1 Decaimiento radioactivo. E: Un año después de la producción de

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Decaimiento radioactivo.
E: Un año después de la producción de cierta sustancia radioactiva, se tenían 100 g de ésta y dos
años después 75 g; ¿cuánto se produjo inicialmente?; ¿cuál es la vida media de la sustancia?
D: H Si M.t/ es la cantidad (en gramos) de sustancia radioactiva al cabo de t años, entonces:
M.1/ D 100
y
M.2/ D 75:
Suponiendo que M0 es la cantidad inicial de sustancia, M.t/ está determinada por la solución
del PVI:
M 0 .t/ D kM.t/;
con M.0/ D M0 y además M.1/ D 100 & M.2/ D 75:
La solución general de la ecuación diferencial es
M.t/ D C e kt :
Aplicando las condiciones se obtiene:
M.0/ D M0 ) C e 0 D M0 ) C D M0 ) M.t/ D M0 e kt :
Entonces:
M.1/ D 100 ) M0 e k D 100 & M.2/ D 75 ) M0 e 2k D 75:
Se tiene así un sistema de dos ecuaciones:
M0 e k D 100
&
M0 e 2k D 75:
Dividiendo la segunda ecuación entre la primera se tiene que:
75
M0 e 2k
D
) e k D 0:75 ) k D ln.0:75/ D 0:2877:
k
M0 e
100
Usamos el valor de k en cualquiera de las dos ecuaciones para despejar M0 :
M0 e k D 100 ) M0 D
100
D 100e
ek
k
D 100e 0:2877 D 133:33 :
Por lo tanto, la cantidad inicial de sustancia radioactiva es:
M0 D 133:33 g.
y la cantidad al cabo de t años es:
M.t/ D 133:33e .
0:2877/t
:
¿Cuál es la vida media de la sustancia? Sea t D tm la vida media.
tm D
ln 2
D
k
ln 2
D 2:41 :
0:2877
Por lo tanto:
tm D 2:41 años 2 años, 150 días.
3. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010