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1. Utilizando el método de Karnaugh simplificar la siguiente
expresión lógica:
Solución:
En primer lugar se obtiene la tabla de verdad, identificando las salidas
activas, las cuales se implementan como productos lógicos.
A continuación se trasladan los unos al mapa de Karnaugh de dos
variables, que posee cuatro casillas, una para cada combinación de entradas.
Se agrupan los «1», formando asociaciones de cuatro o de dos «unos»
contiguos. En este caso sólo se pueden formar dos asociaciones de «dos unos
adyacentes».
Se elimina de la agrupación aquella variable que aparece con los dos
valores digitales (aparece la variable y su negado).
En la asociación horizontal la variable A adopta ambos valores digitales,
luego se suprime.
En el grupo vertical ocurre lo mismo pero con la variable B.
Los «minterms» simplificados se implementan por suma lógica y, en este
caso, corresponde a la función siguiente:
F= A + B (puerta suma).
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2. Simplificar por el método de Karnaugh la siguiente expresión:
Dibujar un circuito que realice dicha función con puertas lógicas
Solución:
En primer lugar obtenemos la expresión canónica. En los sumandos
donde falte alguna variable, añadiremos la suma de las variables que falten en
su forma directa y complementada.
Esto sucederá en el primer y último sumando de la expresión a
simplificar.
Quitando paréntesis:
Realizamos a continuación el mapa de Karnaugh para cuatro variables.
Obtenemos 4 agrupaciones: 3 de 4 unos y 1 de 2 unos. Procedemos
entonces a eliminar aquellas variables en a
l s agrupaciones donde aparezca
una variable directa y su negada.
La función simplificada es:
El circuito con puertas lógicas es el siguiente:
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3. Diseñar un circuito electrónico que cumpla la siguiente tabla de
verdad para la función F(a, b, c) con el menor número de puertas lógicas.
Solución:
Situamos los términos que hacen verdadera la función sobre la
cuadrícula de tres variables para simplificar por el método de Karnaugh.
Obtenemos 3 agrupaciones. Eliminando variables, a
l función obtenida
es:
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y su circuito con puertas lógicas NOT, OR y AND es el siguiente:
4. Un motor eléctrico puede girar en ambos sentidos por medio de
dos contactores: “D” para el giro a derecha y “I” para el giro a izquierda.
Estos dos contactores son comandados por dos pulsadores de giro
“d” (derecha) e “i” (izquierda) y un interruptor de selección “L” de
acuerdo con las siguientes condiciones:
• Si sólo se pulsa uno de los dos botones de giro, el motor gira en
el sentido correspondiente.
• Si se pulsan los dos botones de giro simultáneamente, el sentido
de giro depende del estado del interruptor “L”de forma que:
• Si “L” está activado, el motor gira a la derecha.
• Si “L” está en reposo, el motor gira a la izquierda.
Se pide:
a) La tabla de verdad.
b) Las funciones lógicas D e I y simplificarlas.
c) Su circuito lógico mediante puertas.
Solución:
a) Realizamos la tabla de verdad teniendo en cuenta las dos salidas:
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b) De las funciones deducidas de la tabla, situamos sus términos sobre
las cuadrículas correspondientes de tres variables, las agrupamos y las
simplificamos por Karnaugh:
c) El circuito lógico con puertas NOT, Or y AND será:
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5. Un motor es controlado mediante tres pulsadores A, B y C.
Diseñe su circuito de control mediante puertas lógicas que cumpla
las siguientes condiciones de funcionamiento:
• Si se pulsan los tres pulsadores el motor se activa.
• Si se pulsan dos pulsadores cualesquiera, el motor se activa pero
se enciende una lámpara adicional como señal de emergencia.
• Si sólo se pulsa un pulsador, el motor no se activa, pero se
enciende la lámpara indicadora de emergencia.
• Si no se pulsa ningún interruptor, ni el motor ni la lámpara se
activan.
Solución:
Obtenemos la tabla de verdad para las dos salidas, según las
condiciones de funcionamiento:
Expresamos las funciones canónicas de las salidas:
Por el método de Karnaugh obtenemos sus funciones simplificadas:
Por último, dibujamos su circuito con puertas lógicas:
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6. Dado el circuito adjunto relizado con puertas lógicas:
a) Obtener la función lógica F (x, y, z, v).
b) Obtener su tabla de verdad.
c) Realizar de nuevo el circuito con el menor número de puertas
lógicas.
Solución:
a) En el circuito existen puertas OR, NOR y AND.
La función que se obtiene del circuito es:
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La función resultante según se indica en la figura anterior es:
si la simplificamos algebraicamente por la propiedad de absorción, es
decir; a · (a + b) = a
En nuestro problema, nos queda la expresión:
Quitando paréntesis:
b) Obtenemos su expresión canónica para poder realizar su tabla de
verdad, recordando que en los sumandos donde falte alguna variable,
añadiremos la suma de las variables que falten en su forma directa y
complementada.
Por lo tanto,
La tabla de verdad será la siguiente:
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c) Situamos los tres términos sobre la cuadrícula para simplificarlos por
el método de Karnaugh:
Obtenemos la función, que es la misma que se obtuvo por simplificación
algebraica:
El circuito resultante será:
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7. Un sistema electrónico de alarma está constituido por cuatro
detectores a, b, c y d. La alarma debe dispararse cuando se activen tres o
cuatro detectores.
Si se activan sólo dos detectores su disparo es indiferente.
La alarma nunca debe dispararse si se activa un solo detector o
ninguno.
Por último y por razones de seguridad, se deberá activar si a = 0, b
= 0, c = 0 y d = 1.
Diseñe un circuito de control para esta alarma con el menor número
posible de puertas lógicas.
Solución:
Realizamos la tabla de verdad basándonos en las condiciones del
problema. Los términos indiferentes se marcarán con una X.
Situamos los términos sobre la cuadrícula para simplificarlos por el
método de Karnaugh:
Sólo utilizaremos los términos indiferentes necesarios para
simplificación. De los agrupamientos deducimos la función simplificada:
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la
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El circuito resultante será
8. Demostrar que con circuitos integrados constituidos únicamente
por puertas NAND se pueden obtener el resto de las puertas: NOT, OR,
AND y NOR.
Lo mismo, pero con circuitos integrados constituidos únicamente
por puertas NOR.
Solución:
Circuitos con puertas NAND.
Puerta NOT
Puerta AND
Puerta OR
Puerta NOR
Circuitos con puertas NOR
Puerta NOT
Puerta OR
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Puerta AND
Puerta NAND
9. Un contactor, para accionamiento de un motor eléctrico, está
gobernado por tres finales de carrera X, Y, Z de modo que funciona si se
cumple alguna de las siguientes condiciones.
X accionado
Y en reposo
Z en reposo
X en reposo
Y accionado
Z accionado
X en reposo
Y en reposo
Z accionado
X accionado
Y accionado
Z en reposo
Hallar la tabla de verdad, el mapa de Karnaugh, la expresión lógica
mínima y el diagrama lógico.
Solución:
Consideraremos que el accionado del final de carrera equivale al uno
lógico, y el reposo al cero» lógico.
La tabla de verdad es la siguiente:
A continuación situamos los términos sobre la cuadrícula para
simplificarlos por el método de Karnaugh:
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La función simplificada es F = X· Z + X · Z
El circuito formado por puertas lógicas es el siguiente:
10. Un zumbador debe de accionarse para dar una señal de alarma
cuando cuatro relés A, B, C y D cumplen las siguientes condiciones:
A y B excitados, C y D en reposo. A y D excitados, B y C en reposo.
C excitado, A, B y D en reposo. A, B y C excitados, D en reposo.
Se pide:
La tabla de verdad correspondiente, la función lógica de
funcionamiento y el esquema con puertas lógicas.
Solución:
Cada relé constituye una variable de entrada y la salida es el estado del
zumbador.
En primer lugar se realiza la tabla de verdad.
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A continuación se trasladan los unos al mapa de Karnaugh de cuatro
variables, se agrupan términos y se eliminan variables.
La función lógica de funciona miento del circuito que se pide es:
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