tema 1: los números enteros

TEMA 1: LOS NÚMEROS
ENTEROS
Segundo Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.E.S de Fuentesaúco.
Manuel González de León.
CURSO 2011 -2012
2º E.S.O.
TEMA 1: LOS NÚMEROS ENTEROS
Consejería de Educación
I.E.S. “FUENTESAÚCO”
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS
1. Los Números Enteros.
2. Suma y resta de números enteros.
3. Multiplicación y división exacta de números enteros.
4. Operaciones combinadas con números enteros.
5. La divisibilidad en los números enteros.
1.- LOS NÚMEROS ENTEROS::.
Ante la imposibilidad de realizar ciertas restas en el campo de los números naturales, hay que
inventar otros números: Los Enteros.
El conjunto de los números enteros se representan con la letra Z.
Está formado por:

Los enteros positivos: 1, 2, 3, 4, 5,....................

Los enteros negativos: 1, ,.............

El cero: 0
Su representación gráfica se realiza sobre una recta especial: LA RECTA DE LOS NÚMEROS ENTEROS:
Entre dos números enteros hay un salto.
Entre dos números enteros consecutivos no hay ningún otro número entero.
Entre dos números enteros consecutivos existen infinitos números decimales.
a. Valor absoluto de un número entero.
Es el número que resulta una vez que suprimimos el signo del número entero.
Se representa con dos barras:
Ej.
5 5
5 5
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b. Enteros Opuestos:
Dos números enteros son opuestos si tienen el mismo valor absoluto y distinto signo.
Ej.
5 5
5 5
Los números 5 y 5 son números opuestos.
Ejercicio resuelto nº 1 y Ejercicios nº 1 y nº 2, pg nº9
2.- SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS::.
 Suma de números enteros:
1. Suma de dos números enteros
a. Del mismo signo:
Se suman sus valores absolutos y se pone el signo que tienen los sumandos
b. De distinto signo
Se restan sus valores absolutos (al mayor se le resta el menor).Se pone el signo del sumando que
tiene mayor valor absoluto.
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2.- Suma de varios números enteros con distintos signos.
Se suman separadamente los enteros positivos y los negativos, y seguidamente se suma el
entero positivo y el negativo obtenidos.

Resta de números enteros:
Se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. RESTA ES SUMAR EL OPUESTO
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En la práctica lo mejor para restar es quitar paréntesis
Ej. 3,4 y5
3.- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EXACTA DE NUMEROS ENTEROS::.
a. Multiplicación.
Para calcular el producto de dos números enteros:
1º Se calcula el producto de los valores absolutos de los factores.
2º Al resultado obtenido se le pone el signo correspondiente según la regla de los signos:
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Para calcular el producto de varios números enteros:
Se calcula el producto de los valores absolutos de los factores.
El resultado es:
+

Si tiene un número par de factores.
..negativos.
Si tiene un número impar de factores.
..negativos.
Propiedades:
1. Propiedad interna
 a, b  Z  a  b  x y x  Z
2. Asociativa
 a, b, c  Z  a  b  c  a  b  c 
3. Conmutativa
a, b  Z  a  b  b  a
4. Elemento neutro
a  Z  e  Z  a  e  a e  1
5. Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
a, b, c  Z  a  b  c  a  b  a  c
Esta propiedad permite:
1º Escribir una multiplicación en forma de suma:
a  ( b + c ) = ( a  b ) + ( a  c)
2º En algunos casos, sacar factor común: escribir una suma en forma de
multiplicación:
a  b+a c=a (b+c)
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b. División Exacta ( La división no exacta  Z )
Para calcular la división:

Se halla el cociente de sus valores absolutos.

Al resultado obtenido se le pone el signo, según la tabla de signos:
Ejercicios resueltos 5 y 6 y ejercicios del 6 al 11
4.- OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS::.
a. Operaciones sin paréntesis:

Se hacen las multiplicaciones y las divisiones.

Se hacen las sumas y las restas.
Si aparecen operaciones del mismo orden, se hacen de izquierda a derecha.
b. Operaciones con paréntesis:

Se resuelven los paréntesis

Se resuelven los corchetes.

Se hacen las multiplicaciones y divisiones.

Se hacen las sumas y las restas.
Ejercicios resuelto 7 y 8 y ejercicios 12 y 13.
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5.- LA DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS ENTEROS::.

Divisores de un número entero.
Un número “n” es divisor de otro “a”, cuando la división del segundo entre el
primero es exacta.
O dicho de otra forma:
Divisor de un número es el que está contenido en otro un número exacto de veces.
a
 x;
n
xZ
n es “divisor” de a si

a
 x; y x  Z
n
Números enteros primos.
Es el que solo tiene como divisores a él mismo, a la unidad y a sus respectivos opuestos.
Por lo tanto:
.- Un número es primo si tiene exactamente 4 divisores.
.- Para comprobar si un entero es primo, basta ver si lo es su natural asociado.
En general si queremos saber si un número es primo o no, no nos queda otro remedio
que irlo dividiendo por los números primos anteriores a él.
Ej.: Supongamos que queremos averiguar si 13 es primo.
13
2
1 6
13
3
1 4
13
5
3 2
13
7
6 1
13
11
2 1
13 es primo.
Para evitarnos hacer esta serie de divisiones se puede aplicar las siguientes reglas
conocidas como Criterios de Divisibilidad:

Un número es divisible por 2 cuando termina en 0 o en cifra par.

Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3

Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5

Un número es divisible por 11 cuando la suma de las cifras que ocupan el lugar
impar menos la suma de las cifras que ocupan el lugar par es 0 o múltiplo de
11.
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Para los demás números no nos queda más remedio que realizar la división.
¿Es primo el número 137?
Para saberlo simplemente lo vamos dividiendo por los números primos anteriores a él
y comprobamos que ninguna de las divisiones es exacta.
Desgraciadamente hay 25 números primos menores que 100, o lo que es lo mismo, para
saber si 137 es primo deberíamos hacer más de 25 divisiones.
Existe una regla que permite simplificar el proceso:
Para saber si un número es primo lo dividimos por los primeros números primos hasta
que:

Obtengamos un cociente menor que el divisor
O bien

El cuadrado del divisor sea mayor o igual que el número con el que estamos
trabajando.
Si no ha habido ninguna división exacta nuestro número es primo
Ej. 137:
 137 no divisible entre 2.
137
7
 137 no divisible entre 3.
67
19
 137 no divisible entre 5.
4
 137 no divisible entre 7
 137 no divisible entre 11
 137 no divisible entre 13
137
13
07
10
7

El cociente 10 es menor que el divisor 13 → 137 primo
El cuadrado del divisor (132 = 169 ) es mayor que 137 → 137 primo.
Números compuesto.
Un número es compuesto, cuando admite otros divisores distintos de sí mismo, de la
unidad y de sus respectivos opuestos.
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
Tabla de números primos.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

A partir de 2, tacha de 2 en 2 todos los múltiplos de 2

A partir de 3, tacha de 3 en 3

A partir del 5, tacha de 5 en 5.

A partir del 7, tacha de 7 en 7.
Los números primos menores que 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61,67,71, 73, 79, 83, 89 y 97

Múltiplos de un número entero.
Un número entero “a” es múltiplo de otro “n”, cuando es igual al producto del segundo
por cualquier número entero.
O dicho de otra forma:
Múltiplo de un número es el que contiene a otro un número exacto de veces.
a = ń si a = n • x y x  Z

Descomposición factorial.
Descomponer un número en factores primos consiste en expresar dicho número como
producto de todos sus divisores primos.
Para conseguirlo simplemente vamos dividiendo el número por diferentes números
primos hasta obtener de resto 1
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La descomposición en factores primos es imprescindible para calcular:

El m.c.m. de varios números: Comunes y no comunes con mayor exponente.

El M.C.D. de varios números: Comunes con menor exponente
Ej. Calcular el m.c.m y M.C.D. de los siguientes números:
a. 18 y 24
b. 320 y 450
c. 6, 24 y 32
d. 48 y 75
e. 120 y 60
f. 48 y 49
g. 450, 125, 60 y 15.
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