Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Diferenciabilidad Regla de la cadena (vectorial) Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) 1 Función diferenciable 2 Regla de la cadena (2 variables) 3 Regla de la cadena (vectorial) Regla de la cadena (vectorial) Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) OBJETIVO Generalizar el concepto de diferenciabilidad (conocido ya para funciones de una variable) a funciones de varias variables. Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Caso de una variable Una función de una variable es diferenciable en un punto x0 si existe un número real t tal que: f (x0 + h) − f (x0 ) = t. h h→0 lı́m Esto también puede expresarse como que f (x0 + h) − f (x0 ) = t + E(h), h con E(h) continua en h = 0 y tal que E(0) = 0 o bien f (x0 + h) = f (x0 ) + ht + hE(h) Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Caso de una variable O si lo preferimos, para valores de x “próximos” a x0 existe un número real t y una función E tales que lı́mx→x0 E(x − x0 ) = 0 y f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )t + (x − x0 )E(x − x0 ) OBSERVACIÓN: Nótese que esta igualdad obliga a que t sea f 0 (x0 ). Interpretación geométrica: f (x) es igual a la recta tangente (no vertical) a la gráfica de f en el punto de abcisa x − x0 más un error que tiende a cero de “grado” superior a 1 ((x − x0 )E(x − x0 )) cuando x → x0 (tiende a 0 “más rápidamente que” x − x0 ). Informalmente: para puntos “cercanos” a (x0 , f (x0 )) la gráfica de f “es muy parecida” a la de y = f 0 (x0 )(x − x0 ) (la recta tangente). Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Generalización a funciones de 2 variables Generalización de la idea geométrica (intuitiva): una función de dos variables f (x, y ) será diferenciable en un punto (x0 , y0 ) interior de su dominio si la gráfica de f en (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) tiene plano tangente no vertical. Generalización: Definición Sea f : A ⊆ R2 −→ R y sea (x0 , y0 ) punto interior de A. Diremos que f es diferenciable en (x0 , y0 ) si existen reales p, t1 y t2 y existen funciones φ, ψ : R2 −→ R continuas en (0, 0) con φ(0, 0) = ψ(0, 0) = 0 de modo que para cualesquiera h, k tales que k(h, k)k∞ < p se cumple que f (x0 + h, y0 + k) = f (x0 , y0 ) + ht1 + kt2 + hφ(h, k ) + kψ(h, k) La definición es independiente de la existencia o no de derivadas parciales Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Derivable ⇒ Existen las derivadas parciales Teorema Sea f : A ⊆ R2 −→ R y sea (x0 , y0 ) punto interior de A. Si f es diferenciable en (x0 , y0 ), entonces existen las derivadas ∂f ∂f (x0 , y0 ) = t1 y (x0 , y0 ) = t2 parciales ∂x ∂y (Demostrar) Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Interpretación geométrica Si f (x, y) es diferenciable (x0 , y0 ): f (x0 +h, y0 +k) = f (x0 , y0 ) + ∂f ∂f (x0 , y0 )h + (x0 , y0 )k ∂x ∂y +hφ(h, k ) + kψ(h, k) si llamamos x = x0 + h, y = y0 + k : f (x, y) = f (x0 , y0 ) + D1 f (x0 , y0 )(x − x0 ) + D2 f (x0 , y0 )(y − y0 ) + + (x − x0 ) φ (x − x0 ), (y − y0 ) + (y − y0 ) ψ (x − x0 ), (y − y0 ) f (x, y ) es igual al plano tangente (no vertical) más un error (bidimensional) que tiende a cero con grado superior a 1. Gráficamente: f es diferenciable en (x0 , y0 ) si la gráfica de f en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) tiene plano tangente (no vertical). Si f es diferenciable entonces existen todas las rectas tangentes en el punto, luego existen las derivadas parciales, y todas las derivadas direccionales. Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Dos teoremas importantes Teorema Sea f : A ⊆ R2 −→ R y sea (x0 , y0 ) punto interior de A. Si f es diferenciable en (x0 , y0 ), entonces f es continua en (x0 , y0 ). Teorema Sea f : A ⊆ R2 −→ R y sea (x0 , y0 ) punto interior de A. Si D1 f Y D2 f son continuas en un entorno de (x0 , y0 ), entonces f es diferenciable en (x0 , y0 ). Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) 1 Función diferenciable 2 Regla de la cadena (2 variables) 3 Regla de la cadena (vectorial) Regla de la cadena (vectorial) Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Curvas parametrizadas Las curvas parametrizadas (o paramétricas) son funciones continuas γ : X ⊆ R → R2 : γ(t) = (γ1 (t), γ2 (t)) donde X es una unión de intervalos Ejemplos: Parametrización de la circunferencia unidad y parametrización de una recta. Diferenciabilidad Sea γ : I ⊂ R −→ R2 , γ(t) = (γ1 (t), γ2 (t)) y sea t0 un punto interior de I. Diremos que γ es diferenciable en t0 si γ1 y γ2 lo son, y llamaremos derivada de γ en t0 a γ 0 (t0 ) = γ10 (t0 ), γ20 (t0 ) Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Composición R → R2 → R Regla de la Cadena (2 variables) Sea γ : I ⊂ R −→ A ⊂ R2 , γ(t) = (γ1 (t), γ2 (t)) una función diferenciable en t0 punto interior de I. Sea f : A ⊆ R2 −→ R diferenciable en (x0 , y0 ) = γ(t0 ) punto interior de A. Entonces, la función compuesta g : I −→ R, definida por g(t) = f (γ(t)) = f (γ1 (t), γ2 (t)), es diferenciable en t0 y su derivada es g 0 (t0 ) = D1 f (γ(t0 ))γ10 (t0 ) + D2 f (γ(t0 ))γ20 (t0 ) Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Otra notación Regla de la Cadena (2 variables)- Con notación de Leibniz Sea γ : I ⊂ R −→ A ⊂ R2 , γ(t) = (x(t), y(t)) una función diferenciable en t0 punto interior de I. Sea f : A ⊆ R2 −→ R diferenciable en (x0 , y0 ) = γ(t0 ) = (x(t0 ), y (t0 )) punto interior de A. Entonces, la función compuesta g : I −→ R, definida por g(t) = f (γ(t)) = f (x(t), y (t)), es diferenciable en t0 y su derivada es g 0 (t0 ) = dx ∂f dy ∂f (x(t0 ), y(t0 )) (t0 ) + (x(t0 ), y (t0 )) (t0 ) ∂x dt ∂y dt Ejemplo: Cálculo de la derivada de f ◦ γ donde γ(t) = (cos(t), sen(t)) y f (x, y) = xy. Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Regla de la cadena usando el vector gradiente Definición Sea f : A ⊆ R2 −→ R con derivadas parciales de primer orden en A. Llamaremos vector gradiente de f en (x, y ) ∈ A a ∇f (x, y) = D1 f (x, y), D2 f (x, y ) Otra fórmula para la Regla de la Cadena g 0 (t0 ) = ∇f (γ(t0 )) · γ 0 (t0 ) Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Aplicación de la regla de la cadena: cálculo de derivadas direccionales Teorema Sea f : A ⊆ R2 −→ R diferenciable en (x0 , y0 ) punto interior de A y sea v = (v1 , v2 ) ∈ R2 un vector unitario. Entonces, la derivada direccional Dv f (x0 , y0 ) puede calcularse como Dv f (x0 , y0 ) = D1 f (x0 , y0 )v1 + D2 f (x0 , y0 )v2 = ∇f (x0 , y0 ) · v (Demostrar) Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Algunas observaciones Si f es diferenciable en (x0 , y0 ), entonces la gráfica de f tiene plano tangente en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) y este plano contiene a todas las rectas tangentes (derivadas direccionales), luego conociendo dos de ellas (por ejemplo las correspondientes a las derivadas parciales) todas las demás pueden expresarse como combinación de ellas. Si f es diferenciable en (x0 , y0 ), entonces la derivada de f en la dirección dada por cualquier vector unitario v ∈ R2 es Dv f (x0 , y0 ) = ∇f (x0 , y0 ) · v = k∇f (x0 , y0 )kkv k cos(θ). Esta expresión es máxima cuando el vector v es proporcional a ∇f (x0 , y0 ) (es decir, cos(θ) = 1). Por lo tanto, la dirección de pendiente máxima de f en el punto (x0 , y0 ) viene dada por el vector gradiente ∇f (x0 , y0 ). Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Generalización a varias variables ∇f (x1 , x2 , . . . , xn ) = = D1 f (x1 , x2 , . . . , xn ), D2 f (x1 , x2 , . . . , xn ), . . . , Dn f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn g 0 (t) = D1 f (γ(t))γ10 (t) + D2 f (γ(t))γ20 (t) + · · · + Dn f (γ(t))γn0 (t) o bien g 0 (t) = ∇f (γ(t)) · γ 0 (t) Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) 1 Función diferenciable 2 Regla de la cadena (2 variables) 3 Regla de la cadena (vectorial) Regla de la cadena (vectorial) Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) R2 ϕ / Rn f Regla de la cadena (vectorial) /R f depende de n variables y toma valores reales: f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R ϕ depende de 2 variables y tiene n componentes: ϕ(x, y ) = (ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y ), . . . , ϕn (x, y)) Consideremos la función compuesta: g(x, y ) = f (ϕ(x, y )) = f (ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y), . . . , ϕn (x, y )) | {z } | {z } | {z } x1 x2 xn Puede verse como un “cambio de variable” en el que cada xi pasa a depender de x e y por medio de la función ϕi : xi = ϕi (x, y) Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Regla de la cadena (con notación de Leibniz) g(x, y ) = f (ϕ(x, y)) = f (ϕ1 (x, y ), ϕ2 (x, y), . . . , ϕn (x, y )) | {z } | {z } | {z } x1 x2 xn ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 ∂f ∂xn ∂g = + + ··· + ∂x ∂x1 ∂x ∂x2 ∂x ∂xn ∂x ∂g ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 ∂f ∂xn = + + ··· + ∂y ∂x1 ∂y ∂x2 ∂y ∂xn ∂y Con notación matricial: ∂x1 ∂x h ∂g ∂x ∂g ∂y i = h ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 i ∂x2 ∂f · · · ∂xn · ∂x. .. ∂xn ∂x ∂x1 ∂y ∂x2 ∂y .. . ∂xn ∂y Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Regla de la cadena (con notación de Leibniz) g(x, y ) = f (ϕ(x, y)) = f (ϕ1 (x, y ), ϕ2 (x, y), . . . , ϕn (x, y )) | {z } | {z } | {z } x1 x2 xn ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 ∂f ∂xn ∂g = + + ··· + ∂x ∂x1 ∂x ∂x2 ∂x ∂xn ∂x ∂g ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 ∂f ∂xn = + + ··· + ∂y ∂x1 ∂y ∂x2 ∂y ∂xn ∂y Con notación matricial: ∂x1 ∂x ∇g = h ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 i ∂x2 ∂f · · · ∂xn · ∂x. .. ∂xn ∂x ∂x1 ∂y ∂x2 ∂y .. . ∂xn ∂y Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Regla de la cadena (con notación de Leibniz) g(x, y ) = f (ϕ(x, y)) = f (ϕ1 (x, y ), ϕ2 (x, y), . . . , ϕn (x, y )) | {z } | {z } | {z } x1 x2 xn ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 ∂f ∂xn ∂g = + + ··· + ∂x ∂x1 ∂x ∂x2 ∂x ∂xn ∂x ∂g ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 ∂f ∂xn = + + ··· + ∂y ∂x1 ∂y ∂x2 ∂y ∂xn ∂y Con notación matricial: ∂x1 ∂x ∂x2 ∇g = ∇f · ∂x. .. ∂xn ∂x ∂x1 ∂y ∂x2 ∂y .. . ∂xn ∂y Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Regla de la cadena (con notación de Leibniz) g(x, y ) = f (ϕ(x, y)) = f (ϕ1 (x, y ), ϕ2 (x, y), . . . , ϕn (x, y )) | {z } | {z } | {z } x1 x2 xn ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 ∂f ∂xn ∂g = + + ··· + ∂x ∂x1 ∂x ∂x2 ∂x ∂xn ∂x ∂g ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 ∂f ∂xn = + + ··· + ∂y ∂x1 ∂y ∂x2 ∂y ∂xn ∂y Con notación matricial: ∇ϕ1 ∇ϕ 2 ∇g = ∇f · .. . ∇ϕn Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Matriz de Jacobi La matriz formada por las m × n derivadas parciales (Di ϕj (x)) de una función ϕ : Rn −→ Rm , se llama matriz de Jacobi de ϕ en el punto x, y se denota por Jϕ (x). También puede entenderse como los gradientes de las m funciones escalares componentes de ϕ dispuestos en filas: D1 ϕ1 (x) D2 ϕ1 (x) . . . Dn ϕ1 (x) ∇ϕ1 (x) D1 ϕ2 (x) D2 ϕ2 (x) . . . Dn ϕ2 (x) ∇ϕ2 (x) Jϕ (x) = = .. .. .. ... . . ... . ∇ϕ m (x) D1 ϕm (x) D2 ϕm (x) . . . Dn ϕm (x) Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Regla de la cadena con matrices de Jacobi En general, para funciones vectoriales, la regla de la cadena afirma que (en las condiciones adecuadas) la matriz Jacobi de la función compuesta es el producto de las matrices de Jacobi de ambas funciones: Rn f / Rm g / Rk Jg◦f (x) = Jg (f (x)) · Jf (x) Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Ejemplo: g(x, y) = f u(x, y), v (x, y ), w(x, y) g es la función compuesta de f : R3 −→ R, f (u, v , w), con una función ϕ : R2 −→ R3 , ϕ(x, y) = (u(x, y ), v (x, y ), w(x, y)). ¿Cuál es la derivada parcial de f u(x, y ), v (x, y), w(x, y ) respecto de x? % x & y u % f → % x & y v & % x & y w ∂g ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂w = + + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Ejemplo: g(x, y) = f u(x, y), v (x, y ), w(x, y) g es la función compuesta de f : R3 −→ R, f (u, v , w), con una función ϕ : R2 −→ R3 , ϕ(x, y) = (u(x, y ), v (x, y ), w(x, y)). ¿Cuál es la derivada parcial de f u(x, y ), v (x, y), w(x, y ) respecto de x? % x u % f → & y % x & y % x & y v & w o más exactamente ∂u ∂v ∂w ∂g ∂f ∂f ∂f (x, y ) = ϕ(x, y ) (x, y )+ ϕ(x, y ) (x, y )+ ϕ(x, y) (x, y ) ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x Función diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Ejemplo: g(x, y) = f u(x, y), v (x, y ), w(x, y) También puede verse con matrices de Jacobi: Como g = f ◦ ϕ : R2 ϕ / R3 f / R se tiene que: Jg (x, y ) = Jf (ϕ(x, y )) · Jϕ (x, y) Por tanto: ∂u (x, y ) ∂x ∂v ∂f (x, y ) (ϕ(x, y )) · ∂x ∂w ∂w (x, y ) ∂x Jg (x, y ) = ∂f (ϕ(x, y )) ∂u ∂f (ϕ(x, y)) ∂v ∂u (x, y ) ∂y ∂v (x, y ) ∂y ∂w (x, y ) ∂y Multiplicando ambas matrices se obtendrá el gradiente de g (y, en particular, su parcial respecto de x).