Infinitésimos equivalentes an = 1, y n→∞ bn Definición. Dos sucesiones {an } y {bn } se denominan equivalentes si lı́m se escribe an ∼ bn . Por ejemplo, la sucesión n! es equivalente a la sucesión √ 2πne−n nn . Definición. Una sucesión {an } se denomina infinitesimal si lı́m an = 0. Dos sucesiones n→∞ {an } y {bn } se denominan infinitésimos equivalentes y se escribe an ∼ bn si lı́m an = 0, n→∞ an lı́m bn = 0 y lı́m = 1. n→∞ n→∞ bn Teorema. Si {an } es una sucesión infinitesimal, entonces: 1. sen an ∼ an . 2. tan an ∼ an . 3. arc sen an ∼ an . 4. arctan an ∼ an . 5. 1 − cos an ∼ a2n . 2 6. (1 + an )α − 1 ∼ α an . 7. ean − 1 ∼ an , 8. ln(1 + an ) ∼ an , ban − 1 ∼ an ln b . logb (1 + an ) ∼ an logb e . Definición. Dos funciones f : A 7→ R y g : A 7→ R se denominan equivalentes en f (x) x = a si lı́m = 1, y se escribe f (x) ∼ g(x) cuando x tiende a a. x→a g(x) Definición. Una función f : A 7→ R se denomina infinitesimal en x = a si lı́m f (x) = 0. x→a Por ejemplo, f (x) = x2 es infinitesimal en x = 0 y f (x) = sen(x−2) es infinitesimal en x = 2. Definición. Dos funciones f : A 7→ R y g : A 7→ R se denominan infinitésimos f (x) equivalentes en x = a si lı́m f (x) = 0, lı́m g(x) = 0 y lı́m = 1 y se escribe x→a x→a x→a g(x) f (x) ∼ g(x) cuando x tiende a a. Definición (o pequeña). Dados dos funciones f y g infinitesimales en cierto x = a, g(x) diremos que g(x) es un infinitésimo de orden mayor que f (x) en x = a si lı́m =0 x→a f (x) y se escribe g(x) = o(f (x)) cuando x tiende a a. Por ejemplo, la función x2 es un infinitésimo de mayor orden que x en x = 0, es decir x2 = o(x), y la función x3 es un infinitésimo de mayor orden que x3/2 en x = 0, o sea, x3 = o(x3/2 ). Además se tiene que: 1. Para todo m ∈ R, m · o(x) = o(x), 2. La suma de un número finito infinitésimos equivalentes es un infinitésimo, 3. El producto de un número finito de infinitésimos es un infinitésimo de orden superior. Teorema. Si x tiende a 0, entonces: 1. sen x ∼ x. 2. tan x ∼ x. 3. arc sen x ∼ x. 4. arctan x ∼ x. 5. 1 − cos x ∼ x2 . 2 6. (1 + x)α − 1 ∼ α x. 7. ex − 1 ∼ x, bx − 1 ∼ x ln b . 8. ln(1 + x) ∼ x, logb (1 + x) ∼ x logb e . Utilizando esta notación los infinitésimos del teorema anterior se podrán reescribir de la forma: 1. sen x = x + o(x). 2. tan x = x + o(x). 3. arc sen x = x + o(x). 4. arctan x = x + o(x). x2 5. 1 − cos x = + o(x2 ). 2 6. (1 + x)α − 1 = α x + o(x). 7. bx − 1 = x ln b + o(x) . 8. logb (1 + x) = x logb e + o(x) . Definición (O grande). Dos funciones f : A 7→ R y g : A 7→ R se denominan compaf (x) rable o del mismo orden en x = a si lı́m = l, donde l 6= 0, |l| < ∞ y se escribe x→a g(x) f (x) = O(g(x)) o g(x) = O(f (x)) cuando x tiende a a.