Universidad de Talca Instituto de Matemática y Física Campus Talca Álgebra Carrera: Agronomía o Guía N 11: Funciones inversas. Resolver los ejercicios de la sección 5.1 del texto “Álgebra y trigonometría, con geometría analítica” de Swokowski y Cole, 12a edición. Ejercicios a resolver: 1 al 17, 19, 21, 23 al 42, 43. 328 CAPÍTULO 5 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 5.1 5 .1 F u n c i o n e s i n v e r s a s 2 Ejer. 1-2: Si es posible, encuentre (a) f 21(5) (b) g21(6) x 2 4 6 x 1 3 5 f(x) 3 5 9 g(x) 6 2 6 Ejer. 17-20: Use el teorema sobre funciones inversas para demostrar que f y g son funciones inversas una de otra y trace las gráficas de f y g en el mismo plano de coordenadas. x 2 17 f sxd 5 3x 2 2; gsxd 5 3 18 f sxd 5 x 2 4; not possible 2 5, x ! 0; t 0 3 5 t 1 2 4 19 f sxd 5 2x 2 f(t) 2 5 6 g(t) 3 6 6 20 f sxd 5 x 3 2 4; x f(x) 2 3 4 5 6 0 1 2 3 3, x " 0; gsxd 5 23 2 x, x ! 3 g(x) 3 (a) (b) y (c) y y s2#, 0d s2#, 1d 23 f sxd 5 x Yes x No 4 (a) x Not a function (b) f 21sxd 5 x x f 21sxd 5 29 f sxd 5 No Yes Not a function Ejer. 5-16: Determine si la función f es biunívoca. 1 6 f sxd 5 Yes 5 f sxd 5 3x 2 7 Yes x22 7 f sxd 5 x 2 2 9 No 9 f sxd 5 2x Yes 11 f sxd 5 x No 13 f sxd 5 24 2 x2 No 15 f sxd 5 1 Yes x 8 f sxd 5 x 2 4 No s 2#, 29 d s 29 , # d; s 2#, 2 19 d s 2 19 , # d f 21sxd 5 1 3x 2 2 2x 28 f sxd 5 1 3x 3x 2 2x 2 5 1 No x2 4x x22 hds3d 21 (b) s f 21 g21ds3d 5 D 5 23, 3!, R 5 22, 2!; D 1 5 22, 2!, R 1 5 23, 3! 48 33 f sxd 5 2x 3 2 5 34 f sxd 5 2x 3 2 1 f 21sxd 5 sx 2 1d3 39 f sxd 5 x f 21sxd 5 x y5x (0, 1) (3, 21) (2, 4) 3 f 21sxd 5 2 22x s21, qd x y5x 38 f sxd 5 sx3 1d5 3 5 f 21sxd 5 ! 2x 2 1 D 5 0, 3!, R 5 21, 1!; D 1 5 21, 1!, R 1 5 0, 3! 49 (a) Demuestre que la función definida por f(x)5 ax b (una función lineal) para a ± 0 tiene una función inversa y encuentre f21(x). f 21sxd 5 24 2 x 2, 0 ! x ! 2 3 37 f sxd 5 2 x y x 2, x " 0 36 f sxd 5 24 2 x 2, 0 ! x ! 2 (b) sg Ejer. 45-48: Se ilustra la gráfica de una función biunívoca f. (a) Utilice la propiedad de reflexión para trazar la gráfica de f 21. (b) Encuentre el dominio D y la imagen R de la función f . (c) Encuentre el dominio D1 y rango R1 de la función inversa f 21. y 45 3 32 f sxd 5 5x 2 12 f sxd 5 3 No 16 f sxd 5 1 31 f sxd 5 2 2 3x 2, x ! 0 35 f sxd 5 23 2 x f 21sxd 5 3 2 x 2, x " 0 f ds2d 3 21 (c) sh21 g21 f ds6d 2 2x f 21sxd 5 x24 3 10 f sxd 5 2 x Yes 14 f sxd 5 2x 3 2 4 Yes 43 (a) sg 21 44 (a) sg f 21ds21d 3 72x 2 x x (23, 22) 21 (c) sh21 f g21ds3d 5 1 2 3x f 21sxd 5 x 30 f sxd 5 5x 2 f 21sxd 5 2x 2 3 (3, 2) 2x 2 7 9x 1 26 f sxd 5 7 2 2x 5 x25 3 y5x x 3 x y 47 s2#, 0d s0, #d; s2#, 23d s23, #d 24 f sxd 5 s 43 , # d; s 83 , # d 25 f sxd 5 3x y 27 f sxd 5 x 4x 5 3x 2 8 22 f sxd 5 D 5 1, 10!, R 5 0, 9!; D 1 5 0, 9!, R 1 5 1, 10! (2, 3) (21, 1) 5 Ejer. 25-42: Encuentre la función inversa de f. (c) y y s 2#, 43 d s 2#, 83 d s0, #d; s1, #d x (1, 0) (3, 5) Ejer. 21-24: Determine el dominio y el rango de f 21 para la función dada sin hallar en realidad f 21. Sugerencia: Primero encuentre el dominio e imagen de f. 2 21 f sxd 5 2 x21 (10, 9) 4 3; not possible Ejer. 3-4: Determine si la gráfica corresponde a una función biunívoca. y5x 1 21 329 y Ejer. 43-44: Sea h(x) 5 4 2 x. Use h, la tabla y la gráfica para evaluar la expresión. gsxd 5 2 2x 2 5, x " 5 3 x gsxd 5 2 46 9 3, x ! 2 f 21sxd 5 22 2x 42 f sxd 5 x 2 2 4x 1 2x 41 f sxd 5 x 2 6x, x " 3 f sxd 5 3 Ejercicios 21 (b) ¿Una función constante tiene inversa? Explique. 40 f sxd 5 2x f 21sxd 5 2x D 5 21, 2!, R 5 1 2, 4 !; D 1 5 1 2, 4 !, R 1 5 21, 2! No; not one-to-one Obs.: Una función biunívoca es una que tiene inversa, es decir, si satisface el test de la recta horizontal. Otra forma de verificarlo es encontrando la función inversa. Ayuda: Ejercicios 5 al 16: Trate de resolver la ecuación y = f(x), o bien dibuje el gráfico de la función y use el test de la recta horizontal. Ejercicios 17 al 20: Compruebe que f ◦ g(y) = y y que g ◦ f(x) = x. Ejercicios 21 al 24: Es mejor encontrar f −1 (x) y luego calcular los dominios de f y f −1 . Ejercicios 25 al 42: Resuelva la ecuación y = f(x). Ejercicio 43: Note que si f(2) = −1 entonces f −1 (−1) = 2. 4 12 x Capítulo 5 EJERCICIOS 5.1 Respuestas a ejercicios impares 1 (a) 4 ! 1 si x 5 6.1 , y 1 si x 5 6.2 5 Sí (b) No 7 No (c) No es función 9 Sí 11 No 13 No 15 Sí Ejer. 17-20: Demuestre que f sgsxdd 5 x 5 gs f sxdd. 2 x 2d y 17 0 cuando 0 ! x ! l. ) y t 5 16 2 4 26 (b) No es posible 3 (a) Sí y 19 6.2020 x x ma rapidez a la que el hígado puede hol del torrente sanguíneo. 0 millones y C(90) 5 $2.5 millones A30 U E"d; S T s2", A S A1dE J Es1, R C"d ICIOS SELECCIONADOS 21 s2", R0dE S Ps0, 23 s 2#, 3 d s 43 , # d; s 2#, 83 d 4 s 83 , # d 25 f 21sxd 5 x25 3 27 f 21sxd 5 29 f21sxd 5 5x 2 2x 2 3 31 f 21sxd 5 2 33 f 21sxd 5 % 3 37 f 21sxd 5 sx 2 1d3 43 (a) 3 9 22x 3 !212, 12" por !28, 8" 59 (a) 805 pies3 min 1 x. Dada una circula 35 cúbicos por minuto, V21(x) calc de personas que deben estar en tiempo. (b) V21sxd 5 (b) 21 (c) 5 (b) D 5 !21, 2"; y (2, 4) s21, qd 3x 39 f 21sxd 5 x 2x 45 (a) 1 35 f 21sxd 5 3 2 x 2, x " 0 2 41 f 21sxd 5 3 2x % 5 x f 21s 57 R5 f (4, 2) f 21 s d 1 ,4 2 1 ,4 ; 2 R1 5 !21, 2" (c) D1 5 x q, 21 # $ # $ (c) 67 EJERCICIOS 5.2 1 5 11 (a) 3 21, 3 4 99 52 y 7 18 5 (b) y5x 47 (a) (b) D 5 !23, 3"; y R 5 !22, 2" y5x f 21 (2, 3) (23, 22) R1 5 !23, 3" (3, 2) f x (c) D1 5 !22, 2"; f x f 21 (c) (22, 23) y (d) 49 (a) Como f es biunívoca, existe una inversa; x2b a (b) No; no es biunívoca x f 21sxd 5 51 (c) La gráfica de f es simétrica alrededor de la recta y 5 x. Así, f sxd 5 f 21sxd. (e) 53 Sí 55 (a) !20.27, 1.22" (b) !20.20, 3.31"; !20.27, 1.22" y (f )