la igualdad. Llegaremos a la expresión siguiente:
1
ω2 C2
=
1
6R2
(179)
Si aislamos la frecuencia angular ω en esta expresión llegaremos a:
.
ω= √
1
1
=√
2
2
6RC
6R C
(180)
Así, la frecuencia de funcionamiento del oscilador estará determinada por los
valores de la resistencia y el condensador.
2) La segunda parte del criterio de Barkhausen nos dice que el módulo de la
ganancia Aβ debe ser igual a 1, tal como hemos visto en el subapartado 2.2.
Recordad ahora la ecuación de la ganancia de lazo para este circuito (ecuación 173). Con la primera parte del criterio de Barkhausen hemos hecho que
Observad que ZC = j ω1C es un
término imaginario, ya que
únicamente tiene
componente en j ω. El
término ZC2 es igual a j 2 ω12 C 2 .
Recordad √
que j se define
como j = –1; por tanto
j 2 = –1 y ZC2 = – ω21C 2 . Ved
cómo esta última expresión
es real y no depende del
término imaginario j.
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Realimentación y osciladores
86
la parte imaginaria de esta expresión sea cero. Así, en la expresión de la ganancia de lazo solo quedan los términos que son números reales, ya que todo
lo que depende de jω lo hemos hecho cero para cumplir la primera parte del
criterio de Barkhausen. Así, partiendo de la ecuación siguiente (ecuación 173):
Aβ =
ZC3
+
5ZC2
AR3
+ 6ZC R2 + R3
(181)
Y haciendo la parte imaginaria igual a cero, como hemos hecho con la expresión 174:
"
AR3
Im
ZC3 + 5ZC2 R + 6ZC R2 + R3
#
=0
(182)
Nos quedan los términos siguientes, que serán puramente reales:
˛
˛
˛
˛
3
˛
˛ AR
˛=1
˛ 2
3
˛ 5ZC + R ˛
(183)
Sabemos que ZC2 = – ω21C2 . Por tanto, llegamos a la expresión siguiente:
˛
˛
˛
˛
˛–
˛
˛
AR3
˛
˛=1
5
3˛
R
+
R
ω2 C2
(184)
Sustituimos ω por el valor que hemos encontrado en la expresión 180 y obtenemos lo siguiente:
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
AR3
˛=1
5
3˛
R
+
R
˛
1
C2
6R2 C2
(185)
Y operando sobre esta última expresión llegamos a la ecuación siguiente:
˛
˛
˛
˛
AR3
˛
˛
˛
˛=1
3
3
˛ –30R + R ˛
(186)
Aquí podemos simplificar la ecuación eliminando el término R3 y llegamos al
siguiente:
˛
˛
˛ A ˛
˛
˛
˛ –30 + 1 ˛ = 1
(187)
Así, A puede tomar dos posibles valores, 29 y –29, ya que ambos hacen cumplir
el criterio de Barkhausen para el módulo de la ganancia de retorno, que debe
ser igual a 1. Dado que la solución A = –29 introduce un desfase adicional de
180 grados en la solución, nos quedamos con el valor siguiente de A:
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
87
A = 29
(188)
Observad que la ganancia obtenida para el bloque amplificador es una constante y no depende de los elementos pasivos del circuito, es decir, de las resistencias y condensadores. Si como, hemos visto en la figura 35 del subapartado 2.2, el valor de A es más pequeño que 29, el término Aβ será menor que 1 y,
Observación
En términos de números
complejos un número
negativo se puede ver como
un número real positivo
desfasado 180 grados y que
dibujaríamos en la parte
negativa del eje real.
por tanto, la señal de salida tenderá a desvanecerse. Si, en cambio, el valor de
A es mayor que 29, el término Aβ será mayor que 1 y la señal de salida tenderá
a crecer. Es precisamente este valor de ganancia A = 29 el que nos proporciona
una señal de salida sinusoidal estable y con amplitud y frecuencia estables.
2.3.3. Oscilador RC en puente de Wien
Los osciladores RC por desplazamiento de fase son sencillos de implementar y
funcionan fácilmente, pero uno de los problemas más graves que presentan es
el de la estabilidad de la frecuencia de salida. Para aplicaciones que requieran
una precisión mayor en la frecuencia, podemos utilizar el oscilador en puente
de Wien, que incrementa esta estabilidad de la señal de salida. Este oscilador
se utiliza típicamente para aplicaciones de audio y otras aplicaciones de frecuencias medias y bajas hasta 1 MHz. En la figura 42 podéis ver el esquema de
bloques de este oscilador.
Figura 42
Figura 42. Oscilador en puente de Wien
vi
Amplificador
A
+
vr
C
C
vo
R
R
Red de realimentación
Puente de Wien
β
El oscilador en puente de
Wien está formado por una
etapa amplificadora con
ganancia A y una red de
realimentación con ganancia
β, que es un puente de Wien.
Este puente de Wien está
formado por una rama con
un condensador y una
resistencia en serie y otra
rama con un condensador y
una resistencia en paralelo.
Max Wien
Como podéis ver, este oscilador está formado por un amplificador con ganancia A y una red de realimentación formada por una resistencia y un condensador en serie conectadas con otra resistencia y un condensador en paralelo.
Esta red de realimentación también recibe el nombre de puente de Wien porque
fue desarrollada por Max Wien.
Comenzaremos analizando el puente de Wien, que es la parte que aparece
recuadrada en la figura 42 y que actúa como red de realimentación. La ganancia de este bloque, β, es la fracción de señal de salida del bloque amplificador
que se reintroduce en el circuito una vez atravesada la red de realimentación.
Observad que el puente de Wien actúa como un divisor de tensión.
1866-1938. Fue un físico
alemán y director del
Instituto de Física de la
Universidad de Jena. Llevó a
cabo diferentes trabajados
sobre corrientes y
oscilaciones eléctricas. El
puente de Wien data del año
1891.
Véase también
Podéis encontrar información
complementaria de los
divisores de tensión en el
anexo de esta asignatura.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
88
La tensión vr de realimentación es la tensión que hay en el condensador y
en la resistencia que se encuentran en paralelo. La impedancia equivalente de
estos dos elementos en paralelo, Zp , es el producto dividido entre la suma
de las impedancias individuales:
Zp =
RZC
R + ZC
(189)
La impedancia total de la malla es la suma de las impedancias R y C en serie
más la impedancia equivalente de la rama en paralelo, Zp , que acabamos de
encontrar con la expresión 189.
Ztot = R + ZC +
RZC
R + ZC
(190)
La porción de señal de entrada que corresponde a la rama en paralelo (y, por
tanto, la ganancia β que estamos buscando) es la impedancia de esta rama
dividida entre la impedancia total, ya que la malla formada por R, C y Zp es
un divisor de tensión:
β=
RZC
R+ZC
R + ZC +
RZC
R+ZC
(191)
Multiplicando numerador y denominador de esta expresión por R + ZC llegamos a:
β=
RZC
R2 + 3RZC + ZC2
(192)
Dividimos numerador y denominador por el término ZC y llegamos a:
β=
R2
ZC
R
+ 3R + ZC
(193)
Recordad que la impedancia de un condensador es, según la expresión 149:
ZC =
1
jωC
(194)
Sustituimos la expresión de la impedancia del condensador en la ecuación 193
y llegamos a la ecuación siguiente:
β=
R
R2 jωC + 3R +
1
jωC
(195)
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
89
Reordenando la ecuación anterior obtenemos lo siguiente:
R
3R + j(R2 ωC –
β=
1
ωC )
(196)
Por tanto, la ganancia de lazo, Aβ, es:
Aβ =
AR
3R + j(ωR2 C –
1
ωC )
(197)
Aplicamos ahora el criterio de Barkhausen como hemos visto en el subapartado 2.2:
Criterio de Barkhausen
1) Debemos hacer, en primer lugar, que la parte imaginaria de la ganancia de
lazo sea nula:
ωR2 C –
1
=0
ωC
(198)
Recordad que debemos
aplicar el criterio de
Barkhausen, que nos dice que
Aβ debe ser igual a 1 para
conseguir que el circuito con
realimentación se comporte
como un oscilador.
y así encontramos la frecuencia de oscilación del circuito:
ω=
1
RC
(199)
y en términos de frecuencia y recordando que ω = 2πf llegamos a:
f =
1
2πRC
(200)
2) La segunda parte del criterio de Barkhausen nos dice que la ganancia de
lazo, una vez hemos hecho nula la parte imaginaria, debe ser igual a 1. Dado
que hemos hecho la parte imaginaria de la ganancia de lazo igual a cero,
únicamente nos quedan los términos reales. Es decir, nuestra ganancia de lazo
es ahora:
Aβ =
AR
3R
(201)
Igualando el módulo de esta expresión a 1 encontramos lo siguiente:
˛
˛
˛ AR ˛
˛
˛
˛ 3R ˛ = 1
(202)
Aislamos la ganancia de la etapa amplificadora, A, en esta última expresión, y
obtenemos que A = 3.
Ejemplo 5
Calculad las frecuencias máxima y mínima de oscilación considerando que las resistencies del puente de Wien son dos potenciómetros que varían siempre al mismo tiempo y
Frecuencias angular y
lineal
La frecuencia angular, ω,
medida en radianes por
segundo, nos indica cómo
varía el ángulo de una señal
representada en el plano
complejo. Cada 2π radianes,
la señal de salida da una
vuelta entera al plano
complejo. La frecuencia
lineal, f , se expresa en hercios
y nos indica el número de
vueltas dado por la señal
representada en el plano
complejo por unidad de
tiempo. Por esta razón
ω = 2πf .
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
90
tienen el mismo valor. Los valores mínimo y máximo son 1 kΩ y 100 kΩ. Los condensadores tienen una capacidad de 0,01µF.
Solución
Comencemos calculando la frecuencia mínima de oscilación. Según la expresión 200
la frecuencia de oscilación es inversamente proporcional a los valores de R y C. Así, la
frecuencia mínima se da cuando el valor de la resistencia R es el máximo.
fmin =
1
= 15,9 Hz
2π(100k Ω)(0,01 µF)
(203)
Si utilizamos la misma expresión para calcular la frecuencia máxima de oscilación y
sustituimos el valor de R por el valor más pequeño dado en el enunciado, llegaremos al
resultado siguiente para la frecuencia máxima:
fmax =
1
= 159,2 kHz
2π(1kΩ)(0,01µF)
(204)
Con este ejemplo acabamos el estudio de los osciladores RC en puente de
Wien. En el subapartado 2.3 hemos visto dos tipos básicos de osciladores:
•
Osciladores LC (subapartado 2.3.1). En particular hemos visto el oscilador
LC ideal y los osciladores de Hartley y Colpitts. Estos osciladores se utilizan
muy a menudo para trabajar en frecuencias altas.
•
Osciladores RC. En particular hemos visto el oscilador RC por desplazamiento de fase (subapartado 2.3.2) y el puente de Wien (subapartado 2.3.3).
Estos osciladores se utilizan muy a menudo para trabajar en frecuencias
medias y bajas.
Uno de los problemas más frecuentes que presentan los osciladores que acabamos de ver es el de la precisión de la frecuencia de salida. Esta precisión
dependerá de cada aplicación. Existe, por otra parte, un compromiso entre
precisión y coste: cuanta más precisión necesitemos, más alto será el coste de
los circuitos osciladores.
Para aplicaciones en las que la precisión sea un factor crítico, utilizaremos un
tipo de oscilador específico: el oscilador de cristal de cuarzo. En el subapartado
siguiente lo vemos con más detalle.
2.4. Los osciladores en el mundo real: el cristal de cuarzo
Como acabamos de ver, la mayoría de los osciladores de tipo LC y RC que hemos estudiado son fáciles de implementar. Como contrapartida, sin embargo,
presentan ciertos problemas de precisión. El oscilador de cristal de cuarzo está
diseñado para proporcionar una máxima precisión en la frecuencia de salida.
En este subapartado veremos con detalle este tipo de osciladores.
Los osciladores de cristal de cuarzo proporcionan la frecuencia más exacta
y precisa de los circuitos que hemos estudiado hasta ahora. Cuando en una
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
91
aplicación determinada esta precisión sea crítica, utilizaremos los osciladores
de cristal de cuarzo. Normalmente se utilizan para hacer relojes muy precisos
y aplicaciones de sincronización.
Comenzaremos este subapartado explicando cuál es el efecto piezoeléctrico
y cómo lo podemos utilizar para generar vibraciones en ciertas frecuencias.
A continuación veremos cómo podemos modelizar un cristal de cuarzo con
componentes eléctricos que ya conocemos: bobinas, condensadores y resistencias. Este modelo nos permitirá poder analizar circuitos en los que esté
presente un cristal de cuarzo. También nos permitirá ver cuáles son las frecuencias que se pueden generar con un cristal de cuarzo y cómo podemos
seleccionar una concreta. Para finalizar este subapartado, veremos algunas limitaciones que tienen los osciladores de cristal de cuarzo.
2.4.1. El efecto piezoeléctrico
Los osciladores de cristal son circuitos electrónicos que utilizan la propiedad
piezoeléctrica que tienen algunos cristales, ya sean naturales o sintéticos. El
efecto piezoeléctrico consiste en que cuando aplicamos una fuerza mecánica entre las caras del cristal se genera una diferencia de potencial entre estas
mismas caras. Este efecto es reversible, de manera que si aplicamos una diferencia de potencial entre las caras del cristal, se generan fuerzas mecánicas que
deforman el material.
Imaginad ahora que aplicamos un potencial eléctrico entre las caras del cristal.
Este potencial podría consistir en una tensión alterna. ¿Qué sucede entonces
desde el punto de vista mecánico? Pues que las fuerzas mecánicas que se generan debidas al estímulo eléctrico generan una vibración que reproduce de
manera muy precisa la frecuencia de la señal de entrada.
En la figura 43 podéis ver qué sucede dentro del cristal cuando aplicamos una
fuerza o una señal eléctrica, respectivamente.
Figura 43. Efecto piezoeléctrico y piezoeléctrico inverso
Figura 43
+ + + + + + + + + + + + +
V
V
– – – – – – – – – – – – –
.
El efecto piezoeléctrico permite obtener un potencial eléctrico cuando
aplicamos una fuerza mecánica a un cristal o una deformación mecánica cuando aplicamos un potencial eléctrico.
El efecto piezoeléctrico
produce, cuando aplicamos
una fuerza mecánica sobre
un material de este tipo, una
separación de cargas y un
potencial eléctrico. Y al revés,
cuando aplicamos un
potencial eléctrico el material
se deforma como si
hubiésemos aplicado una
fuerza mecánica.
CC-BY-SA • PID_00170128
92
Realimentación y osciladores
Pero ¿por qué se produce el efecto piezoeléctrico? Cuando aplicamos una fuerza mecánica entre las caras del cristal se produce una separación de cargas eléctricas dentro del material y este es capaz de generar una diferencia de potencial
en respuesta a esta fuerza. Recíprocamente, cuando aplicamos una diferencia
de potencial, la separación de cargas genera unas fuerzas internas dentro del
material que lo llegan a deformar.
Algunos de los cristales naturales con esta propiedad son el cuarzo, la turmalina o las sales de Rochelle. Dado que los cristales de cuarzo presentan una
buena relación entre coste, resistencia del material y efectividad piezoeléctrica, se utilizan ampliamente para la fabricación de circuitos de radiofrecuencia
y filtros.
El cristal de cuarzo que encontramos de manera natural tiene forma de prisma
hexagonal y para que sea utilizable en circuitos electrónicos hay que cortarlo
en láminas rectangulares. Una vez cortado se introduce entre dos láminas de
metal y es entre estas dos láminas donde aplicaremos la señal eléctrica de entrada.
La vibración del cristal de cuarzo, es decir, la frecuencia de salida, reproduce la
frecuencia de la señal de entrada que estamos aplicando. Si tomamos un cristal
de cuarzo y aplicamos un potencial eléctrico entre sus caras, obtendremos que
el cristal oscila a aquella frecuencia y nos da una cierta amplitud de oscilación.
Si hacemos la prueba y aplicamos varias frecuencias de señal eléctrica en el
cristal, veremos que para algunas frecuencias el cristal oscila con más amplitud
que para otras. Existen también otras frecuencias para las que el cristal no
oscilará. La frecuencia de la señal de entrada que nos da un máximo en la
amplitud de la señal de salida se denomina frecuencia de resonancia.
.
La frecuencia de resonancia es aquella frecuencia de la señal de entrada que genera una amplitud máxima en la señal de salida. Es decir, que
proporciona una vibración del cristal de cuarzo máxima. Esta frecuencia depende de las características físicas de cada material y del espesor
del cristal que utilicemos. Cuanto más amplia es la pieza de cristal, más
pequeña es su frecuencia de resonancia y al revés, cuanto más estrecha
es, resonará a frecuencias más elevadas. De esta manera, podemos controlar en el proceso de fabricación o corte de la pieza cuál queremos que
sea esta frecuencia.
El fenómeno de la resonancia se da en ciertas frecuencias y en los múltiples
Resonancia
enteros de estas frecuencias. La primera frecuencia en la que encontramos el
fenómeno de resonancia se llama frecuencia fundamental o mínima. El resto
de las frecuencias que aparecen por encima de la fundamental, también denominadas sobretonos, son múltiples enteros de la frecuencia fundamental.
El fenómeno de la resonancia
en los cristales de cuarzo se
da únicamente en ciertas
frecuencias concretas y en sus
múltiples enteros.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
93
Así, por ejemplo, si aplicamos una señal eléctrica a un cristal y vemos que
este genera una frecuencia mecánica máxima a 1 MHz, sabemos que si aplicamos señales al cristal a 2 MHz, 3 MHz, etc., estos también proporcionarán
vibraciones de salida máximas.
.
Podemos calcular la frecuencia fundamental, fo , de un cristal a partir de
la expresión siguiente:
fo =
K
t
(205)
En esta ecuación el parámetro t representa el espesor del cristal. El parámetro K es una característica del cristal que estará determinada por
sus especificaciones: tipo de material, forma de corte o temperatura.
Entre estas variables, la temperatura tiene un efecto muy relevante en
la frecuencia de oscilación del cristal. Un cambio grande de temperatura puede hacer variar la frecuencia de oscilación, tal como se indica a
continuación:
∆f = Kfo ∆C
(206)
donde fo es la frecuena fundamental del cristal de cuarzo medida en
MHz, K el coeficiente del cristal y ∆C la variación de temperatura en
grados Celsius.
El factor t, como acabamos de ver, representa el espesor de la pieza, tal como
podéis ver en la figura 44. Para conseguir frecuencias de resonancia altas deberemos cortar un cristal muy estrecho. En la práctica esto tiene un límite, ya
que cuanto más estrecho sea el cristal también será más fragil, y habitualmente encontraremos cristales de cuarzo que funcionan adecuadamente hasta los
10 MHz de frecuencia fundamental. Utilizando frecuencia de sobretono podemos llegar hasta los 100 MHz. Para frecuencia más altas, deberemos utilizar
otros tipos de cristal más adecuados o sintetizadores de frecuencia digitales.
Figura 44. Cristal de cuarzo utilizado en circuitos electrónicos
Cristal de cuarzo
Variación de un
parámetro
∆f representa la variación de
frecuencia que se da entre las
situaciones finales e inicial.
Siempre que queramos
representar una diferencia
entre dos valores de una
magnitud, emplearemos este
símbolo ∆ seguido de la
magnitud en cuestión.
Frecuencias
fundamentales y de
sobretono
La primera frecuencia en la
que encontramos que la
vibración del cristal es
máxima es la denominada
frecuencia fundamental. Las
frecuencias de sobretono
son múltiples enteros de la
frecuencia fundamental y
en estas frecuencias también
aparecen máximos de
vibración para los cristales
con efecto piezoeléctrico.
Contactos
Figura 44
t (grosor)
Terminales
Veamos un ejemplo para ilustrar cómo podemos encontrar esta frecuencia de
resonancia de un cristal de cuarzo.
El cristal de cuarzo utilizado
en circuitos electrónicos
queda caracterizado por su
espesor, t, y una constante
que depende del material.
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Realimentación y osciladores
94
Exemple 6
Calculad la frecuencia fundamental de un cristal de cuarzo con un espesor de 10 µm
y un coeficiente K = 10. ¿Cómo varía la frecuencia si se produce un incremento de
temperatura de 10 grados? ¿Y si se produce una disminución de la temperatura de 5
grados?
Solució
Comenzamos aplicando la fórmula que nos da la frecuencia fundamental del cristal en
función del factor K y del espesor del cristal, t. Como habíamos visto mediante la expresión 205, podemos encontrar esta frecuencia fundamental como sigue:
fo =
K
10
=
= 10 MHz
t
10 · 10–6
(207)
Si ahora se produce un incremento de temperatura de 10 grados, se producirá un cambio
en la frecuencia fundamental, ya que esta depende de la temperatura. La variación de
frecuencia respecto a la frecuencia fundamental calculada antes está determinada por la
expresión 206:
∆f = Kfo ∆C = 10 · 10 · 10 = 1 kHz
(208)
Por tanto, la frecuencia de salida será la que se ha calculado inicialmente más la variación
que se ha producido por el cambio de temperatura, es decir:
fo′ = fo + ∆f = 10,001 MHz
(209)
Veamos ahora qué sucede si se produce una disminución de temperatura de 5 grados. En
este caso la variación de frecuencia es:
∆f = Kfo ∆C = 10 · 10 · –5 = 500 Hz
(210)
Y la nueva frecuencia de oscilación es ahora la siguiente:
fo′ = fo + ∆f = 9,9995 MHz
(211)
Observad que en este caso, dado que la temperatura disminuye, la variación de frecuencia
es negativa y obtenemos una frecuencia más pequeña que la inicial.
2.4.2. Modelo eléctrico del cristal de cuarzo
Acabamos de ver qué es un oscilador de cristal y cómo podemos calcular el
parámetro fundamental: la frecuencia fundamental de resonancia que genera
el cristal. También hemos visto cómo se comporta el cristal de cuarzo cuando
varía la temperatura. En este subapartado veréis un modelo de cristal de cuarzo
modelizado con componentes eléctricos que ya conocemos: condensadores,
bobinas y resistencias. A partir de este modelo estudiaremos con detalle el
comportamiento del oscilador. Podéis ver este modelo genérico equivalente en
la figura 45, donde modelizamos el cristal de cuarzo con una capacidad Co en
paralelo con un condensador, una bobina y una resistencia que se encuentran
en serie.
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Realimentación y osciladores
95
Figura 45 Modelo eléctrico de un cristal de cuarzo
Figura 45
C
Co
Podemos modelizar un cristal
de cuarzo mediante una
rama formada por un
condensador, una resistencia
y una bobina en serie y otra
rama en paralelo a la primera
formada por una capacidad
que denominamos Co .
L
R
Veamos ahora el comportamiento del cristal. En estado de reposo, es decir,
cuando el cristal no está vibrando, y dado que estamos hablando de un material dieléctrico que separa dos láminas de metal, el modelo equivalente es
el de un condensador con capacidad Co , también denominada capacidad de
encapsulamiento.
En estado de vibración aparece en el modelo una rama en paralelo a esta
capacidad de encapsulación formada por una bobina, una capacidad y una
resistencia.
.
Estos elementos representan las propiedades siguientes del cristal:
•
La inductancia L representa el equivalente eléctrico de la masa.
•
La capacidad C modela la conformación o distribución geométrica
•
La resistencia R representa las fuerzas de fricción interna y pérdidas
de las partes del cristal.
del material.
Analicemos ahora cuál es la frecuencia de resonancia del modelo equivalente
que se alcanza cuando las reactancias, o partes imaginarias de la impedancia,
se compensan y se anulan. Calcularemos las frecuencias de resonancia para
los dos casos siguientes:
•
Frecuencia de resonancia en serie, fs , que es la frecuencia de resonancia
•
Frecuencia de resonancia en paralelo, fp , correspondiente a la frecuencia
de la rama RLC.
de resonancia de todo el lazo.
Para el cálculo de estas dos frecuencias necesitaremos obtener primero la impedancia de entrada del circuito. Recordad que la impedancia de un condensador en función de la frecuencia de la señal de entrada se obtiene a partir de
la expresión siguiente, como habíamos visto en el subapartado 2.3.1:
ZC =
1
1
=
jωC j2πfC
(212)
Véase también
Podéis encontrar información
adicional sobre las
impedancias de
condensadores y bobinas en
el anexo de esta asignatura.
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Realimentación y osciladores
96
donde ω es la frecuencia angular en radianes por segundo, f es la frecuencia
en hercios y C la capacidad medida en faradays. La reactancia capacitiva (parte
imaginaria de la impedancia, en este caso la impedancia es únicamente imaginaria) cuantifica la resistencia que introduce el condensador al paso de los
electrones. Cuanto más alta es la frecuencia, más fácilmente pasan los electrones. La impedancia de la bobina se puede obtener a partir de la expresión
siguiente:
ZL = jωL = j2πfL
(213)
donde ω es la frecuencia angular expresada en radianes por segundo, f es la
frecuencia de la señal de entrada en hertzios y L es la inductancia medida en
henrys. La reactancia inductiva cuantifica la resistencia que se introduce en
las variaciones de corriente. Cuanto más varía la corriente que atraviesa una
bobina, más resistencia opone esta.
Para calcular la impedancia de entrada de nuestro modelo de oscilador tomamos en primer lugar la rama RLC. En este caso, las impedancias de cada
elemento están en serie y la impedancia total equivalente de esta rama del
circuito es la suma de las impedancias individuales:
Zs (jω) = ZR + ZL + ZC
(214)
Ahora sustituimos cada impedancia por su valor y llegamos a la expresión
siguiente:
Zs (jω) = R + jωL – j
1
ωC
(215)
Multiplicamos y dividimos el término que incluye la bobina por ωC para poder operar sobre la parte imaginaria de la impedancia y obtenemos lo siguiente:
Zs (jω) = R +
ω2 LC – 1
j
ωC
(216)
En la práctica, el término de la ecuación 216 donde aparece la resistencia R
es mucho menor que el término imaginario y, por tanto, podemos considerar
que no influye en el cálculo de la impedancia de la rama en serie. Estos valores
prácticos son de un centenar de ohms para la resistencia R, unos pocos henrys
para la inductancia L y en torno de picofaradays para la capacidad C. Veamos
un ejemplo donde aparecen valores habituales para R, L y C.
Ejemplo 7
Calculad la impedancia de la rama en serie de un circuito modelo de cristal de cuarzo
para los valores siguientes: R = 100 Ω. L = 1 H, C = 1 pF. Haced los cálculos para una
frecuencia de 1 MHz.
Impedancia, resistencia y
reactancia
La impedancia de un
elemento electrónico tiene
una parte real, que es la
resistencia, y una parte
imaginaria, que es la
reactancia. Hay dispositivos,
como las resistencias, en los
que toda la impedancia es
real (no tienen parte
imaginaria). Otros
dispositivos, como bobinas y
condensadores, tienen una
impedancia puramente
imaginaria, es decir,
reactancia.
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Realimentación y osciladores
97
Solución
Aplicamos la expresión 216, que nos da la impedancia de la rama en serie de oscilador y
llegamos al resultado siguiente:
Zs (jω) = R +
ω2 LC – 1
ωC
j = 100 +
4π2 1012 · 1 · 10–12 – 1
j = 100 + 2,41 · 106 j
2π106 · 10–12
(217)
Como podéis ver, el término real que aparece en la ecuación 217 y que corresponde a la resistencia es mucho más pequeño que el término imaginario
que depende de la frecuencia (de la bobina y del condensador). Por esta razón y para simplificar los cálculos, podemos considerar que la resistencia no
tiene efecto sobre el cálculo de la impedancia de la rama en serie, y podemos
aproximar la ecuación 216 por la expresión siguiente:
Zs (jω) ≃
ω2 LC – 1
j
ωC
(218)
Vamos a ver ahora cuál es la impedancia de la rama paralela que está compuesta por el condensador con capacidad Co . La impedancia de este condensador
es la siguiente:
Zp (jω) = –
1
j
ωCo
(219)
Una vez tenemos la impedancia de las dos ramas, calcularemos la impedancia
total del modelo del oscilador de cristal de cuarzo. Recordad que el equivalente
de dos impedancias en paralelo es el inverso de la suma de los inversos, y que
para el caso de dos elementos esta expresión deriva en producto dividido entre
suma:
ZT (jω) =
Zs (jω)Zp (jω)
Zs (jω) + Zp (jω)
(220)
Si tomamos las expresiones par Zs (jω) y Zp (jω) que hemos encontrado en las
ecuaciones 218 y 219, llegamos a la expresión siguiente:
2
ZT (jω) =
1
( ω ωLC–1
C j)(– ωCo j)
2
1
( ω ωLC–1
C j) + (– ωCo j)
(221)
Operando sobre la expresión anterior obtenemos lo siguiente:
ZT (jω) =
ω2 LC–1
ω2 CCo
ω2 LCCo –Co –C
j
ωCCo
(222)
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Realimentación y osciladores
98
Simplificamos el término ωCCo que aparece tanto en el numerador como en
el denominador:
ZT (jω) =
ω2 LC–1
ω
(223)
(ω2 LCCo – Co – C)j
A continuación bajamos el término ω que nos ha quedado en el denominador
de la fracción de arriba y subimos el término j del denominador sin olvidarnos
Recordad que
1
j
= –j.
de multiplicar por –1. Llegamos, pues, a la expresión siguiente:
ZT (jω) =
ω2 LC – 1
j
ω(C + Co – (ω2 LCCo ))
(224)
La impedancia Z(ω) (o reactancia, ya que la parte real de la impedancia la
hemos aproximado por cero), se puede representar gráficamente en función
de ω tal como se presenta en la figura 46.
Figura 46. Representación gráfica de la impedancia del cristal
de cuarzo en función de ω
z(ω)
ω_s ω_p
0
ω
Como podéis ver, por la expresión de la impedancia total de entrada del cristal
de cuarzo, hay dos frecuencias especiales: una frecuencia que nos da una impedancia de entrada mínima e igual a cero y una frecuencia que nos da una
impedancia de entrada máxima e igual a infinito. La primera frecuencia la
denominaremos frecuencia de resonancia en serie. Cuando aplicamos una
señal de entrada al cristal de cuarzo a esta frecuencia, la impedancia de entrada
es nula. La segunda frecuencia la denominaremos frecuencia de resonancia
en paralelo o frecuencia de antirresonancia. Cuando aplicamos una señal
de entrada al cristal de cuarzo a esta frecuencia, la impedancia de entrada es
infinita.
Para encontrar cuál es la frecuencia que nos dará la impedancia igual a cero,
es decir, la frecuencia de resonancia en serie, hay que igualar el numerador de
Observación
Observad que las frecuencias
de resonancia en serie y en
paralelo se aplican a la
impedancia total del modelo
del cristal de cuarzo que
hemos calculado en la
ecuación 224, y no a cada
rama (rama en serie y rama
en paralelo) del modelo.
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Realimentación y osciladores
99
la expresión 224 que nos da el valor de la impedancia a cero, ya que cuando
esto sucede ZT (jω) = 0. Tomamos, pues, el numerador de la expresión de la
impedancia y lo igualamos a cero:
ω2s LC – 1 = 0
(225)
Ahora sustituimos la frecuencia angular ω por 2πf y llegamos a:
2πfs2 LC – 1 = 0
(226)
Aislamos el término fs y llegamos a la expresión siguiente:
.
fs =
1
√
2π LC
(227)
De la misma manera, para encontrar la frecuencia de resonancia en paralelo
que produce una impedancia idealmente infinita, igualaremos el denominador de la expresión de la impedancia (fórmula 224) a cero, ya que cuando el
denominador es cero, el valor de la impedancia es infinito.
ωp (C + Co – (ω2p LCCo ))j = 0
(228)
Si sustituimos ωp por 2πfp y aislamos fp llegamos a la expresión siguiente:
.
fp =
1
q
CCo
2π L C+C
o
(229)
El cálculo de estas dos frecuencias, fs (ecuació 227) y fp (ecuació 229), nos sirve
para determinar cuál será la frecuencia de oscilación real de nuestro circuito y
esta frecuencia de oscilación se encuentra entre los valores de fs y fp .
Fijaos en que la expresión para encontrar la frecuencia de resonancia en paralelo (expresión 229) es la misma que la de la frecuencia de resonancia en serie
(expresión 227) pero habiendo sustituido la capacidad C por el equivalente de
las capacidades C y Co, ya que en nuestro modelo de cristal estas capacidades
están en serie (están atravesadas por una misma corriente). Dado que la capacidad equivalente de Co y C siempre será más pequeña que cualquiera de
estas por separado, fp siempre es ligeramente superior a fs . En la práctica esta
diferencia suele ser menor del 1 %.
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Realimentación y osciladores
100
Ejemplo 8
Calculad las frecuencias de resonancia en serie y paralelo del cristal de cuarzo caracterizado con los parámetros siguientes: L = 3 H, C = 0,05 pF, Co = 10 pF.
Solución
Tomamos la expresión para la frecuencia en serie que habíamos visto en la ecuación 227
y encontramos lo siguiente:
fs =
2π
1
p
= 411 kHz
3 · 0,05 · 10–12
(230)
Para calcular fp calcularemos primero la capacidad equivalente formada por C y Co . Esta
capacidad es el producto dividido entre la suma de los valores de las capacidades individuales. Aplicando este cálculo obtenemos la expresión 231 para la capacidad equivalente.
CCo
= 0,0498 pF
C + Co
(231)
Y a continuación ya podemos calcular la frecuencia de resonancia en paralelo utilizando
la expresión 229 tal como sigue:
fp =
1
2π
p
3 · 0,0498 · 10–12
= 412 kHz
(232)
Si empleamos este cristal de cuarzo como oscilador, podemos garantizar que la frecuencia
que nos proporcionará estará entre estos dos valores. Como hemos mencionado, la diferencia entre las frecuencias de resonancia en serie y en paralelo suele ser menor del 1 %.
2.4.3. Configuración práctica de un oscilador de cristal
de cuarzo
Como hemos visto en el subapartado 2.4.2, el cristal de cuarzo tiene dos frecuencias de resonancia: la frecuencia de resonancia en serie, fs , y la frecuencia
de resonancia en paralelo, fp . En el primer caso, cuando operamos en fs , la
impedancia equivalente que presenta el cuarzo es nula. En el segundo caso,
cuando operamos en fp , la impedancia equivalente es muy grande (infinita,
idealmente).
Como hemos visto en el subapartado 1.5.4, cuando estudiábamos los tipos de
realimentación en un circuito, cuando interconectamos diferentes bloques en
un circuito debemos tener en cuenta la adaptación de impedancias de manera
que la transmisión de señal sea óptima. Así, cuando utilicemos un cristal de
cuarzo en un circuito deberemos seleccionar si queremos que trabaje en modo
en serie o paralelo según la impedancia que nos interese en cada momento.
En este subapartado veremos cómo podemos utilizar un cristal de cuarzo dentro de una red de realimentación utilizando los modos en serie o paralelo.
Oscilador de cuarzo en modo de resonancia en serie
En la figura 47 se ve un ejemplo de oscilador real hecho con un cristal de
cuarzo.
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Realimentación y osciladores
101
Figura 47. Circuito oscilador con cristal de cuarzo y transistor BJT
Vcc
Red de realimentación
Figura 47
Ejemplo de utilización de un
cristal de cuarzo en modo en
serie dentro de una red de
realimentación con transistor
BJT.
L
Cuarzo
Vo
R1
CC
R2
RE
CE
Fijaos en las diferentes partes del circuito. Por un lado, disponemos de un
transistor BJT que actúa como etapa amplificadora.
Observad también la parte que denominamos red de realimentación. Como hemos visto a lo largo de este módulo, esta parte del circuito toma la señal de
salida, vo en este ejemplo, y la reintroduce en la etapa amplificadora, en este caso en una de las entradas del transistor. Esta red de realimentación está
formada por un cristal de cuarzo y un condensador que denominamos Cc . El
cristal está conectado en serie dentro de la red de realimentación. Cuando el
circuito trabaja en la frecuencia de resonancia en serie, la impedancia que presenta el cristal es mínima (nula, idealmente), y la cantidad de realimentación
proporcionada al circuito es la máxima posible.
La capacidad CC es una capacidad que se denomina de acoplamiento. El efecto
de este condensador es menospreciable cuando trabajamos a frecuencias altas
(que son las frecuencias habituales de trabajo del cristal de cuarzo) y nos permite bloquear cualquier componente continuo (frecuencias nulas) en la red
de realimentación.
Las resistencias R1 , R2 , RE , la capacidad CE y la bobina L se utilizan para configurar el modo de operación del transistor, pero en este subapartado no entraremos en detalle.
En la figura 48 podéis ver otro ejemplo de utilización de cristal de cuarzo que
es óptimo cuando el cristal trabaja en la frecuencia en serie. Observad que la
red de realimentación es la misma que la de la figura 47. En este caso, sin
embargo, utilizamos otro tipo de transistor denominado FET.
Véase también
El transistor BJT lo veréis con
más detalle en el módulo “El
transistor”. En este módulo
nos quedaremos con el
hecho de que este elemento
nos proporciona una
ganancia en lazo abierto A,
como hemos visto durante
este módulo.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
102
Figura 48. Circuito oscilador con cristal de cuarzo y transistor FET
Vcc
Red de realimentación
Figura 48
Ejemplo de utilización de un
cristal de cuarzo en modo en
serie dentro de una red de
realimentación con transistor
FET.
L
Cuarzo
Vo
Cc
Rg
En el subapartado siguiente vamos a ver dos ejemplos de utilización de un
cristal de cuarzo en un circuito oscilador en el que la frecuencia de trabajo
óptima es la frecuencia de resonancia en paralelo.
Oscilador de cuarzo en modo de resonancia en paralelo
En la figura 49 podéis ver cómo podemos introducir un cristal de cuarzo en la
red de realimentación para obtener un oscilador.
Figura 49. Circuito oscilador con cristal de cuarzo y transistor BJT
Vcc
Ejemplo de utilización de un
cristal de cuarzo en modo
paralelo dentro de una red de
realimentación con transistor
BJT.
L
R1
Vo
C1
CB
R2
Cuarzo
RE
Figura 49
C2
Red de realimentación
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
103
Para la etapa amplificadora se ha utilizado un transistor BJT y una serie de
Véase también
resistencias, un condensador y una bobina que se utilizan para la configuración del transistor. Fijaos en la red de realimentación. Como podéis ver, está
formada por un cristal de cuarzo y dos condensadores, C1 y C2 . El cristal se
En el módulo “El transistor”
de esta asignatura estudiaréis
con detalle el transistor BJT.
encuentra conectado en paralelo con el resto de los elementos de la red de
realimentación. Cuando trabajamos a la frecuencia de resonancia en paralelo,
la impedancia del cristal es máxima y esto nos da un máximo de voltaje entre
los extremos del cristal.
Este circuito es una variante del oscilador de Colpitts. Recordad este oscilador
que se mostraba en la figura 39 y comparad la configuración con la que se
muestra en la figura 49. Si os fijáis, hemos sustituido la bobina L del oscilador
de Colpitts por un cristal de cuarzo. Recordad que el sentido de utilizar cristales de cuarzo es que este componente nos permite obtener una señal con una
frecuencia muy precisa.
A continuación se muestra un segundo ejemplo de oscilador de cuarzo trabajando a la frecuencia de resonancia en paralelo (figura 50). Este oscilador se
conoce con el nombre de oscilador de Miller controlado por cristal.
Figura 50. Circuito oscilador con cristal de cuarzo y transistor FET
Vcc
Ejemplo de utilización de un
cristal de cuarzo en modo
paralelo dentro de una red de
realimentación con transistor
FET.
Ls
C
Rs
Cs
Red de realimentación
R
Cuarzo
L
En este caso se utiliza un transistor FET como etapa amplificadora. Este transistor está configurado mediante una bobina, Ls , un condensador variable, C, y
los elementos Rs y Cs . Lo que nos interesa de todo este bloque es que nos proporciona una ganancia de lazo abierto A. La red de realimentación la podéis
encontrar indicada en la figura 50. Cuando el circuito trabaja a la frecuencia
de resonancia en paralelo, con una impedancia de cuarzo máxima, obtenemos
un máximo de voltaje en los extremos del cuarzo, como en el ejemplo de la
figura 49.
Figura 50
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
104
Con este último ejemplo acabamos este subapartado dedicado a ejemplos de
circuitos reales en los que utilizamos cristales de cuarzo para construir osciladores. En el subapartado siguiente veremos un problema que presentan estos
osciladores: el efecto deriva.
2.4.4. Limitaciones de los osciladores de cristal de cuarzo:
el efecto deriva
Hasta ahora, en este subapartado 2.4 dedicado a los osciladores de cristal de
cuarzo hemos visto que su funcionamiento se basa en el denominado efecto piezoeléctrico (subapartado 2.4.1). A continuación, en el subapartado 2.4.2
hemos estudiado cómo podemos modelizar un cristal de cuarzo y hemos calculado qué frecuencias genera el oscilador. Para finalizar el estudio de los cristales osciladores debemos mencionar una limitación que presentan: el fenómeno de la deriva, que produce que a lo largo del tiempo las frecuencias
generadas puedan dejar de ser precisas.
A causa de factores como la temperatura o el desgaste del material, la frecuencia de oscilación puede variar ligeramente respecto a la frecuencia original. En
un reloj, por ejemplo, una frecuencia por debajo de la deseada se traduciría
en el hecho de que se retrasaría sistemáticamente. Aunque hemos presentado
el fenómeno de la deriva como una limitación, en los cristales de cuarzo este
efecto es realmente pequeño y sus valores habituales son de 0,1 ppm (partes
por millón). Esta deriva produciría que un reloj se llegara a adelantar o retrasar
1 segundo después de 300 años.
2.5. Resumen del apartado
Este segundo apartado del módulo lo hemos dedicado a estudiar los osciladores. En el subapartado 2.1 hemos visto que un oscilador es un caso particular
de circuito con realimentación positiva y para el que la ganancia Aβ es igual a
–1. Debemos tener en cuenta que hemos llegado a este resultado a partir de la
fórmula de la ganancia de realimentación negativa que habíamos encontrado
en el apartado 1.
En el subapartado 2.2 hemos estudiado un modelo genérico de oscilador y
hemos realizado el análisis de la ganancia del circuito teniendo en cuenta que
se trata de un circuito con realimentación positiva. Por ello, en este caso la
ganancia se expresa como:
Ar =
A
1 – Aβ
(233)
CC-BY-SA • PID_00170128
105
A partir de aquí hemos llegado al criterio de Barkhausen o condición de oscilación, que nos dice que la ganancia Aβ debe ser igual a 1 en módulo y el
desfase de señales en el bloque de realimentación debe ser nulo.
En el subapartado 2.3 hemos estudiado dos familias básicas de osciladores:
los osciladores LC y los osciladores RC. Hemos visto que estos osciladores son
sencillos de implementar pero a veces presentan problemas de precisión. Para generar oscilaciones muy precisas se utilizan los osciladores de cristal de
cuarzo, tal como hemos visto en el subapartado 2.4.
En referencia a estos osciladores, hemos visto que aprovechan un efecto natural que se denomina efecto piezoeléctrico (subapartado 2.4.1) y hemos buscado
un modelo de cristal de cuarzo hecho con componentes electrónicos (subapartado 2.4.2) para poder estudiar su comportamiento. En el subapartado 2.4.3
hemos visto un oscilador realizado con cristal de cuarzo, incluyendo todas las
etapas que lo forman, y finalmente en el subapartado 2.4.4 hemos hablado
del efecto deriva de los osciladores.
Realimentación y osciladores
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
106
3. Problemas resueltos
.
En este apartado os proponemos un conjunto de problemas que os servirán
para consolidar y aplicar los conceptos que hemos visto a lo largo del módulo.
En el subapartado 3.1 podéis encontrar los enunciados y en el subapartado 3.2
podéis consultar las soluciones.
3.1. Enunciados
Problema 1
Calculad los diferentes tipos de ganancia de un amplificador con realimentación negativa con parámetros A = 2.000 y β = 0,1.
Problema 2
Calculad la ganancia de circuito realimentado, Ar , y las impedancias de entrada y de salida de un amplificador con realimentación de tensión en serie con
A = 300, Ri = 1,5 kΩ, Ro = 50 kΩ y β = 1/15.
Problema 3
Calculad la ganancia de realimentación, Ar , para el circuito con realimentación de la figura 51.
Figura 51. Circuito con realimentación múltiple
β1
xi –
+
–
A1
A2
A3
xo
+
β2
Problema 4
Encontrad la ganancia β y la ganancia total, Ar para el circuito de la figura 52.
La ganancia de la etapa amplificadora es A = 105 y el valor de las resistencias
es R1 = 1,8 kΩ y R2 = 200 Ω.
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
107
Figura 52. Circuito con realimentación de tensión en serie
Rs
v’i
vs +
–
+
–
R1
+
vr
–
R2
+
vo
–
RL
Problema 5
Calculad la capacidad C para que un oscilador de desplazamiento de fase opere
a 2,5 kHz. Las resistencias de la red de realimentación tienen un valor de
12 kΩ.
Problema 6
Diseñad un oscilador en puente de Wien tal que genere una frecuencia de
oscilación de 1 kHz.
Problema 7
Calculad la frecuencia de oscilación para un oscilador Colpitts con C1 = 750 pF,
C2 = 2.500 pF y L = 40 µH.
Problema 8
Calculad las frecuencias de resonancia en serie y paralelo para un cristal de
cuarzo con los parámetros siguientes: L = 1 H, C = 0,01 pF, R = 1 kΩ y Co =
20 pF.
3.2. Resolución
Problema 1
Según lo que hemos visto en el subapartado 1.4, en un circuito con realimentación hemos definido las ganancias siguientes:
•
•
Ganancia de lazo abierto, A. Esta es la ganancia del amplificador sin realimentar. En este caso, estos datos nos los dan en el enunciado y A = 2.000.
Ganancia de la red de realimentación, β. Es la ganancia que introduce el
bloque de realimentación y en este caso es β = 0,1.
CC-BY-SA • PID_00170128
•
Realimentación y osciladores
108
Ganancia de bucle cerrado, Ar . Es la ganancia total del circuito cuando el
bloque amplificador y la red de realimentación están connectados. Como
hemos visto en la expresión 9, esta ganancia se expresa como:
Ar =
A
1 + Aβ
(234)
Si sustituimos en esta expresión los valores de A y β dados en el enunciado,
el resultado es:
Ar =
2.000
= 9,95
1 + 2.000 · 0,1
(235)
•
Ganancia de lazo, Aβ. Según los valores dados en el enunciado Aβ = 200.
•
Ganancia de retorno, 1 + Aβ. Tomando A = 2.000 y β = 0,1 el valor de esta
ganancia es 201.
Problema 2
Los amplificadores con realimentación de tensión en serie son circuitos que
miden tensión a la salida del circuito. Así, la conexión en la salida del circuito
está hecha en paralelo porque la tensión de salida en el circuito es la misma
que la tensión de entrada al bloque de realimentación (recordad que una conexión en paralelo se caracteriza por que existe la misma tensión entre los
puntos de conexión).
En el enunciado también nos indican que la conexión a la entrada del circuito
está hecha en serie. De esto deducimos que la señal en la entrada del circuito
también son tensiones, ya que el bloque comparador del circuito realimentado
suma o resta tensiones y sabemos que dos o más tensiones se suman (o restan,
según el signo) cuando están en serie.
En la figura 53 podéis ver la configuración de tensión en serie.
Figura 53. Configuración de un circuito realimentado de
tensión en serie
+
+
–v’i
A
+
v
–r
b
vi
–
+
vo
–
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
109
En la tabla 5 recuperamos ahora las expresiones de la tabla 2 que hemos visto
en el subapartado 1.5.3 y que hacen referencia a este tipo de configuración.
Tabla 5. Realimentación negativa de tensión en serie
Realimentación
Entrada
Salida
De tensión en serie
vi
vo
Rir
Ror
Amplificador
Ri (1 + Av β)
Ro
1+Av β
Tensión
Ganancia
Avr =
Av
1+Av β
Por tanto, calculamos la ganancia del circuito realimentado con la expresión:
Avr =
Av
1 + Av β
(236)
Observad que la ganancia del amplificador, denominada A en el enunciado,
es aquí Av , ya que así es como hemos denominado la ganancia de la etapa
amplificadora para el caso particular de la realimentación de tensión en serie.
Si sustituimos ahora los datos del enunciado tenemos:
Avr =
300
300
=
= 14,28
21
1 + 300 · 1/15
(237)
La impedancia de entrada la encontramos a partir de la expresión siguiente,
tal como se especifica en la tabla 5:
Rir = Ri (1 + Av β)
(238)
Si utilizamos los valores dados en el enunciado encontramos lo siguiente:
Rir = 1.500(1 + 300 · 1/15) = 31,5 kΩ
(239)
Como hemos visto en el subapartado 1.5.4, la impedancia de entrada para
los circuitos con realimentación de tensión en serie aumenta respecto a la
impedancia de entrada del circuito sin realimentar. Calculamos ahora la impedancia de salida con la expresión siguiente, que también podéis encontrar
en la tabla 5:
Ror =
Ro
1 + Av β
(240)
Y en este caso con los valores dados en el enunciado llegamos a:
Ror =
50 · 103
50 · 103
=
= 2,4 kΩ
21
1 + 300 · 1/15
(241)
Y como hemos visto en el subapartado 1.5.4, la impedancia de salida para
los circuitos con realimentación de tensión en serie disminuye respecto a la
impedancia de entrada del circuito sin realimentar.
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Realimentación y osciladores
110
Problema 3
Comenzamos analizando el bloque que contiene los bloques con ganancia A2
y β2 . En la figura 54 podéis ver esta parte del circuito sombreada; se trata de un
amplificador con realimentación, tal como hemos visto en el subapartado 1.1.
Figura 54 Circuito con realimentación múltiple
β1
xi –
+
A2
–
A1
A3
xo
+
β2
La ganancia de esta parte del circuito la expresamos utilizando la ecuación 9:
Ar2 =
A2
1 + A2 β2
(242)
Ahora sustituimos esta parte del circuito por un bloque con la ganancia equivalente que hemos calculado, como podéis ver en la figura 55.
Figura 55. Circuito con realimentación múltiple
β1
xi –
+
A1
A2
Ar2=
1+A2β2
A3
xo
Fijaos en que ahora tenemos tres etapas encadenadas y un segundo bloque
de realimentación caracterizado por la ganancia β1 . La ganancia equivalente
de las tres etapas en cadena se puede calcular como el producto de la ganancia de cada etapa, ya que, si os fijáis, la señal de salida de la primera etapa es
la señal en la entrada de esta etapa multiplicada por la ganancia A1 , es decir,
x′i A1 . Si ahora introducimos esta señal en la segunda etapa, esta señal queda
multiplicada por la segunda ganancia, ya que en esta etapa lo que hace es
multiplicar por Ar2 lo que ve en su entrada, y por tanto la salida de la segunda etapa es (x′i A1 )Ar2 . Análogamente, si hacemos pasar toda esta señal por la
tercera etapa, esta toma la señal de entrada x′i A1 Ar2 y la multiplica por A3 , de
manera que la salida de las tres etapas es x′i A1 Ar2 A3 .
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Realimentación y osciladores
111
Esta ganancia total, que denominaremos A′r , es la siguiente:
A′r = A1 Ar2 A3
(243)
Sustituimos la ganancia Ar2 que hemos encontrado en la expresión 242 y llegamos a:
A′r = A1
A2
A
1 + A2 β2 3
(244)
Ahora podemos sustituir estos tres bloques por un bloque con esta ganancia
equivalente, como podéis ver en la figura 56.
Figura 56 Circuito con realimentación múltiple
β1
xi
–
A’r=A1
+
A2
A
1+A2β2 3
xo
Y fijaos en que el esquema que resulta de aquí es el mismo que el del circuito
realimentado básico que ya hemos visto en el subapartado 1.1, en el que la
ganancia se expresa según la ecuación 9 como:
Ar =
A
1 + Aβ
(245)
La ganancia A en este caso es la que hemos calculado en la ecuación 244 y β
es aquí β1 . A partir de esto calculamos la ganancia total del circuito como:
Ar =
A′r
1 + A′r β1
(246)
Y expresando esta ganancia en función de las ganancias de cada uno de los
bloques individuales llegamos a la expresión siguiente:
Ar =
A2
A1 1+A
A3
2 β2
“
”
A2
1 + A1 1+A
A3 β1
2 β2
(247)
Problema 4
La relación entre la tensión de realimentación vr que se reintroduce en el
circuito y la tensión de salida vo está determinada por el divisor de tensión
formado por R1 y R2 . Es decir:
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112
β=
R2
200
=
= 0,1
R1 + R2 200 + 1800
(248)
Sabemos que la ganancia total del circuito realimentado está determinada por
la expresión 9 y es:
Ar =
A
1 + Aβ
(249)
Si ahora sustituimos los valores dados en el enunciado llegamos a:
100.000
= 9,999
1 + (0,1)(100.000)
(250)
Fijaos en que como Aβ >> 1, podemos aproximar la ganancia total con Af ≃
1/β = 10.
Problema 5
Recordad el oscilador por desplazamiento de fase que hemos visto en el subapartado 2.3.2 y que podéis ver en la figura 40. Después de aplicar la condición
de Barkhausen habíamos llegado a la expresión 180:
f =
1
√
2πRC 6
(251)
En este caso nos dan la frecuencia de oscilación. Reordenando la ecuación 251
para encontrar el valor de C en función del resto de los datos obtenemos lo
siguiente:
C=
1
√
2πRf 6
(252)
Si sustituimos aquí los valores dados en el enunciado, obtenemos el valor del
condensador que dará la frecuencia de oscilación demandada:
C=
1
√ = 2,17 nF
2π12.000 · 2.500 6
(253)
Problema 6
En este problema nos piden diseñar un oscilador en puente de Wien, tal que
genere una señal de salida a 1 kHz. Este tipo de circuitos los hemos visto en el
subapartado 2.3.3. Aquí hemos visto que un oscilador en puente de Wien está
formado por una etapa amplificadora y por una red de realimentación que
contiene dos condensadores y dos resistencias (lo podéis ver en la figura 42).
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
113
Aplicando la primera parte del criterio de Barkhausen (haciendo la parte imaginaria de la ganancia de lazo igual a cero), llegamos a la ecuación 200:
f =
1
2πRC
(254)
Queremos que la frecuencia de salida sea de 1 kHz, por tanto, podemos elegir la combinación de valores de R y C que nos dé esta frecuencia de salida.
Por ejemplo, si tomamos una resistencia de 2 kΩ entonces debemos elegir un
condensador con valor 79,5 nF. O bien si fijamos un valor del condensador
de 1 nF, entonces debemos elegir una resistencia de valor de 159 kΩ.
La segunda parte del criterio de Barkhausen nos dice que el módulo de la ganancia de lazo debe ser igual a 1. En el subapartado 2.3.3 vimos que aplicando
esta condición llegábamos a la conclusión de que la ganancia de la etapa amplificadora, A, debía ser igual a 3.
Con estos parámetros ya tenemos diseñado nuestro oscilador en puente de
Wien.
Problema 7
En el subapartado 2.3.1 dedicado en los osciladores LC hemos visto el oscilador de Colpitts. Este oscilador está formado por un transistor como etapa
amplificadora (nosotros en este módulo solo consideraremos que es un dispositivo que introduce una ganancia A), una bobina y dos condensadores en
serie. Lo podéis recordar en la figura 39.
La frecuencia de oscilación en estos osciladores es la siguiente, tal como hemos
visto:
f =
1
√
2π LC
(255)
La capacidad en esta expresión es la capacidad equivalente de dos condensadores en serie, es decir:
C=
C1 C2
C1 + C2
(256)
Sustituimos los valores que nos dan en el enunciado para calcular la capacidad
equivalente:
C=
750 · 10–12 · 2.500 · 10–12
C1 C2
=
= 576,9 pF
C1 + C2 750 · 10–12 + 2.500 · 10–12
(257)
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
114
Y finalmente la frecuencia de oscilación es la siguiente:
f =
1
p
= 1,04 MHz
2π 40 · 10–6 · 576,9 · 10–12
(258)
Problema 8
Como hemos visto en el subapartado 2.4.2, los cristales de cuarzo tienen dos
frecuencias características: la frecuencia de resonancia en serie y la frecuencia de resonancia en paralelo.
La primera es la frecuencia de resonancia de la rama RLC. Recordad que la
frecuencia de resonancia nos da un máximo en la amplitud de la señal de
salida. En este caso, y como hemos visto mediante la expresión 227, podemos
encontrar esta frecuencia como se indica a continuación:
fs =
1
√
2π LC
(259)
Si sustituimos los valores que nos dan en el enunciado, llegaremos al resultado
siguiente:
fs =
1
= 1,59 MHz
2π 1 · 0,01 · 10–12
p
(260)
Fijaos en que esta expresión solo depende de la inductancia y de la capacidad
de la rama RLC en serie.
La frecuencia de resonancia en paralelo nos da un máximo de amplitud de
señal en el lazo cerrado, es decir, teniendo en cuenta la capacidad Co , tal como
hemos visto en el modelo eléctrico de cristal de cuarzo (subapartado 2.4.2). La
expresión que nos da esta frecuencia es la 229 y se muestra a continuación:
fp =
1
q
CCo
2π L C+C
o
(261)
Observad que ahora aparece una capacidad equivalente en el denominador de
esta expresión que no es más que la capacidad equivalente de dos condensadores en serie, como ya hemos visto. Así, calculamos esta capacidad equivalente:
CCo
0,01 · 10–12 · 20 · 10–12
=
= 0,009 pF
C + Co 0,01 · 10–12 + 20 · 10–12
(262)
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
115
Sustituyendo el resto de los valores llegamos al cálculo de la frecuencia que
nos piden:
fp =
1
p
= 1,67 MHz
2π 1 · 0,009 · 10–12
(263)
CC-BY-SA • PID_00170128
Realimentación y osciladores
116
Resumen
Este módulo lo hemos dividido en dos apartados: en el primer apartado hemos
visto la realimentación y los tipos de realimentación negativa más habituales.
En el segundo apartado nos hemos centrado en el estudio de los osciladores,
que son un caso particular de realimentación positiva.
En el primer apartado hemos visto que la realimentación consiste en tomar
la señal de salida de un circuito y reintroducirla de nuevo en el circuito. Un
circuito con realimentación está formado por los elementos siguientes:
•
Etapa amplificadora.
•
Bloque comparador que suma o resta la señal de realimentación a la señal
•
Red de realimentación.
de entrada.
Existen dos tipos de realimentación:
•
Realimentación positiva: suma la señal de realimentación a la señal de en-
•
Realimentación negativa: resta la señal de realimentación a la señal de en-
trada. Tiende a incrementar la señal de entrada.
trada. Tiende a disminuir la señal de entrada.
La ganancia de un circuito con realimentación es:
Ar =
A
1 + Aβ
(264)
donde A es la ganancia de la etapa amplificadora y β la ganancia de la red de
realimentación.
De los dos tipos de realimentación, nos hemos centrado en la realimentación
negativa y hemos visto cuatro tipos de realimentación negativa, según el modo como se conectan la etapa amplificadora y el bloque de realimentación
en la entrada y en la salida del circuito. La primera parte del nombre con el
que denominamos estos tipos de realimentación hace referencia a la variable
que miden a la salida (corriente o tensión). La segunda parte hace referencia a cómo conectamos los bloques en la entrada del circuito. Estos tipos de
realimentación negativa son los siguientes:
•
•
Realimentación de tensión en serie.
Realimentación de corriente en serie.
CC-BY-SA • PID_00170128
•
•
117
Realimentación de tensión en paralelo.
Realimentación de corriente en paralelo.
A continuación hemos visto los efectos que la realimentación introduce en
los circuitos electrónicos. Los inconvenientes principales que introduce la realimentación son los siguientes:
•
Pérdida de ganancia respecto al circuito sin realimentar en el caso de reali-
•
Inestabilidad de la ganancia del circuito realimentado en caso de realimen-
mentación negativa.
tación positiva.
Las mejoras que introduce la realimentación son las siguientes:
•
Mejora de la distorsión no lineal que introduce el bloque amplificador.
•
Disminución del ruido.
•
Mejora del ancho de banda disponible.
•
Adaptación de las impedancias de entrada y de salida del circuito realimentado.
Una vez vistos los principios teóricos de los circuitos realimentados, los hemos
aplicado al diseño de un circuito práctico con realimentación.
A continuación hemos pasado al apartado 2, dedicado a los osciladores. Hemos definido qué entendemos por oscilador: un circuito con realimentación
positiva que cumple el criterio de Barkhausen. Un oscilador, pues, como circuito con realimentación está compuesto por un bloque amplificador, un bloque de realimentación y un bloque comparador que en este caso suma (realimentación positiva) la señal realimentada a la señal de entrada.
El criterio de Barkhausen establece las condiciones para que un circuito con
realimentación positiva se comporte como un oscilador. Estas condiciones son
las siguientes:
•
El ángulo de desfase entre las señales de entrada y salida en el bloque de
realimentación debe ser cero. Es decir, la parte imaginaria de la ganancia
de lazo, Aβ, debe ser igual a cero (o un múltiplo entero de 2π).
•
El módulo de la ganancia de lazo, kAβk, debe ser igual a 1.
Una vez visto el criterio de Barkhausen, lo hemos aplicado a los ejemplos
de oscilador que hemos estudiado. Los osciladores que hemos visto son los
siguientes:
•
•
Osciladores ideales LC.
Oscilador de Hartley.
Realimentación y osciladores
CC-BY-SA • PID_00170128
•
Oscilador de Colpitts.
•
Oscilador RC en puente de Wien
•
118
Oscilador RC para desplazamiento de fase.
Finalmente, hemos estudiado con detalle un tipo de oscilador que se utiliza
muy frecuentemente: el oscilador de cristal de cuarzo. Hemos visto cómo está
hecho y sus dos modos de operación básicos: el modo en serie y el modo en
paralelo. Hemos acabado el apartado y el módulo mencionando el problema
de la deriva como limitación fundamental de este tipo de oscilador.
Realimentación y osciladores
CC-BY-SA • PID_00170128
119
Ejercicios de autoevaluación
1. Para un circuito con realimentación de tensión en paralelo, la etapa amplificadora debe
ser...
a) un amplificador de tensión.
b) un convertidor de corriente en tensión o de transresistencia.
c) un convertidor de tensión en corriente o de transconductancia.
d) un amplificador de corriente.
2. La ganancia de lazo, generalmente,...
a) es mucho más pequeña que 1.
b) es mucho más grande que 1.
c) no puede ser igual a 1.
d) está entre 0 y 1.
3. La impedancia de entrada de un circuito con realimentación de corriente en serie es...
a) generalmente mayor que la impedancia de entrada en lazo abierto o del amplificador
sin realimentar.
b) igual a la impedancia de entrada del amplificador sin realimentar.
c) generalmente menor que la impedancia de entrada del amplificador sin realimentar.
d) idealmente cero.
4. La realimentación negativa reduce...
a) el factor de realimentación β.
b) la tensión de entrada.
c) la distorsión.
d) la ganancia en lazo abierto.
5. La transconductancia de un amplificador es la relación (división) entre...
a) la tensión de salida y la corriente de entrada, vo /ii .
b) la tensión de salida y la tensión de entrada, vo /vi .
c) la corriente de salida y la corriente de entrada, io /ii
d) la corriente de salida y la tensión de entrada, io /vi .
6. Un oscilador siempre requiere un amplificador con...
a) realimentación positiva.
b) realimentación negativa.
c) ambos tipos de realimentación.
d) una red de realimentación LC.
7. El oscilador en puente de Wien es útil...
a) a frecuencias altas.
b) a frecuencias bajas y medias.
c) utilizado con una red LC.
d) para señales de entrada pequeñas.
8. El oscilador de desplazamiento de fase incluye generalmente...
a) dos bloques de tipo RC.
b) tres bloques de tipo RC.
c) un filtro en doble T.
d) un bloque de tipo LC.
9. Un material con efecto piezoeléctrico es...
a) el cuarzo.
b) las sales de Rochelle.
c) la turmalina.
d) Todas las anteriores.
10. Las frecuencias de resonancia en serie y paralelo de un cristal de cuarzo...
a) están muy cerca.
b) están muy separadas.
c) son iguales.
d) son frecuencias bajas.
Realimentación y osciladores
CC-BY-SA • PID_00170128
120
Solucionario
1. b; 2. b; 3. a; 4. c; 5. d; 6. a; 7. b; 8. b; 9. d; 10. a
Glosario
amplificador m Parte de un circuito con realimentación que multiplica la señal de entrada
por una ganancia A.
amplificador de corriente m Dispositivo que genera una corriente de salida amplificada
por una ganancia a partir de una corriente de entrada.
amplificador de tensión m Dispositivo que genera una tensión de salida amplificada por
una ganancia a partir de una tensión de entrada.
amplificador de transconductancia m Dispositivo que genera una corriente de salida
amplificada por una ganancia a partir de una tensión de entrada.
amplificador de transresistencia m Dispositivo que genera una tensión de salida amplificada por una ganancia a partir de una corriente de entrada.
criterio de Barkhausen m En circuitos osciladores, son las condiciones que se deben
cumplir para que el circuito genere una señal periódica a amplitud constante.
cuadripolo o bipuerto m Circuito que se compone de dos terminales de entrada y dos
terminales de salida. Un cuadripolo queda caracterizado si conocemos la corriente, la tensión
y la impedancia en los terminales de entrada y de salida.
deriva f En un oscilador, error que se produce en la precisión de la frecuencia de salida por
factores ambientales o desgaste de los elementos del circuito.
efecto piezoeléctrico m Propiedad que presentan algunos materiales consistente en que
se deforman mecánicamente cuando aplicamos una diferencia de potencial entre sus caras y
viceversa.
frecuencia de resonancia f En un circuito oscilador es aquella frecuencia que da un
máximo en la amplitud de la señal periódica generada.
ganancia f En un circuito, relación (división) entre la señal de salida y la señal de entrada.
oscilador m Circuito que es capaz de generar una señal de salida periódica de amplitud y
frecuencia constantes a partir de un impulso de entrada finito en tiempo.
realimentación f Acción de tomar parte o toda la señal de salida de un circuito y reinyectarla en la entrada del mismo circuito.
realimentación negativa f En un circuito con realimentación, acción de restar la señal
de realimentación a la señal de entrada en el circuito.
realimentación positiva f En un circuito con realimentación, acción de sumar la señal
de realimentación a la señal de entrada al circuito.
red de comparación f Parte de un circuito con realimentación que suma o resta la señal
que sale del bloque de realimentación a la señal de entrada al circuito.
red de medida f Parte de un circuito con realimentación que toma una corriente o tensión
en la salida del circuito y la reinyecta a la red de realimentación.
red de realimentación f Parte de un circuito con realimentación que procesa la señal de
salida del circuito y devuelve una señal que sumaremos o restaremos a la señal de entrada.
Se caracteriza por la ganancia β.
sobretono m Múltiplo entero de la frecuencia de resonancia. En estas frecuencias la amplitud de la señal periódica generada por el oscilador también es máxima.
Realimentación y osciladores
CC-BY-SA • PID_00170128
121
Bibliografía
Boylestad, Robert; Nashelsky, Robert. Electrónica: teoría de circuitos y dispositivos electrónicos (8.a ed.). Pearson, Prentice Hall.
Hambley, Allan R. Electrónica (2.a ed.). Pearson, Prentice Hall.
Malvino, Albert Paul (2000). Principios de electrónica. Madrid: McGraw-Hill.
Realimentación y osciladores