[Ide@s CONCYTEG] Dimensión y conjuntos de Julia Año 2, Núm. 25, 14 de septiembre de 2007 hormiga caminando sobre un línea recta horizontal, donde su movimiento está restringido a las direcciones izquierda y derecha) le consideramos unidimensional. Si hay dos grados de libertad de movimiento independiente Mónica Moreno Rocha 1 (movimiento generado combinación izquierda-derecha arriba-abajo), 1 Introducción: el concepto de dimensión por le la y llamamos bidimensional. Tres grados de libertad o ninguna corresponden pues a objetos tridimensionales o a los de dimensión La mayoría de nosotros tenemos una cero, respectivamente. idea intuitiva de lo que significa la caracterización tiene sus problemas: dimensión de un objeto. En general, un ¿cuál es la dimensión de una curva en el objeto que tiene ancho, altura y grosor espacio tridimensional? Considere la lo consideramos tridimensional; aquel misma hormiga subiendo ahora por una que sólo tienen longitud y altura le curva helicoidal: ahora su movimiento llamamos bidimensional, y el que sólo es de abajo hacia arriba y de izquierda a tienen derecha, longitud lo consideramos Notemos ¿és que pues la ésta helicoidal unidimensional. Otra forma de entender bidimensional? No, la curva sigue dimensión es al considerar los grados de siendo unidimensional, pues la clave libertad de movimiento independiente: está si un objeto tiene un único grado de independiente”. libertad (por ejemplo, piense en una Nuestro en el término “movimiento objetivo es proporcionarle al lector una definición 1 Investigador Asociado "C", SNI: Nivel I, Grupo de Sistemas Dinámicos. Obtuvo su doctorado en el 2002 en la Universidad de Boston, EUA. Sus áreas de interés son: sistemas dinámicos Holomorfos y teoría del contínuo. formal del concepto de dimensión desde el punto de vista matemático. A partir de allí abordaremos una generalización de dimensión la cual permite estudiar 469 Año 2, Núm. 25, 14 de septiembre de 2007 [Ide@s CONCYTEG] objetos fractales. Concluiremos con una Una bola abierta centrada en x y de descripción de la investigación actual radio r se define como el conjunto de realizada en el CIMAT y financiada por puntos CONCYTEG estrictamente menor que r, y se denota sobre dimensión de Hausdorff aplicada a un tipo específico que están a distancia por de conjuntos fractales: los conjuntos de Julia. Un subconjunto A de X se dice 2Dimensión topológica abierto si es la unión arbitraria de bolas abiertas. Decimos que A es cerrado si su El concepto de dimensión topológica complemento X\A, es abierto. requiere de ciertas definiciones y conceptos de la Topología, la rama de las matemáticas que estudia la estructura global de un objeto. A forma de ejemplo, considere una esfera y un En la línea real, los intervalos ]0,1[ y [0,1] son ejemplos de un conjunto en el otro (sin cortar o romper) independientemente de sus dimensiones, color, textura, etc. Por otro lado, una esfera no pude deformarse en una tasa sin tener que hacer un orificio en la esfera para formar el asa. Comencemos con un espacio y uno cerrado, respectivamente. cubo, estos son el mismo objeto para la topología ya que uno se puede deformar abierto Como hemos mencionado, la Topología no requiere de conceptos de distancia, por lo que podemos prescindir de la función d(x,y) y trabajar en un espacio topológico: diremos que X es un espacio topológico si podemos elegir una colección C de subconjuntos en X que definimos como los abiertos de X. Esta colección debe satisfacer los siguientes axiomas: métrico X y una función de distancia dada por 470 [Ide@s CONCYTEG] Año 2, Núm. 25, 14 de septiembre de 2007 1. X y el conjunto vacío ∅ son topológico X tiene dimensión d si cada abiertos (por lo tanto están cubierta E tiene un refinamiento E’ para contenidos en C). la 2. La unión de dos conjuntos abiertos es un abierto. 3. La intersección de un número cual, cada contenido en, punto a lo x∈X está más, d+1 subconjuntos de E’. Además, d es el entero más pequeño con esta propiedad. Pongamos finito de abiertos es un abierto. a prueba esta Dado un subconjunto A de X, definición: una colección finita de decimos que A tiene una cubierta puntos tiene dimensión cero, ya que abierta si existe una colección E de cada punto se cubre con una bola abiertos en X tal que abierta centrada en él y cualquier refinamiento de ésta cubierta implica reducir el radio de la bola (ver Figura esto es, A está contenido en la unión de 2). todos los conjuntos en E. Un refinamiento de la cubierta E es otra cubierta E’ tal que cada conjunto V en E’ está contenido en algún U de E (ver Figura 1). Figura 2: Cada punto puede cubrirse con d+1=1 abiertos y subsecuentes refinamientos siguen cumpliendo esta propiedad, por lo que d=0. En cambio, la curva helicoidal puede cubrirse con bolas abiertas Figura 1: Los discos de borde rojo representan el refinamiento E’ de la cubierta E compuesta por discos de borde azul. tridimensionales: cada refinamiento puede elegirse de tal forma que cada punto x sobre la curva esté contenido en Pasemos ahora a la definición no más de d+1=2 bolas abiertas de central de esta sección: un espacio menor tamaño. Esto se logra al cubrir la 471 [Ide@s CONCYTEG] curva “siguiendo” su trayectoria suave, Año 2, Núm. 25, 14 de septiembre de 2007 3 Dos Ejemplos si ésta fuese muy irregular, podríamos necesitar de más abiertos (ver Figura 3). En 1904, Helge von Koch publicó un artículo donde reportaba la existencia de una curva tal que, para cada punto en ella, no existía una línea tangente a la curva que pasara por dicho punto (en otras palabras, la curva no era diferenciable). La ahora llamada curva de Koch (ver Figura 4) es el ejemplo de Figura 3: A la izquierda se tiene la curva helicoidal y cubiertas con intersecciones “a pares”. A la derecha se muestra una curva irregular con un refinamiento en rojo que presenta intersecciones de tres o más abiertos. una curva totalmente irregular y que no contiene segmentos de línea. Notemos que la curva irregular de la Figura 3 tiene dimensión topológica d=1, ya que se puede refinar la cubierta hasta lograr que el diámetro Figura 4: La curva de Koch. de cada abierto sea menor a la longitud de los segmentos que conforman la La curva de Koch también tiene la curva. A partir de allí, cada punto será propiedad de autosimilitud, esto es, la cubierto por a lo más dos abiertos. curva contiene copias a escala de sí Este ejemplo nos lleva a misma. De la Figura 4 es posible considerar la siguiente pregunta: ¿es apreciar cuatro copias a menor escala de posible construir una curva tan irregular la curva original, y cada copia con que sea imposible calcular su dimensión cuatro copias más pequeñas y éstas a la topológica? vez con perceptibles. 472 cuatro copias apenas [Ide@s CONCYTEG] Año 2, Núm. 25, 14 de septiembre de 2007 La construcción de ésta curva se Este proceso también nos brinda logra por medio del siguiente proceso una idea de cómo construir cubiertas iterativo (ver Figura 5): abiertas: podemos elegir bolas abiertas 1. Considere una línea recta horizontal de longitud 1. B(x i ,ri ) centradas en el punto medio x i de cada segmento de la construcción y 2. Dividir la recta en tres partes de radio ri mayor que la longitud del iguales, removiendo el tercio segmento dividido por 2. En cada paso medio. de iteración, las cubiertas se refinan por 3. Añadir en el tercio medio un triángulo equilátero sin su base. un factor de magnificación M=2 y a lo más dos bolas contendrán el mismo Repetir el paso 2 y 3 a los punto. A partir de estas cubiertas es segmentos resultantes. En el límite de posible verificar que la dimensión este proceso iterativo se obtiene la topológica de la curva de Koch es d=1. curva de Koch. En 1915 el matemático polaco Waclaw Sierpinski dio a conocer una curva donde cada punto en ella es un punto de ramificación, esto significa que cada punto tiene tres o más segmentos que emanan de él (por ejemplo, las letras E, Y y T contienen un único punto de ramificación, mientras que la L, M y N no contienen ninguno). Su ejemplo, ahora conocido como el Triangulo de Sierpinski, puede también describirse de una forma recursiva (ver Figura 6): 1. Considere un triángulo equilátero sólido, denotado por T0 con base de longitud 1. 2. Remueva Figura 5: El proceso iterativo de la construcción. triángulo 473 el interior equilátero del central [Ide@s CONCYTEG] Año 2, Núm. 25, 14 de septiembre de 2007 construido al conectar los puntos y dejaremos al lector verificar que su medios de cada lado de T0 . dimensión topológica es d=1. Denote el objeto resultante por T1 (note que los triángulos en T1 tienen la mitad del tamaño de T0 por lo que su factor de magnitud 4 Dimensión Hausdorff de es 2). 3. Repita el paso 2 a cada uno de los triángulos equiláteros que elimine el triángulo equilátero central de cada uno de los 3k triángulos que conforman Tk para obtener 3k +1 triángulos (con factor de magnitud 2 k ) que conforman a Tk +1 . En el límite de este proceso, se obtiene el triángulo de Sierpinski publicó una generalización del concepto de dimensión donde d puede ser un conforman T1 para obtener T2 . Recursivamente En 1918 el matemático Felix Hausdorff que denotaremos por T. número real no negativo, lo que permite hablar de dimensiones con parte fraccionaria. Los objetos con dimensión fraccionaria son llamados conjuntos fractales (formalizaremos esta definición más adelante). Aunque se ha conocido la existencia de conjuntos fractales desde principios del siglo XX, su estudio formal tomó auge a partir de los trabajos de Benoit Mandelbrot en las pasadas décadas de los 70’s y 80’s. Actualmente, la teoría de fractales y la Figura 6: La construcción del triángulo de Sierpinski. dimension fraccionaria tienen una gama amplia de aplicaciones a la ciencia, En base a la construcción, es fácil ver que T es autosimilar: para cada entero k>0 existen 3k +1 copias de T y cada copia tiene un factor de magnitud como lo son en el estudio de turbulencias, el crecimiento de plantas o el movimiento Browniano de partículas, la distribución de galaxias en el k 2 . No intentaremos probar que T en universo, etcétera. realidad es una curva en el plano donde cada punto es un punto de ramificación Para simplificar la exposición, supongamos lo siguiente: 474 Año 2, Núm. 25, 14 de septiembre de 2007 [Ide@s CONCYTEG] la medida H m ( S ) = ∞ (de cierta forma, la escala con la que medimos S es muy Sea B = {U j } una cubierta abierta (contable) del conjunto S y definamos el tamaño de S por fina) que si m > d H (S) H m ( S) = 0 (la escala mientras entonces es demasiado grande). Notemos que si d = d H (S), entonces H d ( S) puede tomar cualquier valor no negativo, incluyendo ∞ . el supremo tomado sobre todos los Podemos ahora definir un elementos de la cubierta B. Definimos conjunto fractal como aquel cuya la medida m-dimensional de Hausdorff dimensión de Hausdorff es mayor que m H ( S) por su dimensión topológica. Cabe notar que en general Hausdorff es la difícil dimensión de de calcular donde el ínfimo se toma sobre todas las directamente, aunque para los ejemplos cubiertas contables B = {U j } de S cuyo dados en la sección anterior esto es tamaño es menor o igual que δ . A posible gracias a la condición de medida que δ decrece, el ínfimo no autosimilitud. Si un conjunto A es puede decrecer y por lo tanto el límite autosimilar tal que para cada entero n>0 existe, con lo que 0 ≤ H m (S) ≤ ∞. existen Pn piezas autosimilares y cada A partir de la medida m- pieza tiene un factor de contracción dimensional de Hausdorff podemos 0 < M n < 1, ahora definir la dimensión de Hausdorff d H (A) se calcula de la ecuación entonces la dimensión de un conjunto S no vacío, como el número real d H ( S ) que satisface Para el caso de la curva de Koch, notemos que para cada n>0 existen Esto es, d H (S) es el único valor 4n subconjuntos tales que pueden magnificarse por un factor de real para el cual, si m < d H ( S ) , entonces 3n . Al resolver la ecuación, tenemos 475 [Ide@s CONCYTEG] Año 2, Núm. 25, 14 de septiembre de 2007 iteración de polinomios cuadráticos de la forma donde el polinomio, z y c toman valores complejos. Similarmente, para el triángulo de Sierpinski, se tiene De forma sucinta, podemos definir el conjunto de Mandelbrot por Esto es, M es la colección de 5 Dimensión conjuntos de Julia de todos los valores del parámetro c tal que la órbita del origen no converge a infinito. El conjunto de Julia (o La Dinámica Holomorfa es una rama de conjunto caótico del polinomio) se las define por matemáticas que estudia el comportamiento asintótico de puntos en el plano complejo bajo interación de funciones holomorfas (por ejemplo, polinomios, funciones racionales, ciertas funciones trigonométricas, entre otras). Los orígenes de la dinámica holomorfa se remontan a 1920 con los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia, dando los fundamentos de la teoría de iteraciones. En 1982 Benoit Mandelbrot produjo las primeras imágenes de computadora del conjunto ahora conocido como conjunto de Mandelbrot esto es, la frontera del conjunto de puntos que escapan a infinito bajo iteración. El conjunto de Fatou Fc se define como el complemento de J c . Los conjuntos de Julia para polinomios (y para muchas otras funciones holomorfas) son ejemplos de conjuntos fractales: presentan una cierta forma de autosimilitud y su dimensión de Hausdorff es, en la gran mayoría de (ver Figura 7), el cual está asociado a la 476 [Ide@s CONCYTEG] Año 2, Núm. 25, 14 de septiembre de 2007 los casos, mayor que su dimensión topológica (ver Figura 8). Por lo que, para cada δ, H m (J c ) ≤ 1 y por lo tanto d H ( J c ) ≤ 2, lo que nos dá una cota superior para la dimensión de Hausdorff. La idea es pues encontrar una cotas inferiores. Como muestra del avance logrado para el caso de polinomios cuadráticos, se cuenta con los resultados Figura 7: El conjunto de Mandelbrot asociado a la familia de polinomios cuadráticos Pc . de David Ruelle y Curt McMullen: si el valor absoluto del parámetro c es pequeño, entonces En raras ocasiones se ha logrado calcular explícitamente la dimensión de Hausdorff para ciertos conjuntos de esto es, la dimensión converge a uno, Julia, mientras que aunque con ayuda de los ordenadores es posible implementar algoritmos que estimen con gran precisión la dimensión de J c utilizando si el valor absoluto de c es muy grande. cubiertas abiertas. Sin embargo, estos cálculos no son suficientes desde el punto de vista matemático: es necesario formalizar dichas estimaciones encontrando (y probando la existencia de) cotas para d H (J c ) . Observemos que para cada δ podemos encontrar una cubierta B = {U j } diam(U j ) < δ y de Jc con Figura 8: El conjunto de Julia para c ≈ 0.2539 + 0.00048i y dimensión de Hausdorff d H ≈ 1.405 (figura y cómputos realizados por T. M. Jonassen). 477 [Ide@s CONCYTEG] Parte de mi Año 2, Núm. 25, 14 de septiembre de 2007 investigación realizada en el CIMAT y auspiciada por CONCyTEG a partir de Abril del presente año, es realizar un estudio similar del comportamiento asintótico de la dimensión de Hausdorff para ciertas familias uniparaméticas de funciones racionales dadas por Figura con λ 9: El conjunto de Julia para ≈ 0.5926 y m=2, n=1. Rλ donde el párametro λ toma valores complejos, m>1 y n>0 son enteros positivos dados. Los conjuntos de Julia asociados a estas funciones presentan una autosimilitud y simetrías que generalizan las propiedades del triángulo de Sierpinski: de hecho, si λ ≈ 0.5926 y m=2, n=1, entonces el conjunto de Julia asociado es homeomorfo al triángulo de Sierpinski Figura 10: Conjunto de λ ≈ 0.08713 + 0.378i y m=3, n=2. Julia para (ver Figura 9). Para otros valores del parámetro y de las potencias, los Las metas principales de este conjuntos de Julia presentan otras proyecto serán ajustar la teoría de características topológicas: estos pueden dimensión conocida para polinomios a ser homeomorfos a la Carpeta de funciones racionales de tipo hiperbólico Sierpienski o al conjunto de Cantor y subhiperbólico, implementar ciertos ambos ejemplos de conjuntos fractales algoritmos computacionales para la en familia Rλ y finalmente probar la el plano cuya Hausdorff es conocida. dimensión de existencia de cotas inferiores para d H . 478 [Ide@s CONCYTEG] Bibliografía 1. Beardon, A. 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