El método del lugar de las raíces.

El método del lugar de las raíces.
Las características de un sistema de lazo cerrado son determinadas por los
polos de lazo cerrado. Los polos de lazo cerrado son las raíces de la ecuación
característica. Para encontrarlos se debe descomponer en factores la ecuación
característica lo que resulta muy laborioso. El método del lugar de las raíces está
basado en técnicas de tanteo y error y es un procedimiento gráfico, por el cual se
trazan las raíces de la
ecuación exactamente para todos los valores
parámetro del sistema que normalmente es la ganancia K variándola
de un
desde 0 a
∞.
Este método permite encontrar los polos de lazo cerrado partiendo de los polos
y ceros de lazo abierto tomando a las ganancias como parámetro.
Un ejemplo sería: Encontrar las posiciones de los polos de lazo cerrado variando
K algunos valores a partir de la función de transferencia de lazo abierto :
GH(S) =
K
S(S+2)
Para encontrar los polos de lazo cerrado se resuelve la ecuación característica
1+ GH(S) =0
1+
K
=0
S(S+2)
S2 + 2 S + K =0
Resolviendo queda :
S1,2 = -1 ±
1–K
K=0
S1 = 0
S2 = -2
K=2
S1= -1 + j S2 = -1 – j
K= 1
S1= -1
S2 = -1
K= ∞ . S1= -1 + j∞ S2 = -1 -j∞
Si extendemos los puntos en una gráfica en el plano S se tiene
X K= ∞ .jw
X K= 2
K=0
X
K=0
X K=1
X
σ
-2
X K= 2
X K= ∞ .
Por lo complicado que sería el trazo para todos los valores de K y ecuaciones de
orden superior a 2 se prefiere usar el trazado del lugar de las raíces usando reglas
de construcción y los criterios de ángulo y de magnitud.
Criterio de magnitud y el criterio del ángulo.
Criterio de magnitud
GH(S)
= 1
Criterio del ángulo
= ( 2l +1 )180° para l = 0,1,2,3, ....
GH(S)
Formas de representación de un numero complejo.
Forma rectangular S = x +J y
Forma trigonométrica
x= r cos θ
y = r sen θ
r=
x2+ y2
S = r (cos θ +j sen θ )
Forma polar.
S= r
θ
Forma exponencial.
S=
r e jθ
Propiedades de los números complejos.
Z = r1 e
j θ1
r2 e
4
r
j θ2
e j θ4
r3 e
j θ3
= r1 r2 r3
4
r
e j (θ1 +
θ2+ θ3 - θ4)
Z = r1 r2 r3
θ1 + θ2+ θ3 - θ4
4
r
Interpretación geométrica del lugar de las raíces.
Consideremos una función del tipo :
(Los ángulos de las magnitudes
complejas originadas de los polos de
lazo abierto y de los ceros de lazo abierto al punto de prueba son medidos en
el sentido antihorario) La cual se puede representar en forma gráfica como:
Cuando
K=0 ;los polos
de lazo cerrado son los
mismos que los de polo
abierto.
S I se miden las magnitudes y los ángulos de la gráfica se deben
cumplir los criterios de ángulo y magnitud
= ± 180°
Aparte de los criterios de magnitud y de ángulo se puede proceder con las
siguientes reglas :
Reglas de construcción del lugar de las raíces.
1° Número de ramas. El número de ramas es igual al número de polos de la
función de transferencia de lazo abierto GH(s).
2º.- Lugares en el eje real.- se ubican los polos y ceros de lazo abierto en el
plano complejo (en el ejemplo anterior no hay ceros).
Reglas para K>0. hay puntos del lugar de las raíces sobre el eje real que
quedan hacia la izquierda de un numero impar de polos y ceros finitos.
Reglas para K<0. hay puntos del lugar de las raíces sobre el real que quedan
hacia el eje izquierdo del numero par de polos y ceros finitos.
Ejemplo :
3º.- La trayectoria del lugar de las raíces siempre comienza en un polo K=0 y
termina en un cero K = ∞.En caso de que el numero de polos sea mayor al de
ceros, se consideran ceros infinitos, por lo que existen polos y ceros finitos e
infinitos.
4º Determinar las asíntotas de los lugares de las raíces. En las distancias
alejadas al origen en el plano S, las ramas del lugar de las raíces tienden hacia
un conjunto de asíntotas en línea recta. Estas asíntotas salen de un punto en el
plano S sobre el eje real denominado el centro de asíntotas
σc
Pi son los polos de lazo abierto
Zi son los ceros de lazo abierto
n – nº de polos
m– nº de ceros de GH
los ángulos entre las asíntotas y el eje real esta dado por:
dado por:
el número de asintotas es n – m.
“ I ” es el nº de ramas.
5º.- Punto de ruptura σb.
Es el punto donde la trayectoria sale del eje real hacia la parte imaginaria.
Se considera el valor máximo de K sobre el eje real y se usa el criterio de
magnitud.
Se usa la siguiente formula:
6° Cruce por el eje Jw
.
En el ejemplo anterior, para encontrar el cruce con el eje jω se puede usar la
tabla de Routh a partir de la ecuación característica.
1 + GH(s) = 0
s(s+1)(s+2) + K = 0
s3 + 3s2 + 2s +K =0
s3
s2
s1
0
s
1
2
3
K
(6 – K )
3
K
La condición de estabilidad es
0<K <6
K está en la frontera de la estabilidad y se considera oscilatoria la
respuesta en K= 6. Para encontrar la w en el cruce con el eje jw se
considera una fila de la tabla de Routh con sus coeficientes asociados
, se toma s =jw y se iguala a cero.
3 S2 + K = 0
3( j w )2 + 6 = 0
w = ±√2
El cruce se da en ±√2 J
7a Encontrar la curva exacta,
A partir del criterio del ángulo.
Para esto se usa la identidad trigonométrica.
Tg( x+ y ) =
tg x + tg y
se considera S= σ + j w
1 - tg x tg y
Ejemplo : Encontrar la curva exacta dado :
Ejemplo 2. Demostrar que el lugar de la raíces es una circunferencia
centrada en –3 , 0 y de radio √6
Ejemplo : Demostrar que la trayectoria del lugar de la raíces
corresponde a arcos de una circunferencia centrada en el origen y de
radio √10
G(s) = K(s2 +6s+10)
(s2 +2s+10)
H(s)=1
G(s) = K (s + 3 + j ) (s +3 – j )
(s + 1 + 3j ) ( s + 1 – 3j )
s+3+j + s+ 3-j
- s+1+3j - s+1-3j = 180°
σ + j w+3+j + σ +j w+3-j = 180° + σ +jw +1 + 3j + σ +jw +1 - 3j
tg-1 w + 1 + tg-1 w - 1 = 180° + tg-1 w + 3 + tg-1 w - 3
σ+3
σ+3
σ+1
σ+1
w + 1 + w -1
σ+3
σ+3
w+3 + w-3
σ+1
σ+1
=
1 - (w + 1) (w - 1)
σ+3 σ+3
σ+3
(σ+3)2 – (w2 -1)
1 - (w + 3) (w - 3)
σ+1 σ+1
=
σ+1
(σ+1)2 – (w2-9)
(σ+3) (σ2 + 2σ + 1- w2 + 9) = (σ+1) (σ2 + 6σ + 9 - w2 + 1)
σ2 + w2 =10
s = -1+3j
x
s = -3+j ●
s = -3-j ●
x
s = -1-3j
Demostrar que la trayectoria del lugar de las raíces es una recta
k
GH ( s ) =
s ( s + 4)( s + 2 + 2 j )( s + 2 − 2 j )
∠s − ∠s + 4 − ∠s + 2 + 2 j − ∠s + 2 − 2 j = 180°
ω
ω
ω+2
ω−2
− tg −1 − tg −1
− tg −1
− tg −1
= ±180o
σ
σ +4
σ +2
σ +2
− tg −1
ω
ω
ω+2
ω−2
− tg −1
= tg −1
+ tg −1
σ
σ +4
σ +2
σ +2
Aplicando las fórmulas
ω (2σ + 4)
ω+2 ω−2
+
(σ )(σ + 4)
- σ +2 σ +2 = −
ω+2 ω−2
ω ω
1− (
)(
)
1 − ( )(
)
σ +2 σ +2
σ σ +4
− σ 2 − 4σ + ω − 8 = σ 2 + 4σ − ω 2
2σ 2 + 8σ − 2ω 2 + 8 = 0
σ 2 + 4σ − ω 2 + 4 = 0
σ 2 + 4σ + 4 = ω 2
(σ + 2) 2 = ω 2
(σ + 2) = ω
Lo cual es la ecuación de una recta . El lugar de las raíces quedaría :
8° Ángulo de partida de un polo complejo
El ángulo de partida del lugar de las raíces donde un polo complejo
esta dado por θD = 180º + arg GH´ donde arg GH´ es el ángulo de fase
de GH calculado en el polo complejo cero ignorando la contribución de
un polo en particular.
Para encontrar el ángulo de salida de un polo se considera su punto
de prueba en un punto muy cercano al polo de prueba de manera que
la condición de ángulo de ese polo no se considera.