Universidad Autónoma de Sinaloa

Universidad Autónoma de Sinaloa ESCUELA DE CIENCIAS FISICO-MATEMATICAS
Manejo e Interpretación Polarimétrica de las Matrices de Mueller
TESIS
COMO REQUISITO PARA OBTENER EL TITULO DE
Licenciado en Física
PRESENTA
HUZIEL ENOC SAUCEDA FELIX
DIRECTORES DE TESIS
Dr. Gelacio Atondo Rubio
Dr. Rafael Espinosa Luna
CULIACAN ROSALES, SINALOA.
JULIO DE 2008
Manejo e Interpretación Polarimétrica de las Matrices de Mueller Huziel Enoc Sauceda Félix Julio de 2008 i Índice general 1. Introducción, 1 Referencias, 6 2. Polarización de la Luz. Representaciones de la luz polarizada, 7 2.1 Introducción, 7 2.2 Luz Polarizada, 7 2.3 Estados de polarización de la luz, 8 2.4 Parámetros elípticos de la elipse de polarización, 13 2.5 Producción de Luz Polarizada, 16 2.6 Representaciones de la Luz Polarizada, 20 2.6.1 Representación de Jones, 20 2.6.2 Representación de Stokes, 22 2.6.3 Matriz de Coherencia de Wolf, 30 2.7 Medición clásica de los parámetros de polarización de Stokes, 34 Referencias, 39 3. Representación matricial de la interacción luz‐materia, 41 3.1 Introducción, 41 3.2 Representación matricial de Jones para la interacción luz‐
materia, 41 3.2.1 Matriz de Jones para un polarizador lineal, 42 3.2.2 Matriz de Jones para un retardador, 44 3.2.3 Matriz de Jones para un rotador, 44 3.3 Representación matricial de Mueller‐Stokes para la interacción luz‐materia, 45 ii 3.3.1 Matriz de Mueller para un polarizador lineal, 46 3.3.2 Matriz de Mueller para un retardador, 49 3.3.3 Matriz de Mueller para un rotador, 50 3.4 Medición de las características de los elementos polarizadores, 50 3.4.1 Medición de los coeficientes de atenuación de un polarizador lineal, 50 3.4.2 Medición de la fase de desfasamiento de un retardador, 53 3.4.3 Medición del ángulo de rotación del rotador, 55 3.5 Medición experimental de los elementos de las matrices de Mueller, 56 Referencias, 59 4. Métricas de despolarización de la luz, 60 4.1 Introducción, 60 4.2 Parámetros de diatenuación, D(M), y polarizancia, P(M), 61 4.3 Grado de polarización, DoP, 63 4.4 Índice de despolarización, DI(M), 64 4.5 Métrica Q(M), 64 Referencias, 67 5. Manejo de matrices reportadas. Discusión de resultados, 69 5.1 Introducción, 69 5.2 Confiabilidad de la medición, 69 5.3 Porcentaje de luz despolarizada en un haz, 70 5.4 Aplicación de las métricas a matrices reportadas, 72 5.5 Resultados, 75 Referencias, 76 6. Conclusiones, 77 Apéndice A: Matrices de Mueller reportadas. Sistemas parcialmente despolarizantes, 78 Referencias, 82 Apéndice B: Matrices de Mueller reportadas. Sistemas diatenuantes y no despolarizantes, 84 iii Referencias, 85 Apéndice C: Matrices de Mueller reportadas. Sistemas no despolarizantes y no diatenuantes, 87 Referencias, 89 Apéndice D: Matrices de Mueller reportadas. Matrices que no son físicamente aceptables, 90 Referencias, 91 Apéndice E: Programa para calcular los valores numéricos de las métricas, 92 iv Agradecimientos Le dedico este trabajo a mis hermanos, Citlaly Nahiby, Yary Nohemy y Angel, a mi novia Frida Morán Fitch y, muy especialmente, a mis padres, Blanca Elsa Félix Pérez y Gumercindo Sauceda López, ya que ellos hicieron todo esto posible. Agradezco al CONACYT por haberme permitido participar en el Proyecto 46969‐F, titulado: “Una reformulación para las matrices de Mueller” a cargo del Dr. Rafael Espinosa Luna, así como por haberme otorgado una beca por medio de este proyecto. También, quiero agradecer al Dr. Gelacio Atondo Rubio y al Dr. Rafael Espinosa Luna por haber dirigido esta tesis, por todos esos consejos, por compartir sus ideas y escuchar las mías, el apoyo en todo momento y, más que nada, por darme la oportunidad de trabajar hombro a hombro en sus temas de investigación. Por ultimo, pero no menos importante, quiero agradecer a los sinodales, quienes se tomaron la molestia de revisar, evaluar y aprobar esta tesis. 1 Capítulo 1 Introducción Es un tanto difícil decidir quien fué el primero en descubrir la propiedad de polarización de la luz. Los primeros humanos pudieron haber notado una mancha peculiar cuando veían el cielo en cierta dirección. Por otra parte, la luz polarizada tiene muchas peculiaridades y fue descubierta muchas veces en muchos contextos. Uno de los descubrimientos más antiguos de la luz polarizada fue hecho por los Vikingos cerca del año 700, quienes usaban la luz polarizada para navegar mediante unos cristales [1]. En 1669, un matemático danés de la Universidad de Copenhague, Erasmus Bartholinus, no solo observó doble refracción en una pieza calcita (CaCO3), sino que también elaboró algunos experimentos y escribió una memoria de 60 páginas con los resultados que obtuvo. Esta fue la primera descripción científica del efecto de la polarización y por sus esfuerzos él ha sido considerado como el descubridor de esta propiedad de la luz. Christian Huygens desarrolló su teoría pulso‐onda de la luz, que publicó en 1690 en su famoso libro de óptica “Traite de la Lumiere”, mientras que Isaac Newton creaba su teoría corpuscular de la luz, la cual fue plasmada en su libro “Optics” en 1704. Aunque finalmente los dos tenían razón, ya que la luz tiene esa personalidad dual onda‐partícula, Huygens se acercó más al punto de vista moderno. Huygens hizo un experimento donde hacía pasar luz a través de dos cristales, rotando uno respecto del otro. Notó que para algunas orientaciones del segundo cristal no se veía la doble imagen del primer cristal, esto significaba 2 que cada uno de los dos haces eran, de alguna manera, diferentes a la luz ordinaria. La interpretación de Huygens fue que el cristal imprimía una disposición dentro de cada haz, mientras que Newton pensaba que el cristal separaba partículas con diferentes “lados”. Quizá como un resultado de la prevalecencia de la teoría corpuscular de la luz, el estudio de sus propiedades de polarización no avanzó mucho en los siguientes 100 años. En 1801 Young realizó el famoso experimento de interferencia de luz con la doble rendija. Esto parecía la prueba definitiva de que la luz se comportaba como una onda, probando que la suma de los haces de luz salientes por las dos rejillas podría dar como resultado una sombra (interferencia destructiva). Él utilizó su teoría para explicar fenómenos ópticos ya observados en esos tiempos, como los anillos de Newton y los arcos supernumerarios del arcoíris. Posteriormente, en 1808, el joven Etienne Louis Malus hizo un crucial descubrimiento cuando se encontraba en su departamento jugando con un cristal de Iceland Spar (Calcita). Él observaba a través del cristal, el reflejo del sol que provenía de una ventana del palacio de Luxemburgo, y notó como la intensidad variaba conforme rotaba el cristal. Después de esto, el siguió con una serie de experimentos demostrando que la habilidad de polarizar luz no estaba restringida para cristales especiales, sino que podía ser obtenida por reflexión de cualquier sustancia ordinaria, transparente u opaca, excepto para metales pulidos. Con esto, él dedujo la conocida Ley de Malus, que predice la intensidad a través de un polarizador cuando el ángulo de rotación varía respecto al eje de transmisión del mismo. Unos años después, Dominique François Arago (1786‐1853) descubrió la interferencia de colores, esto lo hizo viendo al cielo a través de una mica colocada entre un vidrio reflector y un prisma de calcita. Pero lo sorprendente fué que al remover el vidrio reflector desaparecieron los colores y solo observó un fondo obscuro, lo cual indicaba que el cielo azul tenía que estar polarizado. También encontró evidencia de polarización circular removiendo la mica y colocando un cristal de cuarzo. Esto lo presentó en un artículo en la Academia de París en 1811. Al año siguiente, Jean‐Baptiste Biot presentó dos artículos que eran mucho más 3 comprensibles que el de Arago, por lo cual, a Biot se le conoce como el descubridor de la polarización circular. Al año siguiente, Sir David Brewster retomó los trabajos de Malus y remontó sus experimentos usando gran variedad de piedras preciosas y otros materiales. Tras muchas frustraciones, él encontró que el índice de refracción es la tangente del ángulo de polarización y éste el conocido como el ángulo de Brewster [1]. A la mitad del siglo XIX, la teoría ondulatoria de la luz desarrollada por Augustin Jean Fresnel (1788‐1827) y su sucesor, Arago, fue un completo triunfo. La teoría ondulatoria explicaba completamente los fenómenos ópticos de interferencia, difracción y polarización. Además, Fresnel había aplicado satisfactoriamente la teoría ondulatoria al problema de la propagación y polarización de la luz en medios anisotrópicos, esto es, en cristales. Otro experimento fue desarrollado en 1851 por Armand Hypolite Louis Fizeau (1819‐1896), quien demostró que la velocidad de la luz es menor en un medio óptico denso que en el vacío, resultado predicho por la teoría ondulatoria. Para el año 1852, se desató una crisis de gran magnitud en óptica, dicha crisis, irónicamente, había sido introducida por Fresnel 35 años antes. En el año de 1817 Fresnel y su colega Arago, crearon una serie de experimentos para determinar la influencia de la polarización en el experimento de interferencia de Thomas Young (1773‐1829). Al principio de estos experimentos Fresnel y Arago sostenían que las vibraciones de la luz eran longitudinales. Al final de sus experimentos ellos fueron incapaces de explicar sus resultados en términos de vibraciones longitudinales. Arago le comunicó a Young de sus desconcertantes resultados, quien entonces sugirió que el experimento podía ser entendido si las vibraciones fueran transversales, solo con dos componentes ortogonales. Esto hizo algunos, pero no todos los resultados comprensibles. Al concluir sus experimentos, Fresnel y Arago, resumieron sus resultados en una serie de afirmaciones, que ahora conocemos como las cuatro leyes de interferencia de Fresnel y Arago. Después, Fresnel se enfocó en el problema de desarrollar la teoría matemática que describiera estas cuatro leyes de interferencia. La teoría 4 ondulatoria de Fresnel era una descripción de la luz en términos de su amplitud y describía exitosamente la luz completamente polarizada, esto es, luz polarizada elípticamente y sus estados degenerados, polarización lineal y circular. Pero los experimentos de Fresnel‐Arago no fueron realizados con luz completamente polarizada, sino con luz en otro estado llamado luz no polarizada. Con el propósito de describir los experimentos de Fresnel‐Arago, era necesario que Fresnel desarrollara una teoría matemática para la luz no polarizada pero, para su sorpresa, basándose en su formulación de la luz en términos de la amplitud, él era incapaz de escribir dicha teoría matemática para la luz no polarizada. Fresnel nunca tuvo éxito en su búsqueda, heredando a otros el problema tras su muerte en 1827. Por muchos años sus sucesores no fueron mas exitosos que lo que el había sido. Para 1852, 35 años habían pasado desde que se habían enunciado las leyes de interferencia de Fresnel‐Arago y aún no había una descripción satisfactoria de la luz no polarizada o de las leyes de interferencia. Al parecer la luz no polarizada, así como la llamada parcialmente polarizada, no podían ser descritas dentro del marco de referencia de la teoría ondulatoria de la luz, lo que representaba un serio problema para las teorías existentes en esa época. El año de 1852 fué un momento crítico en el desarrollo de la óptica, porque en ese año Sir George Gabriel Stokes (1819‐1903) publicó dos artículos remarcables. El primero apareció con el título “On the composition and resolution of streams of polariced light from different sources”, un título que parece estar muy desviado de las leyes de interferencia de Fresnel‐Arago; el artículo en sí no pareció atraer mucho la atención. Ahora éste es considerado como uno de los grandes artículos de la óptica clásica. En este artículo Stokes provee una formulación matemática para describir cualquier estado de la luz y, más importante aun, una formulación para la luz no polarizada: las ecuaciones para las leyes de interferencia de Fresnel‐Arago podían ahora ser descritas en el lenguaje matemático. Stokes había sido capaz de demostrar, finalmente, que la luz no polarizada y parcialmente polarizada podían ser descritas dentro del marco de la teoría ondulatoria de la luz. 5 Stokes tuvo éxito en su formulación, ya que el proporcionó una formulación de la luz polarizada en términos de cantidades medibles; esto es, irradiancias (observables físicos). En el siglo XIX este punto de vista fue completamente único. La idea de observable físico no reapareció en física hasta la creación de la mecánica cuántica en el año de 1925 por Werner Heisenberg (1901‐
1976) y después en óptica con la formulación observable del campo óptico en 1954 por Emil Wolf (1922‐ ). Cerca del final de su artículo, Stokes introdujo su descubrimiento de que cuatro parámetros, ahora conocidos como los parámetros de polarización de Stokes, podían describir cualquier estado de polarización de la luz. Al contrario de la formulación para el campo óptico en términos de la amplitud, sus parámetros eran directamente medibles. El tema de su segundo artículo, fue la fluorescencia, en el cual estableció que “la longitud de onda de la radiación fluorescente emitida es mayor que la longitud de onda de excitación”, lo cual es conocido como la ley de fluorescencia de Stokes. Además, encontró que la luz fluorescente emitida no estaba polarizada. En 1905, dos años después de la muerte de Stokes, un joven físico con el nombre de Albert Einstein (1879‐1955) publicó un artículo en donde demostraba que la ley de fluorescencia de Stokes, podía fácilmente ser explicada y comprendida con la base de la hipótesis cuántica de Max Planck (1858‐1947). Los artículos de Stokes fueron olvidados durante casi cien años. Pero, ya para finalizar, su importancia fue finalmente reconocida con su descubrimiento en 1940 por el Nobel Subrahmanya Chandrasekhar (1910‐‐ ), quien usó los parámetros de Stokes para incluir los efectos de la luz polarizada en las ecuaciones de transferencia radiativa [2]. Hasta aquí hemos dado una “breve” reseña histórica de cómo se descubrió esta propiedad de la luz, que es la polarización, las dificultades en las que se vieron los genios que trabajaron en ello, las frustraciones que les provocó el no poder explicar el fenómeno, y creo es justo y necesario dar gracias a todos aquellos que dieron su vida en aras de la ciencia para que hoy podamos trabajar tranquilamente con una formulación poderosa, como lo es el formulismo de Stokes, en el área de la luz polarizada. 6 En los siguientes Capítulos, veremos como se fueron desarrollando las teorías para explicar el fenómeno de la polarización, los métodos para estudiar la interacción de la luz polarizada con la materia y las métricas que se utilizan actualmente para medir las propiedades despolarizantes de un material. En el Capítulo 2, veremos los primeros intentos por explicar la polarización de una onda electromagnética, como lo es la elipse de polarización, así como los métodos más comunes que se utilizan para obtener luz polarizada. Luego, pasaremos a las representaciones matriciales que desarrollaron Jones, Stokes y Wolf, en particular nos enfocaremos a la representación de Stokes y daremos un método con el cual podemos medir los parámetros de Stokes. En el Capítulo 3, analizaremos las diferentes representaciones para la interacción luz‐materia, donde nos enfocaremos fuertemente en la representación de Mueller‐Stokes. También, veremos cuales son las matrices de Mueller para los elementos ópticos más comunes, así como un método para medir sus características y, en general, el método para medir la matriz de Mueller para cualquier material (pasivo). En el Capítulo 4, veremos las métricas más comunes que se utilizan en la medición de las propiedades despolarizantes de las matrices de Mueller de diferentes materiales o elementos ópticos, y en particular nos enfocaremos en la métrica Q(M) [3], ya que, hasta ahora, es la métrica que extrae la mayor cantidad de información de una matriz de Mueller. En el Capítulo 5, presentaremos un análisis polarimétrico para varias matrices reportadas1, usando para ello las métricas expuestas en el Capítulo 4. Por último, en el Capítulo 6, presentamos las conclusiones obtenidas de la aplicación de las diferentes métricas a las matrices reportadas por algunos grupos de investigación. Referencias [1] www.polarization.com [2] D. Goldstein, Polarized Light, Marcel Dekker, New York, 2003. [3] R. Espinosa‐Luna and E. Bernabeu, Opt. Commun. 227 (2007) 256‐258. 1
Las matrices reportadas se encuentran en las Apéndices A, B, C y D. 7 Capítulo 2 Polarización de la luz. Representaciones de la luz polarizada 2.1 Introducción En el Capítulo anterior se presentó una reseña histórica de cómo se desarrolló a lo largo del tiempo el tema de la polarización de la luz. Ahora nos enfocaremos al análisis de los diferentes tipos de representaciones matemáticas que se han desarrollado para la representación de la luz polarizada, parcialmente polarizada y no polarizada. Empezaremos con la representación más obvia desde el punto de vista geométrico, denominada elipse de polarización, y de ahí surgirán las representaciones más elaboradas, como lo son la representación de Jones, Stokes y Wolf. Veremos también que en la representación de Stokes y en la de Wolf es posible representar luz parcialmente polarizada y no polarizada, a diferencia de la representación de Jones que esta restringida a trabajar solo con luz completamente polarizada. Y para finalizar, se da un método para medir mediante un experimento los parámetros de Stokes, y ver así que la formulación de Stokes permite trabajar con cantidades observables. 2.2 Luz Polarizada A lo largo de la historia se han desarrollado diferentes métodos para tratar de explicar el comportamiento de la luz, como lo son la teoría corpuscular y la teoría ondulatoria de la luz. Para este trabajo, nos será más útil estudiar la 8 naturaleza ondulatoria de la luz, ya que es más palpable y accesible hablar de polarización. La luz, al igual que cualquier otro tipo de onda vectorial del espectro electromagnético, está constituida por dos campos, uno eléctrico y otro magnético, y además por una dirección de propagación. Por cuestión de sencillez, nos restringiremos solo al estudio del campo eléctrico, sin perder generalidad, ya que el tratamiento para el campo magnético es el mismo. Dentro de la óptica existen dos ramas que nos sirven para describir la propagación e interacción de la luz con un medio, estas son la Óptica Geométrica y la Óptica Física. En la primera, se considera que la onda tiene longitud de onda infinita, reduciendo el problema a un simple rayo de luz y se utiliza en problemas donde no son necesarias para la explicación del fenómeno las propiedades ondulatorias. En la segunda, por su parte, considera que la luz se propaga e interacciona como onda y a la vez considera dos tratamientos, la aproximación escalar y la formulación vectorial. La aproximación escalar se utiliza cuando la orientación de los campos es independiente de los fenómenos ópticos que pudieran originarse. En la formulación vectorial de la luz es necesario considerar su propia naturaleza y para esto las ondas electromagnéticas requieren de cuatro campos vectoriales básicos para su descripción completa: el campo eléctrico E, el desplazamiento eléctrico D, el campo magnético H y la inducción magnética B2. De estos cuatro vectores el campo eléctrico es el seleccionado para definir los estados de polarización, ya que la fuerza debida al campo eléctrico, en medios materiales, es mucho más intensa que la del campo magnético. 2.3 Estados de polarización de la luz En un medio isotrópico y uniforme, la luz generalmente puede describirse como una superposición de ondas planas. Ahora consideremos una de estas ondas con vector de onda k, donde el campo eléctrico E puede estar orientado en cualquier dirección al plano perpendicular a k, y B se encuentra a lo largo del vector k × E. Supongamos que k, en relación a un sistema coordenado cartesiano derecho, se encuentra en la dirección del eje z y tiene una magnitud |k|=ω/v, donde v=c/n es la velocidad de fase, c es la 2
Estos cuatro vectores están relacionados por las ecuaciones de Maxwell, ,
,
,
0. 9 velocidad de la luz en el vacío, n es el índice de refracción del medio de propagación y ω=2πν es la frecuencia angular con frecuencia ν. La onda monocromática puede escribirse entonces como ,
2‐1 Donde E0 es un vector constante en el plano xy y puede ser complejo. Esto significa que podemos escribir ,
, 0 2‐2 donde E0x y E0y son las amplitudes y son reales y positivas y δx y δy son sus respectivas fases. Entonces las tres componentes del campo eléctrico pueden expresarse como cos
2‐3a ,
cos
2‐3b ,
,
0 2‐3c El comportamiento de las ecuaciones (2‐3) lo podemos clasificar dependiendo de la fase relativa (figura 2‐1) 2‐4 Figura 2‐1. Desfasamiento entre las componentes ortogonales del campo eléctrico asociado a la onda eléctrica. 10 y las magnitudes relativas de E0x y E0y. Retomando las ecuaciones (2‐3) y haciendo τ= ωt‐kz estas quedan como cos
2‐5a ,
cos
2‐5b ,
donde τ es el propagador. A medida que el campo se propaga, EX(z,t) y EY(z,t) dan raíz a un vector resultante; la punta de este vector describe una trayectoria en el espacio, y la curva generada es fácil de obtener a partir de las ecuaciones (2‐5). Haciendo un poco de álgebra de tal forma que nos deshagamos de los términos que contienen al propagador τ, llegamos a que la ecuación de la curva generada es 2
cos
2‐6 La ecuación (2‐6) es la ecuación de una elipse y prueba que en cualquier instante de tiempo la curva descrita por el campo a medida que se propaga es, en general, una elipse. A este comportamiento se le conoce como polarización óptica y la ecuación (2‐6) es llamada elipse de polarización (figura 2‐2). Figura 2‐2. Elipse de polarización. 11 La elipse de polarización, ecuación (2‐6), se degenera en formas especiales para ciertos valores de E0X, E0Y y δ. Ahora consideramos estas formas particulares. 1.
E0Y=0. En este caso EY(z,t) es cero, entonces las ecuaciones (2‐5) nos queda como cos
2‐7a ,
,
0 2‐7b Y de lo anterior se observa que solo hay oscilación de campo en la dirección x. La luz, en este caso, se dice que esta linealmente polarizada horizontalmente. Similarmente, si E0X=0 y E0Y≠0, entonces tenemos oscilaciones lineales a lo largo del eje y, lo que da lugar a luz linealmente polarizada verticalmente. 2.
δ=0 o π. Con esto la ecuación (2‐6) queda como 2
0 2‐8 O bien, 0 Y con esto 2‐9 Y estas ecuaciones son líneas rectas con pendientes ±(E0Y/E0X). Para el caso en que las pendientes son ±1 las ecuaciones (2‐9) quedan como 2‐10 12 Para el signo positivo tenemos luz linealmente polarizada a +45° y para el negativo tenemos luz linealmente polarizada a ‐45°. 3.
δ=π/2 o 3π/2. La ecuación de la elipse de polarización se reduce a 1 2‐11 Pero la forma de la elipse no se ve alterada para estos valores de δ. 4.
E0Y= E0X=E0 y δ= π/2 o 3π/2. La elipse de polarización ahora se reduce a 1 2‐12 Donde (2‐12) es la ecuación de una circunferencia. Entonces, para estas condiciones se dice que la luz esta circularmente polarizada a la derecha (δ=π/2) o a la izquierda (δ=3π/2). En la figura 2‐3 se presentan los estados de polarización ya vistos. Figura 2‐3. Estados de polarización degenerados. También hay otros tipos de polarización, como lo es la luz parcialmente polarizada y la no polarizada, pero estos estados de polarización de la luz no se pueden representar por medio de la elipse de polarización, ya que para esta consideramos que la luz era totalmente coherente3. En un haz de luz 3
Se dice que dos puntos de una onda son coherentes cuando guardan una relación de fase constante, es decir cuando conocido el valor instantáneo del campo eléctrico en uno de los puntos, es posible predecir el del otro. Existen 2 manifestaciones claramente diferenciadas de coherencia: la coherencia temporal y la espacial. 13 parcialmente polarizado, las oscilaciones del campo eléctrico en una dirección prevalecen sobre las de otras direcciones. La luz parcialmente polarizada se puede considerar como la mezcla de un haz en un estado de polarización pura y un haz no polarizado. Esta depende de la coherencia mutua entre los campos eléctricos vibrando a lo largo de dos direcciones perpendiculares. La luz parcialmente polarizada, lo mismo que la natural, se pueden representar como la superposición de dos ondas polarizadas planas no coherentes cuyos planos de oscilaciones son perpendiculares entre sí. La diferencia entre estos dos tipos de luz consiste en que, en el caso de la luz natural la intensidad de estas ondas es igual, mientras que para el caso de la luz parcialmente polarizada, es distinta. Mas adelante en este capítulo se verá una representación matemática para estos tipos de polarización. En la siguiente sección analizaremos la elipse de polarización y sus parámetros. 2.4 Parámetros elípticos de la elipse de polarización La elipse de polarización tiene la forma 2
cos
2‐6 donde δ=δY‐δX. En general, la elipse de polarización se encuentra rotada respecto de los ejes coordenados; en la forma estándar de una elipse no aparece el término cruzado. En esta sección encontraremos relaciones matemáticas entre los parámetros de la elipse de polarización y el ángulo ψ al cual se encuentra rotada la elipse, y otro parámetro importante, χ, el ángulo de elipticidad. En la figura 2‐2 mostramos la elipse rotada un ángulo ψ(0≤ψ≤π), donde ψ es el ángulo entre Ox y Ox’. Las componentes Ex’ y Ey’ son cos
sen , 2‐13a sen
cos . 2‐13b 14 Si 2a y 2b son las longitudes de los ejes mayor y menor, respectivamente, entonces por comparación con las ecuaciones (2‐5), la ecuación de la elipse en términos de Ox’ y Oy’ pueden escribirse como cos
, 2‐14a sen
, 2‐14b donde τ es el propagador y δ’ es una fase arbitraria. El signo ± describe los dos posibles sentidos en que se va a generar la elipse. De las ecuaciones (2‐
14) se puede llegar a la forma usual de la elipse, dada por 1. 2‐15 Podemos relacionar a a y b de las ecuaciones (2‐14) con los parámetros E0x y E0y de las ecuaciones (2‐6) recordando que las ecuaciones originales para el campo óptico están dadas por las ecuaciones (2‐5) cos
2‐5a ,
cos
2‐5b ,
entonces de las ecuaciones (2‐5), (2‐13) y (2‐14) se puede llegar a que 2‐16a sin 2‐16b tan 2
2‐16c Otra forma de determinar ψ es transformando directamente las ecuaciones (2‐6) a las ecuaciones (2‐15). Para esto tomamos la transformación cos
sin 2‐17a sin
cos 2‐17b 15 Sustituyendo las ecuaciones (2‐17) en las ecuaciones (2‐6) se puede eliminar el término cruzado, siempre y cuando se cumpla la relación (2‐16c). Es útil introducir un ángulo auxiliar α(0≤α≤π/2) para la elipse de polarización definido por tan
2‐18 y de las ecuaciones (2‐17c) y (2‐18), tenemos que tan 2
tan 2 cos 2‐19 de donde podemos ver que si δ=0 o π, el ángulo de rotación es ψ=±α. Para δ=π/2 o 3π/2 tenemos ψ=0. Otro parámetro importante es el ángulo de elipticidad, χ. Este esta definido como ,
. 2‐20 tan
Observamos que para polarización lineal b=0, entonces χ=0. Similarmente, para polarización circular b=a, con esto concluimos que χ=±π/4. Entonces, la ecuación (2‐20) describe los extremos de la elipse de polarización. Usando las ecuaciones (2‐16a), (2‐16b) y (2‐18), encontramos que sen 2 sen 2‐21 y con ayuda de la ecuación (2‐20) podemos reescribir la relación (2‐21) como sen 2
sen 2 sen 2‐22 la cual es la relación entre la elipticidad de la elipse de polarización y los parámetros E0x, E0y y δ de la elipse de polarización. Podemos ver que sólo para δ=π/2 o 3π/2 la ecuación (2‐22) se reduce a χ=±α, que sería lo esperado para esos valores. Los resultados obtenidos en esta sección serán usados otra vez, por lo que conviene resumirlos. Los parámetros elípticos E0x, E0y y δ de la elipse de 16 polarización están relacionados con el ángulo de orientación ψ y el ángulo de elipticidad χ por las siguiente ecuaciones tan 2
tan 2 cos 0≤ψ≤π 2‐23a sen 2
sen 2 sen ‐π/4≤χ≤π/4 2‐23b donde 0≤α≤π/2 y 2‐23c tan
2‐23d 2‐23e tan
Hacemos énfasis en que la elipse de polarización también puede ser descrita en términos de la orientación ψ y el ángulo de elipticidad χ. En la siguiente sección discutiremos brevemente los métodos mas comúnmente utilizados para producir luz polarizada. 2.5 Producción de luz polarizada Actualmente, existen varios dispositivos y métodos para obtener luz polarizada, los dispositivos se denominan polarizadores; un polarizador es un aparato óptico cuya energía de entrada es la luz natural4 y cuya salida es luz en algún estado de polarización particular. Los métodos más comunes de obtención de luz polarizada son dicroísmo, birrefringencia, reflexión y esparcimiento (scattering), los cuales analizamos enseguida. DICROISMO Existe una clase de medios ópticos anisotrópicos que exhiben el fenómeno conocido como dicroísmo, lo cual significa que la luz que se propaga en una determinada dirección, puede ser absorbida de forma selectiva, 4
Si bien se conoce a la luz natural como luz no polarizada, se trata de una denominación incorrecta dado que en realidad la luz natural se encuentra compuesta por una sucesión rápidamente variable de diferentes estados de polarización. Quizás, sea más correcto referirnos a ella como luz polarizada al azar [1]. 17 dependiendo de la orientación del campo eléctrico respecto de las anisotropías del medio en cuestión (figura 2‐5). En un caso extremo, la luz vibrando en una dirección en particular puede ser completamente absorbida y la componente perpendicular a esta, será transmitida completamente (en el caso ideal). Una forma matemática para esto, en términos de intensidad transmitida It, esta dada en términos de la intensidad incidente Ii por la ley de Malus, 2‐24 donde θ es el ángulo entre el campo eléctrico incidente y las anisotropías del medio [2]. Figura 2‐5. Dibujo esquemático de un cristal dicroico. BIRREFRINGENCIA La doble refracción o birrefringencia ocurre en medios ópticamente anisotrópicos, esto es, medios que tienen propiedades ópticas que dependen de la dirección cristalina. El término “doble” o “bi” se refiere al efecto de las dos diferentes direcciones de propagación que un rayo incidente puede tener en tal medio (figura 2‐6), dependiendo de la dirección de polarización [2]. 18 Figura 2‐6. Dibujo esquemático de un cristal birrefringente. REFLEXION Cuando un haz de luz natural alcanza un ángulo de incidencia distinto de cero sobre el límite de separación de dos dieléctricos, los rayos reflejados y refractados resultan parcialmente polarizados. En el rayo reflejado prevalecen las oscilaciones perpendiculares al plano de incidencia (figura 2‐
7), mientras que el refractado contiene ambas polarizaciones. El grado de polarización depende del ángulo incidencia y de los índices de refracción de que forman la interface. La ley de Brewster es tan
2‐25 donde θB es el ángulo se Brewster, nr es el índice de refracción del segundo medio y ni el del primero (figura 2‐7). Si el ángulo de incidencia θ es igual a θB, el rayo reflejado estará totalmente polarizado y el grado de polarización del rayo refractado alcanzara su máximo, pero aun así, seguirá estando parcialmente polarizado [2]. 19 Figura 2‐7. Polarización por reflexión. ESPARCIMIENTO (SCATTERING) El mecanismo básico para la producción de luz polarizada a partir de luz natural por esparcimiento es el siguiente. Si las partículas son bastante pequeñas y simples, se pueden inducir oscilaciones en estas por el campo eléctrico de la luz incidente. Hay reirradiación de luz en todas direcciones salvo en la dirección del campo eléctrico original (figura 2‐8). Figura 2‐8. Polarización por esparcimiento. La luz esparcida en una dirección de 90° con respecto a la dirección de propagación, puede ser polarizada linealmente con el campo eléctrico en 20 una dirección perpendicular al plano de esparcimiento, esto es, el plano formado por el vector de propagación del campo incidente y el del campo esparcido [2]. Habiendo dado esta breve descripción de los métodos naturales más comunes para obtener luz linealmente polarizada, pasamos a analizar las diferentes formas matemáticas para representar los diferentes estados de polarización de la luz. 2.6 Representaciones de la luz polarizada En la sección 2.3 vimos lo que era la elipse de polarización y sus casos particulares como lo son la polarización lineal y circular. Esta descripción de la luz en términos de la elipse de polarización es útil, ya que nos permite representar varios tipos de luz polarizada, pero también es inadecuada por algunas razones. A medida que el haz de luz se propaga a través del espacio, sabemos que en el plano transversal al vector de propagación el vector del campo traza una elipse o algún otro estado particular de la luz, ya sea una circunferencia o una línea, en un intervalo de tiempo de 10‐15 segundos. Este periodo de tiempo es claramente muy corto para seguir el trazado de la elipse o cualquier estado de polarización. Esto nos advierte que será muy difícil observar la elipse de polarización de manera directa. Otra limitación es que esta formulación solo nos permite representar luz completamente polarizada y monocromática. En vista de las limitaciones que se encuentran con la presente formulación, se buscaron algunas representaciones alternativas, las cuales analizaremos en seguida. 2.6.1 Representación de Jones Es bien sabido que se puede representar a una onda plana en forma compleja de la forma E ,
, 2‐26a E ,
, 2‐26b 21 o bien, podemos suprimir el propagador y las ecuaciones (2‐26) queda como E
, 2‐27a E
. 2‐27b Para obtener una forma vectorial de la luz polarizada, podemos tomar las ecuaciones (2‐27) y escribirlas como un vector cartesiano, de tal forma que ̂
̂, 2‐28 o en forma de un vector columna . 2‐29 El cual es llamado vector de Jones. La ecuación (2‐29) representa a un haz de luz polarizado elípticamente. En el vector de Jones, (2‐29), las amplitudes máximas E0X y E0Y son cantidades reales pero EX y EY son cantidades imaginarias debido a la presencia de la exponencial imaginaria. Ahora pasamos a normalizar el vector de Jones. La intensidad total del haz esta dada por , 2‐30 o bien, en forma matricial , 2‐31 donde E† es el conjugado complejo de E. Efectuando la multiplicación de la ecuación (2‐31) donde el campo es de la forma de la ecuación (2‐29), obtenemos que la intensidad es de la forma . 2‐32 22 Es costumbre escoger E02=1, con lo que decimos que el vector de Jones esta normalizado. Entonces la condición de normalización es 1. 2‐33 Notemos que los vectores de Jones solo pueden describir luz completamente polarizada y monocromática. Una propiedad adicional de los vectores de Jones son la ortogonalidad y ortonormalidad. Se dice que, dos vectores Ei y Ej son ortogonales si 0 2‐34 Si se satisface esta condición, decimos que los vectores de Jones son ortogonales. Las condiciones (2‐31) y (2‐34) se pueden escribir en una sola ecuación, que es 2‐35 donde δij es la delta de Kronecker. La ecuación (2‐35) es conocida como condición de ortonormalidad. Como ya mencionamos anteriormente, los vectores de Jones tienen la restricción de solo poder representar luz completamente polarizada, por lo que no pueden representar luz no polarizada o parcialmente polarizada. Esto es una limitación muy seria porque, en la naturaleza, la luz esta comúnmente despolarizada o parcialmente polarizada. Entonces, los vectores de Jones, así como la elipse de polarización, son una idealización del verdadero comportamiento de la luz. Ahora nos enfocamos en una representación en la que representamos la luz polarizada en términos de observables y más aún, la representación matemática para la luz no polarizada y parcialmente polarizada. 2.6.2 Representación de Stokes Hasta este punto, nos hemos restringido al estudio de la luz completamente polarizada, ya que los métodos matemáticos que hemos estado utilizando 23 no nos permitían el estudio de la luz en general. En el año de 1852 Sir George Gabriel Stokes descubrió que el comportamiento de la polarización podía ser representado en términos de observables y que se podía describir completamente el estado de polarización de la luz mediante cuatro parámetros. También, Stokes proporcionó una definición experimental de la luz no polarizada [3], “la luz no polarizada es aquella cuya intensidad permanece inafectada cuando un polarizador es rotado o bajo la presencia de un retardador de cualquier valor de retardancia”. Anteriormente enfatizamos que no se puede observar la amplitud del campo óptico, pero si podemos medir la intensidad del mismo. Esto sugiere que si tomamos el promedio temporal de la elipse de polarización, podemos obtener información de esta en términos de observables. Para lograr esto, consideremos la onda plana descrita por las siguientes ecuaciones t cos
2‐36a ,
t cos
2‐36b ,
Donde las ecuaciones (2‐36) son ortogonales en cualquier punto del espacio y no necesariamente son monocromáticas, convenientemente tomamos z=0, esto para estudiar el comportamiento del campo óptico a través del tiempo en un punto fijo. Entonces, las ecuaciones (2‐36) quedan como t cos
, 2‐36a t cos
, 2‐36b donde E0x(t) y E0y(t) son las amplitudes instantáneas, ω es la frecuencia angular instantánea, y δy(t) y δx(t) son las fases instantáneas. Aquí consideramos que las amplitudes y fases, en cualquier momento, fluctúan muy lentamente comparadas con la rápida variación del coseno. Si ahora tomamos un instante de tiempo t=t0 y hacemos un poco de álgebra con las ecuaciones (2‐37), de tal forma que nos quede una ecuación sin el término ωt, podemos llegar a la familiar ecuación 24 2
cos
, 2‐38 donde δ(t0)=δY(t0)‐δX(t0). La ecuación (2‐38) es la elipse de polarización en el instante t=t0. Para el caso de radiación monocromática, las amplitudes y las fases son constantes en cualquier instante, entonces la ecuación (2‐38) para un instante t es 2
cos
. 2‐39 En donde Ex(t) y Ey(t) continúan siendo funciones del tiempo. Ahora, con el fin de representar la ecuación (2‐39) en términos de observables del campo óptico, podemos tomar el promedio en el tiempo de observación. Debido a que este es un periodo muy largo con respecto a una oscilación del campo, podemos tomarlo como infinito. Pero en vista de la periodicidad de Ex(t) y Ey(t), solo necesitamos el promedio en un periodo T, entonces la ecuación (2‐39) queda como 2
cos
, 2‐40 donde lim
. i,j=x,y 2‐41 Utilizando esta definición podemos calcular los términos de la ecuación (2‐
41), , 2‐42a , 2‐42b cos . 2‐42c 25 Luego, multiplicamos la expresión (2‐40) por [2E0x(t)E0y(t)]2 y sustituimos las ecuaciones (2‐42), esto da lugar a la siguiente ecuación, 2
2
2
cos
2
2‐43 Como queremos llegar a una expresión que esté en términos de la intensidad, sumamos y restamos E0x4+E0y4 al lado izquierdo de la expresión (2‐43); haciendo esto y reagrupando términos llegamos a la ecuación: 2
cos
2
sen
. 2‐44 Ahora escribimos las cantidades entre paréntesis como , 2‐45a , 2‐45b 2
cos , 2‐45c 2
sen , 2‐45d y con esto la ecuación (2‐44) queda como . 2‐46 Las cuatro ecuaciones dadas en (2‐45) son los parámetros de polarización de Stokes para una onda plana y la ecuación (2‐46) se cumple solo para luz monocromática y totalmente polarizada. Se puede ver que los parámetros de Stokes son cantidades reales y que, a su vez, son los observables de la elipse de polarización y, con esto, del campo de polarización. El primer parámetro de Stokes S0, es la intensidad total del haz de luz. El parámetro S1, describe la cantidad de luz polarizada linealmente en dirección horizontal o vertical y el parámetro S2, describe la cantidad de luz polarizada linealmente a +45 o ‐45, y el parámetro S3, describe la cantidad de luz circularmente polarizada a derecha o izquierda contenida en el haz. 26 Si ahora consideramos un haz de luz parcialmente polarizado, entonces podemos ver que las relaciones (2‐45) siguen siendo válidas para periodos de tiempo muy cortos, cumpliéndose que las amplitudes y fases fluctúan muy lentamente. Usando la desigualdad de Schwarz, podemos demostrar que para cualquier estado de polarización los parámetros de Stokes siempre satisfacen la desigualdad 2‐47 donde el signo de igualdad aplica cuando tenemos luz completamente polarizada y la desigualdad cuando tengamos luz parcialmente polarizada o luz no polarizada. Los parámetros de Stokes nos permiten describir el grado de polarización DoP5 para cualquier estado de polarización. Por definición [4‐6], ⁄
, 2‐48 donde Ipol es la suma de las componentes de polarización e Itot es la intensidad total del haz. El valor de DoP=1 corresponde a un haz de luz completamente polarizado, DoP=0 corresponde a luz no polarizada, y 0 <
DoP < 1 corresponde a luz parcialmente polarizada. Retomando las ecuaciones (2‐26) y en un punto fijo del espacio z=0, E ,
, 2‐49a , 2‐49b E ,
donde, E
, 2‐50a E
, 2‐50b son las amplitudes complejas. Los parámetros de Stokes para una onda plana en términos de cantidades complejas son 5
El grado de polarización se analizara mas a fondo en el capitulo 4. 27 , 2‐51a , 2‐51b , 2‐51c . 2‐51d Los cuatro parámetros de Stokes pueden ser arreglados en forma de una matriz columna y escritos como . 2‐52 La matriz columna (2‐52) es llamada vector de Stokes. El vector de Stokes para un haz de luz elípticamente polarizado es 2
2
cos
sen
. 2‐53 La ecuación (2‐53) también es llamada vector de Stokes para una onda plana. Recordemos que el ángulo de elipticidad χ y el ángulo de orientación ψ de la elipse de polarización están dados por sen 2
, tan 2
, y de la ecuación (2‐45) se puede deducir que 28 sen 2
, ‐π/4≤χ≤π/4 2‐54a tan 2
. 0≤ψ<π 2‐54b Es conveniente expresar las amplitudes E0x y E0y en términos de un ángulo. Para hacer esto reescribimos S0 como , 2‐55 lo cual sugiere que cos , 2‐56a sen . 0≤α≤π/2 2‐56b El vector de Stokes también puede ser expresado en términos de S0, ψ y χ. Para probar esto escribimos la ecuación (2‐42) como sen 2 , 2‐57a tan 2 , 2‐57b y tenemos que . 2‐46 Sustituyendo las ecuaciones (2‐57) en la expresión (2‐46) obtenemos que cos 2 cos 2 , 2‐58 y ahora, sustituyendo la ecuación (2‐58) en (2‐57b) nos queda, en resumen, que cos 2 cos 2 , 2‐59a cos 2 sen 2 , 2‐59b 29 , 2‐‐59c y aacomodan
ndo lo anteerior en forrma de vecctor de Sto
okes, . 2
2‐60 Lo
os parámettros de Sto
okes, ecuaaciones (2‐‐59), son id
dénticos aa las conoccidas eccuaciones de transfformación que pasaan de coo
ordenadas cartesianaas a co
oordenadas esféricass. Recordeemos que las coordeenadas esfféricas r, θ y φ esstán relacio
onadas con
n las coord
denadas caartesianas xx, y y z porr medio dee , 2‐‐61a , 2‐61b . 2‐‐61c Co
omparando
o las expresiones (2
2‐59) con las ecuaciones (2‐61
1), vemos que am
mbas son id
dénticas sii los ángulo
os son 2‐‐62a 2‐‐62b Figura 2‐8
8. Esfera d
de Poincaréé. 30 En la figura 2‐8 se puede ver como quedaría la esfera. Vemos que expresando el estado de polarización de un haz de luz en términos de χ y ψ nos permite describir su elipticidad y orientación en la esfera; el radio de la esfera es tomado como la unidad. La representación del estado de polarización como vector en la esfera fue introducida por Henri Poincaré en 1892 y es, apropiadamente, llamada esfera de Poincaré. Esta es muy usada para describir el cambio de polarización en la luz cuando interactúa con un elemento polarizador no diatenuante (que no reduce su intensidad). Es necesario recordar que en todo este desarrollo, se consideró que la luz era completamente polarizada, ya que tomamos la condición (2‐46). Una propiedad que muestran los vectores de Stokes es que si dos haces de luz, S1 y S2, son completamente independientes respecto de sus amplitudes y fases, estos se pueden superponer de tal forma que el vector resultante sea la simple suma de los mismos , 2‐63 o en general, para n haces de luz completamente independientes, el vector resultante esta dado de la forma ∑
. 2‐64 Habiendo visto el tratamiento de Stokes para representar la luz polarizada, pasamos ahora a otra formulación no menos importante que la de Stokes, esta tiene sus bases en la coherencia de la luz y fue desarrollada por Wolf. 2.6.3 Matriz de coherencia de Wolf Hasta aquí demostramos que un estado de polarización puede ser completamente representado por un vector de Stokes. Hay otra representación en la cual la polarización puede ser descrita por una matriz de 2×2 conocida como matriz de coherencia de Wolf. Además, hay una relación directa entre los elementos de la matriz de coherencia y los parámetros de Stokes, la misma que discutiremos a continuación. Consideremos un campo óptico que consiste de las siguientes componentes: 31 , 2‐65a . 2‐65b Si tomamos la parte real de estas expresiones, obtenemos que , 2‐66a , 2‐66b las cuales son equivalentes a las ecuaciones (2‐3). Los elementos Jij de la matriz de coherencia J, están definidos como , i,j=x,y 2‐67 lim
de aquí que , 2‐68 y con esto vemos que la matriz J es Hermitiana. La matriz de coherencia es definida como: . 2‐69 La traza de esta matriz esta dada por , 2‐70 y es la intensidad total del haz de luz. Retomando los parámetros de Stokes de las ecuaciones (2‐51), para una onda cuasi‐monocromática , 2‐71a 32 , 2‐71b , 2‐71c , 2‐71d donde los brakets simbolizan promedios temporales. De donde es fácil ver la relación con los elementos de J, de modo que las ecuaciones (2‐71) quedan como , 2‐72a , 2‐72b , 2‐72c . 2‐72d Las ecuaciones (2‐72) muestran que los parámetros de Stokes y los elementos de la matriz de coherencia están relacionados linealmente, por lo que podemos fácilmente obtener los elementos en términos de los parámetros de Stokes, entonces , 2‐73a , 2‐73b , 2‐73c . 2‐73d La descripción de una onda, en términos de la matriz de coherencia, es totalmente equivalente a la descripción en términos del vector de Stokes. De la desigualdad de Schwarz tenemos que 33 , 2‐74 y de la definición (2‐67) obtenemos que , 2‐75 o bien 0 , 2‐76 y con las ecuaciones (2‐76) y (2‐73) llegamos a que 0, 2‐77 det
y de la ecuación (2‐46) se deduce que la igualdad pertenece al caso en que la luz es completamente polarizada y el signo > pertenece al caso de luz parcialmente polarizada, entonces det
0, luz completamente polarizada, 2‐78a det
0, luz parcialmente polarizada. 2‐78b Con ayuda de las ecuaciones (2‐72) podemos llegar a que el grado de polarización en términos de J esta dado por 1
. 2‐79 Si tomamos las ecuaciones (2‐73) y las sustituimos en (2‐69) nos queda que , 2‐80 donde fácilmente podemos descomponer la ecuación (2‐80) en matrices de 2×2 de tal forma que 34 ∑
, 2‐81 donde . 2‐82 Para j=0 la matriz (2‐82) es la identidad y para j=1, 2, 3 se trata de las matrices de Pauli. Esta conexión entre la matriz de coherencia, los parámetros de Stokes y las matrices de Pauli aparentemente fue descubierta por U. Fano en 1954. Hasta aquí hemos hablado de que los parámetros de Stokes son cantidades reales y que por medio de estas podemos medir experimentalmente las propiedades de un haz de luz. Con base en esto, en la siguiente sección analizamos un método experimental para obtener los parámetros de Stokes. 2.7 Medición clásica de los parámetros de polarización de Stokes Los parámetros de Stokes son muy útiles ya que son accesibles directamente mediante el experimento. Esto es debido al hecho de que se trata de una formulación a base de intensidades de estados de polarización del haz de luz. La medición de estos parámetros, se realiza pasando luz a través de dos elementos ópticos llamados polarizador y retardador, respectivamente, los cuales analizaremos con más detalle en el siguiente Capítulo. Específicamente, el campo eléctrico incidente es descrito en términos de sus componentes, y el campo eléctrico que emerge del elemento polarizador es entonces usado para determinar la intensidad del haz finalmente emergente. En el siguiente Capítulo podremos resolver el mismo problema pero con un método mas poderoso conocido como el formalismo matricial de Mueller. Primero hacemos pasar el haz por un retardador y luego por un polarizador. Las componentes del haz incidente son , 2‐83a 35 . 2‐83b En la Sección 2.6.2 vimos que los parámetros de Stokes de una onda plana en la forma compleja estaban dados por , 2‐51a , 2‐51b , 2‐51c , 2‐51d donde i=(‐1)1/2 y el asterisco representa el complejo conjugado. Haciendo pasar el haz por el desfasador, que tiene la propiedad de adelantar en φ/2 la fase de la componente del campo en dirección x y retardar φ/2 la componente en la dirección y. Entonces, las componentes del campo emergente del retardador son /
, 2‐84a /
. 2‐84b Después, el campo descrito por las ecuaciones (2‐84) lo hacemos incidir en un elemento llamado polarizador. Este tiene la propiedad de transmitir solo la componente del campo que se encuentra a lo largo del eje de transmisión. Idealmente, si el eje de transmisión está a un ángulo θ, sólo las componentes de Ey’ y Ex’ en esa dirección pueden ser transmitidas perfectamente y hay una completa atenuación en cualquier otro ángulo. Un elemento polarizador que se comporta de esta forma es llamado polarizador. El campo transmitido a lo largo del eje de transmisión es cos
sen . 2‐85 Sustituyendo las ecuaciones (2‐84) en la ecuación (2‐85), el campo queda como 36 /
/
cos
sen . 2‐86 La intensidad del haz esta definida como . 2‐87 Sustituyendo la ecuación (2‐86) en la ecuación (2‐87), nos queda que la intensidad es ,
cos
sen
sen cos , 2‐88 o bien, usando las fórmulas trigonométricas para ángulos dobles cos
, 2‐89a sen
, 2‐89b . 2‐89c sen cos
Entonces, sustituimos las ecuaciones (2‐89) en la ecuación (2‐88) para obtener ,
cos 2
sen
cos
sen 2
sen 2 . 2‐90 Pero los términos entre paréntesis son exactamente los parámetros de Stokes dados en la ecuación (2‐51). Con esto, la ecuación (2‐90) se reduce a ,
cos 2
cos sen 2
sen sen 2 . 2‐91 La ecuación (2‐91) es la famosa fórmula de intensidad de Stokes para medir los cuatro parámetros de Stokes. Con esta fórmula es fácil ver que los parámetros de Stokes son directamente accesibles con una medición, es decir, son cantidades observables. 37 Ajustando los ángulos θ y φ de tal forma que algunos términos de la ecuación (2‐91) se eliminen, podemos llegar a un sistema de ecuaciones de cuatro por cuatro. Haciendo esto, llegamos a que 0°, 0°
, 2‐92a , 2‐91b 45°, 0°
, 2‐91c 90°, 0°
, 2‐91d 45°, 90°
y resolviendo el sistema para los parámetros de Stokes, obtenemos que6, 0°, 0°
90°, 0° , 2‐92a 0°, 0°
90°, 0° , 2‐92b 2 45°, 0°
0°, 0°
90°, 0° , 2‐92c 2 45°, 90°
0°, 0°
90°, 0° . 2‐92d Las ecuaciones (2‐92) son muy importantes, ya que por medio de ellas es como se puede acceder experimentalmente a los parámetros de Stokes. Para determinar estos parámetros es necesario medir la intensidad a cuatro diferentes ángulos. Estas intensidades son fáciles de medir en nuestra época por medio de un detector, pero en los tiempos de Stokes no existían este tipo de dispositivos, su único detector era el ojo humano, detector capaz de medir intensidad cero, casi cero y brillante, entonces esto no permitía el uso de los parámetros de Stokes de manera confiable. Aunque, esto no le mortificaba a Stokes, ya que el no desarrolló la teoría para describir el campo óptico en términos de observables, sino que el buscaba una representación matemática para la luz no polarizada. 6
Las unidades en las que se miden los parámetros de Stokes son [Sj]=Watt/metro2, que son las unidades de la irradiancia. 38 Para finalizar esta sección es conveniente remarcar que los parámetros de Stokes están linealmente relacionados con los coeficientes de la matriz de coherencia, lo que hace, también, al método de la matriz de coherencia un método que trabaja con cantidades medibles; es decir, con observables físicas. Retomando las ecuaciones (2‐73), , 2‐73a , 2‐73b , 2‐73c , 2‐73d y sustituyendo las ecuaciones (2‐92) en las ecuaciones (2‐73) nos queda que 0°, 0° , 2‐74a 90°, 0° , 2‐74b 45°, 0°
45°, 90°
0°, 0°
90°, 0° 1
, 2‐74c 45°, 0°
45°, 90°
0°, 0°
90°, 0° 1
. 2‐74d En estas últimas ecuaciones se puede ver que en la matriz de coherencia también es factible trabajar con cantidades experimentales, aunque la matriz de coherencia es más usada en la óptica teórica. Para finalizar el Capítulo, damos un resumen de los tipos más comunes de polarización, en las diferentes representaciones para en el Capítulo siguiente analizar la interacción de la luz con medios ópticos, por medio de representaciones matemáticas de estos, enfocándonos en un método muy poderoso conocido como formulismo de Mueller‐Stokes. 39 Luz linealmente polarizada (horizontal) Jones
1
0
Luz linealmente polarizada (vertical) Luz linealmente polarizada (+45) Luz linealmente polarizada (‐45) Stokes
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1 1
√2 1
1
1
1
√2
Luz circularmente polarizada (derecha) Luz circularmente polarizada (izquierda) Luz no polarizada 1
0
0
1
1 1
√2
1
1
√2
1
0
1
0
No hay 1
0
0
1
1
0
0
0
Wolf
1 0
0 0
0 0
0 1
1 1 1
2 1 1
1
2
1
1
1 1
2
1
1 1
2
1
1 1 0
2 0 1
Tabla 2‐1 Tipos más comunes de luz polarizada en diferentes representaciones. Referencias [1] Eugene Hecht, Óptica (editorial y año). 1
1
40 [2] Tesis de Maestría, Gelasio Atondo Rubio. [3] D. Goldstein, Polarized Light (Marcel Dekker, New York, 2003). [4] S. Y. Lu and R. A. Chipman, Opt. Commun. 146 (1998) 11. [5] B. DeBoo, J. Sasian and R. Chipman, Opt. Express 12 (2004) 4941. [6] R. Chipman, Appl. Opt. 44 (2005) 2490. 41 Capítulo 3 Representación matricial de la interacción luz‐materia 3.1 Introducción En este Capítulo, veremos las representaciones matemáticas para la interacción entre la luz y la materia. Primero, repasaremos el formulismo de Jones para este fenómeno, de una forma muy breve ya que no es nuestra prioridad. Posteriormente pasaremos al formulismo de Mueller‐Stokes, retomando algunas matrices para los elementos polarizadores más comunes y veremos un método para obtener más información de estos elementos. Finalmente, daremos un resultado el cual nos servirá para obtener los valores experimentales, en base a intensidades, para la matriz de Mueller asociados a una muestra de interés. 3.2 Representación matricial de Jones para la interacción luz‐materia. En la sección 2.6.1 del Capítulo anterior, analizamos la representación de un haz de luz mediante un vector de Jones, ahora, en esta sección veremos una representación matricial para describir la interacción luz‐materia, basándonos en el formulismo de Jones. En particular, trataremos el caso de la interacción de la luz con algunos elementos polarizadores. Para esto, supongamos que las componentes del haz emergente del elemento polarizador están linealmente relacionados con las componentes del haz incidente. Esto lo podemos escribir como, 42 , 3‐1a , 3‐1b donde Ex’ y Ey’ son las componentes ortogonales del campo eléctrico asociado al haz de luz emergente y Ex y Ey son las componentes ortogonales del campo eléctrico asociado al haz de luz incidente. Las cantidades jik, i,k=x,y, son los elementos de la matriz de transformación. Las ecuaciones (3‐
1) pueden escribirse en forma matricial y quedan como , 3‐2a o bien , 3‐2b donde . 3‐2c La matriz de 2×2 J, ec. (3‐2c), es llamada la matriz de Jones del sistema. En la sección 2.7 utilizamos algunos elementos polarizadores para encontrar una forma de medir los parámetros de Stokes, ahora retomaremos una representación matemática para estos. 3.2.1 Matriz de Jones para un polarizador lineal. Un polarizador lineal se caracteriza por las relaciones , 3‐3a ,
0
1 3‐3b ,
43 donde los pi‘s son los coeficientes de atenuación en la componente i. En forma matricial las ecuaciones (3‐3) quedan como 0
. 3‐4a 0
Entonces la matriz de Jones, ecuación (3‐2c), para un polarizador es 0
. 3‐4b 0
Para un polarizador lineal horizontal ideal, se tiene que px=1 y py=0, entonces la matriz de Jones es 1 0
3‐5a 0 0
y de manera similar para un polarizador lineal vertical, 0 0
. 3‐5b 0 1
Es conveniente obtener la matriz de Jones para un polarizador lineal rotado, para esto usamos la conocida transformación, 3‐6 donde J es la matriz de rotación para ejes coordenados cos
sen
. 3‐7 sen
cos
Efectuando la multiplicación señalada en la ecuación (3‐6), obtenemos que la matriz de Jones para un polarizador lineal cuyo eje de transmisión forma un ángulo theta respecto a la horizontal, está dada por 44 sen cos
sen cos
3‐8 El siguiente elemento óptico de nuestro interés es el retardador. 3.2.2 Matriz de Jones para un retardador. Un retardador lineal aumenta la fase +φ/2 a lo largo del eje rápido (x) y retarda la fase por ‐φ/2, a lo largo del eje lento (y). Este comportamiento es descrito por /
, 3‐9a /
, 3‐9b de donde podemos inmediatamente expresar esto en forma matricial /
0
. 3‐10a /
0
Entonces la matriz de Jones, ecuación (3‐2c), para un retardador lineal queda como /
0 . 3‐10b /
0
La última matriz de nuestro interés es la asociada a un rotador. 3.2.3 Matriz de Jones para un rotador. Las ecuaciones que describen el comportamiento de un haz que incide en un rotador son cos
sen
, 3‐11a sen
cos
, 3‐11b 45 donde β es el ángulo de rotación. Y en forma matricial cos
sen
. 3‐12a sen
cos
Entonces la matriz de Jones, ecuación (3‐2c), para un rotador es cos
sin
. 3‐12b sin
cos
Habiendo dado una pequeña introducción a la representación de Jones, pasamos a una representación matemática más poderosa para la interacción de la luz con materia, y que maneja términos reales y completamente accesibles mediante un experimento, la representación de Mueller‐Stokes. 3.3 Representación matricial de Mueller‐Stokes para la interacción luz‐
materia. En la sección anterior, vimos un método para encontrar la expresión matemática para un elemento polarizador, entonces por analogía supongamos que un haz de luz, representado por un vector de Stokes S, interacciona con un elemento polarizador y de este emerge un haz de luz representado por el vector S’ (ver figura 3‐1). Figura 3‐1. Esquema de la interacción de un vector de Stokes con un elemento óptico. Aquí el haz incidente interacciona con el medio polarizador, y para el haz emergente suponemos que cada elemento de S’ puede ser expresado como una combinación lineal de los elementos de S, esto se puede escribir como: 46 , 3‐13a , 3‐13b , 3‐13c . 3‐13d En forma matricial, las ecuaciones (3‐13) quedan como 3‐14 o bien · 3‐15 donde S y S’ son los vectores de Stokes incidente y emergente, respectivamente, y M es una matriz de 4×4 de elementos reales conocida como matriz de Mueller. Cuando un haz de luz interactúa con materia su estado de polarización puede experimentar una afectación. El estado de polarización puede ser modificado por (1) un cambio en la fase, (2) cambio en la amplitud, (3) un cambio en la dirección de las componentes ortogonales del campo, o (4) transfiriendo energía del estado polarizado a un estado no polarizado (o despolarizado). Si la energía en el estado polarizado pasa a un estado despolarizado, el elemento es llamado despolarizador. También, para el caso en que la amplitud del haz incidente sea modificada, se trata de un dispositivo diatenuador. A continuación, analizaremos los elementos polarizadores más comunes, ahora, para el caso de los vectores de Stokes y, les asociaremos sus respectivas matrices de Mueller. 3.3.1 Matriz de Mueller para un polarizador lineal. 47 Retomando la ecuación (3‐3) de la sección 3.2.1, , 3‐3a ,
0
1 3‐3b ,
y recordando la definición de los parámetros de Stokes en términos de cantidades complejas, las ecuaciones (2‐51) para el haz incidente son , 3‐16a , 3‐16b , 3‐16c , 3‐16d y para el haz emergente , 3‐17a , 3‐17b , 3‐17c . 3‐17d Sustituyendo las ecuaciones (3‐3) en las ecuaciones (3‐17) y utilizando las relaciones (3‐16), llegamos a que 0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
3‐18 2
y con esto obtenemos que la matriz de Mueller para un polarizador lineal es 48 0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
. 3‐19 2
Es conveniente escribir lo anterior en términos trigonométricos, entonces hacemos , 3‐20a cos , 3‐20b sin , 3‐20c Con esto, la ecuación (3‐19) queda como 1
cos 2
0
0
cos 2
1
0
0
3‐21 sen 2
0
0
0
0
sen 2
0
0
donde 0≤γ≤90°. Para un polarizador lineal horizontal γ=0 y para un polarizador lineal vertical γ=90°. En la figura 3‐2 se puede apreciar un sistema con un polarizador vertical y un analizador horizontal. Figura 3‐2. Polarización de ondas de luz. 49 En la práctica no hay un polarizador lineal perfecto, por lo que todos los polarizadores crearan luz elípticamente polarizada, aunque la elipticidad sea muy pequeña, de hecho, despreciable, siempre habrá un porcentaje de ella en el haz modificado. 3.2.2 Matriz de Mueller para un retardador. Un retardador es un elemento polarizador que cambia la fase del haz de luz con que interacciona. Este elemento introduce un desfasamiento φ entre las componentes ortogonales del campo eléctrico asociado al haz de luz incidente, esto se puede apreciar en la figura 3‐3. Figura 3‐3. Interacción de una onda de luz con un retardador. Retomando las expresiones (3‐9), que representan la interacción de un haz de luz con un retardador, las sustituimos en las ecuaciones (3‐17) y hacemos un desarrollo similar al de la sección 3.2.1, con esto podemos llegar a que la matriz de Mueller para un retardador (o compensador) es 50 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
cos
sen
0
0
sen
cos
3‐22 Ahora pasamos al último elemento polarizador, el rotador. 3.3.3 Matriz de Mueller para un rotador. Tomando la misma idea de la sección 3.2.3, con las ecuaciones (3‐11) y (3‐17) podemos obtener que la matriz de Mueller para un rotador es 1
0
0
0
0
cos 2
sen 2
0
. 3‐23 0
sen 2
cos 2
0
0
0
0
1
Después de haber obtenido las matrices de Mueller para el polarizador lineal, el retardador y el rotador, ahora pasamos a analizar algunos métodos para obtener las características de cada uno de estos elementos, como lo son los coeficientes de atenuación en un polarizador lineal, el desfasamiento en un retardador y el ángulo de rotación en un rotador. 3.4 Medición de las características de los elementos polarizadores. Es bien sabido que para poder trabajar en algún experimento, se debe tener bien caracterizado todo el equipo, por lo que es conveniente desarrollar técnicas para medir las propiedades de cada uno de los elementos con los que trabajemos. 3.4.1 Medición de los coeficientes de atenuación de un polarizador lineal Primero empezaremos con el polarizador lineal, este está caracterizado por los coeficientes de atenuación px y py de los ejes ortogonales x y y, respectivamente. A continuación describimos un procedimiento experimental para medir estos coeficientes. La configuración que se tiene que montar para medir px y py en el laboratorio está descrita en la figura 3‐4. 51 Figura 3‐4. Arreglo experimental para encontrar la característica de un elemento óptico. Este consiste de una fuente de luz, la cual se enfoca a un elemento óptico que genera luz polarizada (conocida), luego esta se hace incidir en el elemento óptico a examinar y de ahí pasa a un analizador, este se encuentra rotado un ángulo α, el cual se varia para ver el cambio en la intensidad del haz Sd, con este procedimiento y con la ayuda de algunas ecuaciones, se puede caracterizar polarimétricamente a un elemento óptico. Esta misma configuración nos servirá para la caracterización polarimétrica del retardador y el rotador. La matriz de Mueller para un polarizador lineal esta dada por la ecuación (3‐
19), pero esta la podemos reescribir como 0 0
0 0 , 3‐23 0 0
0
0 0 0
donde , 3‐24a , 3‐24b , 3‐24c donde las relaciones (3‐24) satisfacen la ecuación . 3‐25 Consideremos un haz de luz en un estado de polarización representado por el vector de Stokes S, 52 . 3‐26 Para medir las características del polarizador a examinar se escoge el primer polarizador (figura 3‐4), que es llamado generador de polarización, como un polarizador lineal a +45°. Entonces el vector de Stokes que emane estará dado por 1
0
, 3‐27 1
0
donde I0=(1/2)(S0+S2) es la intensidad emergente. Luego el vector saliente del segundo polarizador, es decir, el polarizador que se quiere caracterizar, lo obtenemos al multiplicar la ecuación (3‐23) por la ecuación (3‐27), y esto nos da . 3‐28 0
El polarizador antes del detector óptico es un analizador, que es un polarizador lineal que puede ser rotado un cierto ángulo α. La matriz de Mueller para este se obtiene multiplicando la matriz para un polarizador horizontal por la de un rotador, lo que da por resultado 1
cos 2
sen 2
0
cos 2
cos 2
sen 2 cos 2
0
. 3‐29 sen 2
sen 2 cos 2
0
sen 2
0
0
0
0
Entonces, el vector de Stokes que llegara al detector será 53 cos 2
sen 2
1
cos 2
sen 2
0
, 3‐30 y la intensidad del haz es cos 2
sen 2 . 3‐31 Rotando el analizador en 0°, 45° y 90°, respectivamente, se obtiene que 0°
, 3‐32a 45°
, 3‐32b , 3‐32c 90°
y de las ecuaciones (3‐32) se obtiene lo que buscábamos °
, 3‐33a °
. 3‐33b Ahora pasamos al caso del retardador. 3.4.2 Medición de la fase de desfasamiento de un retardador Hay numerosas ocasiones en las que se debe de conocer con mucha exactitud el desfasamiento que provoca un retardador. Los retardadores más comunes son de cuarto‐de‐onda y media‐onda, los cuales son más usados para crear luz polarizada circularmente y para revertir el sentido de la luz elípticamente polarizada, respectivamente. En esta sección retomamos la figura 3‐4, pero ahora el generador de luz polarizada será un polarizador lineal horizontal, el elemento óptico será un 54 retardador con su eje rápido rotado a un ángulo θ de la horizontal, para el analizador hacemos α=90° para que este se convierta en un polarizador lineal vertical. Para obtener la matriz de Mueller del retardador rotado solo multiplicamos la ecuación (3‐22) por la ecuación (3‐23), entonces la matriz de Mueller del sistema será 3‐34 con 1
1 0
0
1 1
0
0 , 3‐35 0
0
0
0
0
0
0
0
donde el signo más corresponde al polarizador horizontal y el menos, para el vertical. Al hacer las multiplicaciones de la ecuación (3‐34), nos queda que 1
1 0 0
1
1 0 0 . 3‐36 0
0
0 0
0
0
0 0
La intensidad del haz que llega al detector es ,
. 3‐37 donde I0 es la intensidad de la fuente de luz. De la expresión (3‐37) podemos ver rápidamente que 0°,
0 3‐38a 45°,
3‐38b y de la ecuación (3‐38b) podemos despejar φ, 55 cos
1
. 3‐39 Podemos notar que todas las cantidades de las que depende φ se pueden medir. Por último, pasamos al caso del rotador. 3.4.3 Medición del ángulo de rotación del rotador El último elemento polarizador que nos queda por caracterizar es el rotador. La matriz de Mueller para el rotador esta dada por la expresión (3‐23), 1
0
0
0
0
cos 2
sen 2
0 . 3‐23 0
sen 2
cos 2
0
0
0
0
1
De nuevo, retomemos la figura 3‐4, pero ahora el generador de polarización, será un polarizador lineal vertical y, obviamente el elemento polarizador de en medio será un rotador y el analizador permanecerá igual; es decir, como un polarizador lineal horizontal rotado un ángulo α. El vector de Stokes S’ que incide en el rotador es 1
1
, 3‐40 0
0
y el vector S” que llega a el analizador es 1
cos 2
, 3‐41 sen 2
0
y el vector de Stokes que llega al detector se encuentra multiplicando a la expresión del rotador (3‐29) por el vector (3‐41) y de ese resultado se obtiene que la intensidad de Sd es 1 cos 2
2 . 3‐42 56 Para α=180°‐θ se tiene intensidad nula, y de esa expresión encontramos el ángulo de rotación 180°
, 3‐43 de donde podemos ver que no es necesario el detector para conocer θ, ya que podemos ver que no se transmite luz si empleamos una pantalla opaca en el lugar del detector. Habiendo dado las diferentes representaciones para la interacción de la luz con un medio óptico, así como las técnicas para caracterizar polarimétricamente los elementos ópticos, pasamos a describir un método para calcular los valores de los parámetros de la matriz de Mueller, para una muestra experimental. Si se desea profundizar mas en lo que se ha visto hasta aquí, se puede consultar la referencia [1]. 3.5 Medición experimental de los elementos de las matrices de Mueller. La muestra experimental o superficie de la cual se quiere obtener la matriz de Mueller puede ser de alta simetría, como lo es una superficie unidimensional, 1‐D, que es una superficie definida con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas y esta solo tiene rugosidad a lo largo de un eje y en el otro es constante, o bien, puede ser bidimensional, 2‐D, que es una superficie arbitraria cuya rugosidad varía a lo largo de los dos ejes coordenados. Pero aquí no nos interesa de que tipo sea la muestra, ya que daremos las expresiones de tal forma que la superficie a analizar sea arbitraria. Consideremos una superficie, o en general un elemento material, representada por la matriz de Mueller M al que se le hace incidir un haz de luz representado por el vector de Stokes Si (ya caracterizado) y de la muestra emerge un haz So, que es de la forma . 3‐44 Luego de esto, el vector So es analizado o filtrado, es decir, se hace pasar por un Analizador y de este sale el vector Sd que es 57 , 3‐45 donde A es la matriz de Mueller que representa a el Analizador. También la ecuación (3‐45) puede expresarse como ∑
∑
, 3‐46 donde aij, mjk y Sif son los elementos de las matrices A, M y S, respectivamente. Luego, Sd es medido con un detector, pero este solo mide intensidades, por lo que dicha medición será proporcional al elemento S0d. Entonces nos quedamos solo con el elemento S0d que esta dado por [2] ∑
∑
, 3‐47a o bien . 3‐47b De la expresión anterior nos podemos dar cuenta de que los únicos valores relevantes de A, son los del primer renglón y que la matriz de Mueller para un sistema general, tiene 16 elementos independientes, es decir, todos son independientes. Pero no es tan grave, ya que con un conjunto de cuatro vectores de Stokes incidentes y cuatro analizadores se pueden obtener los 16 valores. El conjunto de los vectores de Stokes es [2] 1
1
1
1
1 ,
1 , 0 , 0 , 3‐48 , , ,
0
0
1
0
0
0
0
1
donde los vectores de Stokes, son polarización lineal paralela (p), lineal perpendicular (s), lineal a +45 con respecto a el plano de incidencia y circular a derechas (+), respectivamente. Luego el conjunto de analizadores esta dado por 58 1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0 ,
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
,
0
0
0
0
,
1 0
0
0 , 0 0
0
1 0
0
0 0
,
1
0
1
0
1
0
0 , 0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
, 3‐49 donde los Ai son los filtros o analizadores correspondientes a los estados de polarización de los vectores incidentes. Ahora, si denotamos a la intensidad medida en el detector por Iij, donde i representa el vector de Stokes incidente (p,s,+,r) y j representa el analizador utilizado (p,s,+,r). Con esto podemos obtener los 16 valores de la matriz de Mueller aplicando a cada filtro del conjunto (3‐39) uno de los vectores de Stokes del conjunto (3‐48), dando como resultado [2], 3‐50a 3‐50b 3‐50c 3‐50d 3‐50e 3‐50f 3‐50g 3‐50h 3‐50i 3‐50j 59 2
3‐50k 2
3‐50l 3‐50m 3‐50n 2
3‐50o 2
3‐50p Los valores de mij que se acaban de dar son totalmente generales, por lo que aplican a cualquier muestra. Para el caso de muestras del tipo 1‐D la matriz se reduce a [3], 0 0
0 0
3‐51 0 0
0 0
Habiendo presentado los métodos matemáticos para representar la interacción de la luz con la materia, así como la forma de obtener matrices experimentales, podemos ahora, pasar a ver algunas de las métricas de despolarización existentes, por medio de las cuales se puede extraer información de las matrices de Mueller, ya sean teóricas o experimentales. Referencias [1] D. Goldstein, Polarized Light, Marcel Dekker, New York, 2003. [2] G. Atondo‐Rubio, R. Espinosa‐Luna, A. Mendoza‐Suarez, Opt. Commun. 244 (2005) 7‐13. [3] K.A. O’Donnell, M.E. Knotts, J. Opt. Soc. Am. A 8 (1991) 1126. 60 Capítulo 4 Métricas de despolarización de la luz 4.1 Introducción En Capítulos anteriores hemos visto la representación matemática de la luz y de su interacción con la materia, de donde surgieron las Matrices de Mueller, y con esto, una representación matemática para una respuesta lineal a la luz por una muestra de materia o sistema óptico. Pero hasta aquí no hemos propuesto alguna forma de analizar o extraer información del sistema bajo estudio mediante su matriz de Mueller. En este Capítulos veremos algunas de las métricas más importantes y, por lo tanto, las mas utilizadas en el análisis de estas matrices. El sentido de una métrica escalar es proveer la máxima información posible acerca de la naturaleza interna de un sistema despolarizante sistema bajo estudio. Como el sistema estará representado por la matriz de Mueller M, las métricas serán función de M y en algunos casos del vector de Stokes incidente, Si. Las métricas que veremos son: los parámetros de Diatenuación y de Polarizancia, el Grado de Polarización, el Índice de Despolarización y la métrica Q(M), siendo ésta última la más importante, ya que se ha demostrado que es la que aporta mayor información [1]. 4.2 Parámetros de diatenuación, D(M), y de polarizancia, P(M). Es conveniente que definamos una cantidad de gran importancia y que nos servirá de mucho en los temas siguientes, esta cantidad expresa la ganancia 61 del medio. La Ganancia g esta definida como la intensidad emergente tras la interacción, dividida por la intensidad del haz incidente [2] . 4‐1a Para sistemas pasivos7 se tiene que 0
1. 4‐1b Un diatenuador es aquel elemento óptico que provoca una disminución en la intensidad total o, en particular, en alguna de las intensidades de una componente polarizada del haz de luz incidente. Para comprender mejor esta característica y poder encontrar una métrica retomemos la ecuación (3‐
13a), . 3‐13a De esta ecuación podemos ver que la intensidad total del haz emergente depende solo de los elementos del primer renglón de la matriz de Mueller M, donde m0j determina qué cantidad de la intensidad de Sij va a contribuir a la intensidad total del haz emergente. En base a esto, se define la Diatenuación como [3] , 4‐2a donde 0
1. 4‐2b En el caso en que D(M)=0, esto nos dice que sólo la intensidad total del haz incidente va a contribuir en una cantidad m00 a la intensidad total del haz emergente, y cuando D(M)=1, la intensidad total del haz incidente contribuye de igual manera que los estados degenerados a la intensidad total del haz emergente. De igual forma, retomemos las ecuaciones (3‐13), 7
Es conveniente recordar que el formulismo de Mueller‐Stokes se desarrolló sobre sistemas que producen respuestas lineales y pasivos, es decir, no aportan energía durante la interacción. 62 , 3‐13a , 3‐13b , 3‐13c . 3‐13d Podemos ver que los elementos mj0, determinan qué cantidad de la intensidad total del vector incidente, va a contribuir a cada uno de los estados de polarización Soj del vector emergente. Se define el Parámetro de Polarización o Polarizancia como [3] , 4‐3a donde 0
1. 4‐3b Para en caso en que P(M)=0, se tiene que la intensidad total del haz incidente sólo va a contribuir a la intensidad total del haz emergente, y lo hará en una cantidad m00, en el caso en que P(M)=1, podemos ver que la intensidad total del haz incidente va a contribuir de igual forma a la intensidad total y a los estados degenerados, del haz emergente. 4.3 Grado de polarización, DoP. Consideremos un haz de luz Si que interacciona con un elemento óptico M, de donde emerge un haz de luz So dado por la ecuación (3‐14). Sabemos que los elementos Soj son mediciones experimentales de la intensidad (ver ecuaciones (2‐92)), el término So0 es la intensidad total del haz, So1 es el término que representa la intensidad de la componente linealmente polarizada del haz, So2 lleva la información acerca de la intensidad de la componente polarizada a ±45°y So3 representa la intensidad de la componente polarizada circularmente. En el caso más general, So se 63 encontrará parcialmente polarizado; es decir, tendrá un porcentaje de luz no polarizada y otro de luz polarizada. Esto lo podemos verificar sustituyendo los elementos de So en la ecuación (2‐47), . 2‐47 Si se cumple la igualdad, el haz está totalmente polarizado y si se cumple la desigualdad, entonces el haz se encuentra en un estado parcialmente polarizado. El Grado de Polarización se define como [3‐5], , 4‐4a donde Ipol es la suma de las componentes de polarización, Itot es la intensidad total del haz y se cumple que 0
1. 4‐4b La definición (4‐4a) es válida para cualquier vector de Stokes, pero en nuestro caso esta queda como ∑
. 4‐5 Con lo que DoP=DoP(M,Si) está directamente relacionado con la matriz de Mueller y el vector de Stokes incidente. Si DoP=0, el haz de luz emergente estará totalmente despolarizado, si DoP=1 el haz estará totalmente polarizado y si 0<DoP<1, el haz de luz se encontrará en un estado parcialmente polarizado. 4.4 Índice de despolarización, DI(M). El término despolarización se refiere a la pérdida en el grado de polarización, DoP, a medida que la luz se propaga a través de un sistema óptico, el cual está representado por la matriz de Mueller M. El índice de despolarización, DI(M), ha sido definido como un escalar asociado a la 64 matriz M, representando la despolarización de la luz como consecuencia de la respuesta lineal del sistema óptico. El Índice de Despolarización se define como [6,7], ∑
,
√3
, 4‐6a donde 0
1. 4‐6b Cuando DI(M)=0, el sistema es totalmente despolarizador, si DI(M)=1 es no despolarizante y si 0<DI(M)<1 el sistema óptico es parcialmente despolarizador. 4.5 Métrica Q(M). En esta sección veremos cómo se deduce la métrica Q(M) a través de DoP. Consideremos una matriz de Mueller despolarizante dada por [1] , 4‐7 donde 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
, 4‐8a . 4‐8b Ahora consideremos la ecuación (4‐5), . 4‐5 65 Pero 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
El superíndice T indica la transpuesta, entonces . 4‐9 Y de igual forma 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
, y con esto 4‐10 Sustituyendo las ecuaciones (4‐9) y (4‐10) en (4‐5), 66 . 4‐11 O bien , 4‐12 y de la condición (4‐4b) se tiene que 1. Y con esto . 4‐13 Del producto interno de las matrices Md,n, en la ecuación (4‐13), se pueden obtener las nueve restricciones bilineales entre los elementos de la matriz M cuando el sistema es no despolarizante [1]. Notemos que la trasa del producto interno de las matrices Mn es ∑,
∑
∑,
∑ ,
∑
Sustituyendo las ecuaciones (4‐6a) y (4‐2a) en la expresión anterior, nos queda que 3
. 4‐14 Por otro lado, ∑
∑
, usando de nuevo la ecuación (4‐2a), obtenemos que 67 1
. 4‐15 Con todo esto, se define la métrica Q=Q(M) como [1] , 4‐16a donde 0
3. 4‐16b El caso Q(M)=0, corresponde a un sistema totalmente despolarizante, cuando Q(M)=3, se trata de un sistema no despolarizante y no diatenuante, si 0<Q(M)<1 entonces se trata de un sistema parcialmente despolarizante y si 1≤Q(M)<3 y además 0<D(M)≤1, el sistema es parcialmente despolarizante; en caso de que 1≤Q(M)<3 y que D(M)=1, el sistema es no despolarizante diatenuante. En el siguiente Capítulo veremos la aplicación de las métricas aquí mostradas y así estar en condiciones de obtener toda la información posible de una serie de matrices de Mueller reportadas, y con esto probar si son físicamente consistentes. Referencias [1] R. Espinosa‐Luna and E. Bernabeu, Opt. Commun. 227 (2007) 256‐258. [2] C. Brosseau, Fundamentals of polarized light a statistical optics approach, John Wiley, New York, 1998. [3] S. Y. Lu and R. A. Chipman, Opt. Commun. 146 (1998) 11. [4] B. DeBoo, J. Sasian and R. Chipman, Opt. Express 12 (2004) 4941 [5] R. Chipman, Appl. Opt. 44 (2005) 2490 68 [6] J. J. Gil and E. Bernabeu, "A depolarization criterion in Mueller matrices", Opt. Acta 32, 259‐261 (1985). [7] J. J. Gil and E. Bernabeu, "Depolarization and polarization indexes of an optical system", Opt. Acta 33, 185‐189 (1986). Nota: Optica Acta cambió de nombre, a Journal of Modern Optics (J. Mod. Opt.). 69 Capítulo 5 Polarización de la luz. Representaciones de la luz polarizada 5.1 Introducción En el Capítulo anterior dimos a conocer las métricas con sus significados y sus límites numéricos, lo cual será de vital importancia en este capítulo, ya que nos permitirá descartar las matrices que no estén bien reportadas, producto de una mala medición o un cálculo mal elaborado. Así mismo, definiremos una cantidad que nos permitirá conocer el porcentaje de luz no polarizada que tiene un haz de luz, y esta misma cantidad, será utilizada como métrica de confiabilidad en la medición de los elementos de la matriz de Mueller, la cual nos representa el sistema óptico. 5.2 Confiabilidad de la medición. Cuando hacemos incidir un haz de luz Si en un sistema representado por una matriz de Mueller M, el vector emergente So lleva información del sistema, la cual puede ser de vital importancia, en el sentido de que nos puede dar información acerca de si estamos haciendo bien la medición, tanto de M como de So. Esto lo podemos ver cuando los valores de las métricas estén fuera de sus rangos, por ejemplo, en el caso de que Q(M) sea mayor que tres, cuando teóricamente Q(M) debe de estar entre cero y tres. Pero, aun cuando las métricas que se presentaron en el Capítulo anterior estén dentro de sus valores permitidos, esto no garantiza que las mediciones estén bien 70 hechas, ya que hay casos en los que la ganancia es mayor que uno (aun cuando el resto de las métricas están dentro de sus rangos), lo cual no esta permitido, por que estamos tratando sistemas pasivos, es decir, que no aportan energía solo la reemiten y en la mayoría de los casos, absorben cierta cantidad de energía. También, se puede hacer un análisis de los valores Soj vigilando que se cumpla la desigualdad (2‐47), que en el caso de So, esta dada por . 5‐1a Si obtenemos una matriz de Mueller M, experimental o teóricamente, esta debe de cumplir, forzosamente, las restricciones dadas por la desigualdad (5‐1a) y las métricas, 0
1, 5‐1b 0
1, 5‐1c 0
,
1, 5‐1d 0
1, 5‐1e 0
3. 5‐1f El hecho de que M no cumpla con los valores permitidos de las métricas dados en las expresiones (5‐1), es atribuible directamente a un error en la medición experimental, o en el cálculo teórico, de los elementos mij de la matriz de Mueller M. En el caso de la Ganancia del sistema, no es suficiente que se cumpla la ecuación 0
1 . 5‐2 Ya que se ha probado, que es una condición necesaria pero no suficiente, para que la matriz M, represente un sistema físicamente realizable [2]. 5.3 Porcentaje de luz despolarizada en un haz. 71 Es interesante conocer que tan despolarizante es un elemento óptico, y esto se puede saber rápidamente por medio del vector emergente So utilizando la ecuación (5‐1a). Primero, definamos una cantidad No tal que , 5‐3 o bien , 5‐4 y sacando la raíz a lo anterior, nos queda que 0. 5‐5 No es una cantidad que se encarga de hacer que siempre se cumpla la igualdad en la ecuación (5‐1a) y representa la intensidad de la luz despolarizada en el haz So. En el caso en que el haz emergente esté totalmente polarizado, No será igual a cero y para el caso en que So se encuentre en un estado parcialmente polarizado, No tomará un valor mayor que cero. De la ecuación (5‐4), podemos ver que otra prueba de confiabilidad en la medición de los elementos de la matriz de Mueller es 0. 5‐1g El proponer la ecuación (5‐1g) suena un tanto absurdo, pero la intención de esta ecuación es verificar que los elementos estén bien medidos, o por lo menos verificar que se cumpla la ecuación (5‐1a), ya que, como veremos mas adelante, ciertas matrices reportadas no cumplen con la ecuación (5‐
1g). Sin embargo, el verdadero sentido de haber definido No, es el de encontrar que porcentaje de la intensidad total de el haz emergente, So0, esta despolarizado, para esto hacemos lo siguiente. La intensidad total del haz emergente es So0, o dicho de otra forma, So0 representa el 100% de la luz del haz, ahora, ¿que porcentaje representa No? Esto se resuelve fácilmente con una regle de tres, 100% 72 Entonces, sea Ño el porcentaje de luz no polarizada en So y esta definido por . 5‐6 Ahora con ayuda de la ecuación (5‐6) podemos saber que porcentaje de luz no polarizada tiene un haz. Otro detalle que es muy obvio pero que es necesario mencionar, ya que es de mucha importancia en el área de diseño, es el porcentaje de luz polarizada lineal y circularmente que tiene el haz que emerge del sistema representado por M. Esto lo podemos deducir rápidamente a partir de la ecuación (5‐6). Sea Ñoj el porcentaje de luz polarizada en el estado Soj del haz de luz So y es definido por . 5‐7 Aquí, el signo de Soj determinará de que tipo de polarización se trata y la ecuación (5‐7) dará el porcentaje de este tipo de polarización en el haz, por ejemplo, si j=1 y So1 es negativo, la ecuación (5‐7) representara el porcentaje de luz polarizada verticalmente con la que cuenta el haz. 5.4 Aplicación de las métricas a matrices reportadas. Recientemente, se han publicado una serie de matrices de Mueller, tanto experimentales como teóricas (ver Apéndices A, B, C y D), de las cuales, algunas de ellas no especifican que sistema representa la matriz reportada, ni tampoco bajo que error están hechas las mediciones o los cálculos. Aquí supondremos que todas las matrices reportadas fueron medidas (o calculadas) con un error de ±0.03, esto pensando en que los autores de estos artículos contaban con un buen equipo de medición. Vimos en la sección 4.5 que la métrica mas completa es Q(M) [1], por lo que clasificaremos el estudio de las matrices según el tipo de sistema que representen y los valores de Q(M) que estos tomen. 73 M7 M8 M11 M18 Q(M) 0.74 0.72 0.75 0.11 DI(M) 0.52 0.51 0.50 0.19 P(M) 0.01 0.00 0.09 0.01 D(M) 0.18 0.19 0.04 0.02 DoP_max 0.70 0.71 0.66 0.22 0.37 0.33 0.53 0.97 (NoSo_DoP)2 o
Ñ So_DoP 72.41% 70.06% 74.29% 97.51%
G_max 1.18 1.19 1.04 1.02 1.10 1.10 0.95 0.99 (NoSo_G)2
o
88.88% 88.14% 93.72% 97.55%
Ñ So_G
M19 0.29 0.31 0.01 0.03 0.33 0.91 94.45%
1.03 0.95 94.63%
2b‐M 0.94 0.57 0.12 0.14 0.83 0.37 55.81%
1.14 0.74 75.46%
4‐M 0.96 0.42 0.57 0.37 0.07 0.04 0.00 0.05 0.80 0.61 0.36 0.58 60.00% 79.33% 1.00 1.05 0.84 0.89 91.65% 89.85% 2b‐M∆ 4‐M∆ 0.42 0.38 0.07 0.00 0.60 0.64 80.00%
1.00 0.77 87.75%
Tabla 5.1 Métricas escalares aplicadas a matrices con 0<Q(M)<1 del Apéndice A. En la Tabla 5.1 aplicamos las métricas dadas en el conjunto de ecuaciones (5.1). Para el caso de la métrica DoP(M,Si) (grado de polarización), que depende tanto de M como del vector incidente, hicimos el calculo para el vector Si=Simax que maximiza el valor de DoP(M, Simax)=DoPmax. También aplicamos las ecuaciones (5‐1g) y (5‐6) al vector emergente SoDoP_max, esto para darnos una idea de que tan despolarizado esta el vector y para ver si se cumple (5‐1a), y con esto aumentar la confiabilidad de la medición de la matriz de Mueller del sistema. Este mismo proceso se aplicó a la Ganancia del sistema, ecuación (5‐2), calculando así la ganancia máxima del sistema, Gmax, y también el porcentaje de luz no polarizada que tiene el vector SoG_max de ganancia máxima. Esto mismo se repite para diferentes tipos de sistemas ópticos, los cuales están representados por las matrices reportadas de los Apéndices A, B y C, cuyos resultados se muestran en las Tablas 5.2 a 5.6. Q(M) DI(M) P(M) D(M) DoP_max (NoSo_DoP)2 ÑoSo_DoP G_max (NoSo_G)2
ÑoSo_G
M4 M5 M6 M12 1.00 0.58 0.03 0.03 1.00 0.00 0.00%
0.93 0.00 0.00%
1.00 0.58 0.06 0.06 1.00 0.00 0.00%
0.85 0.00 0.00%
1.00 0.58 0.10 0.10 1.00 0.00 0.00%
0.79 0.00 0.00%
1.00 0.58 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00% 1.00 1.00 100.00%
Tabla 5.2 Métricas escalares aplicadas a matrices con Q(M)=1 del Apéndice A. 74 M2 M3 M9 M10 M17 M22 M23 2a‐M 2a‐M∆ Q(M) 2.10 1.87 2.96 1.44 2.90 1.87 1.66 2.81 2.82 DI(M) 0.84 0.81 0.99 0.69 0.98 0.81 0.76 0.97 0.97 P(M) 0.09 0.18 0.01 0.06 0.01 0.18 0.18 0.05 0.02 D(M) 0.09 0.18 0.03 0.05 0.04 0.18 0.18 0.06 0.00 DoP_max 1.13 1.11 1.04 0.77 1.02 0.98 0.90 1.09 1.06 o
2 ‐0.20 ‐0.08 ‐0.09 0.38 ‐0.03 0.03 0.13 ‐0.17 ‐0.14 (N So_DoP)
‐ ‐ ‐ 64.89%
‐ 22.79% 42.92% ‐ ‐ ÑoSo_DoP G_max 0.97 0.90 1.03 1.05 1.04 0.90 0.90 1.06 1.00 0.04 ‐0.10 0.12 0.54 0.11 0.16 0.25 0.22 0.09 (NoSo_G)2
o
20.62% ‐ 33.63% 69.99% 31.89% 44.44% 55.56% 44.25% 30.00%
Ñ So_G
Tabla 5.3 Métricas escalares aplicadas a matrices con 1<Q(M)<3 del Apéndice A. Q(M) DI(M) P(M) D(M) DoP_max (NoSo_DoP)2 ÑoSo_DoP G_max (NoSo_G)2
ÑoSo_G
M13 M14 M20 1a‐M 1b‐M 1b‐MD 2b‐MD 2.71 2.71 2.98 2.98 2.78 2.80 2.92 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.28 0.28 0.11 0.07 0.24 0.24 0.14 0.28 0.28 0.11 0.07 0.24 0.24 0.14 1.00 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 1.15 0.01 0.00 0.00 0.00 ‐0.02 ‐0.03 ‐0.26 15.63% 0.00% 0.00% 0.00%
‐ ‐ ‐ 0.64 0.64 0.21 1.07 1.24 1.24 1.14 0.00 ‐0.01 0.00 0.01 0.00 ‐0.01 0.14 0.00% ‐ 0.00% 9.35% 0.00%
‐ 32.82% Tabla 5.4 Métricas escalares aplicadas a matrices con 1<Q(M)<3 y DI(M)=1 del Apéndice B. M21 1a‐MD 1a‐MR 1b‐MR 2a‐MR 2a‐MD 2b‐MR 4‐MR 4‐MD Q(M) 2.99 2.99 2.99 2.99 3.01 2.99 2.99 3.01 3.00 DI(M) 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 P(M) 0.06 0.07 0.00 0.00 0.00 0.06 0.00 0.00 0.05 D(M) 0.06 0.07 0.00 0.00 0.00 0.06 0.00 0.00 0.05 DoP_max 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01 1.00 1.01 1.01 1.00 0.00 ‐0.02 0.00 ‐0.01 ‐0.01 ‐0.02 ‐0.02 0.00 (NoSo_DoP)2 0.00 ‐ 0.00% ‐ ‐ ‐ ‐ 0.00% ÑoSo_DoP 0.00% 0.00% G_max 0.33 1.07 1.00 1.00 1.00 1.06 1.00 1.00 1.05 o
2
0.00 0.01 ‐0.01 0.01 ‐0.01 ‐0.01 0.00 ‐0.01 0.02 (N So_G)
o
0.00% 9.35% ‐ 10.00%
‐ ‐ 0.00% ‐ 13.47%
Ñ So_G
Tabla 5.5 Métricas escalares aplicadas a matrices con Q(M)≈3 del Apéndice C. 75 M1 M15 M16 M24 Q(M) 3.92 3.10 3.11 3.12 DI(M) 1.15 1.02 1.03 1.02 P(M) 0.10 0.00 0.02 0.05 D(M) 0.10 0.00 0.13 0.06 DoP_max 1.75 1.02 1.16 1.21 ‐0.38 (NoSo_DoP)2 ‐1.36 ‐0.05 ‐0.27 ‐ ‐ ‐ ‐ ÑoSo_DoP G_max 0.93 0.98 1.13 1.01 0.02 ‐0.02
0.20 0.12 (NoSo_G)2
o
15.21%
‐ 39.58%
34.30%
Ñ So_G
Tabla 5.6 Métricas escalares aplicadas a matrices con Q(M)>3 del Apéndice D. Los resultados mostrados en las Tablas se calcularon con un programa de computadora en FORTRAN 95. El código fuente del programa se puede encontrar en el Apéndice E. 5.5 Resultados. En este punto es conveniente recordar que la aproximación que utilizamos para los cálculos numéricos en las matrices fue de dos decimales y consideramos un error de ±0.03, en base a esta aproximación obtuvimos los siguientes resultados. En la Tabla 5.1 podemos ver que todas las matrices que ahí aparecen son parcialmente despolarizantes, según la métrica Q(M). El Índice de Despolarización se mantiene dentro de su rango con un promedio de 0.44, la Polarizancia se mantiene dentro de sus parámetros pero con valores debajo de 0.15 y la Diatenuación debajo de 0.23. Para todas las matrices de la Tabla 5.1 DoPmax se mantiene dentro de su rango pero la Ganancia máxima para M7, M8, M11, M18, M19, 2b‐M y 4‐M esta por encima de 1, por lo que no representan un sistema físicamente aceptable, mientras que 2b‐M∆ y 4‐M∆ cumplen con todos los requisitos para representar un sistema físico real. De la Tabla 5.2 podemos ver que las matrices M4, M5, M6 y M12 representan sistemas físicamente aceptables y parcialmente despolarizantes, esto según Q(M). También podemos ver que M12 76 despolariza totalmente al vector que maximiza la Ganancia del sistema, mientras que M4, M5 y M6 lo mantienen totalmente polarizado. En la Tabla 5.3 podemos ver rápidamente que cuando les aplicamos la ecuación (5‐1g) a las matrices con 1<Q(M)<3 del Apéndice A, solo las matrices M10, M22 y M23 cumplen con esta condición de confiabilidad de la medición de los elementos de la matriz M y que se aplica al vector que emerge cuando DoP es máximo. De estas tres matrices, solo M22 y M23 son físicamente aceptables, ya que M10 tiene una ganancia máxima por encima de uno. Los sistemas representados por las matrices M22 y M23 son parcialmente despolarizantes, según la métrica Q(M). De todas las matrices de la Tabla 5.4, solo M13, M14 y M20 son físicamente aceptables y son diatenuantes y no despolarizantes, esto gracias a la métrica Q(M). Pero M14 tiene un problema con la ecuación (5‐1g) en el vector emergente de Gmax , y a pesar de que es solo un centésima esta no se puede aproximar a 0 (esto se puede verificar en el Apéndice F), por lo que tampoco representa un sistema físicamente realizable. Con esto nos queda que solo M13 y M20 representan sistemas reales, los cuales emiten vectores totalmente polarizados cuando la ganancia es máxima. En la Tabla 5.5 se puede apreciar que solo las matrices M21 y 1b‐MR son físicamente aceptables. Si aplicamos estrictamente la definición de la métrica Q(M), estas dos matrices representan sistemas diatenuantes y no despolarizantes, podemos ver, también, que los vectores emergentes están totalmente polarizados para el caso en que DoP es máximo. Por último, en la Tabla 5.6 se puede notar rápidamente, que ninguna de estas matrices representa un sistema físico real, ya que Q(M) esta por encima de 3. En total, de las 42 matrices reportadas solo nueve representan sistemas físicos reales (según nuestra aproximación) y el resto, son matrices mal reportadas por causa de una mala medición o un calculo mal formulado. Referencias [1] R. Espinosa‐Luna and E. Bernabeu, Opt. Commun. 227 (2007) 256‐258. [2] L. Giudicotti and M. Brombin, Appl. Opt. 46 (2007) 2638. 77 Capítulo 6 Conclusiones En el Capítulo anterior, aplicamos las métricas expuestas en el Capítulo 4 a un conjunto de matrices de Mueller reportadas, esto con el fin de extraer la información polarimétrica del material o sistema óptico representado por la matriz de Mueller correspondiente. Con esto, nos dimos cuenta que solo nueve de las 42 matrices de Mueller reportadas por algunos grupos de investigación son físicamente aceptables, según nuestra aproximación de un ±0.03 de error en la medición de los elementos de las matrices. Esto nos dice que, las matrices que no cumplen con las restricciones (5‐1), en caso de ser matrices de Mueller experimentales, pueden estar representando un sistema activo, o bien, que tengan errores grandes en la medición y para el caso de ser matrices teóricas, probablemente se obtuvieron a partir de un cálculo mal elaborado. También nos dimos cuenta que la métrica Q(M) es de gran utilidad para clasificar sistemas despolarizante, es decir, proporciona información precisa acerca del tipo de sistema despolarizante del que se trata. Y por último, obtuvimos una “métrica”, ecuación (5‐7), que nos da el porcentaje de luz polarizada (en cierto estado) que contiene un haz de luz, y a su vez nos da una medida de confiabilidad de la medición de un vector de Stokes o bien de la matriz de Mueller. Se obtuvieron buenos resultados del programa (en lenguaje FORTRAN, ver Apéndice E) utilizado, ya que se comparo con otros programas y resultados anteriores, además, se aumento la precisión en el calculo. 78 Apéndice A Matrices de Mueller reportadas. Sistemas parcialmente despolarizantes Las matrices que aparecen aquí, son las matrices originales, es decir, las que aparecen en los artículos. Debido a que en los artículos no se especifica el error bajo el cual realizaron la medición (el calculo) tomamos la aproximación ±0.03 y sobre las matrices aproximadas hicimos los cálculos. Matrices que cumplen con 0≤Q(M)<1. ⎡ 1.0000
⎢ 0.0083
M7 = ⎢
⎢− 0.0026
⎢
⎣− 0.0116
0.1631 − 0.0322 0.0802 ⎤
0.4038 0.2555 − 0.2158⎥⎥
0.4297 − 0.1376 0.2016 ⎥
⎥
0.0597 − 0.3175 − 0.3690⎦
⎡1.0000
⎢0.0018
M8 = ⎢
⎢0.0019
⎢
⎣0.0003
0.1633 − 0.0655 0.0725 ⎤
0.4042 0.2324 − 0.2324⎥⎥
0.4302 − 0.1745 0.2624 ⎥
⎥
0.0598 − 0.3149 − 0.3170⎦ M7 y M8 las tomamos de [1]. 0.0262
0.0169
0.0246 ⎤
⎡ 1
⎢ − 0.0711 0.5573 − 0.0001 − 0.0789⎥
⎥ M 11 = ⎢
⎢− 0.0389 − 0.1171 0.4708
0.0457 ⎥
⎢
⎥
⎣− 0.0260 0.0185 − 0.0728 0.4318 ⎦
79 M11 la tomamos de [2]. ⎡1.0000 0.0227
⎢0.0077 0.2066
M 18 = ⎢
⎢0.0009 − 0.0121
⎢
⎣0.0035 0.0118
− 0.0031
− 0.0038
− 0.2225
− 0.0082
− 0.0028⎤
− 0.0096⎥⎥
− 0.0024⎥
⎥
− 0.1306⎦
⎡1.0000 0.0269
⎢ 0.0101 0.3236
M 19 = ⎢
⎢0.0008 − 0.0024
⎢
⎣0.0026 0.0023
− 0.0021 − 0.0018⎤
− 0.0087 − 0.0023⎥⎥
− 0.3276 0.0009 ⎥
⎥
− 0.0029 − 0.2754⎦
M18 y M19 las tomamos de [3]. − 0.115 − 0.066 0.023 ⎤
⎡ 1
⎢ − 0.111 0.759 − 0.061 − 0.001⎥
⎥, 2b − M = ⎢
⎢ − 0.018 0.151 − 0.435 − 0.139⎥
⎢
⎥
0.128 − 0.334⎦
⎣− 0.046 0.006
0
0
0 ⎤
⎡ 1
⎢ − 0.028 0.756 − 0.072 0.021 ⎥
⎥, 2b − M ∆ = ⎢
⎢− 0.062 − 0.072 0.488 − 0.014⎥
⎢
⎥
0.021 − 0.014 0.358 ⎦
⎣ − 0.03
− 0.009 − 0.021 − 0.041⎤
⎡ 1
⎢− 0.002 0.256 − 0.029 − 0.003⎥
⎥, 4−M = ⎢
⎢ 0.024
0.045
0.235 − 0.032⎥
⎢
⎥
0.024
0.017
0.538 ⎦
⎣ 0.041
80 0
0
0 ⎤
⎡ 1
⎢− 0.001 0.258
0.01
0.009 ⎥⎥
4− M∆ = ⎢
, ⎢ 0.028
0.01
0.241 − 0.015⎥
⎢
⎥
⎣ 0.064 0.009 − 0.015 0.541 ⎦
2b‐M, 2b‐M∆, 4‐M y 4‐M∆ las tomamos de [4]. Las matrices que cumplen con Q(M)=1 son ⎡0.90 0.03 0 0⎤
⎢0.03 0.90 0 0⎥
⎥ , M4 = ⎢
⎢ 0
0
0 0⎥
⎢
⎥
0
0 0⎦
⎣ 0
⎡0.80 0.05 0 0⎤
⎢0.05 0.80 0 0⎥
⎥ , M5 = ⎢
⎢ 0
0
0 0⎥
⎢
⎥
0
0 0⎦
⎣ 0
⎡0.7215 0.069
⎢ 0.069 0.7215
M6 = ⎢
⎢ 0
0
⎢
0
⎣ 0
0
0
0
0
0⎤
0⎥⎥
, 0⎥
⎥
0⎦
M4, M5 y M6 las tomamos de [5]. - 0.0013
⎡ 1
⎢ 0.00
0.9963
M 12 = ⎢
⎢- 0.0007 0.0068
⎢
⎣ 0.0013 0.0033
- 0.0015 - 0.0010⎤
- 0.0083 - 0.0005⎥⎥
, - 0.0049 0.0029 ⎥
⎥
- 0.0013 - 0.0046⎦
M12 la tomamos de [6]. Las matrices que cumplen con 1<Q(M)<3 son 81 0.0786 ⎤
⎡ 0.8886 − 0.0131 0.0055
⎢− 0.0115 0.5762 − 0.2820 − 0.1668⎥
⎥
,M2 = ⎢
⎢ 0.0048 − 0.2809 0.6825
0.0026 ⎥
⎢
⎥
0.8061 ⎦
⎣ 0.0775 − 0.1672 0.0012
0.1185 ⎤
⎡ 0.7599 − 0.0623 0.0295
⎢− 0.0573 0.4687 − 0.1811 − 0.1863⎥
⎥,
,M3 = ⎢
⎢ 0.0384 − 0.1714 0.5394
0.0282 ⎥
⎢
⎥
⎣ 0.1240 − 0.2168 − 0.0120 0.6608 ⎦
M2 y M3 la tomamos de [5]. − 0.0118 0.0279
⎡ 1
⎢0.0045 0.9956
0.0013
M9 = ⎢
⎢0.0012 0.0341
0.9838
⎢
⎣0.0092 0.0178 − 0.0002
0.0001⎤
0.0350⎥⎥
0.0083⎥
⎥
0.9956⎦
− 0.0146
⎡ 1
⎢0.0004 0.7163
M 10 = ⎢
⎢0.0078 − 0.0544
⎢
⎣ 0.0571 0.0010
0.0509 0.0243 ⎤
0.0268 − 0.0250⎥⎥
0.7277 0.0104 ⎥
⎥
0.0035 0.6163 ⎦
M9 y M10 las tomamos de [2]. ⎡0.998 0.026 0.019 - 0.002⎤
⎢0.002 0.976 - 0.030 0.009 ⎥
⎥, M 17 = ⎢
⎢0.007 0.033 0.966 - 0.002⎥
⎢
⎥
1.0 ⎦
⎣0.002 - 0.004 - 0.002
M17 la tomamos de [7]. 82 0.0295
0.1185 − 0.0623⎤
⎡ 0.7599
⎢ 0.0384
0.5394
0.0282 − 0.1714⎥⎥
M 22 = ⎢
,
⎢ 0.1240
− 0.012 0.6608
0.2168 ⎥
⎢
⎥
⎣− 0.0573 − 0.1811 − 0.1863 0.4687 ⎦
0.0257
0.1206 − 0.0576⎤
⎡ 0.7599
⎢ 0.0372
0.5285
0.0001 − 0.0496⎥⎥
⎢
M 23 =
.
⎢ 0.1208 − 0.0001 0.6184
0.1920 ⎥
⎥
⎢
⎣− 0.0554 − 0.0572 − 0.1794 0.4822 ⎦
M22 y M23 las tomamos de [8]. ⎡ 1
⎢ 0.029
2a − M = ⎢
⎢ 0.002
⎢
⎣− 0.039
0.026 0.044 − 0.039⎤
0.962 − 0.144 − 0.047 ⎥⎥
, 0.126 0.975
0.026 ⎥
⎥
0.019 0.115
0.936 ⎦
0
0
0 ⎤
⎡ 1
⎢ 0.008
0.976 − 0.01 − 0.021⎥⎥
2a − M ∆ = ⎢
, ⎢ − 0.023 − 0.01 0.982 0.073 ⎥
⎢
⎥
⎣− 0.009 − 0.022 0.073 0.941 ⎦
2a‐M y 2a‐M∆ las tomamos de [4] Referencias [1] M. W. Williams, Appl. Opt. 25 (1986) 3616. [2] J. Cariou, B. Le Jeune, J. Lotran, and Y. Guern, Appl. Opt. 29 (1990) 1689. [3] C. Collet, J. Zallat, and Y. Takakura, Opt. Express 12 (2004) 1271. [4] S. Manhas, M. K. Swami, P. Buddhiwant, N. Ghosh, P. K. Gupta, and K. Singh, Opt. Express 14 (2006) 190. [5] D. G. M. Anderson and R. Barakat, J. Opt. Soc. Am. A 11, 2305‐2319 (1994). 83 [6] M. H. Smith, Appl. Opt. 41 (2002) 2488. [7] D. Goldstein, Polarized Light (Marcel Dekker, New York, 2003), pp 576. [8] A. Aiello, G. Puentes, D. Voigt, and J. P. Woerdman, Opt. Lett. 31 (2006) 818. 84 Apéndice B Matrices de Mueller reportadas. Sistemas diatenuntes y no despolarizantes Las matrices que aparecen aquí, son las matrices originales, es decir, las que aparecen en los artículos. Debido a que en los artículos no se especifica el error bajo el cual realizaron la medición (el calculo) tomamos la aproximación ±0.03 y sobre las matrices aproximadas hicimos los cálculos. Las matrices cumplen con 1<Q(M)<3 y DI(M)=1 y son 0
0 ⎤
⎡0.50 0.14
⎢0.14 0.50
0
0 ⎥⎥
⎢
M 13 =
, ⎢ 0
0
0.48
0 ⎥
⎢
⎥
0
0
0.48⎦
⎣ 0
⎡0.500000
⎢0.024360
M 14 = ⎢
⎢0.137900
⎢
⎣0.000000
0.024311
0.480725
0.003270
0.000000
0.137873
0.003578
0.499521
0.000000
0.000000⎤
0.000000⎥⎥
, 0.000000⎥
⎥
0.480000⎦
M13 y M14 las tomamos de [1] de las páginas 171 y 172, respectivamente. 0
0 ⎤
⎡0.19 0.02
⎢0.02 0.19
0
0 ⎥⎥
⎢
M 20 =
⎢ 0
0
− 0.19
0 ⎥
⎢
⎥
0
0
− 0.19⎦
⎣ 0
85 M20 la tomamos de [2]. ⎡ 1
⎢ − 0.06
1a − M = ⎢
⎢− 0.031
⎢
⎣− 0.001
− 0.06 − 0.031 0.0 ⎤
0.856 0.284 − 0.43⎥⎥
, 0.266 0.475 0.837 ⎥
⎥
0.442 − 0.831 0.331 ⎦
0.09 − 0.093 − 0.2 ⎤
⎡ 1
⎢ 0.155 0.874 0.119 − 0.435⎥
⎥, 1b − M = ⎢
⎢− 0.179 0.303 0.487
0.804 ⎥
⎢
⎥
⎣ 0.029 0.310 − 0.837 0.383 ⎦
1b − M D
0.09
− 0.09
− 0.2 ⎤
⎡ 1
⎢ 0.09
0.975 − 0.004 − 0.009⎥⎥
⎢
=
, ⎢− 0.093 − 0.004 0.976
0.009 ⎥
⎢
⎥
0.992 ⎦
⎣ − 0.2 − 0.009 0.009
− 0.115 − 0.066 0.023 ⎤
⎡ 1
⎢− 0.115 0.998
0.004 − 0.001⎥⎥
⎢
2b − M D =
, ⎢ 0.066
0.004
0.993 − 0.001⎥
⎢
⎥
⎣ 0.023 − 0.001 − 0.001 0.991 ⎦
1a‐M, 1b‐M, 1b‐MD y 2b‐MD las tomamos de [3]. Referencias [1] D. Goldstein, Polarized Light (Marcel Dekker, New York, 2003). [2] C. Collet, J. Zallat, and Y. Takakura, Opt. Express 12 (2004) 1271. [3] S. Manhas, M. K. Swami, P. Buddhiwant, N. Ghosh, P. K. Gupta, and K. Singh, Opt. Express 14 (2006) 190. 86 87 Apéndice C Matrices de Mueller reportadas. Sistemas no despolarizantes y no diatenuntes Las matrices que aparecen aquí, son las matrices originales, es decir, las que aparecen en los artículos. Debido a que en los artículos no se especifica el error bajo el cual realizaron la medición (el cálculo) tomamos la aproximación ±0.03 y sobre las matrices aproximadas hicimos los cálculos. Matrices que cumplen con Q(M)≈1 son 0
0 ⎤
⎡ 0.31 0.02
⎢0.02 0.31
0
0 ⎥⎥
⎢
M 21 =
⎢ 0
0
− 0.31
0 ⎥
⎢
⎥
0
0
− 0.31⎦
⎣ 0
M21 la tomamos de [1]. 0
0
0 ⎤
⎡1
⎢0 0.857 0.283 − 0.431⎥
⎥, 1a − M R = ⎢
⎢0 0.265 0.475
0.839 ⎥
⎢
⎥
⎣0 0.443 − 0.833 0.332 ⎦
− 0.06 − 0.031
0 ⎤
⎡ 1
⎢ − 0.06
1
0.001
0 ⎥⎥
⎢
1a − M D =
, ⎢− 0.031 0.001
1
0 ⎥
⎢
⎥
0
0
0.998⎦
⎣ 0
88 0
0
0 ⎤
⎡1
⎢0 0.892 0.130 − 0.432⎥
⎥, 1b − M R = ⎢
⎢0 0.32
0.492
0.809 ⎥
⎢
⎥
⎣0 0.318 − 0.861 0.398 ⎦
0
0
0 ⎤
⎡1
⎢0 0.99 − 0.138 − 0.027 ⎥
⎥, 2a − M R = ⎢
⎢0 0.136
0.99
− 0.048⎥
⎢
⎥
0.998 ⎦
⎣0 0.033 0.044
0.026
0.044 − 0.039⎤
⎡ 1
⎢ 0.026
0.998
0.001 − 0.001⎥⎥
⎢
2a − M D =
, ⎢ 0.044
0.001
0.999 − 0.001⎥
⎢
⎥
⎣− 0.039 − 0.001 − 0.001 0.999 ⎦
0
0
0 ⎤
⎡1
⎢0 0.985 − 0.184
0 ⎥⎥
⎢
2b − M R =
, ⎢0 − 0.175 − 0.924 − 0.312⎥
⎢
⎥
0.306
− 0.95 ⎦
⎣0 0.057
0
0
0 ⎤
⎡1
⎢0 0.988 − 0.152 − 0.022⎥
⎥, 4−MR = ⎢
⎢0 0.151 0.986 − 0.067 ⎥
⎢
⎥
0.998 ⎦
⎣0 0.032 0.063
− 0.009 − 0.021 − 0.041⎤
⎡ 1
⎢− 0.009 0.999
0
0 ⎥⎥
⎢
4− MD =
, ⎢ − 0.021
0
0.999
0 ⎥
⎢
⎥
0
0
1 ⎦
⎣ − 0.041
89 Todas estas últimas las tomamos de [2]. Referencias [1] C. Collet, J. Zallat, and Y. Takakura, Opt. Express 12 (2004) 1271. [2] S. Manhas, M. K. Swami, P. Buddhiwant, N. Ghosh, P. K. Gupta, and K. Singh, Opt. Express 14 (2006) 190. 90 Apéndice D Matrices de Mueller reportadas. Matrices que no son físicamente aceptables Las matrices que aparecen aquí, son las matrices originales, es decir, las que aparecen en los artículos. Debido a que en los artículos no se especifica el error bajo el cual realizaron la medición (el cálculo) tomamos la aproximación ±0.03 y sobre las matrices aproximadas hicimos los cálculos. Las matrices que cumplen con Q(M)>3 son ⎡ 0.8488 − 0.0503 0.0294 0.0617 ⎤
⎢− 0.0503 0.8304 0.0913 − 0.0920⎥
⎥, M1 = ⎢
⎢ 0.0294
⎥
0.913
0.8277
0
⎢
⎥
0
0.7947 ⎦
⎣ 0.0617 − 0.0920
M1 la tomamos de [1]. 0
0.003 0.005 ⎤
⎡0.978
⎢ 0
1
- 0.007 0.006 ⎥⎥
⎢
M 15 =
, ⎢ 0
0.007 0.999 - 0.007⎥
⎥
⎢
⎣0.005 - 0.003 - 0.002 0.994 ⎦
0.019 0.021 - 0.130⎤
⎡ 1
⎢- 0.024 - 0.731 - 0.726 0.005 ⎥
⎥, M 16 = ⎢
⎢ 0.008 0.673 - 0.688 - 0.351⎥
⎢
⎥
⎣- 0.009 0.259 - 0.247 0.965 ⎦
91 M15 y M16 las tomamos de [2] de las páginas 174 y 175, respectivamente. 0.019
0.048 − 0.016⎤
⎡ 0.946
⎢− 0.024 − 0.848 0.322
0.314 ⎥⎥
M 24 = ⎢
. ⎢ 0.003 − 0.261 0.087 − 0.885⎥
⎢
⎥
⎣ 0.037 − 0.293 − 0.981 − 0.071⎦
M24 la tomamos de [3]. Referencias [1] B. J. Howell, Appl. Opt. 18 (1979) 809. [2] D. Goldstein, Polarized Light (Marcel Dekker, New York, 2003). [3] L. Giudicotti and M. Brombin, Appl. Opt. 46 (2007) 2638. 92 Apéndice E Programa para calcular los valores numéricos de las métricas El código fuente del programa que utilizamos para el cálculo de las métricas se encuentra en lenguaje FORTRAN 95. Es necesario escribir las matrices reportadas en archivos .txt (con el nombre correspondiente) y que estos archivos se encuentren en la carpeta donde se localiza FORTRAN, para que puedan ser leídas a la hora de ejecutar el programa. !Tesis Huziel Enoc Sauceda Félix !Programa para el calculo de las metricas para una matriz de Mueller. ! Tesis: aproximacion de +,‐ 0.03 de error program calculo de metricas INTEGER::i,j,k,n,r,nM REAL::Si(180,360,4),gain(180,360),Mi_pre(50,4,4) ,Si00(4),So00(4),a00,Theta,Fhi,Chi,Psi,So(180,360,4),a(180,360),M(4,4) REAL::DoP_max,G_max,Si_DoPmax(4),Si_Gmax(4),Chi_Gmax,Psi_Gmax,Chi_DoPmax,Psi_DoPmax,S(4),ungrado,pi,b REAL::So_Gmax(4),No_So_DoPmax,No_So_Gmax,aux(10), DoP(200,400),l,So_DoPmax(4) 1call system("cls") WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) "| CALCULO DE LAS METRICAS |" WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" 2WRITE(*,*) WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) "| Elija una de las siguientes opciones: |" WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) "| 1.‐ Utilizar una de las matrices de Mueller predeterminadas |" WRITE(*,*) "| 2.‐ Usar una nueva matriz de Mueller |" WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) READ(*,*)n select case (n) case (1) 5call system("cls") WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) "| Calculo de la metrica: Grado de Polarizacion, DoP(M,Si) |" WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) "| Elija una de las siguientes matrices de Mueller |" WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) "| 1.‐ Matriz M1 |" 93 WRITE(*,*) "| 2.‐ Matriz M2 |" WRITE(*,*) "| 3.‐ Matriz M3 |" WRITE(*,*) "| 4.‐ Matriz M4 |" WRITE(*,*) "| 5.‐ Matriz M5 |" WRITE(*,*) "| 6.‐ Matriz M6 |" WRITE(*,*) "| 7.‐ Matriz M7 |" WRITE(*,*) "| 8.‐ Matriz M8 |" WRITE(*,*) "| 9.‐ Matriz M9 |" WRITE(*,*) "| 10.‐ Matriz M10 |" WRITE(*,*) "| 11.‐ Matriz M11 |" WRITE(*,*) "| 12.‐ Matriz M12 |" WRITE(*,*) "| 13.‐ Matriz M13 |" WRITE(*,*) "| 14.‐ Matriz M14 |" WRITE(*,*) "| 15.‐ Matriz M15 |" WRITE(*,*) "| 16.‐ Matriz M16 |" WRITE(*,*) "| 17.‐ Matriz M17 |" WRITE(*,*) "| 18.‐ Matriz M18 |" WRITE(*,*) "| 19.‐ Matriz M19 |" WRITE(*,*) "| 20.‐ Matriz M20 |" WRITE(*,*) "| 21.‐ Matriz M21 |" WRITE(*,*) "| 22.‐ Matriz M22 |" WRITE(*,*) "| 23.‐ Matriz M23 |" WRITE(*,*) "| 24.‐ Matriz M24 |" WRITE(*,*) "| 25.‐ Matriz 1a‐M |" WRITE(*,*) "| 26.‐ Matriz 1a‐MR |" WRITE(*,*) "| 27.‐ Matriz 1a‐MD |" WRITE(*,*) "| 28.‐ Matriz 1b‐M |" WRITE(*,*) "| 29.‐ Matriz 1b‐MR |" WRITE(*,*) "| 30.‐ Matriz 1b‐MD |" WRITE(*,*) "| 31.‐ Matriz 2a‐M |" WRITE(*,*) "| 32.‐ Matriz 2a‐Mdelta |" WRITE(*,*) "| 33.‐ Matriz 2a‐MR |" WRITE(*,*) "| 34.‐ Matriz 2a‐MD |" WRITE(*,*) "| 35.‐ Matriz 2b‐M |" WRITE(*,*) "| 36.‐ Matriz 2b‐Mdelta |" WRITE(*,*) "| 37.‐ Matriz 2b‐MR |" WRITE(*,*) "| 38.‐ Matriz 2b‐MD |" WRITE(*,*) "| 39.‐ Matriz 4‐M |" WRITE(*,*) "| 40.‐ Matriz 4‐Mdelta |" WRITE(*,*) "| 41.‐ Matriz 4‐MR |" WRITE(*,*) "| 42.‐ Matriz 4‐MD |" WRITE(*,*) "| 43.‐ Regresar al menu anterior |" WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) READ(*,*)nM select case (nM) !lee la matriz que se eligio del archivo que la contiene case (1) !M1 open (UNIT=101,FILE="Matriz_M1.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (2) !M2 open (UNIT=102,FILE="Matriz_M2.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) 94 end do case (3) !M3 open (UNIT=103,FILE="Matriz_M3.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (4) !M4 open (UNIT=104,FILE="Matriz_M4.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (5) !M5 open (UNIT=105,FILE="Matriz_M5.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (6) !M6 open (UNIT=106,FILE="Matriz_M6.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (7) !M7 open (UNIT=107,FILE="Matriz_M7.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (8) !M8 open (UNIT=108,FILE="Matriz_M8.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (9) !M9 open (UNIT=109,FILE="Matriz_M9.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (10) !M10 open (UNIT=110,FILE="Matriz_M10.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do 95 case (11) !M11 open (UNIT=111,FILE="Matriz_M11.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (12) !M12 open (UNIT=112,FILE="Matriz_M12.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (13) !M13 open (UNIT=113,FILE="Matriz_M13.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (14) !M14 open (UNIT=114,FILE="Matriz_M14.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (15) !M15 open (UNIT=115,FILE="Matriz_M15.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (16) !M16 open (UNIT=116,FILE="Matriz_M16.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (17) !M17 open (UNIT=117,FILE="Matriz_M17.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (18) !M18 open (UNIT=118,FILE="Matriz_M18.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (19) !M19 open (UNIT=119,FILE="Matriz_M19.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (20) !M20 open (UNIT=120,FILE="Matriz_M20.txt") do i=1,4 96 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (21) !M21 open (UNIT=121,FILE="Matriz_M21.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (22) !M22 open (UNIT=122,FILE="Matriz_M22.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (23) !M23 open (UNIT=123,FILE="Matriz_M23.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (24) !M24 open (UNIT=124,FILE="Matriz_M24.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (25) !M20 open (UNIT=125,FILE="Matriz_1a‐M.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do close (UNIT=125) case (26) !M20 open (UNIT=126,FILE="Matriz_1a‐MR.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (27) !M20 open (UNIT=127,FILE="Matriz_1a‐MD.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (28) !M20 open (UNIT=128,FILE="Matriz_1b‐M.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (29) !M20 open (UNIT=129,FILE="Matriz_1b‐MR.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (30) 97 !M20 open (UNIT=130,FILE="Matriz_1b‐MD.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (31) !M20 open (UNIT=131,FILE="Matriz_2a‐M.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (32) !M20 open (UNIT=132,FILE="Matriz_2a‐Mdelta.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (33) !M20 open (UNIT=133,FILE="Matriz_2a‐MR.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (34) !M20 open (UNIT=134,FILE="Matriz_2a‐MD.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (35) !M20 open (UNIT=135,FILE="Matriz_2b‐M.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (36) !M20 open (UNIT=136,FILE="Matriz_2b‐Mdelta.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (37) !M20 open (UNIT=137,FILE="Matriz_2b‐MR.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (38) !M20 open (UNIT=138,FILE="Matriz_2b‐MD.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (39) !M20 open (UNIT=139,FILE="Matriz_4‐M.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) 98 end do case (40) !M20 open (UNIT=140,FILE="Matriz_4‐Mdelta.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (41) !M20 open (UNIT=141,FILE="Matriz_4‐MR.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (42) !M20 open (UNIT=142,FILE="Matriz_4‐MD.txt") do i=1,4 READ(nM+100,*)Mi_pre(nM,i,1), Mi_pre(nM,i,2), Mi_pre(nM,i,3), Mi_pre(nM,i,4) end do case (43) GOTO 1 case default WRITE(*,*) "De un valor en el intervalo [1,43]" GOTO 5 end select !iguala la matriz predeterminada a una matriz M, ya que es mas apropiado para el calculo do i=1,4 do j=1,4 M(i,j)=Mi_pre(nM,i,j) end do end do case (2) !pide los valores de la nueva matriz WRITE(*,*) "De los valores de la matriz de Mueller M, en forma matricial:" WRITE(*,*) !lee los valores de la matriz de Mueller READ(*,*)((M(k,j),j=1,4),k=1,4) case default WRITE(*,*) "De un valor en el intervalo [1,2]" GOTO 2 end select !crea una matriz aproximada tal que solo se queda con los dos primeros desimales open (UNIT=500,FILE="Matriz_auxiliar.txt") do i=1,4 WRITE(500,501) M(i,1), M(i,2), M(i,3), M(i,4) 501 FORMAT(4x,4(f10.2)) end do close (UNIT=500) !lee la matriz aproximada open (UNIT=500,FILE="Matriz_auxiliar.txt") do i=1,4 read(500,*) M(i,1), M(i,2), M(i,3), M(i,4) end do close (UNIT=500) !definicion de constantes pi=3.14159265 ungrado=(2*pi)/360 99 DoP_max=0 G_max=0 !Empieza el calculo de DoPmax y Gmax do Theta=1,180 do Fhi=1,360 !calcula el vector incidente Si(Theta,Fhi) Chi=((Theta‐90)*ungrado)/2 Psi=(Fhi*ungrado)/2 Si(Theta,Fhi,1)=1 Si(Theta,Fhi,2)=COS(2*Chi)*COS(2*Psi) Si(Theta,Fhi,3)=COS(2*Chi)*SIN(2*Psi) Si(Theta,Fhi,4)=SIN(2*Chi) !hace cero todos los valores del vector emergente So do i=1,4 So(Theta,Fhi,i)=0 end do !multiplica Si con M para obtener el vector saliente So do i=1,4 do k=1,4 So(Theta,Fhi,i)=So(Theta,Fhi,i)+M(i,k)*Si(Theta,Fhi,k) end do end do !calcula el [DoP*So(0)]^2, a(theta,Fhi) es una variable auxiliar a(theta,Fhi)=0.0000 do i=2,4 a(Theta,Fhi)=a(Theta,Fhi)+So(Theta,Fhi,i)*So(Theta,Fhi,i) end do !calcula DoP*So(0) a(Theta,Fhi)=SQRT(a(Theta,Fhi)) !calcula DoP DoP(Theta,Fhi)=a(Theta,Fhi)/So(Theta,Fhi,1) !calcula G gain(Theta,Fhi)=So(Theta,Fhi,1)/Si(Theta,Fhi,1) !calcula DoPmax if (DoP_max<DoP(Theta,Fhi)) then DoP_max=DoP(Theta,Fhi) !guarda el vector que maximiza DoP do i=1,4 Si_DoPmax(i)=Si(Theta,Fhi,i) end do do i=1,4 So_DoPmax(i)=0 end do !guarda el vector emergente para el caso en que DoP=DoPmax do i=1,4 do k=1,4 So_DoPmax(i)=So_DoPmax(i)+M(i,k)*Si_DoPmax(k) end do end do !guarda las coordenadas del maximo Chi_DoPmax=Chi Psi_DoPmax=Psi end if !calcula Gmax if (G_max<gain(Theta,Fhi)) then 100 G_max=gain(Theta,Fhi) !guarda el vector que maximiza G do i=1,4 Si_Gmax(i)=Si(Theta,Fhi,i) end do do i=1,4 So_Gmax(i)=0 end do !guarda el vector emergente para el caso en que DoP=DoPmax do i=1,4 do k=1,4 So_Gmax(i)=So_Gmax(i)+M(i,k)*Si_Gmax(k) end do end do !guarda las coordenadas del maximo Chi_Gmax=Chi Psi_Gmax=Psi end if end do end do !calcula las metricas WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) "| C A L C U L O D E M E T R I C A S |" WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) "| Calculo de todas las Metricas para M |" WRITE(*,*) "|‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|" WRITE(*,*) !escribe la matriz aproximada WRITE(*,*)"la matriz es :" WRITE(*,*) do i=1,4 WRITE(*,315) M(i,1), M(i,2), M(i,3), M(i,4) 315 FORMAT(4x,4(f10.2)) end do WRITE(*,*) WRITE(*,*)"y las metricas para esta son:" WRITE(*,*) !CALCULA DI(M) !calcula b=3[m00*DI_M]^2+m00^2, b es una variable auxiliar DI_M=0.0 b=0.0 do i=1,4 do j=1,4 b=b+M(i,j)*M(i,j) end do end do !calcula b=3[m00*DI_M]^2 b=b‐M(1,1)*M(1,1) !calcula b=3^(1/2)m00*DI_M b=SQRT(b) l=SQRT(3.0) !calcula b=DI_M DI_M=b/(l*M(1,1)) 101 !CALCULA P(M) !calcula el [P*M(1,1)]^2 b=0.0000 do i=2,4 b=b+M(i,1)*M(i,1) end do !calcula P*M(1,1) b=SQRT(b) !calcular P P=b/M(1,1) !CALCULA D(M) !calcula el [D*M(1,1)]^2 b=0.0000 do i=2,4 b=b+M(1,i)*M(1,i) end do !calcula D*M(1,1) b=SQRT(b) !calcular D D=b/M(1,1) !CALCULA Q(M) Q=0 Q=((3*DI_M*DI_M)‐(D*D))/(1+(D*D)) !aproxima las metricas, ya que estas trabajan directamente con los elementos de la matriz !crea el archivo auxiliar aux(1)=Q aux(2)=DI_M aux(3)=P aux(4)=D open (UNIT=602,FILE="archivo_auxiliar.txt") do i=1,4 WRITE(602,604) aux(i) 604 FORMAT(4x,4(f10.2)) end do close (UNIT=602) !lee el archivo open (UNIT=602,FILE="archivo_auxiliar.txt") do i=1,4 read(602,*) aux(i) end do close (UNIT=602) Q=aux(1) DI_M=aux(2) P=aux(3) D=aux(4) !escribe en la pantalla los valores de las metricas WRITE(*,*) WRITE(*,69)Q 69 FORMAT(' Q(M) ',f10.2) WRITE(*,*) WRITE(*,60)DI_M 102 60 FORMAT(' DI(M) ',f10.2) WRITE(*,*) WRITE(*,67)P 67 FORMAT(' P(M) ',f10.2) WRITE(*,*) WRITE(*,68)D 68 FORMAT(' D(M) ',f10.2) !dice que tipo de sistema es segun Q(M) WRITE(*,*) if (Q==0) then WRITE(*,*)"el sistema es totalmente despolarizante" else if (Q<1) then WRITE(*,*)"el sistema es parcialmente despolarizante" else if ((Q<3).AND.(DI_M==1.0)) then WRITE(*,*)"el sistema es diatenuante y no despolarizante" else if (Q<3) then WRITE(*,*)"el sistema es parcialmente despolarizante" else if (Q==3) then WRITE(*,*)"el sistema es no diatenuante y no despolarizante" else WRITE(*,*)"la matriz M no representa un sistema fisico realizable" end if end if end if end if end if WRITE(*,*) !escribe DoP_max WRITE(*,*) "El valor maximo de DoP es:" WRITE(*,4)DoP_max 4 FORMAT(3x,f10.2) WRITE(*,*) WRITE(*,*) "el vector que lo maximiza es:" do i=1,4 WRITE(*,12)Si_DoPmax(i) 12 FORMAT(3x,f10.4) end do WRITE(*,*) !aproxima So_DoPmax(i) open (UNIT=602,FILE="archivo_auxiliar.txt") do i=1,4 WRITE(602,614) So_DoPmax(i) 614 FORMAT(4x,4(f10.2)) end do close (UNIT=602) !lee el archivo auxiliar open (UNIT=602,FILE="archivo_auxiliar.txt") do i=1,4 read(602,*) So_DoPmax(i) end do close (UNIT=602) !escribe el vector emergente WRITE(*,*) "y el vector emergente es:" 103 do i=1,4 WRITE(*,400)So_DoPmax(i) 400 FORMAT(3x,f10.2) end do WRITE(*,*) !Calcula No^2, donde No=N_out es el porcentaje de luz no polarizada del haz S_out ! b es una variable auxiliar b=0 b=So_DoPmax(1)*So_DoPmax(1)‐So_DoPmax(2)*So_DoPmax(2)‐So_DoPmax(3)*So_DoPmax(3)‐
So_DoPmax(4)*So_DoPmax(4) !aproxima b a dos decimales open (UNIT=502,FILE="archivo_auxiliar.txt") WRITE(502,504) b 504 FORMAT(4x,4(f10.2)) close (UNIT=502) b=0 open (UNIT=503,FILE="archivo_auxiliar.txt") read(503,*) b close (UNIT=503) ! pregunta si (No)^2 es menor que cero IF(b<0)then WRITE(*,*)"el vector emergente cuando DoP es maxima, S_out, no puede representar una haz de luz" WRITE(*,*) WRITE(*,571)b 571 FORMAT(" (S0_out)^2‐(S1_out)^2‐(S2_out)^2‐(S3_out)^2=",f10.2) No_So_DoPmax=b else !Calcula No=porcentaje de luz no polarizada en So_DoPmax No_So_DoPmax=100*SQRT(b)/So_DoPmax(1) WRITE(*,572)No_So_DoPmax 572 FORMAT("el cual tiene un ",f10.2,"% de luz no polarizada") END if WRITE(*,*) !escribe la ganancia maxima WRITE(*,*) "La ganancia maxima es:" WRITE(*,15)G_max 15 FORMAT(3x,f10.2) WRITE(*,*) !muestra el vector que la maximiza WRITE(*,*) "el vector que la maximiza es:" do i=1,4 WRITE(*,19)Si_Gmax(i) 19 FORMAT(3x,f10.4) end do WRITE(*,*) !aproxima So_Gmax(i) open (UNIT=602,FILE="archivo_auxiliar.txt") do i=1,4 WRITE(602,615) So_Gmax(i) 615 FORMAT(4x,4(f10.2)) 104 end do close (UNIT=602) !la lee open (UNIT=602,FILE="archivo_auxiliar.txt") do i=1,4 read(602,*) So_Gmax(i) end do close (UNIT=602) !escribe es vector emergente WRITE(*,*) "y el vector emergente es:" do i=1,4 WRITE(*,401)So_Gmax(i) 401 FORMAT(3x,f10.2) end do WRITE(*,*) !Calcula (No)^2 b=So_Gmax(1)*So_Gmax(1)‐So_Gmax(2)**2‐So_Gmax(3)*So_Gmax(3)‐So_Gmax(4)*So_Gmax(4) !aproxima b open (UNIT=702,FILE="archivo_auxiliar.txt") WRITE(702,703) b 703 FORMAT(4x,4(f10.2)) close (UNIT=702) !la lee open (UNIT=702,FILE="archivo_auxiliar.txt") read(702,*) b close (UNIT=702) !pregunta si (No)^2<0 IF(b<0)then WRITE(*,*)"el vector emergente cuando G es maxima, S_out, no puede representar una haz de luz" WRITE(*,*) WRITE(*,570)b 570FORMAT(" (S0_out)^2‐(S1_out)^2‐(S2_out)^2‐(S3_out)^2=",f10.2) No_So_Gmax=b else !Calcula No=porcentaje de luz no polarizada en So_DoPmax No_So_Gmax=100*SQRT(b)/So_Gmax(1) WRITE(*,573)No_So_Gmax 573 FORMAT(" el cual tiene un ",f10.2,"% de luz no polarizada") END if ! !escribe un archivo con todo lo desplegado en la pantalla ! open (UNIT=300,FILE="Datos_Metricas_para_M_aprox.txt") WRITE(300,*)"la matriz es :" WRITE(300,*) !escribe la matriz aproximada do i=1,4 WRITE(300,309) M(i,1), M(i,2), M(i,3), M(i,4) 309 FORMAT(4x,4(f10.2)) end do 105 !escribe los valores de las metricas WRITE(300,*) WRITE(300,*)"y las metricas para esta son:" WRITE(300,*) WRITE(300,304)Q 304 FORMAT(' Q(M) ',f10.2) WRITE(300,*) WRITE(300,301)DI_M 301 FORMAT(' DI(M) ',f10.2) WRITE(300,*) WRITE(300,302)P 302 FORMAT(' P(M) ',f10.2) WRITE(300,*) WRITE(300,303)D 303 FORMAT(' D(M) ',f10.2) WRITE(300,*) !dice que tipo de sistema es if (Q==0) then WRITE(300,*)"el sistema es totalmente despolarizante" else if (Q<1) then WRITE(300,*)"el sistema es parcialmente despolarizante" else if ((Q<3).AND.(DI_M==1)) then WRITE(300,*)"el sistema es diatenuante y no despolarizante" else if (Q<3) then WRITE(300,*)"el sistema es parcialmente despolarizante" else if (Q==3) then WRITE(300,*)"el sistema es no diatenuante y no despolarizante" else WRITE(300,*)"la matriz M no representa un sistema fisico realizable" end if end if end if end if end if !escribe el valor maximo de DoP y los datos relacionados WRITE(300,*) WRITE(300,*) "El valor maximo de DoP es:" WRITE(300,305)DoP_max 305 FORMAT(3x,f10.2) WRITE(300,*) WRITE(300,*) "el vector que lo maximiza es:" do i=1,4 WRITE(300,306)Si_DoPmax(i) 306 FORMAT(3x,f10.4) end do WRITE(300,*) WRITE(300,*) "y el vector emergente es:" do i=1,4 WRITE(300,403)So_DoPmax(i) 403 FORMAT(3x,f10.2) end do WRITE(300,*) IF(No_So_DoPmax<0)then 106 WRITE(300,*)"el vector emergente cuando DoP es maxima, S_out, no puede representar una haz de luz" WRITE(300,*) WRITE(300,575)No_So_DoPmax 575 FORMAT(" (S0_out)^2‐(S1_out)^2‐(S2_out)^2‐(S3_out)^2=",f10.2) else !Calcula No=porcentaje de luz no polarizada en So_DoPmax WRITE(300,576)No_So_DoPmax 576 FORMAT("el cual tiene un ",f10.2,"% de luz no polarizada") END if !escribe la ganancia maxima y los datos relacionados WRITE(300,*) WRITE(300,*) "La ganancia maxima es:" WRITE(300,307)G_max 307 FORMAT(3x,f10.2) WRITE(300,*) WRITE(300,*) "y el vector que la maximiza es:" do i=1,4 WRITE(300,308)Si_Gmax(i) 308 FORMAT(3x,f10.4) end do WRITE(300,*) WRITE(300,*) "y el vector emergente es:" do i=1,4 WRITE(300,404)So_Gmax(i) 404 FORMAT(3x,f10.2) end do WRITE(300,*) IF(No_So_Gmax<0)then WRITE(300,*)"el vector emergente cuando G es maxima, S_out, no puede representar una haz de luz" WRITE(300,*) WRITE(300,577)No_So_Gmax 577 FORMAT(" (S0_out)^2‐(S1_out)^2‐(S2_out)^2‐(S3_out)^2=",f10.2) else !Calcula No=porcentaje de luz no polarizada en So_DoPmax WRITE(300,578)No_So_Gmax 578 FORMAT("el cual tiene un ",f10.2,"% de luz no polarizada") END if !cierra el archivo close (UNIT=300) WRITE(*,*) WRITE(*,*)"Desea realizar otra operacion? Si(1),No(0) " 333READ(*,*)n if (n==1) then GOTO 2 end if if (n==0) then else WRITE(*,*)"solo puede dar 0 o 1, de uno de estos valores " GOTO 333 end if end program