Método de Evjen para la evaluación de la Constante de Madelung

Método de Evjen para la evaluación de la Constante de Madelung
Las series halladas en el cálculo de la constante de Madelung son desde un punto de vista
matemático condicionalmente convergentes (no convergen en valor absoluto). Esto implica que
el valor de la suma puede depender del orden en que se suman los términos. Si, con el fin de
aumentar la velocidad de convergencia, se reagrupan los términos de esta serie, ello puede conducir a resultados divergentes. Fı́sicamente esto está vinculado con el hecho de que el potencial
de Coulomb es un potencial de largo alcance y la contribución total del mismo a la energı́a de
cohesión puede depender del arreglo de los átomos más alejados. En otras palabras, de cómo
está terminada la superficie del cristal.
A pesar de lo anterior y de acuerdo con Evjen, la constante de Madelung de un cristal se
puede calcular subdividiendo en grupos neutros de iones (las celdas de Evjen) y sumando, a
continuación, las contribuciones de estas celdas a la energı́a del ion de referencia. Los iones que
están en el interior de cada celda contribuyen con su carga total, mientras los que están en la
frontera contribuyen con una fracción (por ejemplo, en una celda cúbica: 1/2 en las caras, 1/4
en las aristas y 1/8 en los vértices). Como el potencial de un grupo neutro de iones disminuye,
al aumentar la distancia, más rápidamente que el potencial de un solo ion, el método de Evjen
conduce a series que convergen rápidamente.
En este ejercicio se intenta hallar valores aproximados de la constante de Madelung, calculando sucesivamente las energı́as con un ion de referencia situado en el centro de una celda de
Evjen.
1. Cadena Lineal
Utilice el método de Evjen para calcular la constante de Madelung de la cadena lineal
de la parte a) del ejercicio 5. Una celda de Evjen apropiada a este caso, consta de un
ion y sus dos vecinos, el ion central con la carga ±e, y cada uno de los vecinos con la
carga fraccionaria ∓e. Tomando el ion de referencia en el centro de una cadena de n
celdas, demuestre que la suma sobre estas celdas proporciona una constante de Madelung
aproximada αn , cuya desviación δn = |α − αn | de la verdadera constante de Madelung α,
es menor que 1/n2 .
NOTA: Observe que la suma directa sobre los 2n iones de la cadena, sin contar el ion de
referencia, proporciona un valor menos exacto αn0 , ya que su desviación de α es menor que
1/n.
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2. NaCl
En la figura se muestra la celda convencional de la estructura rocksalt del NaCl. Consiste
en una estructura fcc con una base de dos átomos.
La celda convencional puede considerarse como una celda de Evjen, ası́ como también la
mitad de la misma que consiste de 4 cubos de lado a/2. La celda convencional puede dividirse en 8 cubos neutros (de lado a/2 siendo a la constante de red de la celda convencional)
con un átomo en cada vértice.
a) Aproxime α tomando la celda de Evjen formada por una celda convencional de lado
a que rodea al ion de referencia.
b) Aproxime α tomando la celda de Evjen de lado 2a que rodea al ion de referencia.
c) Resuelva el problema implementando un programa o script que aproxime la constante de Madelung αN , tomando celdas de Evjen de lado 2aN (con N un parámetro
natural) alrededor del ion de referencia.
d ) Compruebe la solución numérica comparando con los resultados de los dos primeros
puntos.
NOTA: Para esta estructura es: α ' 1, 747565.
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