Let ,, be positive real numbers such that

SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA
ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY
Filiala Mehedinți - Mehedinți Branch
www.ssmrmh.ro
Let , , be positive real numbers such that:
+
+
+
+
= .
+
Prove that
( − )( − )( − ) ≤
Proposed by Nguyen Viet Hung – Hanoi – Vietnam
Solution by Kevin Soto Palacios – Huarmey – Peru
Sean: , , números reales positivos tal que :
+
+
=
(A)
Probar que:
( − )( − )( − ) ≤
=
Sea:
> 0,
=
(B)
> 0, =
>0
Reemplazando en (A)
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Por la tanto (B) es equivalente:
( − )( − )( − ) =
⇒( +
→( +
+
− )( +
− )( +
−
+
−
− )( + − ) ≤
− )( + − ) =
+
−
≤
=
SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA
ROMANIAN MATHEMATICAL SOCIETY
Filiala Mehedinți - Mehedinți Branch
www.ssmrmh.ro
=(
=(
→(
−
−
− ( − ) )( + − ) =
−
−
+
)( + − ) =
− +
+
+
−
)( + − )
+
+
−
−
⇒ ( + − )( + − )( + − ) = −
+ ( + )+ ( + )+ ( + )−
⇒
+
+
+
≥
( + )+
−
−
−
( + )+
→(Válido por desigualdad de Schur)
−
+
+
≤
( + )→
−